Atwoodsche Fallmaschine

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schematische Darstellung der Fallmaschine

Die atwoodsche Fallmaschine wurde 1784 von George Atwood erfunden. Sie wurde als Nachweis für die gleichmässig beschleunigten Bewegung konzipiert. Mit ihr kann man die Fallbeschleunigung beliebig verringern.

Idealisierung

Die Fallmaschine wird meist sehr stark idealisiert

  • Seil und Rolle ohne Masse
  • Seil beliebig biegsam
  • keine Lagerreibung
  • kein Luftwiderstand

Herleitung

Die Beschleunigung, mit welcher sich der leichter Klotz nach oben und der schwerere nach unten in Bewegung setzt, kann mit Hilfe der Energie- oder der Impulsbilanz berechnet werden

Impulsbilanz

Zuerst schneidet man die beiden Körper frei und wählt die positive Bezugsrichtung längs der zu erwartenden Bewegung. Dann lautet die Impulsbilanz zusammen mit dem kapazitiven Gesetz der Translationsmechanik (auch Grundgesetz der Mechanik genannt]

Grundgesetz für den schweren Körper Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): F_{G1}-F_1=m_1a_1
Grundgesetz für den leichteren Körper Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): F_2-F_{G2}=m_2a_2
kinematische Verknüpfung Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): a_1=a_2=a
ideale Rolle und Seil Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): F_1=F_2
Kraftgesetz der Gravitation Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): F_{G1}=m_1g und Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): F_{G2}=m_2g
Lösung Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): a=g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}

Die Lösung für die idealisierte Maschine lässt sich direkt erraten: die beiden Gewichtskräfte wirken gegeneinander und das Gesamtsystem besitzt eine Trägheit, die den beiden (trägen) Massen entspricht. Die strukturierte Vorgehensweise erscheint etwas umständlich, erlaubt aber einen beliebigen Ausbau des Problems

  • Rolle mit Trägheit: Grundgesetz der Rotation für die Rolle hinzufügen
  • zwei verschiedene Wickelradien: kinematische Verknüpfung anpassen, Kräfte über Hebelgesetz berechnen
  • Reibung: Grundgesetz der Rotation um Lagerreibung erweitern, Grundgesetze der Körper mit Luftwiderstand ergänzen

Energiebilanz

Der Weg über die Energiebilanz (auch Leistungsbilanz) führt zum gleichen Ergebnis. Das System hat vier Energiespeicher (pro Körper je eine kinetische Energie und eine potentielle Energie). Ein Energieaustausch mit der Umgebung findet nicht statt. Folglich lautet die Energiebilanz

Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): 0=\dot W_{kin_1}+\dot W_{G1}+\dot W_{kin_2}+\dot W_{G2}
Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): 0=m_1v_1\dot v_1+m_1g\dot h_1+m_2v_2\dot v_2+m_2g\dot h_2

Die Geschwindigkeiten und die beiden Höhenänderungsraten dürfen unter Berücksichtigung des Vorzeichens gleich gesetzt werden

Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): 0=m_1v\dot v-m_1gv+m_2v\dot v+m_2gv

Nun kann die Geschwindigkeit ausgeklammert und weg gekürzt werden. Eine letzte Umformung liefert die bekannte Formel für die Atwoodsche Fallmaschine

Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): \dot v=g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}

Auch diese Vorgehensweise ist ausbaufähig: die Trägheit der Rolle führt zu einem fünften Speicher (rechte Seite); Reibungseffekte (Lager, Luftwiderstand) sind als Energieströme auf der linken Seite einzufügen.

Umlenkrolle

Die Trägheit der Rolle ist in der Regel nicht zu vernachlässigen. Dies erfordert folgende Modifikationen

Grundgesetz der Rotation Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): F_1R-F_2R=J\alpha
kinematische Verknüpfung Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): a_1=a_2=a=\alpha R

R steht für den Radius der Rolle und J für das Massenträgheitsmoment Die Lösung des neuen Gleichungssystems liefert eine etwas kleinere Beschleunigung

Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): a=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}

Der Weg über die Energiebilanz erfordert analoge Ergänzungen und liefert das gleiche Resultat.

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