Kapazitives Gesetz: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände Füllzustände): |
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''dW/dt = ∑<sub>i</sub> I<sub>Wi</sub> = ∑<sub>i</sub> (φ<sub>M</sub> I<sub>Mi</sub>)= φ<sub>M</sub> ∑<sub>i</sub> I<sub>Mi</sub> = φ<sub>M</sub> dM/dt = C<sub>M</sub>(φ<sub>M</sub>) φ<sub>M</sub> dφ<sub>M</sub>/dt '' |
''dW/dt = ∑<sub>i</sub> I<sub>Wi</sub> = ∑<sub>i</sub> (φ<sub>M</sub> I<sub>Mi</sub>)= φ<sub>M</sub> ∑<sub>i</sub> I<sub>Mi</sub> = φ<sub>M</sub> dM/dt = C<sub>M</sub>(φ<sub>M</sub>) φ<sub>M</sub> dφ<sub>M</sub>/dt '' |
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| + | Multipliziert man die [[Änderungsraten]] mit dem Zeitschritt ''dt'' und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt: |
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''ΔW = <big>∫</big> dW = <big>∫</big> φ<sub>M</sub> dM = <big>∫</big> C<sub>M</sub>(φ<sub>M</sub>) φ<sub>M</sub> dφ<sub>M</sub>'' |
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| − | Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral ausgewertet werden: |
+ | Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden: |
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''ΔW = <big>∫</big> φ<sub>M</sub> dM = <big>∫</big> C<sub>M</sub> φ<sub>M</sub> dφ<sub>M</sub> = 1/2 C<sub>M</sub> [(φ<sub>M nachher</sub>)<sup>2</sup> - (φ<sub>M vorher</sub>)<sup>2</sup>]'' |
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Version vom 4. August 2006, 07:23 Uhr
Begriff
Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):
φM = f(M) oder M = f-1(φM)
Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:
ΔφM = ΔM / CM oder ΔM = CM ΔφM
Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:
dφM = dM / CM(φM) oder dM = CM(φM) dφM
Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände (Füllzustände):
M = ∫ dM = ∫ CM(φM) dφ
Beispiele
| Gebiet | Element | Kapazität | Einheit | Bemerkung |
|---|---|---|---|---|
| Hydrodynamik | zylindrisches Gefäss | A/(ρg) | m3/Pa = m4s2/kg | A(h) für beliebige Gefässe |
| Hydrodynamik | Federspeicher | A2/D | m3/Pa = m4s2/kg | D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante |
| Elektrodynamik | Plattenkondensator | ε0A/d | Farad (F) | d Plattenabstand |
| Translationsmechanik | starrer Körper | träge Masse m | Kilogramm (kg) | alle drei Komponenten |
| Rotationsmechanik | starrer Körper | Massenträgheit J | kg m2 | symmetrischer Tensor |
| Thermodynamik | homogener Stoff | mcS | J/K2 | cS=cW/T |
Energie
Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom,die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:
dW/dt = ∑i IWi = ∑i (φM IMi)= φM ∑i IMi = φM dM/dt = CM(φM) φM dφM/dt
Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:
ΔW = ∫ dW = ∫ φM dM = ∫ CM(φM) φM dφM
Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:
ΔW = ∫ φM dM = ∫ CM φM dφM = 1/2 CM [(φM nachher)2 - (φM vorher)2]
Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:
W = 1/2 CM (φM)2