Kontinuitätsgleichung

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Unter dem Begriff Kontinuitätsgleichung versteht man einerseits die Bilanzgleichung für eine mengenartige Grösse (meistens für das Volumen) bezüglich eines stationären Rohrströmung. Andererseits meint man mit dem Begriff Kontinuitätsgleichung die lokale Bilanzgleichung für eine mengenartige Grösse.

Rohrströmung

Die Volumenstromstärke in einem Rohr mit veränderlichem Durchmesser ist bei Durchströmung mit einem inkompressiblen Fluid konstant. Verringert sich der Durchmesser, so muss sich die Fliessgeschwindigkeit erhöhen, ebenso im umgekehrten Fall:

[math]I_{V1} = I_{V2} \Rightarrow A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2[/math]

Im Falle eines Gases nimmt man die Masse statt des Volumens als Bilanzgrösse. Weil das Rohr infolge der Kompression des Gass nun eine Kapaziät bezüglich der Grösse Masse besitzt, gilt die Kontinuiätsgleichung nun nur noch für stationäre Strömungen

[math] I_{m1} = I_{m2} \Rightarrow \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2[/math]

Längs eines stromdurchflossenen Drahtes gilt die analoge Überlegung für die elektrische Ladung

[math] I_1 = I_2 \Rightarrow A_1 \cdot j_1 = A_2 \cdot j_2[/math]

j steht für die Stromdichte der elektrischen Ladung. Analog dazu kann man die Strömungsgeschwindigkeit als Volumenstromdichte und das Produkt aus Dichte und Strömungsgeschwindigkeit als Massenstromdichte bezeichnen.

lokale Bilanzgleichung

Die Bilanz einer mengenartigen Grösse lässt sich statt bezüglich eines Systems auch lokal, also bezüglich eines ausgewählten Punktes innerhalb eines Kontinuums, formulieren:

  • Die Änderungsrate der Dichte und die Divergenz über die Stromdichte sind gleich der Summe aus Quellendichte und Dichte der Erzeugungsrate

Diese Bilanzgleichung für die Menge M wird in der Literatur auf drei Arten formalisiert:

  • Schreibweise aus der Vektoranalysis: [math]\dot \rho_M + div(\vec j_M) = \sigma_M + \pi_M[/math]
  • Schreibweise aus der Physik: [math]\dot \rho_M + \vec{\nabla} \cdot \vec j_M) = \sigma_M + \pi_M[/math]
  • Einstein-Notation: [math]\rho_{M_{,t}} + j_{M_{i,i}} = \sigma_M + \pi_M[/math] mit i = x, y oder z

In der Einstein-Notation, die in der Tensoranalysis weit verbreitet ist, bedeutet ein Komma vor dem Index, dass die Grösse nach der indizierten Variablen abzuleiten ist. Zudem gilt die Konvention, wonach über gleiche Indices zu summieren ist. Nachfolgend wird nur noch von der Einstein-Notation gebrauch gemacht.

elektrische Ladung

Die elektrische Ladung ist eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme

[math] \rho_{Q_t} + j_{i,i} = 0[/math]

In einem elektrischen Leiter ist die Divergenz der Stromdichte gleich der (negativen) Änderungsrate der Ladungsdichte. Weil ein Leiter kaum Ladung zu speichern vermag, lautet die Kontinuitätsgleichung oft nur

[math] j_{i,i} = 0[/math]

Das Strömungsfeld der elektrischen Ladung ist dann quellenfrei.

Masse

Die Masse ist in der nichtrelativistischen Physik eine skalare, erhaltene Grösse, die nicht quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Folglich reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf zwei Terme

[math] \rho_t + j_{M_{i,i}} = 0[/math]

Die Masse kann nur konvektiv, also nur zusammen mit dem Volumen und andern Mengen ausgetauscht werden. Die Massenstromdichte lässt sich deshalb mit Hilfe der Strömungsgeschwindigkeit, der Volumenstromdichte, formulieren

[math] \rho_t + (\rho v_i)_{,i} = \rho_t + \rho_{,i} v_i + \rho v_{i,i}= 0[/math]

Die Änderungsrate der Dichte, der Gradient der Dichte mal die Strömungsgeschwindigkeit und die Dichte mal die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit addieren sich zu Null.

Impuls

Der Impuls ist eine vektorwertige Grösse, die leitungsartig, konvektiv und quellenartig ausgetauscht werden. Folglich ist die Stromdichte ein Tensor zweiter Stufe und die Kontinuitätsgleichung umfasst vier Terme

[math] \rho_{p_{i,t}} + j_{p_{i,i}} + j_{{conv p}_{i,i}} = \sigma_i[/math]

Nun kann die Impulsdichte als Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit und die konvektive Impulsstromdichte als Massendichte mal das Tensorprodukt aus der Strömungsgeschwindigkeit geschrieben werden. Die leitungsartige Impulsstromdichte ist gleich minus der transponierte Spannungstensor σ und (gravitative) Impulsquelle ist gleich Dichte mal Gravitationsfeldstärke

[math] (\rho v_i)_t - \sigma_{ji,i} + (\rho v_i v_j)_{,i} = \rho g_i[/math]

Differenziert man die einzelnen Terme aus und verwendet die Massenbilanz als Hilfsgleichung, erhält man

[math] \rho v_{i,t} + \rho v_j v_{i,j} = \rho g_i + \sigma_{ji,i}[/math]

Entropie

Die Entropie ist ein produzierbare, skalare Grösse, die leitungsartig, strahlungsartig und quellenartig (feldartig) ausgetauscht werden kann. Deshalb nimmt die Kontinuitätsgleichung für die Entropie rein formal die folgende Gestalt an

[math] \rho_{S_{,t}} + j_{S_{i,i}} + (\rho_S v_i)_i = \sigma_S + \pi_S[/math]