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Barometrische Höhenformel

2008-01-16T10:39:50Z

Markus Steiner:

Die barometrische Höhenformel beschreibt die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe (vertikaler Druckgradient). In der einfachsten Form wird angenommen, dass der Luftdruck in der Nähe des Meeresspiegels pro acht Meter Höhenzunahme ein Hektopascal (Millibar) abnimmt.

==Hydrostatik==
Die Luft wird im Gegensatz zu Wasser durch das eigene Gewicht massiv zusammengedrückt. Deshalb nimmt die Dichte der Luft mit der Höhe ab. Schneiden wir ein dünne, horizontal ausgerichtete Scheibe aus der Atmosphäre heraus, darf die Dichte der Luft innerhalb dieser Scheibe als konstant angenommen werden. Folglich kann höhenbedingte Druckabnahme durch die hydrostatische Formel beschrieben werden

<math>dp = -\rho g dh</math>

Die Gravitationsfeldstärke ''g'' kann als konstant angenommen werden, weil sich das Gravitationsfeld im Bereich der Atmosphäre nicht stark abschwächt.

Die Luft (78% Stickstoff, 21% Sauerstoff, kleine Anteile von Argon, Kohlenstoffdioxid und Wasser) verhält sich in guter Näherung als [[ideales Gas]]. Folglich gilt die universelle Gasgleichung

<math>\frac {pV}{m} = \frac {p}{\rho} = \frac {nRT}{m} = \frac {RT}{\hat m}</math>

wobei für Stoffmenge und Masse die entsprechenden Mischwerte einzusetzen sind. Löst man die Gasgleichung nach der Dichte auf und setzt den so gewonnenen Ausdruck in die hydrostatische Formel ein, kann diese nach dem Druck separiert werden

<math>\frac {dp}{p} = -\frac {\hat mg}{RT}dh</math>

Den Druck ''p'' in beliebiger Höhe ''h'' erhält man durch eine Integration

<math>\ln(p/p_0) = \frac {\hat mg}{R} \int_h^0\frac{1}{T(h)}dh</math>

Die Temperatur ''T'' variiert in komplizierter und kaum vorhersagbarer Weise mit der Höhe. Deshalb müssen bestimmte Annahmen über den Temperaturverlauf ''T(h)'' gemacht werden.

==isotherme Atmosphäre==
Würde sich die Luft nur langsam mischen und wäre sie zudem ein guter Wärmeleiter, so wäre die Atmosphäre im thermischen Gleichgewicht überall gleich warm (isotherm). Bei isothermen Vorgängen gehorcht das ideale Gas dem Boyle-Mariotte'schen Gesetz, wonach das Produkt aus Volumen und Druck konstant bleibt. Entsprechend nimmt der Quotient aus Druck und Dichte einen festen Wert an

<math>\frac {p}{\rho} = \frac {p_0}{\rho_0}</math>

Löst man diesen Ausdruck nach der Dichte auf, setzt ihn in die hydrostatische Formel ein und separiert nach dem Druck, erhält man die Gleichung

<math>\frac{dp}{p} = -\frac {g\rho_0}{p_0}dh = -\frac {dh}{h_0}</math>

Die Konstante ''h0'' entspricht der Tiefe eines Sees, der mit einem Fluid gefüllt ist, das die gleich Dichte wie die Luft am Boden aufweist, und dessen Bodendruck gleich gross wie bei der Atmosphäre ist. Wäre also die Atmosphäre inkompressibel, entspräche ihre Höhe dem Wert ''h0 = p0 / (g ρ0)''. Bei einer 15°C warmen Atmosphäre und einem Druck auf Meereshöhe von 1013 Hektopascal ist ''h0'' = 8.43 km.

Integriert man diese Gleichung vom Boden her und wendet beidseits die Exponentialfunktion an, erhält man die barometrische Höhenformel für die isotherme Atmosphäre

<math>p = p_0 e^{-h/h_0}</math>

Der Druck der isothermen Atmosphäre sinkt bei ''h0'' auf den Wert ''p0/e''.

==isentrope (trockenadiabatische) Atmosphäre==
Die Luft mischt sich infolge Konvektion sehr rasch und leitet die Wärme schlecht. Deshalb ist die tockene Gleichgewichtsatmosphäre nicht überall gleich warm, sondern enthält überall gleich viel Entropie pro Kilogramm Luft, d.h. die trockene Atmosphäre ist im thermischen Gleichgewicht isentrop.

Bei isentropen Vorgängen nimmt die Dichte überproportional mit dem Druck zu

<math>\frac {p}{p_0} = \frac {\rho^\kappa}{\rho_0^\kappa}</math>

wobei ''κ'' den Isentropen- oder Adiabatenexponenten symbolisiert.

Löst man diesen Ausdruck nach der Dichte auf, setzt ihn in die hydrostatische Formel ein und separiert nach dem Druck, erhält man die Gleichung

<math>\frac{dp}{p^{-1/\kappa}} = -\frac {g\rho_0}{p_0^{-1/\kappa}}dh</math>

Integriert man diese Gleichung vom Boden her und löst sie nach dem Druck auf, erhält man die barometrische Höhenformel für die trockene, isentrope Atmosphäre

<math>p = p_0 \left ( 1 - \frac {\kappa -1}{\kappa} \frac {h}{h_0}\right )^{\frac {\kappa}{\kappa -1} }</math>

Da der Isentropenexponent (''κ'') für Luft 1.4 beträgt, sinkt der Druck unter den Wert Null, sobald die Höhe über 3.5*''h0'' steigt. Die isentrope Atmosphäre hat im Gegensatz zu isothermen auf einer Höhe von etwa 30 km eine obere Grenze. In der Realität liegt diese Höhe über der Troposphäre, dem Bereich der Atmospäre, der mit einfacher Thermodynamik beschrieben werden kann.

Ersetzt man das Druckverhalten über die Formel für die isentrope Expansion durch das Temperaturverhalten, sieht man, dass die Temperatur unabhängig vom Anfangswert um etwa 1 Kelvin pro 100 Meter Höhe abnimmt

<math>T = T_0 - \frac {\kappa -1}{\kappa} \frac {\hat m g}{R} h = T_0 - \frac {g}{c_p} h</math>

''cp'' bezeichnet die spezifische Enthalpiekapazität (spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck) von trockener Luft.

Der wahre Temperaturverlauf kann in ein Temperatur-Höhen-Diagramm eingetragen werden. In diesem Diagramm bilden die Isentropen oder Trockenadiabaten ein Raster. Verläuft das gemessene Profil in trockener Luft ein Stück weit entlang einer Trockenadiabaten, ist die zugehörige Luftschicht im thermodynamischen Gleichgewicht.

Infolge Sonneneinstrahlung und horizontaler Luftverschiebungen befindet sich die Atmosphäre selten im thermodynamischen Gleichgewicht. Die Temperatur der Luft wird zudem durch das Verhalten des Wassers beträchtlich beeinflusst. Kondensiert oder gefriert der Wasserdampf, verliert das System Luft an Stoffmenge und muss gleichzeitig vom ausscheidenden Wasser ziemlich viel Entropie übernehmen. Kondensiert der Wasserdampf in aufsteigender Luft, sinkt die Temperatur infolge der Kondendationsentropie des Wassers bedeutend langsamer ab als bei trockener Luft.

== Internationale Höhenformel ==
Setzt man die Referenzhöhe h0 auf Meereshöhe und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur 15 °C = 288,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa, Temperaturgradient 0,65 K pro 100 m), so erhält man die ''Internationale Höhenformel'' für die Troposphäre (gültig bis 11 km Höhe):
:<math>p(h) = 1013{,}25 \left( 1 - \frac{0{,}0065 \cdot h}{288{,}15} \right)^{5{,}255} \mathrm{hPa}</math>

Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird. (Quelle: [http://de.wikipedia.org/wiki/Barometrische_H%C3%B6henformel Wikipedia])

[[Kategorie:Thermo]]

Benutzer:Markus Steiner

2007-09-26T15:13:57Z

Markus Steiner:

Student Bachelor of Science in Aviation [http://www.zhaw.ch/de/engineering/studium/bachelor/aviatik.html an der ZHAW], Klasse Av06a
[http://home.zhaw.ch/~steinma0 eigene homepage]

Benutzer:Markus Steiner

2007-09-26T15:12:49Z

Markus Steiner:

Student Bachelor of Science in Aviation [http://www.zhaw.ch/de/engineering/studium/bachelor/aviatik.html], Klasse Av06a
[http://home.zhaw.ch/~steinma0 eigene homepage]

Entropie

2007-08-21T14:10:02Z

Markus Steiner: /* gespeicherte Entropie */

Die Entropie ist die bilanzierfähige [[Primärgrösse]] der [[Thermodynamik]]. Entropie kann gespeichert, transportiert und produziert werden. Körper reagieren auf eine Entropiezufuhr mit einer Temperaturerhöhung (sensible Wärme), einer Volumenänderung oder einer Aggregatszustandsänderung (latente Wärme). Die Entropie wird in Joule pro Kelvin (J/K) gemessen. Als Formelzeichen verwenden wir ein ''S''.

==Entropie im Alltag==
Die Entropie kann mit dem umgangssprachlichen Wort '''Wärme''' umschrieben werden
# Führt man einem Körper Wärme (Entropie) zu, steigt die Temperatur
# Das Fassungsvermögen für Wärme (Entropie) nimmt proportional mit der Menge eines Stoffes zu
# Durch Reibung ensteht Wärme (Entropie)
# Wärme (Entropie) kann durch einen Körper geleitet, zusammen mit einem Stoff transportiert und durch elektromagnetische Strahlung übertragen werden

Unglücklicherweise hat man Mitte des 19. Jahrhunderts Wärme als thermisch ausgetauschte Energie definiert. Diese heute noch gültige Definition trifft aber nur auf Punkt 1 in der oben aufgeführten Liste zur Umgangssprache zu.

==zugeordnete Energie==
Fliesst ein [[Entropiestrom]] über eine [[System]]oberfläche, ist er entsprechend der absoluten [[Temperatur]] dieser Oberfläche mit [[Energie]] beladen. Der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] ist gleich Entropiestromstärke mal Temperatur

:<math>I_W = T I_S</math>

'''Beispiel:''' Fliesst von einer Kochherplatte ein Energiestrom (Leistung) der Stärke 1000 W in die Pfanne hinein und weist die Grenzschicht zwischen Platte und Pfanne eine Temperatur von 127°C auf, hat der Entropiestrom eine Stärke von

:<math>I_S = \frac {I_W}{T} = \frac {1000 W}{400 K}</math> = 2.5 W/K

Fliesst der gleiche Energiestrom (1000 W) in das 57°C warme Wasser hinein, ist der Entropiestrom auf

:<math>I_S = \frac {I_W}{T} = \frac {1000 W}{330 K}</math> = 3.03 W/K

angewachsen. Die Wärmeleitung ist total ir[[reversibel]], d.h. bei der [[Wärmeleitung]] schwillt der Entropiestrom maximal an und der [[zugeordneter Energiestrom|Energiestrom]] bleibt erhalten. Aufgrund dieses Phänomens bezeichnet man die von der Entropie transportierte Energie und nicht die Entropie selber als [[Wärme]].

==Prozessleistung==
Ohne Entropie lässt sich die Wirkweise einer [[Wärmepumpe]] oder einer [[Wärmekraftmaschine]] nicht verstehen. Die Wärmepumpe fördert Entropie von einem kalten zu einem wärmeren Körper und bei der Wärmekraftmaschine fliesst die Entropie von einem heissen zu einem kalten Körper. Bei den Wärmepumpen muss man Energie in Form von [[Prozessleistung]] von aussen zuführen, bei der Wärmekraftmaschine wird eine Prozessleistung freigesetzt.

In einem thermischen Prozess verhält sich die Entropie wie die Masse des Wasser bei einem [[Pumpspeicherwerk]]. Die [[Temperatur]] entspricht dann dem [[Gravitationsfeld|Gravitationspotential]]. Demnach ist die in einer idealen Wärmekraftmaschine oder einer idealen Wärmepumpe umgesetzte Prozessleistung gleich

:<math>P = \Delta T I_S</math>

'''Beispiel:''' Eine ideale Wärmepumpe fördert Entropie von 7°C auf 47°C und gibt dabei eine Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom) von 2.2 kW ab. Wie viel Leistung nimmt die Wärmepumpe auf? In einem ersten Schritt berechnet man die Stärke des von der Pumpe geförderten Entropiestromes <math>I_S = \frac {3200 W}{320 K}</math> = 10 W/K. Danach bestimmt man die Prozessleistung ''P'' = 40 K*10 W/K = 400 W.

==Entropieproduktion==
Setzt der Strom einer [[Primärgrösse]] (Volumenstrom, elektrischer Strom oder [[Impulsstrom]]) eine momentane [[Prozessleistung]] frei, wird diese teilweise von einem oder mehreren Prozessen aufgenommen. Die Differenz zwischen vom "treibenden" Strom freigesetzter und und von den "getriebenen" Strömen aufgenommener Prozessleistung wird [[Dissipation|dissipiert]]. Die dissipierte Leistung dient der Entropieproduktion, wobei die [[Entropieproduktion|Entropieproduktionsrate]] gleich der dissipierten Leistung dividiert durch die absolute Temperatur ist

:<math>\Pi_S = \frac {P_{diss}}{T}</math>

'''Beispiel''': Ein Transformator gibt bei 6 V eine Leistung von 10 W ab und bezieht deshalb vom elektrischen Netz eine Leistung von 23 W. Der Transformator hat eine Betriebstemperatur von 27°C. Wie gross ist die Entropieproduktionsrate?

Der im Netzkreis fliessende Effektivstrom von 0.1 Ampère setzt eine Leistung von 23 W frei. Mit einem Teil dieser Prozessleistung wird im Sekundärkreis ein Strom von 1.67 Ampère angetrieben. Mit den nicht verwerteten 13 W wird Entropie produziert. Die Produktionsrate beträgt <math>\Pi_S = \frac {13 W}{300 K}</math> = 0.0433 W/K.

==gespeicherte Entropie==
Führt man einem System Entropie zu, nimmt diese entsprechend der Systemoberfläche Energie mit. Der zugeordnete Energiestrom ist gleich Entropiestrom mal absolute Temperatur. Passiert innerhalb des Systems nichts mehr, verhält sich das System selber also reversibel, kann die Formel für den zugeordneten Energiestrom auf den Inhalt übertragen werden

:<math>I_S = \frac {I_W}{T} = \frac {\dot W}{T} = \dot S</math>

Die Änderungsrate der Entrope ist gleich der Änderungsrate der Energie dividiert durch die momentane Temperatur des Systems. Entropie- und Energieänderung hängen demnach wie folgt zusammen

:<math>\Delta S = \int \dot S dt = \int \frac {\dot W}{T} dt = \int \frac {dW}{T}</math>

'''Beispiel:''' Heizt man einen Körper bei konstantem Druck auf, entspricht die zugeführte [[Wärme]] (Energie) der Änderung der [[Enthalpie]] ''H'' des Systems. Heizt man nun eine bestimmte Menge Eis der Temperatur ''T1'' auf bis man Wasser der Temperatur ''T2'' hat, ist die zugeführte Wärmeenergie ''Q'' gleich

:<math>Q = \Delta H = m\left{c_{Eis}(T_s - T_1) + q + c_{Wasser}(T_2 - T_s)\right}</math>

Die ''c'' stehen für die spezifischen [[Wärmekapazität]]en und ''q'' ist die spezifische Schmelzenthalpie. Bildet man nun für die drei Teilprozesse (Erwärmen von Eis, Schmelzen von Eis, Erwärmen von Wasser) die differentielle Änderung der Enthalpie, rechnet auf die Änderung der Entropie um und integriert über die Temperatur bzw. die umgewandelte Masse, erhält man

:<math>\Delta S = m\left{c_{Eis}\ln \frac{T_s}{T_} + \frac {q}{T_s} + c_{Wasser}\ln \frac{T_2}{T_s}\right}</math>

==Anordnung statt Unordnung==
Die gespeicherte Entropie macht sich mikroskopisch durch die Zahl der Zustände (Zustandssumme) bemerkbar, die makroskopisch unter keinen Umständen zu unterscheiden sind. So nimmt die Zahl der möglichen Anordnungen der Atome beim Schmelzen von Metall enorm zu (Schmelzwärme).

[[Kategorie:Thermo]]

Diskussion:Entropie

2007-08-21T13:51:12Z

Markus Steiner: Die Seite wurde neu angelegt: Müsste die Pumpe im Beispiel nicht 3.2kW statt 2.2kW aufnehmen? Sonst stimmt der Entropiestrom Is=3200W/320K nicht mehr.

Müsste die Pumpe im Beispiel nicht 3.2kW statt 2.2kW aufnehmen? Sonst stimmt der Entropiestrom Is=3200W/320K nicht mehr.

Entropie

2007-08-21T13:41:24Z

Markus Steiner: /* Prozessleistung */

Die Entropie ist die bilanzierfähige [[Primärgrösse]] der [[Thermodynamik]]. Entropie kann gespeichert, transportiert und produziert werden. Körper reagieren auf eine Entropiezufuhr mit einer Temperaturerhöhung (sensible Wärme), einer Volumenänderung oder einer Aggregatszustandsänderung (latente Wärme). Die Entropie wird in Joule pro Kelvin (J/K) gemessen. Als Formelzeichen verwenden wir ein ''S''.

==Entropie im Alltag==
Die Entropie kann mit dem umgangssprachlichen Wort '''Wärme''' umschrieben werden
# Führt man einem Körper Wärme (Entropie) zu, steigt die Temperatur
# Das Fassungsvermögen für Wärme (Entropie) nimmt proportional mit der Menge eines Stoffes zu
# Durch Reibung ensteht Wärme (Entropie)
# Wärme (Entropie) kann durch einen Körper geleitet, zusammen mit einem Stoff transportiert und durch elektromagnetische Strahlung übertragen werden

Unglücklicherweise hat man Mitte des 19. Jahrhunderts Wärme als thermisch ausgetauschte Energie definiert. Diese heute noch gültige Definition trifft aber nur auf Punkt 1 in der oben aufgeführten Liste zur Umgangssprache zu.

==zugeordnete Energie==
Fliesst ein [[Entropiestrom]] über eine [[System]]oberfläche, ist er entsprechend der absoluten [[Temperatur]] dieser Oberfläche mit [[Energie]] beladen. Der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] ist gleich Entropiestromstärke mal Temperatur

:<math>I_W = T I_S</math>

'''Beispiel:''' Fliesst von einer Kochherplatte ein Energiestrom (Leistung) der Stärke 1000 W in die Pfanne hinein und weist die Grenzschicht zwischen Platte und Pfanne eine Temperatur von 127°C auf, hat der Entropiestrom eine Stärke von

:<math>I_S = \frac {I_W}{T} = \frac {1000 W}{400 K}</math> = 2.5 W/K

Fliesst der gleiche Energiestrom (1000 W) in das 57°C warme Wasser hinein, ist der Entropiestrom auf

:<math>I_S = \frac {I_W}{T} = \frac {1000 W}{330 K}</math> = 3.03 W/K

angewachsen. Die Wärmeleitung ist total ir[[reversibel]], d.h. bei der [[Wärmeleitung]] schwillt der Entropiestrom maximal an und der [[zugeordneter Energiestrom|Energiestrom]] bleibt erhalten. Aufgrund dieses Phänomens bezeichnet man die von der Entropie transportierte Energie und nicht die Entropie selber als [[Wärme]].

==Prozessleistung==
Ohne Entropie lässt sich die Wirkweise einer [[Wärmepumpe]] oder einer [[Wärmekraftmaschine]] nicht verstehen. Die Wärmepumpe fördert Entropie von einem kalten zu einem wärmeren Körper und bei der Wärmekraftmaschine fliesst die Entropie von einem heissen zu einem kalten Körper. Bei den Wärmepumpen muss man Energie in Form von [[Prozessleistung]] von aussen zuführen, bei der Wärmekraftmaschine wird eine Prozessleistung freigesetzt.

In einem thermischen Prozess verhält sich die Entropie wie die Masse des Wasser bei einem [[Pumpspeicherwerk]]. Die [[Temperatur]] entspricht dann dem [[Gravitationsfeld|Gravitationspotential]]. Demnach ist die in einer idealen Wärmekraftmaschine oder einer idealen Wärmepumpe umgesetzte Prozessleistung gleich

:<math>P = \Delta T I_S</math>

'''Beispiel:''' Eine ideale Wärmepumpe fördert Entropie von 7°C auf 47°C und gibt dabei eine Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom) von 2.2 kW ab. Wie viel Leistung nimmt die Wärmepumpe auf? In einem ersten Schritt berechnet man die Stärke des von der Pumpe geförderten Entropiestromes <math>I_S = \frac {3200 W}{320 K}</math> = 10 W/K. Danach bestimmt man die Prozessleistung ''P'' = 40 K*10 W/K = 400 W.

==Entropieproduktion==
Setzt der Strom einer [[Primärgrösse]] (Volumenstrom, elektrischer Strom oder [[Impulsstrom]]) eine momentane [[Prozessleistung]] frei, wird diese teilweise von einem oder mehreren Prozessen aufgenommen. Die Differenz zwischen vom "treibenden" Strom freigesetzter und und von den "getriebenen" Strömen aufgenommener Prozessleistung wird [[Dissipation|dissipiert]]. Die dissipierte Leistung dient der Entropieproduktion, wobei die [[Entropieproduktion|Entropieproduktionsrate]] gleich der dissipierten Leistung dividiert durch die absolute Temperatur ist

:<math>\Pi_S = \frac {P_{diss}}{T}</math>

'''Beispiel''': Ein Transformator gibt bei 6 V eine Leistung von 10 W ab und bezieht deshalb vom elektrischen Netz eine Leistung von 23 W. Der Transformator hat eine Betriebstemperatur von 27°C. Wie gross ist die Entropieproduktionsrate?

Der im Netzkreis fliessende Effektivstrom von 0.1 Ampère setzt eine Leistung von 23 W frei. Mit einem Teil dieser Prozessleistung wird im Sekundärkreis ein Strom von 1.67 Ampère angetrieben. Mit den nicht verwerteten 13 W wird Entropie produziert. Die Produktionsrate beträgt <math>\Pi_S = \frac {13 W}{300 K}</math> = 0.0433 W/K.

==gespeicherte Entropie==
Führt man einem System Entropie zu, nimmt diese entsprechend der Systemoberfläche Energie mit. Der zugeordnete Energiestrom ist gleich Entropiestrom mal absolute Temperatur. Passiert innerhalb des Systems nichts mehr, verhält sich das System selber also reversibel, kann die Formel für den zugeordneten Energiestrom auf den Inhalt übertragen werden

:<math>I_S = \frac {I_W}{T} = \frac {\dot W}{T} = \dot S</math>

Die Änderungsrate der Entrope ist gleich der Änderungsrate der Energie dividiert durch die momentane Temperatur des Systems. Entropie- und Energieänderung hängen demnach wie folgt zusammen

:<math>\Delta S = \int \dot S dt = \int \frac {\dot W}{T} dt = \int \frac {dW}{T}</math>

'''Beispiel:''' Heizt man einen Körper bei konstantem Druck auf, entspricht die zugeführte [[Wärme]] (Energie) der Änderung der [[Enthalpie]] ''H'' des Systems. Heizt man nun eine bestimmte Menge Eis der Temperatur ''T1'' auf bis man Wasser der Temperatur ''T2'' hat, ist die zugefürhte Wärmeenergie ''Q'' gleich

:<math>Q = \Delta H = m\left{c_{Eis}(T_s - T_1) + q + c_{Wasser}(T_2 - T_s)\right}</math>

Die ''c'' stehen für die spezifischen [[Wärmekapazität]]en und ''q'' ist die spezifische Schmelzenthalpie. Bildet man nun für die drei Teilprozesse (Erwärmen von Eis, Schmelzen von Eis, Erwärmen von Wasser) die differentielle Änderung der Enthalpie, rechnet auf die Änderung der Entropie um und integriert über die Temperatur bzw. die umgewandelte Masse, erhält man

:<math>\Delta S = m\left{c_{Eis}\ln \frac{T_s}{T_} + \frac {q}{T_s} + c_{Wasser}\ln \frac{T_2}{T_s}\right}</math>

==Anordnung statt Unordnung==
Die gespeicherte Entropie macht sich mikroskopisch durch die Zahl der Zustände (Zustandssumme) bemerkbar, die makroskopisch unter keinen Umständen zu unterscheiden sind. So nimmt die Zahl der möglichen Anordnungen der Atome beim Schmelzen von Metall enorm zu (Schmelzwärme).

[[Kategorie:Thermo]]

Ideales Gas

2007-07-18T07:42:46Z

Markus Steiner: /* statische Beschreibung */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine [[Wärmekapazität]]. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
|-
|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum [[Punktmechanik|Massenpunkt]], bei dem die [[Masse]] als dreifache [[Impuls]]kapazität auftritt und ähnlich wie beim [[starrer Körper|starren Körper]], bei dem die drei [[Drehimpuls]]komponenten über das [[Massenträgheitsmoment]] mit den drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] verknüpft sind, lässt sich die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

:<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die [[Masse]] als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die [[Naturkonstanten|universelle Gaskonstante]] und ''Rs'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die [[Entropie]] in Funktion des [[Volumen]]s und der [[Temperatur]]

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische [[Wärmekapazität]] bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Der Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des '''Isentropenexponentes''' <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weitere Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Ideales Gas

2007-07-18T07:37:03Z

Markus Steiner: /* statische Beschreibung */

==Modell==
Das Modell des idealen Gases beschreibt den Zustand von stark verdünnten [[homogener Stoff|Stoffen]], wobei die Wechselwirkung zwischen den Teilchen dieses Stoffes vernachlässigbar klein sein sollte. Dieses Modell ist auf gasförmige und gelöste Stoffe anwendbar.

[[Bild: Ideales_Gas.gif|thumb|thermische und mechanische Verbindung des idealen Gases]]
Der Zustand des idealen Gases kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Das Gas befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine [[Wärmekapazität]]. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst das Gas hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab, welche für den Druckaufbau verantwortlich ist. Bei Lösungen ist die Flüssigkeit gleichzeitig Lösungsmittel und der Kolben für das Lösungsmittel durchlässig, für den gelösten Stoff dagegen nicht. Einen dermassen selektiv durchlässigen Kolben nennt man semipermeabel.

Das Systeme Gas besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

==Bilanzen und Prozesse==
Das ideal Gas kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil das Gas homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

<math>\begin{matrix} I_S &=& \dot S \\ I_V &=& \dot V_{Fluid} = -\dot V \end{matrix}</math>

Das ideale Gas kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "100"|Beschreibung
!width = "150"|thermisches Portal
!width = "150"|hydraulisches Portal
|-
|isochor
|''V'' =konst
|aktiv
|geschlossen
|-
|isobar
|''p'' =konst
|aktiv
|direkt verbunden
|-
|isentrop
|''S'' =konst
|geschlossen
|aktiv
|-
|isotherm
|''T'' =konst
|direkt verbunden
|aktiv
|}

==konstitutive Gleichungen==
Beim idealen Gas koppeln zwei Bilanzgleichungen über die beiden zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]]. Im Gegensatz zum [[Punktmechanik|Massenpunkt]], bei dem die [[Masse]] als dreifache [[Impuls]]kapazität auftritt und ähnlich wie beim [[starrer Körper|starren Körper]], bei dem die drei [[Drehimpuls]]komponenten über das [[Massenträgheitsmoment]] mit den drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] verknüpft sind, lässt sich die Struktur dieser beiden Speichergesetze nicht ganz einfach durchschauen.

Das erste Speichergesetz, die universelle Gasgleichung oder die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases, verknüpft die drei direkt messbaren Grössen Druck, Volumen und Temperatur miteinander

:<math>pV= nRT=mR_sT</math>

Die erste Form basiert auf der [[Stoffmenge]] als natürliches Mass für die Menge eines Stoffes, die zweite nimmt die [[Masse]] als Hilfsgrösse, um die Menge des Soffes zu quantifizieren. ''R'' steht für die [[Naturkonstanten|universelle Gaskonstante]] und ''Rs'' für die spezifische Gaskonstante, die für jeden Stoff einen andern Wert annimmt.

Das zweit Speichergesetz beschreibt die [[Entropie]] in Funktion des [[Volumen]]s und der [[Temperatur]]

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {V}{V_0} + \hat c_V ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {V}{V_0} + c_V ln \frac {T}{T_0})</math>

Die molare bzw. spezifische Energiekapazität (''c^V'' bzw. ''cV'') ist für einatomige Gase gleich 3 ''R'' / 2 bzw. 3 ''Rs / 2''. Diese Grössen nennt man auch molare bzw. spezifische [[Wärmekapazität]] bei konstantem Volumen, weil sie beim Heizen mit konstantem Volumen (isochores Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Mit Hilfe der universellen Gasgleichung kann das Speichergesetz für die Entropie umgeformt werden in

:<math>S = S_0 + n (R ln \frac {p_0}{p} + \hat c_p ln \frac {T}{T_0}) = S_0 + m (R_s ln \frac {p_0}{p} + c_p ln \frac {T}{T_0})</math>

vobei ''c^p'' oder ''cp'', die molare bzw. spezifische Enthalpiekapazität, um die Gaskonstante grösser ist als die molare bzw. spezifische Wärmekapazität. Diese Grössen heissen auch molare bzw. spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck, weil sie beim Heizen mit konstantem Druck (isobares Heizen) ein Mass für die zuzuführende Wärmeenergie sind.

Bei den vier grundlegenden Prozessen nehmen die beiden konstitutiven Gleichungen die folgende Form an (die Gleichungen müssen unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach der Zeit abgeleitet werden, damit sie in Form von [[Änderungsrate|Änderungsraten]] eine momentane Beschreibung des Prozesses abgeben)

{|
!width = "100"|Prozess
!width = "150"|Gasgleichung
!width = "150"|Entropiegesetz
!width = "150"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>V \dot p = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_V \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot V = 0</math>
|-
|isobar
|<math>p \dot V = n R \dot T</math>
|<math>\dot S = n \hat c_p \frac {\dot T}{T}</math>
|<math>\dot p = 0</math>
|-
|isentrop
|<math>R \frac {\dot V}{V}\hat + c_V \frac {\dot T}{T} = 0</math>
|<math>\dot S = 0</math>
|erste Gleichung folgt aus Entropiegesetz
|-
|isotherm
|<math>\dot p V + \dot V p = 0</math>
|<math>\dot S = n R \frac {\dot V}{V}</math>
|<math>\dot T = 0</math>
|}

==Energiebilanz==
Die [[Energiebilanz]] bezüglich eines homogenen, thermischen Systems heisst aus historischen Gründen 1. Hauptsatz. Die Bilanz setzt die Stärke des thermischen Energiestromes (Wärme) und die des mechanischen (Arbeit) gleich der [[Änderungsrate]] der [[innere Energie|inneren Energie]]

<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

Die Energieströme können mit Hilfe des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] durch die Stromstärke der [[Primärgrösse|Primärgrössen]] und die zugehörigen [[Potenzial|Potenziale]] ausgedrückt werden

<math>T I_S + p I_V = \dot W</math>

Weil das System reversibel (ohne Entropieproduktion) arbeitet und das Fluid inkompressibel ist, dürfen die Mengenströme über die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] durch die zugehörigen [[Änderungsrate]]n ersetzt werden

<math>T \dot S - p \dot V= \dot W</math>

Das Minuszeichen beim hydraulischen Teil kommt von der Konstanz der Summe aus Gasvolumen und Fluidvolumen: wenn das Fluidvolumen infolge Zufuhr zunimmt, vermindert sich das Gasvolumen und umgekehrt.

Die letzte Form ermöglicht eine graphische Interpretation der Wärme und der Arbeit bei homogenen und reversiblen Systemen. Die Wärme entpricht der Fläche (Integral) unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm und die Arbeit ist gleich der Fläche (negatives Integral) im ''p-V-''Diagramm.

Setzt man in die letzte Form der Energiebilanz das Entropiegesetz für das ideale Gas bei einem isochorem Prozess ein (siehe Tabelle), erhält man folgende Aussage

<math>I_{W_{therm}}= \dot W = n \hat c_V \dot T</math>

In einem isochor geführten Prozess ist die Zunahme der inneren Energie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Volumen statt einfach und korrekt nur Energiekapazität). Indem man die konstitutiven Gesetze des idealen Gases für eine beliebe Prozessführunge einsetzt, kann man zeigen, dass die innere Energie des Gases immer diese Form hat, also proportional mit der Temperatur zunimmt und unabhängig vom Volumen ist.

Bei isobarer Prozessführung ist die in Form von Wärme zugeführte Energie gleich der Zunahme der inneren Energie plus die Expansionsarbeit des Gases gegen den Kolben (die hydraulische Abgabe von Energie an die Umwelt). Fügt man nun die [[Enthalpie]] als eine neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung

<math>I_{W_{therm}}= \dot W + p_0 \dot V = \dot H = n \hat c_p \dot T</math>

In einem isobar geführten Prozess ist die Zunahme der Enthalpie gleich der zugeführten Wärme (daher der Name Wärmekapazität bei konstantem Druck statt Enthalpiekapazität).

Bei isothermer Prozessführung ist die in Form von Arbeit zugeführte Energie gleich der Änderung der inneren Energie plus die in Form von Wärme an die Umwelt abgegebene Energie. Weil die innere Energie des idealen Gases nicht von der Temperatur abhängt, heben sich bei der isothermen Prozesführung Arbeit und Wärme auf. Fügt man nun die [[freie Energie]] als neue "Energieform" in die Energiebilanz ein, ist die zugeführt Arbeit gleich der Änderung der freien Energie

<math>I_{W_{mech}}= \dot W + T_0 \dot S = \dot F</math>

Die freie Energie kommt unserer Vorstellung von Arbeit sehr nahe. Bei der isothermen Expansion ist die Arbeit gleich der Änderung der freien Energie. Dass diese Energie zusammen mit der Entropie von der Umwelt her zugeführt wird, bemerken wir nicht. Das expandierende Gas nimmt von der Umwelt Energie und Entropie auf, gibt aber nur die Energie weiter und behält die Entropie. So kann Wärme vollständig in Arbeit "umgewandelt" werden.

==statische Beschreibung==

Die statische Beschreibung einer Zustandsänderung gewinnt man durch die Integration der entsprechenden Prozesse
{|
!width = "100"|Prozess
!width = "180"|Gasgleichung
!width = "180"|Entropie
!width = "200"|Energie
!width = "200"|Bemerkung
|-
|isochor
|<math>\frac {p}{p_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_V ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|Gesetz von [[Amontons]]
|-
|isobar
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta S = n \hat c_p ln \frac {T}{T_0}</math>
|<math>\Delta H = n \hat c_p \Delta T</math>
|Gesetz von [[Gay-Lussac]]
|-
|isentrop
|<math>(\frac {V}{V_0})^R = (\frac {T_0}{T})^{\hat c_V}</math>
|<math>\Delta S = 0</math>
|<math>\Delta W = n \hat c_V \Delta T</math>
|<math>\kappa = \fra{\hat c_p}{\hat c_V}</math>
|-
|isotherm
|<math>\frac {V}{V_0} = \frac {p_0}{p}</math>
|<math>\Delta S = n R ln(\frac {V}{V_0})</math>
|<math>\Delta F = n R T_0 ln(\frac {V_0}{V})</math>
|Gesetz von [[Boyle-Mariotte]]
|}

Den Ausdruck für die isentrope Zustandsänderung kann mit Hilfe des '''Isentropenexponentes''' <math>\kappa = \frac {\hat c_p}{\hat c_V}</math> umgeschrieben werden

:<math>(\frac {V}{V_0})^{\kappa -1} = \frac {T_0}{T}</math>

Unter Verwendung der universellen Gasgleichung lässt sich dieser Zusammenhang in eine Form mit den Variablen ''p'' und ''V'' umwandeln

:<math>(\frac {V}{V_0})^\kappa = \frac {p_0}{p}</math>

Eine weitere Umformung liefert

:<math>(\frac {p}{p_0})^{\kappa -1} = (\frac {T}{T_0})^\kappa</math>

==Anwendungen==
*das [[SD-Modell des idealen Gases]]
*[[Carnot-Prozess]]
*[[Stirling-Prozess]]
*[[Osmose]]

[[Kategorie:Thermo]]

Thermodynamik

2007-07-17T14:46:28Z

Markus Steiner: /* Gebiet */

==Gebiet==
Die Thermodynamik beschäftigt sich mit der Dynamik (Speicher- und Transportvorgänge) der [[Entropie]] und der damit verbundenen Erwärmung und Ausdehnung von Körpern. Unter einem Körper verstehen wir hier eine abgrenzbare Menge "Materie" mit Masse, Volumen, Energie- und Entropiespeichervermögen. Der Entropiegehalt eines homogenen Körpers ist durch seine Temperatur und sein Volumen eindeutig beschrieben. Inhomogene Körper können durch Temperatur- und Dichteverteilung charakterisiert werden.

Modellmässig kann man die Körper in Speicher- und Stromelemente unterteilen. Obwohl jeder Körper gleichzeitig Entropie speichert und weiterleitet, macht diese Einteilung Sinn. Betrachten wir dazu ein Gefäss mit heissem Wasser, das sich gegen die Umgebung abkühlt. In einer ersten Beschreibung modelliert man das Wasser als Speicher, die Gefässwand, die Grenzschicht der Luft sowie den strahlungsartigen Entropietransport an die Umgebung als Stromelemente. Dieses Grobmodell lässt sich später verfeinern, indem zum Beispiel der Gefässwand auch noch eine Speicherfähigkeit zugesprochen wird.

Bei der Wärmeleitung und der Wärmestrahlung wird Entropie erzeugt. Folglich muss in jedem Stromelement noch die Entropieproduktionsrate berechnet und dem am Ausgang wegfliessenden Entropiestrom zugeschlagen werden. Diese etwas umständliche Modellierung lässt sich vermeiden, wenn man statt der Entropie die Energie als bilanzierfähige Grösse nimmt. Diese Alternative, statt der Entropie die [[Energie]] (statt der [[Primärgrösse]] die Begleitgrösse) zu bilanzieren , bringt aber nur bei total irreversiblen Prozessen wie Mischvorgängen oder Wärmeleitung eine Vereinfachung. Bei den wirklich interessanten Prozessen, wie sie in Wärmekraftmaschinen, Wärmepumpen oder Lebewesen ablaufen, kommt man um die Entropiebilanz nicht mehr herum.

==Struktur==
===Bilanz===
Ein Körper kann über die Oberfläche mit einem benachbarten Körper oder mittels Quellen über das elektromagnetische Feld [[Entropie]] austauschen. Die [[Entropiebilanz]] besagt, dass die Summe über alle [[Entropiestrom|Entropiestromstärken]] und die [[Quellen|Entropiequellenstärke]] sowie die [[Entropieproduktion|Entropieproduktionsrate]] gleich der Entropieänderungsrate ist. Zufliessende Ströme, Quellen und Entropieproduktion gehen mit einem positiven Vorzeichen, abfliessende Ströme und Senken mit einem negativen Vorzeichen in die Bilanz ein.

Offene Systeme tauschen zusätzlich Entropie mittels konvektiven Strömen aus. Konvektive Ströme produzieren im Innern des Systems durch [[Mischentropie|Mischvorgänge]] meist noch zusätzliche Entropie.

===konstitutive Gesetze===
Wärmespeicher werden in der Regel bei konstant gehaltenem Druck (isobar) betrieben. Das Verhalten [[homogene Wärmespeicher|homogener Wärmespeicher]] wird mittels [[spezifisch|spezifischer]] Grössen beschrieben. Oft sind aber nur die Werte bezüglich der Energie (innere Energie bei konstantem Volumen und [[Enthalpie]] bei konstanten Druck) tabelliert. Die Umrechnung von den energetischen (enthalpischen) in die entropischen Grössen erfolgt, wie mit Hilfe der Energie- und Entropiebilanz sowie des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] gezeigt werden kann, durch Division mit der absolute Temperatur.

''spezifische Enthalpie und Entropie''
{|border = "1"
!width = "250"|Grösse
!width = "150"|Formelzeichen
!width = "150"|Einheit
!width = "150"|Wert
|-
|spezifische Wärmekapazität
|align="center" |''c''
|align="center" |J/(K kg)
|tabelliert
|-
|spezifische Schmelzenthalpie
|align="center" |''q''
|align="center" |J/kg
|tabelliert
|-
|spezifische Verdampfungsenthalpie
|align="center" |''r''
|align="center" |J/kg
|tabelliert
|-
|spezifische Entropiekapazität
|align="center" |''cS''
|align="center" |J/(K2 kg)
|align="center" |''c/T''
|-
|spezifische Schmelzentropie
|align="center" |''qS''
|align="center" |J/(K kg)
|align="center" |''q/T''
|-
|spezifische Verdampfungsentropie
|align="center" |''rS''
|align="center" |J/(K kg)
|align="center" |''r/T''
|}

Wärme ist die Energie, die zusammen mit der Entropie über die Systemgrenze transportiert wird. Folglich hat das Wort Wärme bei Speichereigenschaften nichts zu suchen. Dass in den Tabellenbüchern die Schmelz- und Verdampfungsenthalpien oft mit Schmelz- und Verdampfungswärmen und die Enthalpieänderung pro Temperatur mit Wärmekapazität bezeichnet wird, zeigt, wie inkonsistent die Themodynamik gehandhabt wird.

Die [[Wärmeleitung]] in homogenen Stoffen wird von der Wärmeleitfähigkeit bestimmt. Diese Grösse beschreibt die Fähigkeit eines Stoffes, "Wärme" zu transportieren. Weil bei der Wärmeleitung die Energie erhalten bleibt und die Entropie maximal zunimmt, ist die Wärmeleitfähigkeit bezüglich der Erhaltungsgrösse Energie definiert. Die Wärmeleitfähigkeit beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Temperaturgefälle und der Energiestromdichte.

Die Beschreibung des strahlungsartige Entropietransportes basiert auf dem Modell der [[Hohlraumstrahlung]].

Ändert ein [[homogene Wärmespeicher|homogenes System]] sowohl den Druck als auch die Temperatur, sind die beiden [[Potenzial|Potenzialgrössen]] Temperatur und Druck mit den beiden [[Primärgrösse|Primärgrössen]] Entropie und Volumen verknüpft. Das einfachste Modell für einen dermassen gekoppelten Speicher ist das [[ideales Gas|ideale Gas]]

===Rolle der Energie===
Ein Entropiestrom ist immer von einem Energiestrom begleitet. Die Temperatur der Referenzfläche ordnet der Entropiestromstärke eine Energiestromstärke zu

'''Energiestromstärke = absolute Temperatur mal Entropiestromstärke'''

Die Temperatur ist das Energiebeladungsmass des Entropiestromes. Ändert sich die Temperatur längs des Entropiestromes, wird eine Prozessleistung umgesetzt

'''Prozessleistung = Temperaturdifferenz mal Entropiestromstärke'''

Bei der [[Wärmeleitung]] wird mit der freigesetzten Prozessleistung zusätzlich Entropie produziert. Dies führt dazu, dass im stationären Prozess der Energiestrom am Ausgang des wärmeleitenden Elementes gleich stark wie beim Eingang ist, der Entropiestrom dafür maximal zunimmt. Bei einer idealen [[Wärmepumpe]] oder [[Wärmekraftmaschine]] ist es gerade umgekehrt. Bei diesen Geräten fliesst der Entropiestrom unverändert durch und der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] nimmt maximal zu oder ab.

Homogene Speicher können aufgrund ihrer Modellstruktur keine Entropie produzieren. Folglich spielt es keine Rolle, ob die Energie oder die Entropie bilanziert wird. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Grössen wird über den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] hergestellt.

Solange sich ein System maximal irreversibel verhält, ist es über die Energie einfacher als über die Entropie zu modellieren. Mit der energetischen Modellierungsmethode können Vorgänge wie Auskühlung eines Hauses oder Mischen von warmen und kaltem Wasser einfach beschrieben werden.

===Beispiel===
[[Bild:Nuclear power plant pwr diagram de.png|thumb|Kernkraftwerk mit Druckwasserreaktor]]
Zu einem Kernkraftwerk mit Druckwasserreaktor liegen folgende Daten vor:
{|
|Reaktorleistung:
|3765 MW
|-
|Generatorleistung:
|1395 MW
|-
|Temperatur im Dampferzeuger:
|287°C
|-
|Temperatur im Kondensator:
|47°C
|}

Wie gross ist die Entropieproduktionsrate im Sekundärkreis?

Wenn wir annehmen, dass keine Wärme über das Gebäude weggeht, kann der über die Kühlung wegfliessende Energiestrom als Differenz aus Reaktorleistung und Generatorleistung berechnet werden. Die Kühlleistung beträgt demnach 2370 MW. Mit Hilfe des Konzepts des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] können nun die Entropieströme am Eingang (6.723 MW/K) und am Ausgang (7406 MW/K) des Sekundärkreises berechnet werden. Die Entropieproduktionsrate beträgt folglich 683 kW/K. Im Sekundärkreis vermehrt sich die zugeführte Entropie also um etwa 10%. Dies stellt das theoretische Verbesserungspotenzial dieser Anlage dar.

Wer in diesem Beispiel nur die Energiebilanz verwendet und dann noch meint, Energie sei [[Arbeitsvermögen]], kommt zum Schluss, dass in einem Kernkraftwerk gewaltige Energiemengen verschwendet werden. Erst die Entropiebetrachtung liefert hier das korrekte Bild eines [[Wasserfall|Wasserfalles]]: Entropie wird im Reaktor bei der technisch zulässigen Höchsttemperatur produziert und über die Turbinen an die Umwelt abgeführt. Als Arbeitsvermögen steht nur die Prozessleistung zwischen der Temperatur des Reaktors und der Umgebungstemperatur zur Verfügung.

===formale Beschreibung===
==Anwendungsgebiete==

[[Kategorie:Thermo]]

Thermodynamik

2007-07-17T13:12:48Z

Markus Steiner: /* Rolle der Energie */

==Gebiet==
Die Thermodynamik beschäftigt sich mit der Dynamik (Speicher- und Transportvorgänge) der [[Entropie]] und der damit verbundenen Erwärmung und Ausdehnung von Körpern. Unter einem Körper verstehen wir hier eine abgrenzbare Menge "Materie" mit Masse, Volumen, Energie- und Entropiespeichervermögen. Der Entropiegehalt eines homogenen Körpers ist durch seine Temperatur und sein Volumen eindeutig beschrieben. Inhomogene Körper können durch Temperatur- und Dichteverteilung charakterisiert werden.

Modellmässig kann man die Körper in Speicher- und Stromelemente unterteilen. Obwohl jeder Körper gleichzeitig Entropie speichert und weiterleitet, macht diese Einteilung Sinn. Betrachten wir dazu ein Gefäss mit heisem Wasser, das sich gegen die Umgebung abkühlt. In einer ersten Beschreibung modelliert man das Wasser als Speicher, die Gefässwand, die Grenzschicht der Luft sowie den strahlungsartigen Entropietransport an die Umgebung als Stromelemente. Dieses Grobmodell lässt sich später verfeinern, indem zum Beispiel der Gefässwand auch noch eine Speicherfähigkeit zugesprochen wird.

Bei der Wärmeleitung und der Wärmestrahlung wird Entropie erzeugt. Folglich muss in jedem Stromelement noch die Entropieproduktionsrate berechnet und dem am Ausgang wegfliessenden Entropiestrom zugeschlagen werden. Diese etwas umständliche Modellierung lässt sich vermeiden, wenn man statt der Entropie die Energie als bilanzierfähige Grösse nimmt. Diese Alternative, statt der Entropie die [[Energie]] (statt der [[Primärgrösse]] die Begleitgrösse) zu bilanzieren , bringt aber nur bei total irreversiblen Prozessen wie Mischvorgängen oder Wärmeleitung eine Vereinfachung. Bei den wirklich interessanten Prozessen, wie sie in Wärmekraftmaschinen, Wärmepumpen oder Lebewesen ablaufen, kommt man um die Entropiebilanz nicht mehr herum.

==Struktur==
===Bilanz===
Ein Körper kann über die Oberfläche mit einem benachbarten Körper oder mittels Quellen über das elektromagnetische Feld [[Entropie]] austauschen. Die [[Entropiebilanz]] besagt, dass die Summe über alle [[Entropiestrom|Entropiestromstärken]] und die [[Quellen|Entropiequellenstärke]] sowie die [[Entropieproduktion|Entropieproduktionsrate]] gleich der Entropieänderungsrate ist. Zufliessende Ströme, Quellen und Entropieproduktion gehen mit einem positiven Vorzeichen, abfliessende Ströme und Senken mit einem negativen Vorzeichen in die Bilanz ein.

Offene Systeme tauschen zusätzlich Entropie mittels konvektiven Strömen aus. Konvektive Ströme produzieren im Innern des Systems durch [[Mischentropie|Mischvorgänge]] meist noch zusätzliche Entropie.

===konstitutive Gesetze===
Wärmespeicher werden in der Regel bei konstant gehaltenem Druck (isobar) betrieben. Das Verhalten [[homogene Wärmespeicher|homogener Wärmespeicher]] wird mittels [[spezifisch|spezifischer]] Grössen beschrieben. Oft sind aber nur die Werte bezüglich der Energie (innere Energie bei konstantem Volumen und [[Enthalpie]] bei konstanten Druck) tabelliert. Die Umrechnung von den energetischen (enthalpischen) in die entropischen Grössen erfolgt, wie mit Hilfe der Energie- und Entropiebilanz sowie des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] gezeigt werden kann, durch Division mit der absolute Temperatur.

''spezifische Enthalpie und Entropie''
{|border = "1"
!width = "250"|Grösse
!width = "150"|Formelzeichen
!width = "150"|Einheit
!width = "150"|Wert
|-
|spezifische Wärmekapazität
|align="center" |''c''
|align="center" |J/(K kg)
|tabelliert
|-
|spezifische Schmelzenthalpie
|align="center" |''q''
|align="center" |J/kg
|tabelliert
|-
|spezifische Verdampfungsenthalpie
|align="center" |''r''
|align="center" |J/kg
|tabelliert
|-
|spezifische Entropiekapazität
|align="center" |''cS''
|align="center" |J/(K2 kg)
|align="center" |''c/T''
|-
|spezifische Schmelzentropie
|align="center" |''qS''
|align="center" |J/(K kg)
|align="center" |''q/T''
|-
|spezifische Verdampfungsentropie
|align="center" |''rS''
|align="center" |J/(K kg)
|align="center" |''r/T''
|}

Wärme ist die Energie, die zusammen mit der Entropie über die Systemgrenze transportiert wird. Folglich hat das Wort Wärme bei Speichereigenschaften nichts zu suchen. Dass in den Tabellenbüchern die Schmelz- und Verdampfungsenthalpien oft mit Schmelz- und Verdampfungswärmen und die Enthalpieänderung pro Temperatur mit Wärmekapazität bezeichnet wird, zeigt, wie inkonsistent die Themodynamik gehandhabt wird.

Die [[Wärmeleitung]] in homogenen Stoffen wird von der Wärmeleitfähigkeit bestimmt. Diese Grösse beschreibt die Fähigkeit eines Stoffes, "Wärme" zu transportieren. Weil bei der Wärmeleitung die Energie erhalten bleibt und die Entropie maximal zunimmt, ist die Wärmeleitfähigkeit bezüglich der Erhaltungsgrösse Energie definiert. Die Wärmeleitfähigkeit beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Temperaturgefälle und der Energiestromdichte.

Die Beschreibung des strahlungsartige Entropietransportes basiert auf dem Modell der [[Hohlraumstrahlung]].

Ändert ein [[homogene Wärmespeicher|homogenes System]] sowohl den Druck als auch die Temperatur, sind die beiden [[Potenzial|Potenzialgrössen]] Temperatur und Druck mit den beiden [[Primärgrösse|Primärgrössen]] Entropie und Volumen verknüpft. Das einfachste Modell für einen dermassen gekoppelten Speicher ist das [[ideales Gas|ideale Gas]]

===Rolle der Energie===
Ein Entropiestrom ist immer von einem Energiestrom begleitet. Die Temperatur der Referenzfläche ordnet der Entropiestromstärke eine Energiestromstärke zu

'''Energiestromstärke = absolute Temperatur mal Entropiestromstärke'''

Die Temperatur ist das Energiebeladungsmass des Entropiestromes. Ändert sich die Temperatur längs des Entropiestromes, wird eine Prozessleistung umgesetzt

'''Prozessleistung = Temperaturdifferenz mal Entropiestromstärke'''

Bei der [[Wärmeleitung]] wird mit der freigesetzten Prozessleistung zusätzlich Entropie produziert. Dies führt dazu, dass im stationären Prozess der Energiestrom am Ausgang des wärmeleitenden Elementes gleich stark wie beim Eingang ist, der Entropiestrom dafür maximal zunimmt. Bei einer idealen [[Wärmepumpe]] oder [[Wärmekraftmaschine]] ist es gerade umgekehrt. Bei diesen Geräten fliesst der Entropiestrom unverändert durch und der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] nimmt maximal zu oder ab.

Homogene Speicher können aufgrund ihrer Modellstruktur keine Entropie produzieren. Folglich spielt es keine Rolle, ob die Energie oder die Entropie bilanziert wird. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Grössen wird über den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] hergestellt.

Solange sich ein System maximal irreversibel verhält, ist es über die Energie einfacher als über die Entropie zu modellieren. Mit der energetischen Modellierungsmethode können Vorgänge wie Auskühlung eines Hauses oder Mischen von warmen und kaltem Wasser einfach beschrieben werden.

===Beispiel===
[[Bild:Nuclear power plant pwr diagram de.png|thumb|Kernkraftwerk mit Druckwasserreaktor]]
Zu einem Kernkraftwerk mit Druckwasserreaktor liegen folgende Daten vor:
{|
|Reaktorleistung:
|3765 MW
|-
|Generatorleistung:
|1395 MW
|-
|Temperatur im Dampferzeuger:
|287°C
|-
|Temperatur im Kondensator:
|47°C
|}

Wie gross ist die Entropieproduktionsrate im Sekundärkreis?

Wenn wir annehmen, dass keine Wärme über das Gebäude weggeht, kann der über die Kühlung wegfliessende Energiestrom als Differenz aus Reaktorleistung und Generatorleistung berechnet werden. Die Kühlleistung beträgt demnach 2370 MW. Mit Hilfe des Konzepts des [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] können nun die Entropieströme am Eingang (6.723 MW/K) und am Ausgang (7406 MW/K) des Sekundärkreises berechnet werden. Die Entropieproduktionsrate beträgt folglich 683 kW/K. Im Sekundärkreis vermehrt sich die zugeführte Entropie also um etwa 10%. Dies stellt das theoretische Verbesserungspotenzial dieser Anlage dar.

Wer in diesem Beispiel nur die Energiebilanz verwendet und dann noch meint, Energie sei [[Arbeitsvermögen]], kommt zum Schluss, dass in einem Kernkraftwerk gewaltige Energiemengen verschwendet werden. Erst die Entropiebetrachtung liefert hier das korrekte Bild eines [[Wasserfall|Wasserfalles]]: Entropie wird im Reaktor bei der technisch zulässigen Höchsttemperatur produziert und über die Turbinen an die Umwelt abgeführt. Als Arbeitsvermögen steht nur die Prozessleistung zwischen der Temperatur des Reaktors und der Umgebungstemperatur zur Verfügung.

===formale Beschreibung===
==Anwendungsgebiete==

[[Kategorie:Thermo]]

Hydraulische Induktivität

2007-07-12T14:03:01Z

Markus Steiner:

#Durch ein 160 cm langes Rohrstück (Durchmesser 20 mm) fliesst Quecksilber. Die Stromstärke nimmt in 0.2 Sekunden linear von 5 l/s auf -3 l/s ab. Welchen Druckunterschied misst man über diesem Rohrstück? Die Rohrreibung ist nicht zu berücksichtigen. (Quelle: TWI, Maschinenbau 1993)

'''Hinweis''': [[induktives Gesetz]], [[gerades Rohrstück]]

'''[[Lösung zu Hydraulische Induktivität|Lösung]]'''

[[Kategorie:Hydro]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:HydroAuf]]

Resistives Gesetz

2007-07-12T06:28:53Z

Markus Steiner: /* Begriff */

==Begriff==
Das resistive Gesetz verknüpft die Potenzialdifferenz (Antrieb) über einem Leitungsabschnitt mit der Stärke des durchfliessenden Stromes einer [[Primärgrösse]] (Erfolg, Wirkung). Rein formal kann der Widerstand als Quotient von Potenzialdifferenz und Stromstärke definiert werden

<math>R_M= \frac {\Delta \varphi_M}{I_M}</math>

Definiert man die inverse Grösse, erhält man den Leitwert

<math>G_M= \frac {I_M}{\Delta \varphi_M}</math>

Sind bei einem Leitungselement Potentialdifferenz und Stromstärke nicht linear miteinander verknüpft, kann auch eine differenzielle Definition gewählt werden

<math>R_M(\varphi_M)= \frac {d\varphi_M}{dI_M}</math>

Die differenzielle Definition entspricht der Steigung der Stromstärke-Potenzialdifferenz-Kennlinie. Die integrale Definition beschreibt die Steigung der Verbindungsgeraden zwischen Nullpunkt und aktuellem Zustand im Strömstärke-Potenzialdifferenz-Diagramm.

==Beispiele==

{|
!width = "150"|Gebiet
!width = "150"|Element
!width = "150"|Widerstand
!width = "150"|Einheit
!width = "300"|Bemerkung
|-
|Hydrodynamik
|[[gerades Rohrstück]]
|<math>R_V = \frac {128 \eta l}{\pi d^4}</math>
|Pa s/m3 = kg/m4s
|nur laminare Strömung
|-
|Elektrodynamik
|langer Draht
|<math>R = \rho \frac {l}{A}</math>
|Ohm (Ω) = V/A
|temperaturabhängig
|-
|Translationsmechanik
|Ölschicht
|
|
|laminare Überschiebung
|-
|Rotationsmechanik
|Rotationsviskosimeter
|
|
|
|-
|Thermodynamik
|prismenförmiger Leiter
|<math>G_S = \frac {1}{R_S} = \lambda_S \frac {A}{l}</math>
|W/K2
|Entropieleitfähigkeit ''λS = λ/T''
|-
|}

==Dissipation==
Widerstände [[Dissipation|dissipieren]] [[Energie]]. Leitungselemente, die nur resistiv Wirken, dissipieren die ganze, vom Strom freigesetzte [[Prozessleistung]]

<math>P_{diss} = \Delta \varphi_M I_M = R_M I_M^2 = \frac {(\Delta \varphi_M)^2}{R_M} </math>

[[Kategorie: Basis]]

Hydrodynamik

2007-07-11T14:23:45Z

Markus Steiner: /* Rolle der Energie */

==Gebiet==
Die Hydrodynamik beschäftigt sich mit den dynamischen Prozessen in hydraulischen Systemen (Blutkreislauf, hydraulisches Kraftwerke, Baumaschinen und vielen andern). In der Hydrodynamik werden die grundlegenden Strukturen der [[Physik der dynamischen Systeme]] formuliert und so eingeübt, dass sie auf die [[Elektrodynamik]], die [[Translationsmechanik|Translations]]- und [[Rotationsmechanik]] sowie die [[Thermodynamik]] übertragen werden können.

Die Hydrodynamik beschreibt die Speicher- und Transportvorgänge der flüssiger Stoffe, die zugehörigen Gesetzen und die Rolle der Energie. Das Eigenvolumen der Flüssigkeiten liefert die bilanzierfähige [[Primärgrösse]] und der [[Druck]] steht für das zugehörige [[Potenzial]]. Die Hydrodynamik ist eine Dualform zur Translationsmechanik: das hydrodynamische '''Potenzial''', der Druck, ist eine spezielle Form der Impuls'''stromdichte''' und das translationsmechanische '''Potenzial''', die Geschwindigkeit, beschreibt die Volumen'''stromdichte'''. Diese Dualform hat zur Folge, dass die [[Masse]] in der Hydrodynamik induktiv und in der Translationsmechanik kapazitiv wirkt. Die Elastizität sorgt in der Hydrodynamik für ein [[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und in der Translationsmechanik für ein [[induktives Gesetz|induktives Verhalten]] der einzelnen [[System|Systeme]]. Die Dualform ist asymmetrisch, weil sich das Volumen wie ein Skalar, der [[Impuls]] aber wie ein Vektor transformiert. Folglich ist das hydrodynamische Potenzial, der Druck, ebenfalls ein Skalar und das translatorische Potenzial, die Geschwindigkeit, ein Vektor. Bei den Stromdichten verschiebt sich die geometrische Struktur um eine Stufe: die Geschwindigkeit, die Volumenstromdichte, ist ein Vektor oder Tensor 1. Stufe und der (negative und transponierte) Spannungstensor, die Impulsstromdichte, ein Tensor 2. Stufe.

Die grosse Bedeutung der Hydrodynamik für das Verständnis dynamischer Prozesse wird noch viel zu wenig erkannt. Wohl gibt es entsprechende Physikkurse wie etwa die [http://www.mm-projekt.uni-duesseldorf.de| Physik für Mediziner], doch fehlt meistens der Hinweis auf die zugehörige theoretische Basis. Zudem werden die sich daraus ergebenden didaktischen Möglichkeiten in Bezug auf die Translations- und Rotationsmechanik sowie die Thermodynamik nicht erkannt und demzufolge auch nicht ausgeschöpft.

==Struktur==
===Bilanz===
Die [[Volumenbilanz]], das Rückgrat eines jeden hydrodynamischen Modells, lernt man schon in der Volksschule in Form von Rechenaufgaben kennen: in einen Brunnen ergiesst sich das Wasser von drei Röhren (20 l/min, 30 l/min und 50 l/min). Wie lange dauert es, bis der leere Trog mit zwei Kubikmetern Wasser gefüllt ist. Dieser Aufgabentyp ist erweiterbar, indem man noch einen Abfluss einfügt oder nach der Füllhöhe bei gegebener Grundfläche fragt.

Unter einer Bilanz versteht man in der [[Physik der dynamischen Systeme]] immer die Momentanbilanz, die Bilanz zu einem gewissen Zeitpunkt. Die Bilanzgleichung lautet dann:

'''Die Summe über alle Volumenstromstärken plus die Volumenproduktionsrate ist gleich der Volumeninhalts[[änderungsrate]]'''

In dieser Formulierung müssen zufliessende Ströme positiv und abfliessende negativ gezählt werden. Mit der Produktionsrate beschreibt man die Volumenänderung infolge [[Druck]]änderung. Bei der Kompression nennt man die Produktionsrate '''Vernichtungsrate''', bei Dekompression heisst sie '''Erzeugungsrate'''. Die Bilanz wird im jeweiligen Modell über die Zeit aufintegriert (aufsummiert).

In vielen Modellen darf die Produktionsrate gleich Null gesetzt werden. Bezüglich einer Verzweigungen reduziert sich die Volumenbilanz auf den Knotensatz, falls das Volumen erhalten bleibt, falls die Kompressibilität vernachlässigt wird.

===konstitutive Gesetze===

Feder- oder Blasenspeicher verhalten sich [[kapazitives Gesetz|kapazitiv]], wobei der [[Federspeicher]] in seinem Arbeitsbereich ein lineares Verhalten zeigt, der [[Blasenspeicher]] dagegen als nichtlinearer Speicher arbeitet. Zylinderförmige Gefässe sind linear, alle andern zeigen ein nichtlineares Verhalten.

Rohrleitungen, Filter und Ventile wirken [[resistives Gesetz|resistiv]]. In dünnen Röhrchen, in kompakten Filtern, bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten oder einem zähen Stoff mit geringer Dichte, fliesst das Medium [[laminar]], in Wasserleitungen dagegen meist [[turbulent]]. Bezüglich des Umschlags von laminar nach turbulent kann für jedes Leitungsstück mit gegebener Flüssigkeit eine kritische Volumenstromstärke angegeben werden. Der laminare Widerstand verhält sich linear, d.h. der Druckunterschied wächst proportional zur Volumenstromstärke. Die turbulente Strömung kann mit Hilfe eines quadratischen Gesetzes näherungsweise beschrieben werden.

Die Trägheit der Flüssigkeit sorgt für ein [[induktives Gesetz|induktives]] Verhalten. Die Induktivität eines hydraulischen Systems beschreibt den Zusammenhang zwischen der [[Änderungsrate]] der [[Stromstärke]] und dem dabei auftretenden Druckunterschied zwischen den beiden Anschlüssen. Grosse Wasserleitungen sollten mit einer Kapazität gegen den plötzlichen Druckanstieg geschützt werden, sobald man den Volumenstrom schnell unterbrechen kann.

===Rolle der Energie===
Einem Volumenstrom kann über den [[Druck]] ein Energiestrom zugeordnet werden:

'''Stromstärke des zugeordneten Energiestromes gleich Druck mal Volumenstromstärke'''

Die Stärke des Energiestromes hängt demnach vom Bezugsdruck ab: bezieht man den Druck auf das Vakuum, sind alle zugeordneten Energieströme stärker, als wenn man den Druck gegen die Umgebung misst. Diese Freiheit oder Willkür bei der Wahl des Potenzialnullpunktes tritt in vielen Gebieten der Physik der dynamischen Systeme auf. Damit die Energiebilanz konsistent bleibt, muss der Druck immer auf den das gleiche Reverenzsystem bezogen werden.

Der zugeordnete Energiestrom steckt nicht in Form von elastischer Energie in der Flüssigkeit oder dem Gas drin. Verhält sich der Stoff elastisch, ist die Flüssigkeit also kompressibel, muss die mittransportierte [[innere Energie]] des Mediums zusätzlich bilanziert werden.

Fliesst ein Volumenstrom über ein Leitungssystem, bei dem am Eingang einer anderer Druck herrscht als am Ausgang, wird Energie umgesetzt (den Energieumsatz pro Zeit nennt man Prozessleistung):

'''Prozessleistung gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke'''

Liegt der Druck am Ausgang tiefer als am Eingang, setzt der Volumenstrom Energie frei. Damit der Volumenstrom gegen das Druckgefälle fliesst, muss man ihm Energie zuführen.

===Beispiel===
===formale Beschreibung===
{|border = "1"
!Gesetz
!Formel
!Einheiten
!Bemerkung
|-
|Volumenbilanz
|''<big>Σ</big>i IVi + ΣV = dV/dt''
|m3/s = m3/s
|inkompressibel: ΣV = 0''
|-
|Kapazität
|''ΔV = CV Δp''
|m3 = m3/Pa Pa
|allgemein: ''dV = CV(p) dp''
|-
|''Gefäss''
|''CV = A/(ρ g)''
|m3/Pa = m2/(kg/m3 N/kg)
|für beliebige Gefässe
|-
|''Federspeicher''
|''CV = A2/D''
|m3/Pa = m4/(N/m)
|''D'' Gesamtrichtgrösse
|-
|''Blasenspeicher''
|''p = p0 (Vmax / (Vmax - V))''
|Pa = Pa
|''p0'': Anfangsabsolutdruck
|-
|laminar
|''Δp = RV IV''
|Pa = Pas/m3 m3/s
|''RV'': Widerstand
|-
|''Rohrstück''
|''RV = 128 Länge η / (π d4)''
|Pas/m3 = m Pas / m4
|''η'': Viskosität
|-
|turbulent
|''Δp = kV abs(IV) IV''
|Pa = Pas2/m6 m3/s
|''kV'': Widerstandsbeiwert
|-
|''Armatur''
|''kV = ζ ρ / (2 A2)''
|Pas/m3 = m Pas / m4
|''ζ'': Verlustziffer
|-
|''Rohrstück''
|''kV = 8 λ Länge ρ / (π2d5)''
|Pas/m3 = m Pas / m4
|''λ'': Rohrreibungszahl ''ζ = λ (Länge/d)''
|-
|induktives Gesetz
|''Δp = LV dIV/dt''
|Pa = Pas2/m3 m3/s2
|
|-
|''Rohrstück''
|''LV = &rho Länge / A''
|Pas2 = kg/m3 m / m2
|homogene Strömung
|-
|zugeordneter Energiestrom
|''IW = p IV''
|W = Pa m2/s
|nicht in Flüssigkeit enthalten
|-
|Prozessleistung
|''P = Δp IV''
|W = Pa m2/s
|Umsatz über Stromglied
|}

==Anwendungsgebiete==

[[Kategorie:Hydro]]

Hydrodynamik

2007-07-11T14:11:03Z

Markus Steiner: /* Gebiet */

==Gebiet==
Die Hydrodynamik beschäftigt sich mit den dynamischen Prozessen in hydraulischen Systemen (Blutkreislauf, hydraulisches Kraftwerke, Baumaschinen und vielen andern). In der Hydrodynamik werden die grundlegenden Strukturen der [[Physik der dynamischen Systeme]] formuliert und so eingeübt, dass sie auf die [[Elektrodynamik]], die [[Translationsmechanik|Translations]]- und [[Rotationsmechanik]] sowie die [[Thermodynamik]] übertragen werden können.

Die Hydrodynamik beschreibt die Speicher- und Transportvorgänge der flüssiger Stoffe, die zugehörigen Gesetzen und die Rolle der Energie. Das Eigenvolumen der Flüssigkeiten liefert die bilanzierfähige [[Primärgrösse]] und der [[Druck]] steht für das zugehörige [[Potenzial]]. Die Hydrodynamik ist eine Dualform zur Translationsmechanik: das hydrodynamische '''Potenzial''', der Druck, ist eine spezielle Form der Impuls'''stromdichte''' und das translationsmechanische '''Potenzial''', die Geschwindigkeit, beschreibt die Volumen'''stromdichte'''. Diese Dualform hat zur Folge, dass die [[Masse]] in der Hydrodynamik induktiv und in der Translationsmechanik kapazitiv wirkt. Die Elastizität sorgt in der Hydrodynamik für ein [[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und in der Translationsmechanik für ein [[induktives Gesetz|induktives Verhalten]] der einzelnen [[System|Systeme]]. Die Dualform ist asymmetrisch, weil sich das Volumen wie ein Skalar, der [[Impuls]] aber wie ein Vektor transformiert. Folglich ist das hydrodynamische Potenzial, der Druck, ebenfalls ein Skalar und das translatorische Potenzial, die Geschwindigkeit, ein Vektor. Bei den Stromdichten verschiebt sich die geometrische Struktur um eine Stufe: die Geschwindigkeit, die Volumenstromdichte, ist ein Vektor oder Tensor 1. Stufe und der (negative und transponierte) Spannungstensor, die Impulsstromdichte, ein Tensor 2. Stufe.

Die grosse Bedeutung der Hydrodynamik für das Verständnis dynamischer Prozesse wird noch viel zu wenig erkannt. Wohl gibt es entsprechende Physikkurse wie etwa die [http://www.mm-projekt.uni-duesseldorf.de| Physik für Mediziner], doch fehlt meistens der Hinweis auf die zugehörige theoretische Basis. Zudem werden die sich daraus ergebenden didaktischen Möglichkeiten in Bezug auf die Translations- und Rotationsmechanik sowie die Thermodynamik nicht erkannt und demzufolge auch nicht ausgeschöpft.

==Struktur==
===Bilanz===
Die [[Volumenbilanz]], das Rückgrat eines jeden hydrodynamischen Modells, lernt man schon in der Volksschule in Form von Rechenaufgaben kennen: in einen Brunnen ergiesst sich das Wasser von drei Röhren (20 l/min, 30 l/min und 50 l/min). Wie lange dauert es, bis der leere Trog mit zwei Kubikmetern Wasser gefüllt ist. Dieser Aufgabentyp ist erweiterbar, indem man noch einen Abfluss einfügt oder nach der Füllhöhe bei gegebener Grundfläche fragt.

Unter einer Bilanz versteht man in der [[Physik der dynamischen Systeme]] immer die Momentanbilanz, die Bilanz zu einem gewissen Zeitpunkt. Die Bilanzgleichung lautet dann:

'''Die Summe über alle Volumenstromstärken plus die Volumenproduktionsrate ist gleich der Volumeninhalts[[änderungsrate]]'''

In dieser Formulierung müssen zufliessende Ströme positiv und abfliessende negativ gezählt werden. Mit der Produktionsrate beschreibt man die Volumenänderung infolge [[Druck]]änderung. Bei der Kompression nennt man die Produktionsrate '''Vernichtungsrate''', bei Dekompression heisst sie '''Erzeugungsrate'''. Die Bilanz wird im jeweiligen Modell über die Zeit aufintegriert (aufsummiert).

In vielen Modellen darf die Produktionsrate gleich Null gesetzt werden. Bezüglich einer Verzweigungen reduziert sich die Volumenbilanz auf den Knotensatz, falls das Volumen erhalten bleibt, falls die Kompressibilität vernachlässigt wird.

===konstitutive Gesetze===

Feder- oder Blasenspeicher verhalten sich [[kapazitives Gesetz|kapazitiv]], wobei der [[Federspeicher]] in seinem Arbeitsbereich ein lineares Verhalten zeigt, der [[Blasenspeicher]] dagegen als nichtlinearer Speicher arbeitet. Zylinderförmige Gefässe sind linear, alle andern zeigen ein nichtlineares Verhalten.

Rohrleitungen, Filter und Ventile wirken [[resistives Gesetz|resistiv]]. In dünnen Röhrchen, in kompakten Filtern, bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten oder einem zähen Stoff mit geringer Dichte, fliesst das Medium [[laminar]], in Wasserleitungen dagegen meist [[turbulent]]. Bezüglich des Umschlags von laminar nach turbulent kann für jedes Leitungsstück mit gegebener Flüssigkeit eine kritische Volumenstromstärke angegeben werden. Der laminare Widerstand verhält sich linear, d.h. der Druckunterschied wächst proportional zur Volumenstromstärke. Die turbulente Strömung kann mit Hilfe eines quadratischen Gesetzes näherungsweise beschrieben werden.

Die Trägheit der Flüssigkeit sorgt für ein [[induktives Gesetz|induktives]] Verhalten. Die Induktivität eines hydraulischen Systems beschreibt den Zusammenhang zwischen der [[Änderungsrate]] der [[Stromstärke]] und dem dabei auftretenden Druckunterschied zwischen den beiden Anschlüssen. Grosse Wasserleitungen sollten mit einer Kapazität gegen den plötzlichen Druckanstieg geschützt werden, sobald man den Volumenstrom schnell unterbrechen kann.

===Rolle der Energie===
Einem Volumenstrom kann über den [[Druck]] ein Energiestrom zugeordnet werden:

'''Stromstärke des zugeordneten Energiestromes gleich Druck mal Volumenstromstärke'''

Die Stärke des Enerigestromes hängt demnach vom Bezugsdruck ab: bezieht man den Druck auf das Vakuum, sind alle zugeordneten Energieströme stärker, als wenn man den Druck gegen die Umgebung misst. Diese Freiheit oder Willkür bei der Wahl des Potenzialnullpunktes tritt in vielen Gebieten der Physik der dynamischen Systeme auf. Damit die Energiebilanz konsistent bleibt, muss der Druck immer auf den das gleiche Reverenzsystem bezogen werden.

Der zugeordnete Energiestrom steckt nicht in Form von elastischer Energie in der Flüssigkeit oder dem Gas drin. Verhält sich der Stoff elastisch, ist die Flüssigkeit also kompressibel, muss die mittransportierte [[innere Energie]] des Mediums zusätzlich bilanziert werden.

Fliesst ein Volumenstrom über ein Leitungssystem, bei dem am Eingang einer anderer Druck herrscht als am Ausgang, wird Energie umgesetzt (den Energieumsatz pro Zeit nennt man Prozessleistung):

'''Prozessleistung gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke'''

Liegt der Druck am Ausgang tiefer als am Eingang, setzt der Volumenstrom Energie frei. Damit der Volumenstrom gegen das Druckgefälle fliesst, muss man ihm Energie zuführen.

===Beispiel===
===formale Beschreibung===
{|border = "1"
!Gesetz
!Formel
!Einheiten
!Bemerkung
|-
|Volumenbilanz
|''<big>Σ</big>i IVi + ΣV = dV/dt''
|m3/s = m3/s
|inkompressibel: ΣV = 0''
|-
|Kapazität
|''ΔV = CV Δp''
|m3 = m3/Pa Pa
|allgemein: ''dV = CV(p) dp''
|-
|''Gefäss''
|''CV = A/(ρ g)''
|m3/Pa = m2/(kg/m3 N/kg)
|für beliebige Gefässe
|-
|''Federspeicher''
|''CV = A2/D''
|m3/Pa = m4/(N/m)
|''D'' Gesamtrichtgrösse
|-
|''Blasenspeicher''
|''p = p0 (Vmax / (Vmax - V))''
|Pa = Pa
|''p0'': Anfangsabsolutdruck
|-
|laminar
|''Δp = RV IV''
|Pa = Pas/m3 m3/s
|''RV'': Widerstand
|-
|''Rohrstück''
|''RV = 128 Länge η / (π d4)''
|Pas/m3 = m Pas / m4
|''η'': Viskosität
|-
|turbulent
|''Δp = kV abs(IV) IV''
|Pa = Pas2/m6 m3/s
|''kV'': Widerstandsbeiwert
|-
|''Armatur''
|''kV = ζ ρ / (2 A2)''
|Pas/m3 = m Pas / m4
|''ζ'': Verlustziffer
|-
|''Rohrstück''
|''kV = 8 λ Länge ρ / (π2d5)''
|Pas/m3 = m Pas / m4
|''λ'': Rohrreibungszahl ''ζ = λ (Länge/d)''
|-
|induktives Gesetz
|''Δp = LV dIV/dt''
|Pa = Pas2/m3 m3/s2
|
|-
|''Rohrstück''
|''LV = &rho Länge / A''
|Pas2 = kg/m3 m / m2
|homogene Strömung
|-
|zugeordneter Energiestrom
|''IW = p IV''
|W = Pa m2/s
|nicht in Flüssigkeit enthalten
|-
|Prozessleistung
|''P = Δp IV''
|W = Pa m2/s
|Umsatz über Stromglied
|}

==Anwendungsgebiete==

[[Kategorie:Hydro]]

Drehimpulsbilanz

2007-07-04T03:41:45Z

Markus Steiner: /* leitungsartige Drehimpulsströme */

Der [[Drehimpuls]] wird oft nur als geometrischen Begleiter des [[Impuls]]es gesehen. Diese Sicht, die auf der Modellstruktur der [[Punktmechanik]] und des daraus abgeleiteten Modells des [[starrer Körper|starren Körpers]] basiert, ignoriert die letzten hundert Jahre Physik. Der Drehimpuls ist wie z.B. die [[elektrische Ladung]], die [[Masse]] oder die [[Entropie]] eine nicht weiter zu erklärende [[Primärgrösse|Fundamentalgrösse]] der Natur. Sobald man die Wege kennt, über die ein System Drehimpuls austauscht, kann eine umfassende Drehimpulsbilanz formuliert werden.

==allgemeine Form==
Die Drehimpulsbilanz verknüpft die [[leitungsartig|leitungsartigen]] und die [[konvektiv|konvektiven]] [[Drehimpulsstrom|Drehimpulsströme]] mit den [[Drehimpulsquelle|Drehimpulsquellen]] bezüglich eines [[System]]s und setzt diese Summe gleich der zugehörigen Drehimpuls[[änderungsrate]]

<math>\sum_{i} \begin{pmatrix} I_{Lx i}\\ I_{Ly i} \\ I_{Lz i}\end{pmatrix} + \sum_{j} \begin{pmatrix} I_{Lxconj}\\ I_{Lyconj} \\ I_{Lzconj}\end{pmatrix} + \sum_{k} \begin{pmatrix} \Sigma_{Lxk}\\ \Sigma_{Lyk} \\ \Sigma_{Lzk}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot L_x\\ \dot L_y \\ \dot L_z\end{pmatrix}</math>

Die leitungsartigen Drehimpulsströme und die -quellen nennt man [[Drehmoment|Drehmomente]]; die konvektiven Drehimpusströme können durch das Vektorprodukt aus Abstand zum [[Massenmittelpunkt]] des Systems und konvektiven Impulsstrom geschrieben werden.

==leitungsartige Drehimpulsströme==
Der [[Drehimpulsstrom]] kann nicht wie der leitungsartige [[Impulsstrom]] direkt lokalisiert werden. Die Bezeichnung [[leitungsartig]] trifft dennoch in einer gewissen Weise zu, weil das Drehimpuls leitende Bauteil auf den Drehimpulsstrom mit einer Verformung ([[Torsion]] oder [[Biegung]]) reagiert. Fliesst der Drehimpuls in seine eigene Bezugsrichtung durch eine Antriebswelle, gilt folgende Regel

:im zur '''Linksschraube''' verdrehten Welle fliesst der Drehimpuls '''vorwärts''', im zur '''Rechtsschraube''' verdrehten Stab '''rückwärts''' zur Bezugsrichtung

Leitet ein Balken den Drehimpuls seitwärts zur Bezugsrichtung weiter, wird er gebogen. Die Stromstärke des Drehimpulses heisst in der [technische Mechanik|Technischen Mechanik] je nach Transportrichtung Torsionsmoment (vorwärts und rückwärts) oder Biegemoment (seitwärts). Leitungsartige Drehimpulsströme sind immer von leitungsartigen Impulsströmen umflossen. Den leitungsartigen Drehimpulsstrom kenn man auch unter dem Namen [[Kraftfluss]].

==Drehimpulsquellen==
Drehimpuls kann einem Körper zugeführt werden, ohne dass der Transportweg wie bei den leitungsartigen Drehimpulsströmen, identifiziert werden kann. Man spricht dann von [[Quelle|Quellen]]. Drehimpulsquellen bilden sich, wenn im Innern eines Körpers ein Impulsstrom quer zur eigenen Bezugsrichtung fliesst. Diese Betrachtungsweise bezieht sich auf das System als Ganzes. Lokal sind die Impulsströme nach dem Prinzip der zugeordneten Schubspannungen übers Kreuz verknüpft.

Die älteste Formulierung der Quellenstärke liefert das Hebelgesetz. Orientiert man den Hebel in ''x''-Richtung und belastet beide Arme in ''z''-Richtung mit je einer Kraft, fliesst der eine ''z''-Impulsstrom in die positive ''x''-Richtung durch den Hebel zur Drehachse und der andere strömt gegen die ''x''-Koordinate. Der in positive Richtung fliessende Impulsstrom bildet Quellen des ''y''-Drehimpulses aus, der in negative Richtung fliessende Impulsstrom erzeugt Drehimpulssenken. Damit der Hebel nicht zu rotieren anfängt, muss die Quellenstärke gleich der Senkenstärke sein.

Nach dem Hebelgesetz ist die Quellenstärke proportional zur Fliessstrecke und proportional zur Stromsträrke des Impulsstromes

<math>\begin{pmatrix} \Sigma_{Lx}\\ \Sigma_{Ly} \\ \Sigma_{Lz}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Delta z I_{py} - \Delta y I_{pz}\\ \Delta x I_{pz} - \Delta z I_{px} \\ \Delta y I_{px} - \Delta x I_{py}\end{pmatrix}</math>

Das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] erzeugt eine Drehimpulsquelle, falls der Körper ein elektrisches oder magnetisches Dipolmoment aufweist.

==zugeordnete Drehmpulsströme==
Die [[Physik der dynamischen Systeme]] unterscheidet zwischen dem [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] und der Prozessleistung. Analog zum zugeordneten Energiestrom kann dem Impulsstrom ein Drehimpulsstrom bezüglich eines fixen Punktes im Raum zugeordnet werden

<math>\begin{pmatrix} I_{Lx}\\ I_{Ly} \\ I_{Lz}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z I_{py} - y I_{pz}\\ x I_{pz} - z I_{px} \\ y I_{px} - x I_{py}\end{pmatrix}</math>

Der Vekttor '''''r''''' = (''x'', ''y'', ''z'') zeigt vom fixen Bezugspunkt zur Mitte der Referenzfläche, an der die Impulsstromstärke gemessen wird.

Der zugeordnete Drehimpulsstrom entspricht dem zugeordneten Energiestrom und die Drehimpulsquellen im Innern eines Bauteils der Prozessleistung. Wenn also ein Körper mit der Umgebung Impuls austauscht, wird nur ein Teil des zugeordneten Drehimpulsstromes im Körper umgesetzt. Dieser Teil verhält sich zum Ganzen wie die Strecke im Körper zum Abstand vom Bezugspunkt. Bei frei beweglichen Körpern fliesst der Impuls immer zwischen Eintrittsstelle des Impulsstromes (Angriffstelle der [[Kraft]]) und Massenmittelpunkt. Nimmt man den Massenmittelpunkt des Körpers als Bezugspunkt, sind zugeordneter Drehimpulsstrom und Drehimpulsquelle identisch.

==konvektive Drehmpulsströme==
Fliesst ein konvektiver Impulsstrom durch die Oberfläche eines Systems, kann diesem Transport ebenfalls ein Drehimpulsstrom zugeordnet werden

<math>\begin{pmatrix} I_{Lxcon}\\ I_{Lycon} \\ I_{Lzcon}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z I_{pycon} - y I_{pzcon}\\ x I_{pzcon} - z I_{pxcon} \\ y I_{pxcon} - x I_{pycon}\end{pmatrix}</math>

Nimmt man den Massenmittelpunkt eines frei beweglichen Systems als Bezugspunkt, entspricht der zugeordnete Drehimpulsstrom dem Drehimpulsumsatz im frei beweglichen System.

==fester Körper==
Die Drehimpulsstrom- und -quellenstärken bezüglich eines festen Körpers nennt man [[Drehmoment]]. Traditionellerweise wird das Drehmoment über die Kraft definiert. Das Drehmoment entspricht dann dem zugeordneten Drehimpulsstrom

<math>\vec M = \vec r \times \vec F</math>

Fällt der Bezugspunkt mit dem Massenmittelpunkt des Körpers zusammen, beschreibt das Drehmoment den Drehimpulsstrom bezüglich des Körpers.

Fliesst der Drehimpuls über eine verdrehte Welle zu, kann der Impulsstromdichte eine Drehimpulsstromdichte bezüglich des Schwerpunktes einer Schnittfläche durch die Welle zugeordnet werden. Die gesamte Drehimpulsstromstärke, das Drehmoment, erhält man durch Integration über die Schnittfläche. Die Drehimpulsstromstärke lässt sich aber auch einfach über die Torsion der Welle bestimmen.

Das Drehmoment des elektomagnetischen Feldes auf einen Körper mit einem elektrischen Dipolmoment '''''m'''E'' un einem magnetischen Dipolmoment '''''m'''B'' kann ohne Bezug zur Kraft als reines Drehmoment geschrieben werden

<math>\vec M = \vec m_E \times \vec E + \vec m_B \times \vec B</math>

[[Kategorie:Rot]]

Starrer Körper

2007-07-02T12:51:25Z

Markus Steiner: /* Bilanzgleichungen */

Der '''starre Körper''' ist das physikalische Modell eines nicht verformbaren Körpers. Bei einem starren Körper ist der Abstand zwischen zwei materiellen Punkten unabhängig von dessen Dynamik immer konstant. Einen starrer Körper, der auf einer festen Achse gelagert ist, heisst [[Rotator]]. Wird der starre Körper nur an einem frei drehbaren Punkt festgehalten, nennt man ihn [[Kreisel]].

==Modell==
Der starre Köper weist - wie der Name sagt - eine absolut starre Massenverteilung auf. Dieser Modellkörper besitzt keine internen Freiheitsgrade. Er kann also in keiner Weise vibrieren und der zugeführte [[Impuls]] verteilt sich beliebig schnell entsprechend den Anforderungen des momentanen Bewegungszustandes.

Der starre Körper kann von den sieben [[Primärgrösse|Primärgrössen]] nur [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] speichern und austauschen. Folglich ist der Zustand des starren Körpers durch die beiden [[Potenzial|Potenziale]] [[Geschwindigkeit]] und [[Winkelgeschwindigkeit]] vollständig beschrieben.

Der starre Körper soll nun nach den Prinzipien der [[Physik der dynamischen Systeme]] modelliert werden: zuerst die Bilanzgleichung, dann die konstitutiven Gesetze und als Supplément die Energiebilanz.

==Bilanzgleichungen==
Der quellenartige oder volumenmässige Impuls- und Drehimpulsaustausch mit dem [[Gravitationsfeld]] kann mittels der Schwer- oder Gewichtskraft, die im Schwerpunkt "angreift", beschrieben werden. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen. Die durch die Oberfläche des starren Körpes tretenden Impulsströme nennt man ebenfalls [[Kraft|Kräfte]]. Damit nimmt die [[Impulsbilanz]] bezüglich des Systems ''starrer Körper'' die folgende Form an

:<math>\sum_{i} \vec F_i + m \vec g = \dot {\vec p}</math>

Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.

Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Körper - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).

Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.

Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmomente zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen

:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>

Die Vektoren '''''r'''i'' zeigen vom Massenmittelpunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. Wie bei der Impulsbilanz ergibt die Summe über die Stärke aller Drehimpulsströme plus die durch querfliessende Impulsströme erzeugten Quellenstärken die Änderungsrate des Drehimpulses.

Die Impuls- und die Drehimpulsänderungsrate sind getrennt über die Zeit aufzusummieren. Alle sechs Komponenten (drei des Impulses und drei des Drehimpulses) bilden die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] des Systems '''starrer Körper'''.

==Kapazitivgesetze==
Die träge Masse wirkt als Impulskapazität

:<math>\begin{pmatrix} p_x \\ P_y \\ p_z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}</math>

Die Kapazität bezüglich des Drehimpulses wird durch das [[Massenträgheitsmoment]] beschrieben

:<math>\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\ J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\ J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}</math>

Weil das [[Massenträgheitsmoment]] ein (symmetrischer) [[Tensor]] ist, hängt jede Drehimpulskomponente von jeder der drei Winkelgeschwindigkeiten ab. Die hier gegeben Darstellung des Massenträgheitsmomentes in Komponenten bezüglich des Weltsystems verändert sich mit der Bewegung des Körpers.

==Geometrie==
Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat der Mechanik. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.

Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes wird der momentane Ort desselben durch eine Integration über die Zeit ermittelt werden (drei skalare Integrationen):

:<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>

Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''Rij'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden. Dazu definiert man aus der [[Winkelgeschwindigkeit]] einen Einheitsvektor '''''a''''' in Richtung der Drehachse

:<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>

und berechnet aus dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t''

:<math>\varphi = \omega \Delta t</math>

Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen

<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi +
\begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix} \sin \varphi</math>

Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.

==Energie==
Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen [[Potenzial]]en. So erhält man aus der Impulsbilanz

:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \vec F_G \cdot \vec v = \dot {\vec p} \cdot \vec v</math>

und aus der Drehimpulsbilanz

:<math>\sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \dot {\vec L}\cdot \vec \omega</math>

Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers

:<math>\sum_{i} (\vec F_i \cdot \vec v_i) + \sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega = \dot {\vec p} \cdot \vec v + \dot {\vec L}\cdot \vec \omega - \vec F_G \cdot \vec v </math>

Man beachte, dass im ersten Term zwei Ausdrücke über eine [[Winkelgeschwindigkeit|geometrische Beziehung]] zusammengefasst worden sind

:<math>\vec F_i \cdot \vec v + (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \vec F_i \cdot \vec v_i</math>

Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente ([[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energieströme]]), rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der [[Gravitationsfeld|Gravitationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie (potentielle Energie) bezeichnet. Einer [[Drehimpulsquelle]]n darf somit kein Energiestrom zugeordnet werden, weil dieser Beitrag im zugeordneten Energie des Impulsstromes steckt (der im Körper querfliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle und überträgt den entsprechenden Anteil seiner Energie auf den Drehimpulsstrom).

Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) bezüglich des starren Körpers nimmt damit folgende Gestalt an

:<math>\sum_i P(\vec F_i) + \sum_j P(\vec M_j) = \dot W_{kin} + \dot W_{rot} + \dot W_G</math>

Integriert man die Leistungsbilanz über die Zeit auf, erhält man die Gleichung, die häufig auch als Energiebilanz bezeichnet wird

:<math>\sum_i W(\vec F_i) + \sum_j W(\vec M_j) = \Delta W_{kin} + \Delta W_{rot} + \Delta W_G</math>

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Starrer Körper

2007-07-02T12:47:19Z

Markus Steiner: /* Bilanzgleichungen */

Der '''starre Körper''' ist das physikalische Modell eines nicht verformbaren Körpers. Bei einem starren Körper ist der Abstand zwischen zwei materiellen Punkten unabhängig von dessen Dynamik immer konstant. Einen starrer Körper, der auf einer festen Achse gelagert ist, heisst [[Rotator]]. Wird der starre Körper nur an einem frei drehbaren Punkt festgehalten, nennt man ihn [[Kreisel]].

==Modell==
Der starre Köper weist - wie der Name sagt - eine absolut starre Massenverteilung auf. Dieser Modellkörper besitzt keine internen Freiheitsgrade. Er kann also in keiner Weise vibrieren und der zugeführte [[Impuls]] verteilt sich beliebig schnell entsprechend den Anforderungen des momentanen Bewegungszustandes.

Der starre Körper kann von den sieben [[Primärgrösse|Primärgrössen]] nur [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] speichern und austauschen. Folglich ist der Zustand des starren Körpers durch die beiden [[Potenzial|Potenziale]] [[Geschwindigkeit]] und [[Winkelgeschwindigkeit]] vollständig beschrieben.

Der starre Körper soll nun nach den Prinzipien der [[Physik der dynamischen Systeme]] modelliert werden: zuerst die Bilanzgleichung, dann die konstitutiven Gesetze und als Supplément die Energiebilanz.

==Bilanzgleichungen==
Der quellenartige oder volumenmässige Impuls- und Drehimpulsaustausch mit dem [[Gravitationsfeld]] kann mittels der Schwer- oder Gewichtskraft, die im Schwerpunkt "angreift", beschrieben werden. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen. Die durch die Oberfläche des starren Körpes tretenden Impulsströme nennt man ebenfalls [[Kraft|Kräfte]]. Damit nimmt die [[Impulsbilanz]] bezüglich des Systems ''starrer Körper'' die folgende Form an

:<math>\sum_{i} \vec F_i + m \vec g = \dot {\vec p}</math>

Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.

Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Körper - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).

Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.

Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmonente zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen

:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>

Die Vektoren '''''r'''i'' zeigen vom Massenmittelpunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. Wie bei der Impulsbilanz ergibt die Summe über die Stärke aller Drehimpulsströme plus die durch querfliessende Impulsströme erzeugten Quellenstärken die Änderungsrate des Drehimpulses.

Die Impuls- und die Drehimpulsänderungsrate sind getrennt über die Zeit aufzusummieren. Alle sechs Komponenten (drei des Impulses und drei des Drehimpulses) bilden die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] des Systems '''starrer Körper'''.

==Kapazitivgesetze==
Die träge Masse wirkt als Impulskapazität

:<math>\begin{pmatrix} p_x \\ P_y \\ p_z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}</math>

Die Kapazität bezüglich des Drehimpulses wird durch das [[Massenträgheitsmoment]] beschrieben

:<math>\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\ J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\ J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}</math>

Weil das [[Massenträgheitsmoment]] ein (symmetrischer) [[Tensor]] ist, hängt jede Drehimpulskomponente von jeder der drei Winkelgeschwindigkeiten ab. Die hier gegeben Darstellung des Massenträgheitsmomentes in Komponenten bezüglich des Weltsystems verändert sich mit der Bewegung des Körpers.

==Geometrie==
Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat der Mechanik. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.

Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes wird der momentane Ort desselben durch eine Integration über die Zeit ermittelt werden (drei skalare Integrationen):

:<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>

Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''Rij'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden. Dazu definiert man aus der [[Winkelgeschwindigkeit]] einen Einheitsvektor '''''a''''' in Richtung der Drehachse

:<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>

und berechnet aus dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t''

:<math>\varphi = \omega \Delta t</math>

Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen

<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi +
\begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix} \sin \varphi</math>

Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.

==Energie==
Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen [[Potenzial]]en. So erhält man aus der Impulsbilanz

:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \vec F_G \cdot \vec v = \dot {\vec p} \cdot \vec v</math>

und aus der Drehimpulsbilanz

:<math>\sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \dot {\vec L}\cdot \vec \omega</math>

Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers

:<math>\sum_{i} (\vec F_i \cdot \vec v_i) + \sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega = \dot {\vec p} \cdot \vec v + \dot {\vec L}\cdot \vec \omega - \vec F_G \cdot \vec v </math>

Man beachte, dass im ersten Term zwei Ausdrücke über eine [[Winkelgeschwindigkeit|geometrische Beziehung]] zusammengefasst worden sind

:<math>\vec F_i \cdot \vec v + (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \vec F_i \cdot \vec v_i</math>

Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente ([[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energieströme]]), rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der [[Gravitationsfeld|Gravitationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie (potentielle Energie) bezeichnet. Einer [[Drehimpulsquelle]]n darf somit kein Energiestrom zugeordnet werden, weil dieser Beitrag im zugeordneten Energie des Impulsstromes steckt (der im Körper querfliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle und überträgt den entsprechenden Anteil seiner Energie auf den Drehimpulsstrom).

Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) bezüglich des starren Körpers nimmt damit folgende Gestalt an

:<math>\sum_i P(\vec F_i) + \sum_j P(\vec M_j) = \dot W_{kin} + \dot W_{rot} + \dot W_G</math>

Integriert man die Leistungsbilanz über die Zeit auf, erhält man die Gleichung, die häufig auch als Energiebilanz bezeichnet wird

:<math>\sum_i W(\vec F_i) + \sum_j W(\vec M_j) = \Delta W_{kin} + \Delta W_{rot} + \Delta W_G</math>

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Starrer Körper

2007-07-02T12:46:30Z

Markus Steiner: /* Bilanzgleichungen */

Der '''starre Körper''' ist das physikalische Modell eines nicht verformbaren Körpers. Bei einem starren Körper ist der Abstand zwischen zwei materiellen Punkten unabhängig von dessen Dynamik immer konstant. Einen starrer Körper, der auf einer festen Achse gelagert ist, heisst [[Rotator]]. Wird der starre Körper nur an einem frei drehbaren Punkt festgehalten, nennt man ihn [[Kreisel]].

==Modell==
Der starre Köper weist - wie der Name sagt - eine absolut starre Massenverteilung auf. Dieser Modellkörper besitzt keine internen Freiheitsgrade. Er kann also in keiner Weise vibrieren und der zugeführte [[Impuls]] verteilt sich beliebig schnell entsprechend den Anforderungen des momentanen Bewegungszustandes.

Der starre Körper kann von den sieben [[Primärgrösse|Primärgrössen]] nur [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] speichern und austauschen. Folglich ist der Zustand des starren Körpers durch die beiden [[Potenzial|Potenziale]] [[Geschwindigkeit]] und [[Winkelgeschwindigkeit]] vollständig beschrieben.

Der starre Körper soll nun nach den Prinzipien der [[Physik der dynamischen Systeme]] modelliert werden: zuerst die Bilanzgleichung, dann die konstitutiven Gesetze und als Supplément die Energiebilanz.

==Bilanzgleichungen==
Der quellenartige oder volumenmässige Impuls- und Drehimpulsaustausch mit dem [[Gravitationsfeld]] kann mittels der Schwer- oder Gewichtskraft, die im Schwerpunkt "angreift", beschrieben werden. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen. Die durch die Oberfläche des starren Körpes tretenden Impulsströme nennt man ebenfalls [[Kraft|Kräfte]]. Damit nimmt die [[Impulsbilanz]] bezüglich des Systems ''starrer Körper'' die folgende Form an

:<math>\sum_{i} \vec F_i + m \vec g = \dot {\vec p}</math>

Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.

Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Köprer - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).

Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.

Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmonente zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen

:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>

Die Vektoren '''''r'''i'' zeigen vom Massenmittelpunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. Wie bei der Impulsbilanz ergibt die Summe über die Stärke aller Drehimpulsströme plus die durch querfliessende Impulsströme erzeugten Quellenstärken die Änderungsrate des Drehimpulses.

Die Impuls- und die Drehimpulsänderungsrate sind getrennt über die Zeit aufzusummieren. Alle sechs Komponenten (drei des Impulses und drei des Drehimpulses) bilden die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] des Systems '''starrer Körper'''.

==Kapazitivgesetze==
Die träge Masse wirkt als Impulskapazität

:<math>\begin{pmatrix} p_x \\ P_y \\ p_z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}</math>

Die Kapazität bezüglich des Drehimpulses wird durch das [[Massenträgheitsmoment]] beschrieben

:<math>\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\ J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\ J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}</math>

Weil das [[Massenträgheitsmoment]] ein (symmetrischer) [[Tensor]] ist, hängt jede Drehimpulskomponente von jeder der drei Winkelgeschwindigkeiten ab. Die hier gegeben Darstellung des Massenträgheitsmomentes in Komponenten bezüglich des Weltsystems verändert sich mit der Bewegung des Körpers.

==Geometrie==
Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat der Mechanik. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.

Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes wird der momentane Ort desselben durch eine Integration über die Zeit ermittelt werden (drei skalare Integrationen):

:<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>

Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''Rij'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden. Dazu definiert man aus der [[Winkelgeschwindigkeit]] einen Einheitsvektor '''''a''''' in Richtung der Drehachse

:<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>

und berechnet aus dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t''

:<math>\varphi = \omega \Delta t</math>

Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen

<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi +
\begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix} \sin \varphi</math>

Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.

==Energie==
Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen [[Potenzial]]en. So erhält man aus der Impulsbilanz

:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \vec F_G \cdot \vec v = \dot {\vec p} \cdot \vec v</math>

und aus der Drehimpulsbilanz

:<math>\sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \dot {\vec L}\cdot \vec \omega</math>

Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers

:<math>\sum_{i} (\vec F_i \cdot \vec v_i) + \sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega = \dot {\vec p} \cdot \vec v + \dot {\vec L}\cdot \vec \omega - \vec F_G \cdot \vec v </math>

Man beachte, dass im ersten Term zwei Ausdrücke über eine [[Winkelgeschwindigkeit|geometrische Beziehung]] zusammengefasst worden sind

:<math>\vec F_i \cdot \vec v + (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \vec F_i \cdot \vec v_i</math>

Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente ([[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energieströme]]), rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der [[Gravitationsfeld|Gravitationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie (potentielle Energie) bezeichnet. Einer [[Drehimpulsquelle]]n darf somit kein Energiestrom zugeordnet werden, weil dieser Beitrag im zugeordneten Energie des Impulsstromes steckt (der im Körper querfliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle und überträgt den entsprechenden Anteil seiner Energie auf den Drehimpulsstrom).

Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) bezüglich des starren Körpers nimmt damit folgende Gestalt an

:<math>\sum_i P(\vec F_i) + \sum_j P(\vec M_j) = \dot W_{kin} + \dot W_{rot} + \dot W_G</math>

Integriert man die Leistungsbilanz über die Zeit auf, erhält man die Gleichung, die häufig auch als Energiebilanz bezeichnet wird

:<math>\sum_i W(\vec F_i) + \sum_j W(\vec M_j) = \Delta W_{kin} + \Delta W_{rot} + \Delta W_G</math>

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Lösung zu Leistungsziffer einer Wärmepumpe

2007-06-20T19:21:28Z

Markus Steiner:

Jedem [[Entropiestrom]] kann bezüglich einer Referenzfläche ein [[zugeordneter Energiestrom|Energiestrom zugeordnet]] werden. Der Energiestrom ist gleich absolute Temperatur bei der Referenzfläche mal Stärke des hindurch fliessenden Entropiestromes.

:<math>I_W = T I_S</math>

#Die Wärmepumpe fördert [[Entropie]] aus der 273 K warmen Umgebung in das 308 K warme Wasser der Heizung.
##Die notwendige Leistung ist gleich Heizleistung (thermisch zugeordneter Energiestrom am Ausgang) dividiert durch die Leistungszahl, was einen Wert von 2.67 kW ergibt.
##Der thermische Energiestrom beim Eingang der Wärmepumpe hat eine Stärke von 9.33 kW (die Summe über alle Energieströme bezüglich des Systems Wärmepumpe muss im stationären Betrieb gleich Null sein). Dividiert man die beiden thermischen Energieströme durch die zugehörigen (absoluten) Temperaturen, erhält man einen Entropiestrom der Stärke 34.2 W/K am Eingang und einen Strom der Stärke 39 W/K am Ausgang. Die Produktionsrate beträgt somit 4.8 W/K.
##Die minimale Pumpleistung bei gleicher Heizleistung stellt sich dann ein, wenn das System selber keine Entropie produziert. Für diesen idealen Prozess gilt <math>P = \Delta T I_S = \Delta T \frac {I_{W2}}{T_2}</math> = 1.36 kW.
#Ideale ([[reversibel|reversible]]) Prozesse werden aus historischen Gründen oft mit der Bezeichnung Carnot versehen. Mit Carnot-Leistungszahl ist eigentlich die Leistungszahl eines [[Carnot-Prozess]]es gemeint. Wer aber weiss, was [[Entropie]] ist und wie diese mit der [[Energie]] zusammenhängt, benötigt den ganzen historischen [[Altlast|Ballast]] der klassischen Thermostatik nicht mehr.
##Weil bei einem [[Carnot-Prozess]] keine Entropie erzeugt wird, gilt <math>\eta_C = \frac {T_2 I_S}{\Delta T I_S} = \frac {T_2}{\Delta T}</math>.
##Die Temperatur am Eingang kann mit Hilfe der Carnot-Leistungszahl (''Epsilon WC'') berechnet werden <math>T_1 = T_2 \frac {\epsilon - 1}{\epsilon}</math>. Ermittelt man mit dieser Formel aus der Graphik ein paar Zahlen, erhält man Werte in der Umgebung von 273 K (0°C).
##Der Wirkungsgrad, der diesen Namen auch verdient, ist gleich dem Quotienten aus realer und idealer Leistungsziffer <math>\eta = \frac {\epsilon}{\epsilon_C} = \frac {I_{W2 \Delta T}}{P T_2} = \frac {\Delta T I_{S2}}{P}</math>
##Mit steigender Temperatur sinkt der Wirkungsgrad (nicht nur die Leistungszahl) der Wärmepumpe ab. Der aus den graphisch gegebenen Werten zu ermittelnde Wirkungsgrad sinkt von 66% (bei 26°C) auf 52% (bei 57°C) ab.

'''[[Leistungsziffer einer Wärmepumpe|Aufgabe]]'''

Lösung zu Wirkungsgrad der Dampfmaschine

2007-06-20T19:04:47Z

Markus Steiner:

Der [[Wirkungsgrad]] ist bei [[Wärmekraftmaschine]]n eine problematische Grösse. In der Regel vergleicht man eine [[Prozessleistung]] mit einem [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]].
#500 g Steinkohle haben einen Heizwert von 15 MJ. Vergleicht man diesen Heizwert mit der abgegebenen Energie von 2.65 MJ (1 PSh), ergibt sich ein über alles Wirkungsgrad von 17.6%.
#Ein Entropiestrom, der reversibel von 350°C auf 50°C hinunterfällt, setzt eine [[Prozessleistung]] frei, die gleich Stromstärke mal Temperaturdifferenz ist. Setzt man diese Prozessleistung ins Verhältnis zum [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] bei der höheren Temperatur, erhält man <math>\eta_C = \frac {P}{I_{W1}} = \frac {\Delta T I_S}{T_1 I_S } = \frac {\Delta T}{T_1}</math> = 48.2%.
#Die Kohle verbindet sich während des Verbrennungsvorganges mit dem Sauerstoff der Luft. Dabei werden die Luft und auch die Bestandteile der Kohle auf hohe Temperatur gebracht. Die heissen Gas erwärmen danach das Wasser, verdampfen es ([[Nassdampf]]) und heizen den Dampf weiter auf (Heissdampf). Auch wenn dieser Heizprozess teilweise im Gegenstromverfahren abläuft (schon etwas ausgekühlte Abgase wärmen das Wasser vor und erzeugen den Nassdampf), fällt die Entropie thermisch hinunter, ohne Prozessleistung freisetzen zu können. Dabei wird nutzlos weitere Entropie produziert. Daneben gibt es noch weitere irreversible Prozesse (Wärmeleitung in den Metallteilen, mechanische Reibung) die zusätzlich Entropie erzeugen und den Wirkungsgrad weiter schmälern.
#Bei Verbrennungsmotoren übernehmen die Abgase (Produkte des Verbrennungsvorganges) gleichzeitig die Funktion des Arbeitsmediums: Die Verbrennungsgase werden nahezu isentrop entspannt und geben dabei einen Teil ihrer inneren Energie in Form von [[Arbeit]] an den Kolben ab. Der Wirkungsgrad der Verbrennungsmotoren kann vergrössert werden, indem die Verbrennungstemperatur erhöht oder die Abgastemperatur beim Austritt aus dem Zylinder vermindert wird. Beide Möglichkeiten sind im Rahmen der technischen Möglichkeiten schon ziemlich stark ausgereizt.

'''[[Wirkungsgrad der Dampfmaschine|Aufgabe]]'''

Lösung zu Milch kühlen

2007-06-20T18:50:10Z

Markus Steiner:

Eine [[Wärmepumpe]] fördert [[Entropie]] aus einem kälteren in einen wärmeren Bereich. Weil reale Wärmepumpen selber Entropie produzieren, ist der Entropiestrom am Ausgang grösser als am Eingang. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, ist hier von einer idealen Wärmepumpe die Rede. Solche Pumpen fördern nur Entropie, erzeugen selber aber keine.
#Eine Wärmepumpe fördert Entropie. Folglich darf man eine Wärmepumpe auch als Entropiepumpe bezeichnen. Der zweite Satz der Aufgabenstellung könnte somit auch lauten: ''Eine Entropiepumpe, welche die Entropie reversibel von -3°C und 37° fördert, sorgt für eine konstante Temperatur des Kühlraums von 0°C.'' Mit [[Wärmekapazität]] ist weder die Entropiekapazität (falsche Einheiten) noch die [[Wärme]] im Sinne der Physik gemeint. In der Physik versteht man unter Wärme eine Austauschform der Energie. Weil die Kapazität eine Eigenschaft eines Speichers beschreibt, handelt es sich beim Wort Wärmekapazität eigentlich um ein Oxymoron. In der Regel ist mit Wärmekapazität die Änderung der [[Enthalpie]] eines Systems pro Temperaturänderung gemeint.
#6000 Kilogramm Milch, welche bei konstantem Druck um 20°C abgekühlt werden, geben 462 MJ (128 kWh) Energie in Form von Wärme ab.
#Falls der Kühlraum die ganze Zeit genau 0°C warm ist, nimmt der Kühlraum <math>\frac {462 MJ}{273K}</math>=1.692 MJ/K Entropie auf.
#Die Wärmepumpe muss <math>\frac {462MJ}{270K}</math>=1.711 MJ/K Entropie fördern.
#Um 1.711 MJ/K Entropie über eine Temperaturdifferenz von 40 K zu fördern, benötigt die Wärmepumpe 68.4 MJ (19 kWh) Energie.
#Die Wärmepumpe gibt 530 MJ Energie in Form von Wärme an die 300 K warme Umgebung ab. Die Entropie, die diese Energie in die Umgebung hinein trägt, hat einen Betrag von 1.768 MJ/K. Zählt man zu diesem Wert die Entropieverminderung der Milch von <math>\Delta S = mc \ln{\frac {T_2}{T_1}}</math> = -1.605 MJ/K dazu, erhält man eine Gesamtproduktion von 163 kJ/K.

'''[[Milch kühlen|Aufgabe]]'''

Lösung zu Milch kühlen

2007-06-20T18:32:50Z

Markus Steiner:

Eine [[Wärmepumpe]] fördert [[Entropie]] aus einem kälteren in einen wärmeren Bereich. Weil reale Wärmepumpen selber Entropie produzieren, ist der Entropiestrom am Ausgang grösser als am Eingang. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, ist hier von einer idealen Wärmepumpe die Rede. Solche Pumpen fördern nur Entropie, erzeugen selber aber keine.
#Eine Wärmepumpe fördert Entropie. Folglich darf man eine Wärmepumpe auch als Entropiepumpe bezeichnen. Der zweite Satz der Aufgabenstellung könnte somit auch lauten: ''Eine Entropiepumpe, welche die Entropie reversibel von -3°C und 37° fördert, sorgt für eine konstante Temperatur des Kühlraums von 0°C.'' Mit [[Wärmekapazität]] ist weder die Entropiekapazität (falsche Einheiten) noch die [[Wärme]] im Sinne der Physik gemeint. In der Physik versteht man unter Wärme eine Austauschform der Energie. Weil die Kapazität eine Eigenschaft eines Speichers beschreibt, handelt es sich beim Wort Wärmekapazität eigentlich um ein Oxymoron. In der Regel ist mit Wärmekapazität die Änderung der [[Enthalpie]] eines Systems pro Temperaturänderung gemeint.
#6000 Kilogramm Milch, welche bei konstantem Druck um 20°C abgekühlt werden, geben 462 MJ (128 kWh) Energie in Form von Wärme ab.
#Falls der Kühlraum die ganze Zeit genau 0°C warm ist, nimmt der Kühlraum <math>\frac {462 MJ}{273K}</math>=1.692 MJ/K Entropie auf.
#Die Wärmepumpe muss 1.711 MJ/K Entropie fördern.
#Um 1.711 MJ/K Entropie über eine Temperaturdifferenz von 40 K zu fördern, benötigt die Wärmepumpe 68.4 MJ (19 kWh) Energie.
#Die Wärmepumpe gibt 530 MJ Energie in Form von Wärme an die 300 K warme Umgebung ab. Die Entropie, die diese Energie in die Umgebung hinein trägt, hat einen Betrag von 1.768 MJ/K. Zählt man zu diesem Wert die Entropieverminderung der Milch von <math>\Delta S = mc \ln{\frac {T_2}{T_1}}</math> = -1.605 MJ/K dazu, erhält man eine Gesamtproduktion von 163 kJ/K.

'''[[Milch kühlen|Aufgabe]]'''

Wärmekraftmaschine

2007-06-20T15:36:06Z

Markus Steiner: /* Verluste */

[[Bild:WKM_Prozess2.png|thumb|Prozess-Schema einer WKM]]
Eine Wärmekraftmaschine (WKM) ist ein Motor, der mit Wärme betrieben wird. Die Wirkweise einer WKM ist erstmals von [[Carnot-Zyklus|Sadi Carnot]] erklärt worden. Carnots Idee, dass in einer WKM [[Wärme|Wärmestoff]] temperaturmässig hinunterfällt und dabei '''treibende Kraft''' freisetzt, beschreibt exakt die Wirkweise einer idealen WKM. Nur sagt man heute [[Entropie]] statt Wärmestoff und [[Energie]] statt treibende Kraft: eine WKM überträgt die vom [[Entropiestrom]] freigesetzte [[Prozessleistung]] auf einen [[Impulsstrom]] ([[Kraft]]) oder einen [[Drehimpulsstrom]] ([[Drehmoment]]). Das Prozessschema zeigt, wie der thermisch hinunter fallende Entropiestrom eine Prozessleistung frei setzt, mit der ein Drehimpulsstrom getrieben wird. Der dem Drehimpuls zugeordnete Energiestrom heisst auch Leistung des Drehmomentes.

Man unterscheidet zwischen getakteten WKM (Dampfmaschine, Ottomotor, Dieselmotor, Stirlingmotor) und kontinuierlich arbeitenden WKM (Gasturbine, Dampfturbine, Gas-Dampf-Turbine).

==Wirkweise==
[[Bild:WKM_Prozess.png|thumb|thermischer Prozess in einer WKM]]
Die Wirkweise einer WKM lässt sich am besten anhand eines geschlossenen Systems (Stirlingmotor, Sekundärkreis eines Druckwasserreaktors) erklären. Bei einem solchen System tritt die Wärme (Entropie und mittransportierte Energie) über einen ersten Wärmetauscher ein und über einen zweiten wieder aus. Der bei hoher Temperatur eintretende Entropiestrom setzt einen Teil der [[zugeordneter Energiestrom|mitgeführten Energie]] als [[Prozessleistung]] innerhalb der WKM frei. Bei einer idealen WKM (keine [[Entropieproduktion]]) hängt das Verhältnis zwischen der in der WKM freigesetzten und der zugeführten Energie nur noch von der Eingangs- und der Ausgangstemperatur ab

<math>\eta = \frac {P}{I_{W1}} = \frac {(T_1 - T_2)I_S}{T_1 I_S} = \frac {T_1 - T_2}{T_1}</math>

Bei offenen Systemen mit interner chemischen Reaktion (Ottomotor, Dieselmotor, Gasturbine) oder ohne (Dampfmaschinen, Dampfturbinen) setzt das Arbeitsmedium (Verbrennungsgase, Dampf) Energie frei, indem es sich ausdehnt und abkühlt. Dieser Vorgang, bei dem aktuelle Entropie in latente übergeht, ist auch Teil des in einem geschlossenem Sytem ablaufenden Zyklus.

==Verluste==
Energie wird unter keinen Umständen erzeugt oder vernichtet. Deshalb kann sie auch nicht verloren gehen. Statt Energieverlust sollte man Entropieproduktion sagen. Wird in einem Prozess Entropie produziert, bindet die neu entstandene Entropie einen Teil der im Prozess freigesetzten Energie an sich. Die von der neu entstandenen Entropie gebundene Energie nennt man [[Dissipation|dissipiert]]. Zwischen dissipierter Leistung und der Entropieproduktionsrate ('''ΠS''') besteht der folgende Zusammenhang

<math>\Pi_S = \frac {P_{diss}}{T}</math>

Die "verlorene Energie" bleibt an der Entropie haften und kann nur freigesetzt werden, falls die Entropie erneut thermisch hinunterfällt. Um die dissipierte Energie vollständig freizusetzen, müsste die produzierte Entropie an ein Wärmebad, dessen Temperatur Null Kelvin beträgt, abgeführt werden.

Ersetzt man eine Wärmekraftmaschine, die zwischen einem heissen und einem kalten Wärmebad arbeitet, durch eine reine Wärmeleitung, wird die ganze Prozessleistung dissipiert. Der wegfliessende Energiestrom ist dann gleich dem zufliessenden

<math>I_{W2} = I_{S2} T_2 = (I_{S1} + \Pi_S) T_2 = (I_{S1} + \frac {(T_1 - T_2) I_{S1}}{T_2}) T_2 = T_1 I_{S1} = I_{W1}</math>

Entropie wird bei einer WKM in den Wärmetauschern und durch Überströmung produziert. Um diese Entropieproduktion zu minimalisieren und damit die frei verfügbare Prozessleistung zu optimieren, müssen die Wärmetauscher möglichst gross gemacht und die Druckdifferenzen beim freien Überströmen des Mediums möglichst klein gehalten werden.

[[Kategorie:Thermo]]

Lösung zu Reversibles Mischen

2007-06-20T06:47:04Z

Markus Steiner:

Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 3.352 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man 668 kJ Energie. Nach dem fraglichen Mischvorgang ist folglich nur noch Wasser vorhanden.
#Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 2.684 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder auf 32°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur von 32°C. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen <math>\Delta H = m_E q + mc(T - T_s) + mc(T - T_a)</math> = 0.
#Die produzierte Entropie ist gleich der aufgenommenen minus die abgegebene Entropie: <math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m c \ln \left(\frac {T}{T_s}\right) + m c \ln \left(\frac {T}{T_a}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K
#Könnte man den Temperaturausgleich mit Hilfe einer idealen [[Wärmekraftmaschine]] herbeiführen, bliebe die Entropie erhalten <math>\frac {m_E q}{T_s} + m c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0. Die Endtemperatur wäre dann gleich <math>T = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).
#Die von der Wärmekraftmaschine abgegebene Energie ist dann gleich der Enthalpieänderung des Wassers. <math>\Delta H = m_E q + mc(T - T_s) + mc(T - T_a) = m_E q + mc(2 T - (T_s + T_a))</math> = -296 kJ. Diesen Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m c (T_{irr} - T_{rev})</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.

Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man [[Energie]] als Arbeitsvermögen bezeichnet. ''Albert Einstein'' konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und [[Masse]] gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]] und [[Prozessleistung]] unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der [[Thermodynamik]]. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die [[Energie]] erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die [[Entropie]] erhalten bleibt.

'''[[Reversibles Mischen|Aufgabe]]'''

Lösung zu Reversibles Mischen

2007-06-20T06:45:35Z

Markus Steiner:

Eine Wassermenge von 10 Kilogramm setzt 3.352 MJ Energie in Form von Wärme frei, falls sie von 80°C auf 0°C abgekühlt wird. Um 2 Kilogramm Eis zu schmelzen, benötigt man 668 kJ Energie. Nach dem fraglichen Mischvorgang ist folglich nur noch Wasser vorhanden.
#Kühlt man die 10 Kilogramm Wasser von 80°C auf 0°C ab und lässt 2 Kilogramm Eis abschmelzen, erhält man einen Energieüberschuss von 2.684 MJ. Mit diesem Überschuss kann die ganze Wassermenge von 20 Kilogramm wieder auf 32°C erwärmt werden. Im Endzustand hat das Wasser somit eine Temperatur von 32°C. Falls man weiss, dass im Endzustand nur noch Wasser vorhanden ist, lässt sich die Endtemperatur auch direkt mit Hilfe der Energieerhaltung berechnen <math>\Delta H = m_E q + mc(T - T_s) + mc(T - T_a)</math> = 0.
#Die produzierte Entropie ist gleich der aufgenommenen minus die abgegebene Entropie: <math>\Delta S = \frac {m_E q}{T_s} + m c \ln \left(\frac {T}{T_s}\right) + m c \ln \left(\frac {T}{T_a}\right) = \frac {m_E q}{T_s} + m c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 967 J/K
#Könnte man den Temperaturausgleich mit Hilfe einer idealen [[Wärmekraftmaschine]] herbeiführen, bliebe die Entropie erhalten <math>\frac {m_E q}{T_s} + m c \ln \left(\frac {T^2}{T_s T_a}\right)</math> = 0. Die Endtemperatur wäre dann gleich <math>T = \sqrt{T_s T_a e^{-(m_E q)/(T_s m c)}}</math> = 301.5 K (28.5°C).
#Die von der Wärmekraftmaschine abgegebene Energie ist dann gleich der Enthalpieänderung des Wassers. <math>\Delta H = m_E q + mc(T - T_s) + mc(T - T_a) = m_E q + mc(2 T - (T_s + T_a))</math> = -296 kJ. Diesen Wert entspricht der Enthalpiedifferenz zwischen den beiden Mischvorgängen <math>\Delta H = 2 m c (T_{irr} - T_{rev}</math>. Man kann den thermischen Ausgleich ideal reversibel durchführen und danach das ganze Wasser nochmals etwas aufheizen, indem man mit der im reversiblen Prozess gewonnenen Energie Entropie erzeugt. Der Endzustand ist dann wieder der selbe wie beim unkontrollierten (irreversiblen) Mischen des Wasser.

Bis Ende des 19. Jahrhunderts hat man [[Energie]] als Arbeitsvermögen bezeichnet. ''Albert Einstein'' konnte dann um 1905 zeigen, dass Energie und [[Masse]] gleichwertige Bezeichnungen für die gleiche physikalische Grösse sind (Masse und Energie sind äquivalent). Dieser scheinbare Widerspruch zwischen der alten und der neuen Vorstellung von Energie löst sich auf, wenn man zwischen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]] und [[Prozessleistung]] unterscheidet. Nur die in einem Prozess freigesetzte Energie darf als Arbeitsvermögen bezeichnet werden. Dies lässt sich nirgends so gut zeigen wie in der [[Thermodynamik]]. Überlässt man ein System sich selber, bleibt die [[Energie]] erhalten. Will man aber die maximale Energie im Sinne von Arbeitsvermögen gewinnen, muss man dafür sorgen, dass die [[Entropie]] erhalten bleibt.

'''[[Reversibles Mischen|Aufgabe]]'''

Lösung zu Auskühlender Kessel

2007-06-20T06:25:41Z

Markus Steiner:

#Der Wärmedurchgangskoeffizient entspricht dem Wärmeleitwert pro Fläche. Multipliziert man den gegebenen Wärmedurchgangskoeffizienten mit der Mantelfläche des Kessels, ergibt sich ein Wärmeleitwert von 9 kW/K. Folglich fliesst bei einer Temperaturdifferenz von 45°C ein thermischer Energiestrom der Stärke 407 kW aus dem Kessel.
#Der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] bleibt längs des Transportweges erhalten. Deshalb nimmt die Stärke des Entropiestomes zu. Die Entropie-Produktionsrate ist gleich der Differenz der beiden Entropieströme, die bei verschiedenen Temperaturen den gleichen Energiestrom transportieren <math>\Pi_S = I_{S2} - I_{S1} = I_W \left(\frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1}\right) = \frac {I_W \Delta T}{T_1 - T_2}</math> = 174 W/K.
#Die Zeitkonstante ist gleich <math>\tau = RC = \frac {mc}{G_W}</math> = 1.86 105 s. Löst man die Funktion für den Entladevorgang des RC-Gliedes <math>\Delta T = \Delta T_a e^{-t/\tau}</math> nach der gesuchten Zeit auf, erhält man <math>t = \tau \ln \frac {\Delta T}{\Delta T_a}</math> = 1.51 105 s.
#Der Nettostrahlung beträgt <math>I_W = \sigma A \left(T^4 - T_U^4\right)</math> = 71.1 kW. Befände sich der Kessel in einem evakuierten Raum, würde er die Wärme mindestens sechs Mal langsamer abgeben.

[[Auskühlender Kessel|Aufgabe]]

Wärmekapazität

2007-06-19T13:32:03Z

Markus Steiner: /* Wärmekapazität bei konstantem Druck */

'''Wärmekapazität''' ist ein Begriff aus der [[Thermodynamik]]. Die Wärmekapazität ([[Formelzeichen]] ''C'', Einheit J/K oder J/°C) beschreibt das Verhältnis zwischen thermisch zugeführter Energie und Temperaturänderung des Körpers unter bestimmten Bedingungen (konstantes Volumen oder konstanter Druck).

Der Begriff Kapazität (lat.: ''capacitas'' = Fassungsvermögen) ist im Zusammenhang mit [[Wärme]] irreführend, weil in der Physik nur die [[Energie]], die zusammen mit der [[Entropie]] bezüglich eines Systems ausgetauscht wird, als Wärme bezeichnet werden darf (da Wärme eine Austauschform und keine Speicherform der Energie ist, bildet das Wort Wärmekapazität einen Widerspruch in sich). Der Begriff Wärmekapazität konnte sich nur behaupten, weil die Macht der Gewohnheit stärker als jede Logik ist.

==Wärmekapazität bei konstantem Volumen==
Führt man einem System bei '''konstant gehaltenem Volumen''' Wärme zu, steigt in der Regel die Temperatur. Die Energiebilanz lautet dann

:<math>I_W_{therm} = \dot W = C_V \dot T</math>

Die zweite Beziehung definiert die Wärmekapazität bei konstant gehaltenem Volumen ''CV''. Etwas formaler geschrieben lautet die Definition

:<math>C_V = W(V,T),T = \frac {\partial U(V,T)}{\partial T}</math>

Die erste Beziehung benutzt die [[Physik der dynamischen Systeme|systemdynamische]] Schreibweie mit der [[Einstein-Notation]]. Der zweite Ausdruck entspricht der Schreibweise der quasistatischen Thermodynamik. Aufgrund der Definitionsgleichung müsste man ''CV'' korrekterweie als Energiekapazität bezeichnen.

==Wärmekapazität bei konstantem Druck==
Führt man einem System bei '''konstant gehaltenem Druck''' Wärme zu, nimmt in der Regel die Temperatur zu und das Volumen ändert sich. Da die Volumenänderung mit einem mechanischen Energieaustausch ([[Arbeit]]) verbungen ist, lautet die Energiebilanz

:<math>I_W_{therm} = \dot W - I_W_{mech}= \dot W + p \dot V = \dot H = C_p \dot T</math>

Die letzte Beziehung definiert die Wärmekapazität bei konstant gehaltenem Druck ''Cp''. ''H'' ist das Formelzeichen für die [[Enthalpie]]. Etwas formaler geschrieben lautet die Definition

:<math>C_p = W(p,T),T = \frac {\partial H(p,T)}{\partial T}</math>

Die erste Beziehung benutzt die [[Physik der dynamischen Systeme|systemdynamische]] Schreibweise mit der [[Einstein-Notation]]. Der zweite Ausdruck entspricht der Schreibweise der quasistatischen Thermodynamik. Aufgrund der Definitionsgleichung müsste man ''Cp'' korrekterweie als Enthalpiekapazität bezeichnen.

==Weitere Beziehungen==
===spezifische und molare Wärmekapazität===
Bei homogene Stoffen ist die Wärmekapazität proportional zur [[Masse]] oder zur [[Stoffmenge]]. Deshalb bestimmt man die Wärmekapazität [[spezifisch]] (pro Masse) oder molar (pro Stoffmenge)

:<math>C = mc = n \hat C</math>

Die spezifische Wärmekapazitä wird mit einem kleinen ''c'' (Einheit J/(kg K)) geschrieben und bei der molaren (Einheit J/(mol K)) wird das Formelzeichen mit einem Dach versehen.

===Isentropenexponent===
Das Verhältnis der beiden Wärmekapazitäten nennt man Isentropenexponent oder Adiabatenexponent

:<math>\kappa = \frac {C_p}{C_V} = \frac {c_p}{c_V}</math>

===Zusammenhang===
Die Differenz der beiden Wärmekapazitäten hängt vom [[thermischer Ausdehnungskoeffizient|thermischen Ausdehnungskoeffizienten]] ''γ'' und von der [[isotherme Kompressibilität|isothermen Kompressibilität]] ''κT'' ab

:<math>C_p - C_V = TV \frac {\gamma^2}{\kappa_T}</math> oder <math>c_p - c_V = \frac {T \gamma^2}{\rho \kappa_T}</math>

Daraus ergibt sich für ein ideales Gas

:<math>C_p - C_V = m R_s = n R</math>

''Rs'' ist die spezifische und ''R'' die universelle Gaskonstante.

==einfache Stoffe==

[[Kategorie:Thermo]]

Enthalpie

2007-06-19T12:04:19Z

Markus Steiner: /* einfache, homogene Systeme */

Die Enthalpie (gr. ''en'' = "innerhalb" + ''thalpos'' = "Wärme") ist ein Mass für die Energie eines thermodynamischen Systems. Die Enthalpie wird in Joule (J) gemessen. Als Formelzeichen wird oft ''H'' verwendet.

==Motivation==
Heizt man ein Gas oder eine Flüssigkeit auf, kann aus der [[Energiebilanz]]

:<math>I_{W_{therm}} + I_{W_{mech}} = \dot W</math>

unter Berücksichtigung der Homogenität (überall gleicher Zustand) und der Isotropie (nur Druck) der mechanische Energiestrom mit Hilfe der Zustandsgrössen [[Druck]] und [[Volumen]] umgeformt werden

:<math>I_{W_{therm}} = \dot W - I_{W_{mech}} = \dot W + p \dot V</math>

Die rechte Seite der Gleichung kann als Speicher für die thermische Energie aufgefasst werden, solange die Umgebung den Druck auf einem festen Wert hält. Diese Argumentation, bei der die Änderung der inneren Energie und die Expansionsarbeit einem gemeinsamen Speicher zugewiesen werden, folgt der Begriffsbildung der [[potenzielle Energie|potenziellen Energie]], bei der die gespeicherte Energie auch dem Körper und nicht dem [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feld]] oder dem [[Gravitationsfeld]], dem eigentlichen Speicher, zugewiesen wird. Die Argumentation mit der thermisch gespeicherten Energie bleibt konsistent, solange bei konstantem Druck geheizt und gekühlt wird. Sobald aber ein Stoff unterschiedliche Prozesse durchläuft, muss man die Idee einer thermisch gespeicherten Energie fallen lassen.

Die [[freie Energie]], die für die mechanisch gespeicherte Energie steht, übernimmt eine zur Enthalpie äquivalente Funktion. Nur steht dort die Arbeit statt der Wärme im Zentrum des Interesses. Die '''Enthalpie''' ist ein Mass für die thermisch gespeicherte Energie, solange die Umwelt den '''Druck''' stabilisiert. Die '''freie Energie''' ist ein Mass für die mechanisch gespeicherte Energie, solange die Umwelt die '''Temperatur konstant''' hält.

==Definition==
Die Enthalpie, die der Fiktion des thermischen Energiespeichers entspringt, hat als sauber definierte Zustandsgrösse den Irrtum ihrer Entstehung überlebt. Für homogene Flüssigkeiten und Gase ist die Enthalpie gleich der [[innere Energie|inneren Energie]] plus das Produkt aus [[Volumen]] und [[Druck]]

:<math>H = W + pV = U + pV</math>

In der zweiten Form ist das klassische Formelzeichen ''U'' für die innere Energie verwendet worden. Die innere Energie oder Selbstenergie eines Systems, die gemäss der Relativtitätstheorie gleich Mass mal Lichtgeschwindigkeit im Quadrat ist, wird üblicherweise bei einem bestimmten Zustand (''T0'', ''p0'') gleich Null gesetzt.

Heizt man ein homogenes [[Fluid]] bei konstantem Druck auf, gilt

:<math>I_{W_{therm}} = \dot W + p \dot V = \dot H</math>

Bei konstant gehaltenem Druck ist der Wärmestrom gleich der Änderungsrate der Enthalpie.

==einfache, homogene Systeme==
Flüssige, gasförmige und auch feste Stoffe bei nicht zu tiefer Temperatur besitzen eine nahezu konstante [[Wärmekapazität]]. Heizt man einen solchen Stoff bei konstantem Druck auf, steigt die Temperatur proportional mit der zugeführten Wärmeenergie an

:<math>I_{W_{therm}} = \dot H = m c \dot T = n \hat c \dot T</math>

Die Wärmkapazazität, die eigentlich Enthalpiekapaztität heissen müsste, wird hier einmal auf die Masse ([[spezifisch]]) und einmal auf die Stoffmenge ([[molar]]) bezogen.

Nimmt man die Schmelzenthalpie (''m q'') und die Verdampfungsenthalpie (''m r'') dazu, kann die Enthalpie eines einfachen, homogenen Systems bei einem gegebenen Druck in Form einer Funktion angegeben werden

:<math>H = H_0 + m \left(c_{fest}(T_{schmelz} - T_0) + q + c_{fluessig}(T_{siede} - T_{schmelz}) + r + c_{gas}(T - T_{siede}) \right)</math>

Liegt die Temperatur unter dem Siedepunkt für den gegebenen Druck, entfallen einzelne Terme. Liegt ein Gemisch fest/flüssig oder flüssig/gasförmig vor, muss der schon verflüssigte oder vergaste Teil mit der Schmelz- oder Verdampfungsenthalpie multipliziert werden.

==Reaktionsenthalpie==
Die Reaktionsenthalpie gibt den Energieumsatz einer bei konstantem Druck durchgeführten Reaktion an. Die Reaktionsenthalpie, die mit einem [[Reaktionskalorimeter]] gemessen wird, entspricht der Enthalpieänderung des Kalorimeters.

Eine Reaktion kann [[exotherm]] oder [[endotherm]] verlaufen. Bei einer exothermen Reaktion ist die Enthalpieänderung positiv, d.h. die Reaktanden geben Energie in Form von Wärme an das Kalorimeter ab. Bei einer endothermen nehmen die Stoffe bei der Reaktion Wärme vom Kalorimeter auf. Endotherme Reaktionen hat man erst mit Hilfe einer korrekten [[Entropiebilanz]] richtig verstanden. Weil bei jedem irreversiblen, also spontan ablaufenden Prozess [[Entropie]] erzeugt wird, hat man zuerst angenommen, dass immer [[Wärme]] abgeführt werden muss. Speichern die Edukte aber bei gleichem Druck und fast gleicher Temperatur bedeutend mehr Entropie als die Edukte, kann der zusätzliche Bedarf nicht alleine durch die bei der Reaktion produzierten Entropie gedeckt werden. Folglich muss zusätzlich noch Entropie zugeführt werden. Die zugeführte Entropie mal die absolute Temperatur ergibt die [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energie]], also die Wärmeenergie. Eine bekannte endotherme Reaktion ist das Lösen von Salzen in Wasser.

[[Kategorie: Thermo]]

Wärmepumpe

2007-06-19T11:13:10Z

Markus Steiner:

[[Bild:WP_Prozess.png|thumb|Prozess-Schema einer WP]]
Die Wärmepumpe (WP) ist eine [[Maschine]], die [[Wärme]] von einem niedrigen Temperaturniveau unter Energiezufuhr auf ein höheres Temperaturniveau transportiert. Die WP entzieht also der Umgebung Wärme, bringt diese mit Hilfe von Kompressoren auf eine höhere Temperatur und gibt sie an das Heizsystem oder die Warmwasseraufbereitung ab. Physikalisch korrekt ausgedrückt fördert die WP [[Entropie]] aus einem System mit tiefer Temperatur in ein System mit hoher Temperatur. Weil der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] bei tiefer Temperatur kleiner ist als bei hoher, muss die WP dem [[Entropiestrom]] eine [[Prozessleistung]] zuführen. Eine WP darf als rückwärts laufende [[Wärmekraftmaschine]] angesehen werden.

Eine WP kann ein System kühlen oder heizen: bei der Kühlung wird Entropie an die Umwelt weggepumpt; beim Heizen wird Entropie von der Umwelt ins System hinein gefördert:
*[[Kühlgerät|Kühl]]- oder Gefrierschrank: Entropie wird im Innern des Kühlgerätes mittles Kühlschlangen aufgenommen über einen Wärmetauscher an die Umgebung weggepumpt;
*[[Klimaanlage]]: Entropie wird aus dem Gebäude an die Umgebung abgepumpt;
*Kunsteisherstellung: Entropie wird dem Wasser entzogen, bis es gefriert;
*Wärmepumpe bei Gebäuden: Entropie wird aus der Umgebungsluft, einem Gewässer, dem Grundwasser oder dem Boden entzogen und ins Gebäude hinein gepumpt.

Unterschiedliche Effekte kommen bei Wärmepumpe zur Anwendung:
*Entropieaufnahme oder -abgabe durch Volumenänderung des Arbeitsmediums (latente Entropie)
*Entropieaufnahme oder -abgabe durch Verdampfen oder Kondensieren des Arbeitsmediums (Verdampfungentropie)
*Entropieaufnahme oder -abgabe durch Mischen oder Entmischen zweier verschiedener Stoffe;
*Temperaturänderung durch isentrope Expansion oder Kompression;
*thermoelektrische Kopplung;

[[Kategorie:Thermo]]

Lösung zu Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern

2007-06-13T06:52:12Z

Markus Steiner:

Der maximale thermische Energiestrom, der durch den ersten Wärmetauscher fliessen darf, legt die untere Temperatur für die Wärmepumpe fest

<math>I_{W1} = G_{W1} (\theta_0 - \theta_1)</math> also <math>\theta_1 = \theta_0 -\frac {I_{W1}}{G_{W1}}</math> = -8.5°C

Der bei der idealen Wärmepumpe ankommende Entropiestrom hat demnach eine Stärke von

<math>I_S = \frac {I_{W1}} {T_1}</math> = 56.7 W/K

Am Ausgang der Wärmepumpe nimmt dieser Entropiestrom einen Energiestrom mit, der gleich Entropiestromstärke mal die dort herrschende, absolute Temperatur (''T2'') ist. Kombiniert man diese Aussage mit dem [[Wärmeleitung|Wärmeleitungsgesetz]] für den zweiten Wärmetauscher, erhält man die folgende Gleichung

<math>I_{W2} = I_S T_2 = G_{W2} (T_2 - T_U)</math>

Diese Gleichung liefert bei einer Umgebungstemperatur (''TU'') von 327 K eine Ausgangstemperatur bei der idealen Wärmepumpe von 346.7 K. Multipliziert man diesen Wert mit der Stromstärke der gepumpten Entropie, erhält man einen [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestom]] von 19.66 kW. Dieser Energiestrom geht ungehindert als Heizleistung an die 54°C warme Umgebung weg.

Die Entropieproduktionsrate des ganzen Systems ergibt sich aus der Differenz der beiden Entropiestromstärken

<math>\Pi_S = \frac{I_{W2}}{T_U} - \frac{I_{W1}}{T_0}</math> = 5.97 W/K

'''[[Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern|Aufgabe]]'''

Lösung zu Badewanne

2007-06-06T08:13:01Z

Markus Steiner:

#Die zuzuführende Energie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
#Die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abegebene Entropie ist gleich <math>S = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 58.4 kJ/K. Um diese Entropie um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe Energie im Umfang von <math>W = \Delta T S</math> = 2.9 MJ oder 0.81 kWh.
#Die [[Entropie]] des Wassers nimmt um <math>S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = 62.8 kJ/K zu. Diese Entropie trägt eine Wärmeenergie von <math>Q = T_U S</math> 17.8 kJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zur Enthalpieänderung, also ''W'' = ''Δ H - Q'' = 1.09 MJ (0.3 kWh) aufbringen.
#Die Enthalpie des Wassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = -51.5 kJ/K. Diese Entropie nimmt <math>Q = T_U S</math> = 14.6 MJ Energie in Form von Wärme an die Umwelt mit. Die Differenz zwischen der Abnahme der Enthalpie und der Abwärme ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 51 kJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).

'''[[Badewanne|Aufgabe]]'''

Flüssigkeitsbild

2007-06-05T20:25:35Z

Markus Steiner: /* Wärme */

==Das Bild==
Im Flüssigkeitsbild werden dynamische Vorgänge durch hydraulisch äquivalente Prozesse veranschaulicht. Das hier vorgeschlagene Bild enthält alle Zusammenhänge, die für das Verständnis eines [[Systemdiagramm|systemdynamischen Modells]] relevant sind.

Im Flüssigkeitsbild wird ein homogene System (Körper, Schwungrad, Kondensator oder Wärmespeicher) zu einem Gefäss, das in einem riesigen See steht. Die Gefässe verhalten sich [[kapazitives Gesetz|kapazitiv]], die Verbindungen zwischen den Gefässen gehorchen [[resistives Gesetz|resistiven]] oder [[induktives Gesetz|induktiven]] Gesetzen. Der See steht für die Erde, mit der jedes System unbeschränkt Flüssigkeit ([[Impuls]], [[Drehimpuls]], [[elektrische Ladung]] oder [[Entropie]]) austauschen kann. Denkt man sich die Dichte der Flüssigkeit und die [[Gravitationsfeld|Gravitationsfeldstärke]] gleich eins, wird die Grundfläche der Gefässe zur Kapaztität ([[Masse]], [[Massenträgheitsmoment]], [[Kondensator|Kapazität]] oder [[Entropiekapazität]]) und die Füllhöhe zum Potenzial ([[Geschwindigkeit]], [[Winkelgeschwindigkeit]], [[elektromagnetisches Feld|elektrisches Potzenzial]] oder [[Temperatur ]]).

Das Flüssigkeitsbild eignet sich bestens zur Darstellung von Vorgängen aus der [[Translationsmechanik|Translations]]- und der [[Rotationsmechanik]]. In der [[Elektrodynamik|Elektrizitätslehre]] überträgt man nur den halben Kondensator als echten Speicher ins Flüssigkeitsbild. Die Entropieproduktion setzt der Anwendung des Flüssigkeitsbildes in der [[Thermodynamik]] gewisse Grenzen. Beschränkt man sich dabei auf [[reversibel|reversible]] Prozesse wie ideale [[Wärmekraftmaschine|Wärmekraftmaschinen]], [[Wärmepumpe|Wärmepumpen]] oder homogene [[Wärmespeicher]], stellt das Flüssigkeitsbild die [[Prozessleistung]], den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestromes]] oder die [[Wärmekapazität]] korrekt dar. Bei total [[irreversibel|irreversiblen]] Prozessen könnte man auch die Energie als Flüssigkeit nehmen und damit thermischen RC-Gliedern untersuchen. Nur geht dann ein beträchtlicher Teil der Aussagekraft des Flüssigkeitsbildes verloren.

Die einzelnen Grössen werden wie folgt ins Flüssigkeitsbild übertragen:
{|border="1"
!Flüssigkeitsbild
!Translation
!Rotation
!Elektrizität
!Wärme
|-
|Flüssigkeitsmenge
|[[Impuls]]
|[[Drehimpuls]]
|[[elektrische Ladung|Ladung]]
|[[Entropie]]

|-
|Gefässquerschnitt
|[[Masse]]
|[[Massenträgheitsmoment]]
|[[Kondensator|elektrische Kapazität]]
|[[Entropiekapazität]]
|-
|Füllhöhe
|[[Geschwindigkeit]]
|[[Winkelgeschwindigkeit]]
|elektrisches [[Potenzial]]
|absolute [[Temperatur]]
|-
|Fallhöhe
|Geschwindigkeitsdifferenz
|Winkelgeschwindigkeitsdifferenz
|[[Spannung]]
|Temperaturdifferenz
|}

==Translation==
[[Bild:Impuls_im_FB.gif|thumb|Impuls bei einem Rangierstoss]]
[[Bild:ImpulsEnergie_im_FB.gif|thumb|Impuls und Energie bei einem Rangierstoss]]
Der [[Auflaufstoss]] eines Güterwagens gegen einen zweiten eignet sich bestens, um die Aussagekraft des Flüssigkeitsbildes zu illustrieren. Die beiden Güterwagen werden als zwei zylindrische Gefässe mit der Masse als zugehörige Grundfläche und der Geschwindigkeit als Füllhöhe dargestellt. Anfänglich ist das eine Gefäss gefüllt und das andere leer. Durch die Wirkung der Puffer fliesst der Impuls (Flüssigkeit) vom auflaufenden Wagen (Hammerwagen als Gefäss 1) in den ruhenden über (Ambosswagen als Gefäss 2). Der "hinunterfallende" Impulsstrom setzt in den Puffern Energie frei, bis sich die Geschwindigkeiten (Füllhöhen) angeglichen haben. Am Ende dieser ersten Phase sind die Puffer voll eingefahren. In der zweiten Phase pumpen die Puffer zusätzlich Impuls unter Energieabgabe vom Hammer- in den Ambosswagen. Im Flüssigkeitsbild erscheint die Beschleunigung als Steig- oder Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels.

Aus dem Flüssigkeitsbild können folgende Informationen mehr oder weniger direkt entnommen werden:
*Impulsinhalt = Masse*Geschwindigkeit (Grundfläche mal Höhe)
*Impulsübertrag = Masse*Geschwindigkeitsänderung (Grundfläche mal Höhenänderung)
*mittlere Impulsstromstärke = Impulsübertrag dividiert mit der benötigten Zeit
*Impulsänderungsrate = Summe über alle Impulsströme ([[Bilanz]]gleichung)
*Beschleunigung = Impulsänderungsrate durch Masse (Geschwindigkeit des Spiegels = Volumenänderungsrate durch Grundfläche)
*Prozessleistung = Impulsstromstärke*aktuelle Geschwindigkeitsdifferenz (Stromstärke mal Fallhöhe)
*zugeordneter Energiestrom = Impulsstromstärke mal aktuelle Geschwindigkeit (Stromstärke mal Höhe über Bezugsniveau)
*Energieumsatz = Impulsübertrag*mittlere Geschwindigkeitsdifferenz (Phase I: Impuls fliesst hinunter; Phase II: Impuls fliesst hinauf)
*kinetische Energie = Impulsinhalt*halbe Geschwindigkeit (die kinetische Energie wird freigesetzt, falls der gesamte Impuls an die Erde abfliesst)

Die gemeinsame Geschwindigkeit der Wagen am Schluss von Phase I nennt man Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes beider Wagen. Phase I heisst auch inelastischer Stoss. Indem man die vom Impuls in der Phase II von den Puffern aufgenommene Energie mit der in Phase I freigesetzten vergleicht, erhält man ein Mass für die Elastizität des Stosses ([[Stosszahl]]).

==Rotation==
Das Analogon zum Auflaufstoss bilden zwei [[Zwei Schwungräder|Schwungräder]], die über eine Rutschkupplung miteinander verbunden sind. Die beiden Schwungräder werden als zwei zylindrische Gefässe mit dem [[Massenträgheitsmoment]] als Grundfläche und der [[Winkelgeschwindigkeit]] als Füllhöhe dargestellt. Drehen sich die Räder unterschiedlich schnell, weisen die Gefässe unterschiedliche Füllhöhen auf. Durch die Wirkung der Rutschkupplung fliesst der [[Drehimpuls]] (Flüssigkeit) vom sich schneller drehende in das mit kleinerer Winkelgschwindigkeit rotierende Rad. Der "hinunterfallende" Drehimpulsstrom setzt in der Rutschkupplung Energie frei, bis sich die Winkelgeschwindigkeiten (Füllhöhen) angeglichen haben. Weist die Kupplung eine gewisse Elastizität auf, pumpt sie zusätzlich Drehimpuls vom nun langsamer gewordenen in das zwischenzeitlich schneller drehende Rad. Im Flüssigkeitsbild erscheint die Winkelbeschleunigung als Steig- oder Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels.

Aus dem Flüssigkeitsbild können folgende Informationen mehr oder weniger direkt entnommen werden:
*Drehimpulsinhalt = Massenträgheitsmoment*Winkelgeschwindigkeit (Grundfläche mal Höhe)
*Drehimpulsübertrag = Massenträgheitsmoment*Winkelgeschwindigkeitsänderung (Grundfläche mal Höhenänderung)
*mittlere Drehimpulsstromstärke = Drehimpulsübertrag dividiert mit der benötigten Zeit
*Drehimpulsänderungsrate = Summe über alle Drehimpulsströme ([[Bilanz]]gleichung)
*Winkelbeschleunigung = Drehimpulsänderungsrate durch Massenträgheitsmoment (Geschwindigkeit des Spiegels = Volumenänderungsrate durch Grundfläche)
*Prozessleistung = Drehimpulsstromstärke*aktuelle Winkelgeschwindigkeitsdifferenz (Stromstärke mal Fallhöhe)
*zugeordneter Energiestrom = Drehimpulsstromstärke mal aktuelle Winkelgeschwindigkeit (Stromstärke mal Höhe über Bezugsniveau)
*Energieumsatz = Drehimpulsübertrag*mittlere Winkelgeschwindigkeitsdifferenz
*Rotationsenergie = Drehimpulsinhalt*halbe Winkelgeschwindigkeit (die Rotationsenergie wird freigesetzt, falls der gesamte Drehimpuls an die Erde abfliesst)

In der [[Rotationsmechanik]] eignet sich das Flüssigkeitsbild zur Darstellung von Prozessen längs einer Achse ([[Torsion]] der drehimpulsführenden Bauteile) oder zur Veranschaulichung von Ausgleichsvorgängen in der Ebene ([[Biegung]] der drehimpulsführenden Bauteile). Das Massenträgheitsmoment der einzelnen Körper kann konstant bleiben, oder sich wie bei der [[Pirouette]] mit der Zeit ändern.

==Elektrizität==
Kondensatoren, die parallel miteinander verbunden sind, lassen sich gut im Flüssigkeitsbild darstellen. Dazu denkt man sich die eine Seite der Schaltung geerdet. Die nicht geerdeten Teile der Kondensatoren erscheinen dann als zylinderförmige Gefässe mit der Kapazität als Grundfläche und der Spannung als Füllhöhe. Widerstände behindern die Ausgleichsvorgänge wie bei einer Rohrströmung und eine Induktivität macht sich als Trägheit der Flüssigkeit bemerkbar. Die Energie der Kondensatoren erscheint wie die kinetische Energie (Translation) oder die Rotationsenegie (Rotation) als potentielle Energie der Flüssigkeit (Flüssigkeitsmenge mal mittlere Förderhöhe). Daneben gilt die ziemlich gebräuchliche hydroelektrische Analogie.

==Wärme==
Thermische Prozesse, wie sie in Wärmekraftmaschinen oder Wärmepumpen ablaufen, können mit [[Wasserfallbild|fallendem]] oder zu pumpendem Wasser verglichen werden. Die (schwere) Masse des Wassers verkörpert dann die [[Entropie]] und die Fall- oder Pumphöhe (genauer: Differenz des Gravitationspotenzials) entspricht der Temperaturdifferenz. Die in einem reversiblen Prozess umgesetzte Leistung ist folglich gleich Entropiestromstärke mal Temperaturdifferenz und der von einem Entropiestrom mitgeführte [[zugeordneter Energiestrom]] ist gleich absolute Temperatur mal Entropiestromstärke.

Bei irreversiblen Prozessen versagt dieses Bild, weil wir uns eine Flüssigkeit, die sich beim Hinunterfallen wie die Entropie vermehrt, nicht vorstellen können. Deshalb lassen sich thermische Ausgleichsvorgänge mit der Entropie als [[Primärgrösse]] schlecht im Flüssigkeitsbild darstellen. Zudem ist die Entropiekapazität der meisten Körper temperaturabhängig, womit die Gefässe im Flüssigkeitsbild nicht mehr zylindrisch wären.

Erklärt man die Energie zur Flüssigkeit, können thermische RC-Glieder gut ins Flüssigkeitsbild übertragen werden. Die Wärmekapazität, die für viele Stoffe bei Zimmertemperatur nahezu konstant ist, bildet dann die Grundfläche und die Temperatur die Füllhöhe. Alle weiteren Zusammenhänge zwischen der Primärmenge und der Energie entfallen, weil nun die Energie statt der Entropie als bilanzierfähige Grösse auftritt.

[[Kategorie:Basis]]

Translationsmechanik

2007-06-05T20:22:51Z

Markus Steiner: /* konstitutive Gesetze */

==Gebiet==
Die Translationsmechanik beschäftigt sich mit der Dynamik (Speicher- und Transportvorgänge) des [[Impuls|Impulses]] und der damit verbundenen Bewegung von Körpern. Unter einem Körper verstehen wir eine abgrenzbare Menge "Materie" mit [[Masse]] und [[Volumen]]. Die Bewegung eines Körpers ist durch die Momentangeschwindigkeit seiner Bestandteile eindeutig beschrieben. Bewegt sich der Körper überall gleich schnell, bezeichnen wir ihn als homogenes System. In diesem Fall genügt die Angabe einer einzigen Geschwindigkeits-Zeit-Funktion zur Beschreibung der Bewegung.

Modellmässig kann man die Körper in Speicher- und Stromelemente unterteilen. Obwohl jeder Körper gleichzeitig Impuls speichert und weiterleitet, macht diese Einteilung Sinn. Zur Erläuterung betrachten wir einen Schnellzug. Beim Anfahren nimmt die Lok Impuls aus der Erde auf und leitet den grösseren Teil an die Wagen weiter. Lok und Wagen bilden die Hauptspeicher, die Antriebsachsen walten als Impulspumpen und die Zugeinrichtung wirkt als sehr guter Impulsleiter mit kleiner [[Induktivität]]. Fährt der Zug gegen einen zweiten, leiten die Puffer und die dazu in Serie geschalteten Zerstörungsglieder den Impuls unter Aufnahme von Energie weiter. Wenn man nun die Wagen, die eine Masse von 40 Tonnen aufweisen und sich unter der Belastung nur um wenige Millimeter verformen, als reine Kapazitäten und die Puffer, die gut 100 kg schwer sind und bis zu 110 mm gestaucht werden, als Widerstände mit einer induktiven Wirkung beschreiben, haben wir ein erstes Modell entwickelt, das sich für gewisse Untersuchungen eignet. Dieses Modell lässt sich verfeinern, indem jeder Wagen als Verformungs-Speicher-Verformungs-System beschrieben wird.

Die Felder bilden eine spezielle Klasse von Systemen. In der klassischen Physik kennt man nur das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische]] und das [[Gravitationsfeld]]. Diese Felder sind raumfüllend, haben also kein abgegrenztes Volumen, leiten den Impuls mit Lichtgeschwindigkeit weiter und verfügen über ein sehr geringes Speichervermögen. Felder können nur mit den mathematischen Methoden der [[Kontinuumsphysik]] beschrieben werden. Der Impulsaustausch zwischen Körper und den Feldern erfolgt über Quellen. Impulsquellen verkoppeln die Systeme volumenmässig, wogegen bei Impulsströmen der Impuls durch die Oberfläche der Körper fliesst.

==eindimensional==
In der eindimensionalen Translationsmechanik untersucht man nur Bewegungen längs einer Geraden. Mit der Wahl der positiven Koordinatenachse legt man das Vorzeichen für den Impulsinhalt, die Richtung des Impulsstromes, sowie der Geschwindigkeit, des zugehörigen [[Potenzial|Potenzials]], fest. Ein in positive Richtung fliessender Impulsstrom belastet das Leitermaterial auf [[Druck]]; eine Zugbelastung weist auf einen Impulsstrom hin, der in negative Richtung, also gegen die Orientierung der Koordinatenachse fliesst.

===Impulsbilanz===
Ein Körper kann über die Oberfläche mit einem benachbarten Körper oder über Quellen mit einem Feld Impuls austauschen. Die [[Impulsbilanz]] besagt, dass die Summe über alle [[Impulsstrom|Impulsstromstärken]] und Impuls[[Quelle|quellenstärke]]n gleich der Impuls[[änderungsrate]] ist. Zufliessende Ströme und Quellen gehen mit einem positiven Vorzeichen, abfliessende Ströme und Senken mit einem negativen Vorzeichen in die [[Bilanz]] ein.

===konstitutive Gesetze===
Die träge [[Masse]] wirkt als Kazität, d.h. der Quotien aus Impulsinhalt und Masse definiert die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes (dynamische Geschwindigkeit).

Resistive Elemente leiten den Impuls über ein Geschwindigkeitsgefälle. Mit der Geschwindigkeitsdifferenz-Impulsstromstärke-Funktion oder umgekehrt mit der Impulsstromstärke-Geschwindigkeits-Funktion wird das dynamische Verhalten eines Widerstandselementes vollständig beschrieben.

Federelemente verhalten sich induktiv, werden aber meist durch die Impulsstromstärke-Verformungs-Funktion beschrieben.

Die Berechnung des Ortes aus der Geschwindigkeit bzw. der Verformung aus der Geschwindigkeitsdifferenz durch eine Integration über die Zeit ist eine rein geometrische oder kinematische Angelegenheit. Hinter der Gleichsetzung der dynamischer Geschwindigkeit (Quotient aus Impulsinhalt und Masse) mit der kinematischen Geschwindigkeit ([[Änderungsrate]] des Ortes) steckt aber auch ein konstitutives Gesetz, das in der [[Quantenmechanik]] so nicht mehr gültig ist.

===Rolle der Energie===
Ein Impulsstrom ist von einem Energiestrom begleitet, sobald sich die [[Referenzfläche]] bewegt. Die Geschwindigkeit der Referenzfläche ordnet der Impulsstromstärke eine Energiestromstärke zu

'''Energiestromstärke = Geschwindigkeit mal Impulsstromstärke'''

Die Geschwindigkeit ist das Energiebeladungsmass des Impulsstromes. Fliesst der Impulsstrom durch einen sich verformenden Körper, setzt er eine Prozessleistung um

'''Prozessleistung = Geschwindigkeitsdifferenz mal Impulsstromstärke'''

Die Energie, die zusammen mit dem Impuls in einem Körper gespeichert wird, nennt man [[kinetische Energie]]. Der momentanen Wert der kinetischen Energie kann direkt dem [[Flüssigkeitsbild]] entnommen werden:

'''kinetische Energie = halbe Geschwindigkeit mal Impulsinhalt'''

Die Energiebetrachtung bildet eine zweite Ebene, die vollständig aus dem dynamischen Modell abgeleitet werden kann.

===Beispiel===
Der frontale Aufprall eines [[Auto]] Autos gegen ein zweites soll modelliert werden. In einer ersten Modellierung schalten wir den Einfluss der Strasse aus (Glatteis) und zerlegen beide Autos in ein Speicherelement und ein Stromelement (Knautschzone). Die Speicherelemente wirken mit ihrer träge Masse kapazitiv, die Stromelemente induktiv-resistiv. Das Verhalten der Stromelemente lässt sich am besten mit einer Impulsstromstärke-Verformungs- und einer Impulsstromstärke-Geschwindigkeits-Funktion beschreiben, wobei die letztgenannte zusammen mit dem Anteil der Hysterese der ersten den resistiven Anteil ausmacht.

Stellt man diesen frontalen Stoss im [[Flüssigkeitsbild]] dar, wird erkennbar, dass weder der Gesamtimpuls noch die kinetische Energie den Umfang des Blechschadens bestimmen. Nur die vom Impuls freigesetzte Energie führt zur "Verformunsarbeit". Die Basisstruktur des systemdynamischen Modells kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden.

===formelmässige Beschreibung===

{|border = "1"
!Gesetz
!Formel
!Einheiten
!Bemerkung
|-
|Impulsbilanz
|''<big>Σ</big>i Ipxi + Σpx = dppx/dt''
|N = N
|''Σpx'' Quellenstärke
|-
|Speichergesetz
|''px = m vx''
|Ns = kg m/s
|definiert Geschwindigkeit des MMP
|-
|viskose Reibung
|''Ipx = Gpx Δvx''
|N = kg/s m/s
|''Gpx'': Leitwert
|-
|viskose Reibung
|''Δvx = Rpx Ipx''
|m/s = s/kg N
|''Rpx'': Widerstand
|-
|turbulente Reibung
|''Ipx = kpx abs(Δvx) Δvx''
|N = kg/m m/s m/s
|''kpx'': Beiwert
|-
|Trockenreibung
|''Ipx = Ipx0 sgn(Δvx)''
|N = N 1
|''Ipx0'': "Reibkraft"
|-
|induktives Gesetz
|''dIpx/dt = Δvx / Lpx''
|N/s = kg/s2 m/s
|nur bei linearem Verhalten sinnvoll
|-
|Federgesetz
|''Ipx = D Δx''
|N = kg/s2 m
|''D'' = 1/''Lpx''
|-
|Impulsquelle G
|''Σpx = m gx''
|N = kg N/kg
|Gewichts-, Gravitations oder Schwerkraft
|-
|Impulsquelle E
|''Σpx = Q Ex''
|N = As N/As
|elektrische Kraft
|-
|Ortsberechnung
|''x = <big>∫</big> vxdt''
|m = m/s s
|Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen
|-
|Verformung
|''Δx = <big>∫</big> Δvxdt''
|m = m/s s
|Länge = Anfangslänge plus Verformung
|-
|zugeordneter Energiestrom
|''IW = vx Ipx''
|W = N m/s
|Leistung einer Kraft
|-
|Prozessleistung
|''P = Δvx Ipx''
|W = N m/s
|Umsatz über Stromglied
|-
|kinetische Energie
|''Wkin = vx_halbe px = m/''2'' (vx)2''
|J = kg m2/s2
|freigesetzt, falls Impuls an Erde abfliesst
|}

==mehrdimensional==
Zur Formulierung der vollen Dynamik in der [[ebene Mechanik|Ebene]] oder im [[räumliche Mechanik|Raum]] müssen die Translations- und die Rotationsmechanik zusammengefügt werden. Beschränkt man sich auf die Bewegung von punktförmigen Körpern im Gravitations- oder elektromagnetischen Feld, erhält man die älteste Modellstruktur der Physik, die Newton- oder [[Punktmechanik]].

==Relativität==
Die dynamische Struktur der Translationsmechanik lässt sich problemlos auf die spezielle Relativitätstheorie ausdehnen. Als einziges zusätzliches Gesetz kommt die Äquivalenz von Masse und Energie dazu. Masse und Energie sind nun nur noch zwei verschiedene Wörter für die gleiche physikalische Grösse. Dass wir die Energie und die Masse in verschiedenen Einheiten messen, hat praktische Gründe und hängt mit unserem Erfahrungshintergrund zusammen, der uns ja auch dazu gebracht hat, [[Raumzeit|Raum und Zeit]] in verschiedenen Einheiten anzugeben.

===Bilanzgleichungen und Bezugssystem===
In der Relativitätstheorie schwebt die [[Energiebilanz]] nicht mehr als zweite Ebene über der Dynamik. Die Energie- oder [[Massenbilanz]] steht nun gleichwertig neben der [[Impulsbilanz]]. Die Bilanzgleichungen sind weiterhin bezüglich eines Bezugssystems (Weltsystem) aufzustellen. Üblicherweise besitzt das Bezugssystem eine so grosse Impulskapazität, dass es nicht auf die Aufnahme oder Abgabe von Impuls reagiert.

Bei einem Wechsel des Bezugssystems können Grössen wie Länge, Zeitabschnitt, Masse, Impuls- oder Energiestromstärke ihren Wert ändern. Solche Effekte treten aber auch in der nichtrelativistischen Mechanik auf. Beschreibt man zum Beispiel den [[Auflaufstoss|Rangierstoss]] aus der Sicht eines Bahnangestellten, der auf einem der beiden Güterwagen steht, nehmen nicht nur der [[Impuls]] und die [[Energie]] der Wagen andere Werte an. Der Bähnler erfährt auch eine um das [[Trägheitsfeld]] erweiterte Gravitation, also ein um die Trägheitskraft ergänztes Gewicht. Dieser Effekt, die bezugssystemabhängige Veränderung der Gravitation, kann einen Piloten zu fatalen Fehlern verleiten. Deshalb sollte man das Bezugssystem nur wechseln, wenn die Prozesse einfacher zu beschreiben sind und wenn man weiss, wie sich die einzelnen Grössen transformieren.

===konstitutive Gleichungen===
Das kapazitive Gesetz, wonach der Quotient aus Impuls und Masse die dynamische Geschwindigkeit ergibt, bleibt weiterhin gültig. Nur verhält sich die Masse als Kapazität anders als etwa die Entropiekapazität. Das Verhalten eines Entropiespeichers kann im [[Flüssigkeitsbild]] durch ein Gefäss mit höhenabhängigem Querschnitt dargestellt werden, wogegen der Impulsspeicher in diesem Bild immer als Zylinder erscheint, der seinen Querschnitt mit der Zufuhr von Energie/Masse erweitert. Deshalb definiert man die Entropiekapazität differentiell, wogegen die Masse immer gleich Gesamtimpuls dividiert durch die momentane Geschwindigkeit ist.

Der Zusammenhang zwischen Impuls- und Energietransport gehört nun auch zu den konstitutiven Gesetzen, wobei die Formeln für den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] wie auch für die [[Prozessleistung]]
gültig bleiben. Nur muss man darauf achten, dass alle Beziehunten vom gleichen Bezugssystem aus formuliert werden. Weil in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeiten nicht mehr vektoriell zusammengezählt werden dürfen, kann man einen Prozess nicht einfach bezüglich einer Rakete beschreiben und dann ohne Anpassung auf die Sicht eines aussenstehenden Beobachters übertragen.

Strombezogene Gesetze wie die Beschreibung einer Reibschicht oder einer Feder können theoretisch formuliert werden, nur wird man kaum einen Bezug zur Praxis finden. Weil die Gravitation mit den nicht ganz einfachen Gesetzen der Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden muss, bleibt eigentlich nur das elektromagnetische Feld als Impulspumpe. Das elektromagnetische Kraftgesetz, die Lorentzkraft, bleibt in der gewohnten Form gültig. Der Umstand, dass eine beschleunigte Ladung strahlt, kann in einer ersten Näherung weggelassen werden.

===formelmässige Beschreibung===

{|border = "1"
!Gesetz
!Formel
!Einheiten
!Bemerkung
|-
|[[Impulsbilanz]]
|''<big>Σ</big>i Ipxi + Σpx = dppx/dt''
|N = N
|''Σpx'' Quellenstärke
|-
|Impulsbilanz
|''<big>Σ</big>i '''F'''i = d'''p'''/dt''
|N = N
|koordinatenfreie Formulierung
|-
|[[Massenbilanz]]
|''<big>Σ</big>i Imi = dm/dt''
|N = N
|''Σpx'' Quellenstärke
|-
|Speichergesetz
|''px = m vx''
|Ns = kg m/s
|definiert die dynamische Geschwindigkeit
|-
|Impulsquelle G
|''Σpx = m gx''
|N = kg N/kg
|bedingt anwendbar
|-
|Impulsquelle E
|''Σpx = Q Ex''
|N = As N/As
|elektrische Kraft
|-
|Lorentzkraft
|'''''F'''L = Q ('''E''' + '''v''' x '''B''')
|N = C N/C = C m/s T
|Wirkung des elektromagnetischen Feldes
|-
|Ortsberechnung
|''x = <big>∫</big> vxdt''
|m = m/s s
|Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen
|-
|[[zugeordneter Energiestrom]]
|''IW = vx Ipx''
|W = N m/s
|''IW = Im c2''
|-
|[[Prozessleistung]]
|''P = Δvx Ipx''
|W = N m/s
|Umsatz über Stromglied
|-
|[[Energie]]
|''W = m c2''
|J = kg m2/s2
|Energie des Körpers
|-
|[[kinetische Energie]]
|''Wkin = (m - m0) c2''
|J = kg m2/s2
|freigesetzt, falls Impuls an Bezugssystem abfliesst
|}

[[Kategorie:Trans]]

Rotator

2007-06-05T20:17:53Z

Markus Steiner: /* Energie */

Der Rotator ist ein [[starrer Körper]], der um eine festen Achse drehbar gelagert ist. Der Rotator kann nur eine Komponente des [[Drehimpuls]]es frei austauschen; er besitzt nur einen [[Freiheitsgrad]] der Bewegung. Die andern beiden Komponenten des Drehimpulses, sowie die in Richtung der Achse weisende Komponente des [[Impuls]]es sind zu jedem Zeitpunkt gleich Null. Die zwei restlichen Komponenten des Impulses sind durch die [[Winkelgeschwindigkeit]] und die Lage des [[Massenmittelpunkt]]es festgelegt.

Die Mechanik des Rotators kann mit Hilfe der [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich der festen Achse und dem zugehörigen [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] beschrieben werden. Im Physikunterricht werden am Beispiel des Rotators Begriffe wie [[Drehmoment]], [[Massenträgheitsmoment]] oder [[Rotationsenergie]] eingeführt. Weil die Mechanik des Rotators aus einem Mix aus [[Translationsmechanik]] und [[Rotationsmechanik]] besteht und diese hybride Struktur nicht offen gelegt wird, entwickeln die Studierenden leider oft viele Fehlvorstellungen, die später nur noch schwer zu beheben sind.

==Bilanzgesetze==
Teilt man die [[Impulsstrom|Impulsstromstärken]] bezüglich des Rotators, die [[Kraft|Kräfte]], in die Lagerkraft '''''F'''L'' und in die äusseren Kräfte ein, lauten die Bilanzgleichungen wie folgt

:Impulsbilanz: <math>\sum_i \vec F_i + \vec F_L + m \vec g = \dot {\vec p}</math>

:Drehimpulsbilanz: <math>\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right) = \dot {\vec L}</math>

Die Distanzvektoren '''''r'''i'' zeigen vom [[Massenmittelpunkt]] des Rotators zum Angriffszentrum der jeweiligen Kraft.

Die Achse verhindert nun, dass drei von den sechs skalaren [[Primärgrösse|Mengen]] (eine Komponente des Impulses und zwei Komponenten des Drehimpulses) gespeichert werden können. Legt man die ''z''-Achse des globalen Koordinatensystems parallel zur Rotatorachse, lauten die nicht trivialen Bilanzgleichungen

:Impuls: <math>\sum_i \vec F_{ni} + \vec F_{nL} + m \vec g_n = \dot {\vec p}_n</math>

:Drehimpulsbilanz: <math>\sum_i M_{zi} + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right)_z + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right)_z = \dot L_z</math>

Der Index ''n'' steht für ''normal'' und weist darauf hin, dass nur die normal zur Achse gerichtete Komponente, die in der ''x''-''y''-Ebene liegt, gemeint ist.

==Hybridisierung==
Die Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz lassen sich zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen, indem die Impulsbilanz mit einem Ortsvektor, der von einem beliebigen Punkt auf der Achse zum Massenmittelpunkt zeigt, von links her vektoriell multipliziert

:<math>\vec s_{MMP} \times \sum_i \vec F_i + \vec s_{MMP} \times \vec F_L + \vec s_{MMP} \times m \vec g = \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}</math>

und zur Drehimpulsbilanz addiert wird

:<math>\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec s_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec s_L \times \vec F_L \right) + \vec s_{MMP} \times \vec F_G = \dot {\vec L} + \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}</math>

Die Ortsvektoren <math>\vec s_i = \vec s_{MMP} + \vec r_i</math> zeigen vom Bezugspunkt auf der Achse zum Mittelpunkt der Kraftangriffsfläche.

Die Achse, die bewirkt, dass nur die ''z''-Komponente des Drehimpulses und ''x''- und die ''y''-Komponente des Impulses ungleich Null sein können, bestimmt nun auch die Form der hybridisierten Bilanzgleichung

:<math>\sum_i M_{zi} + \sum_j \left(\vec s_j \times \vec F_j \right)_z = \dot {L}_z + \left(\vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}\right)_z</math>

Die Wirkung der Lagerkraft ist verschwunden, weil '''''s'''L'' in ''z''-Richtung zeigt. Das Drehmoment der Gewichtskraft bezüglich der Achse ist zu den Drehmomenten der andern Kräfte dazu addiert worden. Die Drehimpulsbilanz besagt nun, dass die Summe über alle reinen Drehmomente und die Summe über alle Drehmomente der Kräfte (inkl. Gravitationskraft) bezüglich der festen Achse gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist. Dieser Drehimpuls setzt sich aus Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls zusammen.

==Kapazitivgesetz==
Das [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] der Drehmechanik beschreibt beim Rotator den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls in ''z''-Richtung (Menge) und der zugehörigen Winkelgeschwindigkeit (Potenzial). Der Eigendrehimpuls '''''L'''E'' darf als Massenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden, wobei das Massenträgheitsmoment auf die gegebene Achse zu beziehen ist

:<math>L_E = J_z \omega</math>

Der [[Impuls]] darf gemäss dem kapazitiven Gesetz der [[Translationsmechanik]] als [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]] des Massenmittelpunktes geschrieben werden. Diese Geschwindigkeit steht normal zur Achse und normal zum Radiusvektor '''''R'''MMP'' (Normalkomponente von '''''s'''MMP''). Damit vereinfacht sich der Bahndrehimpuls auf

:<math>L_B = m R_{MMP}^2 \omega</math>

Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls des Rotators können nun zu einer gemeinsamen Kapazität für die Grösse Drehimpuls zusammengefasst werden

:<math>L = L_E + L_B = (J_z + m R_{MMP}^2) \omega = J_A\omega </math>

Das Massenträgheitsmoment des Rotators, dessen Drehimpulskapazität, besteht aus dem Massenträgheitsmoment des [[starrer Körper|starren Körpers]] bezogen auf die feste Achse plus einem Anteil, der quadratisch mit dem Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse zunimmt. Der erste Term beschreibt das eigentliche Fassungsvermögen an ''z''-Drehimpuls, der zweite das Fassungsvermögen an Bahndrehimpuls.

==ebene Betrachtungsweise==
Der Rotator kann nur die ''z''-Komponente des Drehimpulses frei speichern. Diesen Drehimpuls tauscht der Rotator entweder über die Achse (''M'') oder quellenartig mit der Umgebung (als Folge von querfliessendem Impuls) aus. Die Quellenstärke bezüglich des ''z''-Drehimpulses darf den einzelnen Kräften zugeschrieben werden ([[Drehmoment einer Kraft]]). Dazu bildet man das Produkt aus dem Betrag der normal zur Achse sowie zum Abstandsvektor '''''s''j''' stehenden Kraftkomponente und dem Abstand ''R'' des "Kraftangriffspunktes" von der Achse. Nach diesen Vereinfachungen darf bei der Formulierung der ''z''-Drehimpulsbilanz auf die Vektorschreibweise verzichtet werden

:<math>M + \sum_j R_j F_{tj} = (J+ m R_{MMP}^2) \dot \omega = J_A \dot \omega</math>

Nach all diesen Umformungen und Vereinfachungen nimmt die Drehimpulsbilanz eine zur eindimensionalen [[Impulsbilanz]] des [[Punktmechanik|Massenpunktes]] analoge Form an (die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung). Nur sollte man nicht vergessen, dass der Rotator über die Achse zwangsweise [[Impuls]] (statische [[Unwucht]] und achsial wirkende Zwangskräfte) und [[Drehimpuls]] (dynamische Unwucht) mit der Umgebung austauschen kann.

==Energie==
[[Impuls]] und [[Drehimpuls]] sind [[Energieträger]]. Die von den zugehörigen Strömen transportiere Energie, den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] berechnet sich aus Stromstärke mal [[Potenzial]]

:<math>I_W = I_{px} v_x + I_{py} v_y + I_{pz} v_z = F_x\omega_x + F_y \omega_y + F_z \omega_z = P(\vec F)</math>

:<math>I_W = I_{Lx}\omega_x + I_{Ly}\omega_y + I_{Lz} \omega_z = M_x\omega_x + M_y \omega_y + M_z \omega_z = P(\vec M)</math>

Bezieht man die Impuls- und die Drehimpulsstromstärke auf einen Körper, heissen die zugeordneten Energieströme Leistung einer Kraft bzw. Leistung eins Drehmomentes.

Die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie heisst [[kinetische Energie|kinetische]], die gemeinsam mit dem Drehimpuls aufgenommene oder abgegebene Energie nennt man [[Rotationsenergie]]. Damit die Aussage der [[Energiebilanz]], wonach die Summe über alle Energieströme gleich der Änderungsrate des Energieinhaltes ist, zutrifft, darf dem einem Impulsstrom zugeordneten Drehimpulsstrom, dem Drehmoment einer Kraft, nicht auch noch ein Energiestrom zugewiesen werden.

Um die Energiebilanz eines Rotators zu formulieren, multipliziert man die aus der Impuls- und Drehimpulsbilanz gewonnene Gleichung mit der momentanen Winkelgeschwindigkeit

:<math>M \omega + \sum_j R_j F_{tj} \omega = P(M) + \sum_j P(F_j)= J_A \dot \omega \omega = \frac {J_A}{2}\dot {\omega^2} = \dot W_{Bew}</math>

Üblicherweise schreibt man der Gewichtskraft keine Leistung zu (ordnet man dem graviativ zugeführten Impuls keine Energie zu) und führt eine Gravitations- oder potenzielle Energie ein. Damit erhält man die üblicherweise formulierte Energiebilanz

:<math>P(M) + \sum_i P(F_i)= \dot W_G + \dot W_{Bew}</math>

Die [[Bewegungsenergie]], die wie die Rotationsenergie bezüglich eines um ''m r''2 korrigierten Massenträgheitsmoments formuliert ist, nennt man oft auch nur Rotationsenergie.

==Fehlkonzepte==

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Rotator

2007-06-05T20:12:03Z

Markus Steiner: /* Kapazitivgesetz */

Der Rotator ist ein [[starrer Körper]], der um eine festen Achse drehbar gelagert ist. Der Rotator kann nur eine Komponente des [[Drehimpuls]]es frei austauschen; er besitzt nur einen [[Freiheitsgrad]] der Bewegung. Die andern beiden Komponenten des Drehimpulses, sowie die in Richtung der Achse weisende Komponente des [[Impuls]]es sind zu jedem Zeitpunkt gleich Null. Die zwei restlichen Komponenten des Impulses sind durch die [[Winkelgeschwindigkeit]] und die Lage des [[Massenmittelpunkt]]es festgelegt.

Die Mechanik des Rotators kann mit Hilfe der [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich der festen Achse und dem zugehörigen [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] beschrieben werden. Im Physikunterricht werden am Beispiel des Rotators Begriffe wie [[Drehmoment]], [[Massenträgheitsmoment]] oder [[Rotationsenergie]] eingeführt. Weil die Mechanik des Rotators aus einem Mix aus [[Translationsmechanik]] und [[Rotationsmechanik]] besteht und diese hybride Struktur nicht offen gelegt wird, entwickeln die Studierenden leider oft viele Fehlvorstellungen, die später nur noch schwer zu beheben sind.

==Bilanzgesetze==
Teilt man die [[Impulsstrom|Impulsstromstärken]] bezüglich des Rotators, die [[Kraft|Kräfte]], in die Lagerkraft '''''F'''L'' und in die äusseren Kräfte ein, lauten die Bilanzgleichungen wie folgt

:Impulsbilanz: <math>\sum_i \vec F_i + \vec F_L + m \vec g = \dot {\vec p}</math>

:Drehimpulsbilanz: <math>\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right) = \dot {\vec L}</math>

Die Distanzvektoren '''''r'''i'' zeigen vom [[Massenmittelpunkt]] des Rotators zum Angriffszentrum der jeweiligen Kraft.

Die Achse verhindert nun, dass drei von den sechs skalaren [[Primärgrösse|Mengen]] (eine Komponente des Impulses und zwei Komponenten des Drehimpulses) gespeichert werden können. Legt man die ''z''-Achse des globalen Koordinatensystems parallel zur Rotatorachse, lauten die nicht trivialen Bilanzgleichungen

:Impuls: <math>\sum_i \vec F_{ni} + \vec F_{nL} + m \vec g_n = \dot {\vec p}_n</math>

:Drehimpulsbilanz: <math>\sum_i M_{zi} + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right)_z + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right)_z = \dot L_z</math>

Der Index ''n'' steht für ''normal'' und weist darauf hin, dass nur die normal zur Achse gerichtete Komponente, die in der ''x''-''y''-Ebene liegt, gemeint ist.

==Hybridisierung==
Die Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz lassen sich zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen, indem die Impulsbilanz mit einem Ortsvektor, der von einem beliebigen Punkt auf der Achse zum Massenmittelpunkt zeigt, von links her vektoriell multipliziert

:<math>\vec s_{MMP} \times \sum_i \vec F_i + \vec s_{MMP} \times \vec F_L + \vec s_{MMP} \times m \vec g = \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}</math>

und zur Drehimpulsbilanz addiert wird

:<math>\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec s_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec s_L \times \vec F_L \right) + \vec s_{MMP} \times \vec F_G = \dot {\vec L} + \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}</math>

Die Ortsvektoren <math>\vec s_i = \vec s_{MMP} + \vec r_i</math> zeigen vom Bezugspunkt auf der Achse zum Mittelpunkt der Kraftangriffsfläche.

Die Achse, die bewirkt, dass nur die ''z''-Komponente des Drehimpulses und ''x''- und die ''y''-Komponente des Impulses ungleich Null sein können, bestimmt nun auch die Form der hybridisierten Bilanzgleichung

:<math>\sum_i M_{zi} + \sum_j \left(\vec s_j \times \vec F_j \right)_z = \dot {L}_z + \left(\vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}\right)_z</math>

Die Wirkung der Lagerkraft ist verschwunden, weil '''''s'''L'' in ''z''-Richtung zeigt. Das Drehmoment der Gewichtskraft bezüglich der Achse ist zu den Drehmomenten der andern Kräfte dazu addiert worden. Die Drehimpulsbilanz besagt nun, dass die Summe über alle reinen Drehmomente und die Summe über alle Drehmomente der Kräfte (inkl. Gravitationskraft) bezüglich der festen Achse gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist. Dieser Drehimpuls setzt sich aus Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls zusammen.

==Kapazitivgesetz==
Das [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] der Drehmechanik beschreibt beim Rotator den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls in ''z''-Richtung (Menge) und der zugehörigen Winkelgeschwindigkeit (Potenzial). Der Eigendrehimpuls '''''L'''E'' darf als Massenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden, wobei das Massenträgheitsmoment auf die gegebene Achse zu beziehen ist

:<math>L_E = J_z \omega</math>

Der [[Impuls]] darf gemäss dem kapazitiven Gesetz der [[Translationsmechanik]] als [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]] des Massenmittelpunktes geschrieben werden. Diese Geschwindigkeit steht normal zur Achse und normal zum Radiusvektor '''''R'''MMP'' (Normalkomponente von '''''s'''MMP''). Damit vereinfacht sich der Bahndrehimpuls auf

:<math>L_B = m R_{MMP}^2 \omega</math>

Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls des Rotators können nun zu einer gemeinsamen Kapazität für die Grösse Drehimpuls zusammengefasst werden

:<math>L = L_E + L_B = (J_z + m R_{MMP}^2) \omega = J_A\omega </math>

Das Massenträgheitsmoment des Rotators, dessen Drehimpulskapazität, besteht aus dem Massenträgheitsmoment des [[starrer Körper|starren Körpers]] bezogen auf die feste Achse plus einem Anteil, der quadratisch mit dem Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse zunimmt. Der erste Term beschreibt das eigentliche Fassungsvermögen an ''z''-Drehimpuls, der zweite das Fassungsvermögen an Bahndrehimpuls.

==ebene Betrachtungsweise==
Der Rotator kann nur die ''z''-Komponente des Drehimpulses frei speichern. Diesen Drehimpuls tauscht der Rotator entweder über die Achse (''M'') oder quellenartig mit der Umgebung (als Folge von querfliessendem Impuls) aus. Die Quellenstärke bezüglich des ''z''-Drehimpulses darf den einzelnen Kräften zugeschrieben werden ([[Drehmoment einer Kraft]]). Dazu bildet man das Produkt aus dem Betrag der normal zur Achse sowie zum Abstandsvektor '''''s''j''' stehenden Kraftkomponente und dem Abstand ''R'' des "Kraftangriffspunktes" von der Achse. Nach diesen Vereinfachungen darf bei der Formulierung der ''z''-Drehimpulsbilanz auf die Vektorschreibweise verzichtet werden

:<math>M + \sum_j R_j F_{tj} = (J+ m R_{MMP}^2) \dot \omega = J_A \dot \omega</math>

Nach all diesen Umformungen und Vereinfachungen nimmt die Drehimpulsbilanz eine zur eindimensionalen [[Impulsbilanz]] des [[Punktmechanik|Massenpunktes]] analoge Form an (die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung). Nur sollte man nicht vergessen, dass der Rotator über die Achse zwangsweise [[Impuls]] (statische [[Unwucht]] und achsial wirkende Zwangskräfte) und [[Drehimpuls]] (dynamische Unwucht) mit der Umgebung austauschen kann.

==Energie==
[[Impuls]] und [[Drehimpuls]] sind [[Energieträger]]. Die von den zugehörigen Strömen transportiere Energie, den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] berechnet sich aus Stromstärke mal [[Potenzial]]

:<math>I_W = I_{px} v_x + I_{py} v_y + I_{pz} v_z = F_x\omega_x + F_y \omega_y + F_z \omega_z = P(\vec F)</math>

:<math>I_W = I_{Lx}\omega_x + I_{Ly}\omega_y + I_{Lz} \omega_z = M_x\omega_x + M_y \omega_y + M_z \omega_z = P(\vec M)</math>

Bezieht man die Impuls- und die Drehimpulsstromstärke auf einen Körper, heissen die zugeordneten Energieströme Leistung einer Kraft bzw. Leistung eins Drehmomentes.

Die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie heisst [[kinetische Energie|kinetische]], die gemeinsam mit dem Drehimpuls aufgenommene oder abgegebene Energie nennt man [[Rotationsenergie]]. Damit die Aussage der [[Energiebilanz]], wonach die Summe über alle Energieströme gleich der Änderungsrate des Energieinhaltes ist, zutrifft, darf dem einem Impulsstrom zugeordneten Drehimpulsstrom, dem Drehmoment einer Kraft, nicht auch noch ein Energiestrom zugewiesen werden.

Um die Energiebilanz eines Rotators zu formulieren, multipliziert man die aus der Impuls- und Drehimpulsbilanz gewonne gleichung mit der momentanen Winkelgeschwindigkeit

:<math>M \omega + \sum_j R_j F_{tj} \omega = P(M) + \sum_j P(F_j)= J_A \dot \omega \omega = \frac {J_A}{2}\dot {\omega^2} = \dot W_{Bew}</math>

Üblicherweise schreibt man der Gewichtskraft keine Leistung zu (ordnet man dem graviativ zugeführten Impuls keine Energie zu) und führt eine ein Gravitations oder potenzielle Energie ein. Damit erhält man die üblicherweise formulierte Energiebilanz

:<math>P(M) + \sum_i P(F_i)= \dot W_G + \dot W_{Bew}</math>

Die [[Bewegungsenergie]], die wie die Rotationsenergie bezüglich eines um ''m r''2 korrigierten Massenträgheitsmoments formuliert ist, nennt man oft auch nur Rotationsenergie.

==Fehlkonzepte==

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Rotator

2007-06-05T11:39:03Z

Markus Steiner:

Der Rotator ist ein [[starrer Körper]], der um eine festen Achse drehbar gelagert ist. Der Rotator kann nur eine Komponente des [[Drehimpuls]]es frei austauschen; er besitzt nur einen [[Freiheitsgrad]] der Bewegung. Die andern beiden Komponenten des Drehimpulses, sowie die in Richtung der Achse weisende Komponente des [[Impuls]]es sind zu jedem Zeitpunkt gleich Null. Die zwei restlichen Komponenten des Impulses sind durch die [[Winkelgeschwindigkeit]] und die Lage des [[Massenmittelpunkt]]es festgelegt.

Die Mechanik des Rotators kann mit Hilfe der [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich der festen Achse und dem zugehörigen [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] beschrieben werden. Im Physikunterricht werden am Beispiel des Rotators Begriffe wie [[Drehmoment]], [[Massenträgheitsmoment]] oder [[Rotationsenergie]] eingeführt. Weil die Mechanik des Rotators aus einem Mix aus [[Translationsmechanik]] und [[Rotationsmechanik]] besteht und diese hybride Struktur nicht offen gelegt wird, entwickeln die Studierenden leider oft viele Fehlvorstellungen, die später nur noch schwer zu beheben sind.

==Bilanzgesetze==
Teilt man die [[Impulsstrom|Impulsstromstärken]] bezüglich des Rotators, die [[Kraft|Kräfte]], in die Lagerkraft '''''F'''L'' und in die äusseren Kräfte ein, lauten die Bilanzgleichungen wie folgt

:Impulsbilanz: <math>\sum_i \vec F_i + \vec F_L + m \vec g = \dot {\vec p}</math>

:Drehimpulsbilanz: <math>\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right) = \dot {\vec L}</math>

Die Distanzvektoren '''''r'''i'' zeigen vom [[Massenmittelpunkt]] des Rotators zum Angriffszentrum der jeweiligen Kraft.

Die Achse verhindert nun, dass drei von den sechs skalaren [[Primärgrösse|Mengen]] (eine Komponente des Impulses und zwei Komponenten des Drehimpulses) gespeichert werden können. Legt man die ''z''-Achse des globalen Koordinatensystems parallel zur Rotatorachse, lauten die nicht trivialen Bilanzgleichungen

:Impuls: <math>\sum_i \vec F_{ni} + \vec F_{nL} + m \vec g_n = \dot {\vec p}_n</math>

:Drehimpulsbilanz: <math>\sum_i M_{zi} + \sum_i \left(\vec r_i \times \vec F_i \right)_z + \left(\vec r_L \times \vec F_L \right)_z = \dot L_z</math>

Der Index ''n'' steht für ''normal'' und weist darauf hin, dass nur die normal zur Achse gerichtete Komponente, die in der ''x''-''y''-Ebene liegt, gemeint ist.

==Hybridisierung==
Die Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz lassen sich zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen, indem die Impulsbilanz mit einem Ortsvektor, der von einem beliebigen Punkt auf der Achse zum Massenmittelpunkt zeigt, von links her vektoriell multipliziert

:<math>\vec s_{MMP} \times \sum_i \vec F_i + \vec s_{MMP} \times \vec F_L + \vec s_{MMP} \times m \vec g = \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}</math>

und zur Drehimpulsbilanz addiert wird

:<math>\sum_i \vec M_i + \sum_i \left(\vec s_i \times \vec F_i \right) + \left(\vec s_L \times \vec F_L \right) + \vec s_{MMP} \times \vec F_G = \dot {\vec L} + \vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}</math>

Die Ortsvektoren <math>\vec s_i = \vec s_{MMP} + \vec r_i</math> zeigen vom Bezugspunkt auf der Achse zum Mittelpunkt der Kraftangriffsfläche.

Die Achse, die bewirkt, dass nur die ''z''-Komponente des Drehimpulses und ''x''- und die ''y''-Komponente des Impulses ungleich Null sein können, bestimmt nun auch die Form der hybridisierten Bilanzgleichung

:<math>\sum_i M_{zi} + \sum_j \left(\vec s_j \times \vec F_j \right)_z = \dot {L}_z + \left(\vec s_{MMP} \times \dot {\vec p}\right)_z</math>

Die Wirkung der Lagerkraft ist verschwunden, weil '''''s'''L'' in ''z''-Richtung zeigt. Das Drehmoment der Gewichtskraft bezüglich der Achse ist zu den Drehmomenten der andern Kräfte dazu addiert worden. Die Drehimpulsbilanz besagt nun, dass die Summe über alle reinen Drehmomente und die Summe über alle Drehmomente der Kräfte (inkl. Gravitationskraft) bezüglich der festen Achse gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist. Dieser Drehimpuls setzt sich aus Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls zusammen.

==Kapazitivgesetz==
Das [[kapazitives Gesetz|Kapazitivgesetz]] der Drehmechanik beschreibt beim Rotator den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls in ''z''-Richtung (Menge) und der zugehörigen Winekgeschwindigkeit (Potenzial). Der Eigendrehimpuls '''''L'''E'' darf als Massenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden, wobei das Massenträgheitsmoment auf die gegebene Achse zu beziehen ist

:<math>L_E = J_z \omega</math>

Der [[Impuls]] darf gemäss dem kapazitiven Gesetz der [[Translationsmechanik]] als [[Masse]] mal [[Geschwindigkeit]] des Massenmittelpunktes geschrieben werden. Diese Geschwindigkeit steht normal zur Achse und normal zum Radiusvektor '''''R'''MMP'' (Normalkomponente von '''''s'''MMP''). Damit vereinfacht sich der Bahndrehimpuls auf

:<math>L_B = m R_{MMP}^2 \omega</math>

Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls des Rotators können nun zu einer gemeinsamen Kapazität für die Grösse Drehimpuls zusammengefasst werden

:<math>L = L_E + L_B = (J_z + m R_{MMP}^2) \omega = J_A\omega </math>

Das Massenträgheitsmoment des Rotators, dessen Drehimpulskapazität, besteht aus dem Massenträgheitsmoment des [[starrer Körper|starren Körpers]] bezogen auf die feste Achse plus einem Anteil, der quadratisch mit dem Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse zunimmt. Der erste Term beschreibt das eigentliche Fassungsvermögen an ''z''-Drehimpuls, der zweite das Fassungsvermögen an Bahndrehimpuls.

==ebene Betrachtungsweise==
Der Rotator kann nur die ''z''-Komponente des Drehimpulses frei speichern. Diesen Drehimpuls tauscht der Rotator entweder über die Achse (''M'') oder quellenartig mit der Umgebung (als Folge von querfliessendem Impuls) aus. Die Quellenstärke bezüglich des ''z''-Drehimpulses darf den einzelnen Kräften zugeschrieben werden ([[Drehmoment einer Kraft]]). Dazu bildet man das Produkt aus dem Betrag der normal zur Achse sowie zum Abstandsvektor '''''s''j''' stehenden Kraftkomponente und dem Abstand ''R'' des "Kraftangriffspunktes" von der Achse. Nach diesen Vereinfachungen darf bei der Formulierung der ''z''-Drehimpulsbilanz auf die Vektorschreibweise verzichtet werden

:<math>M + \sum_j R_j F_{tj} = (J+ m R_{MMP}^2) \dot \omega = J_A \dot \omega</math>

Nach all diesen Umformungen und Vereinfachungen nimmt die Drehimpulsbilanz eine zur eindimensionalen [[Impulsbilanz]] des [[Punktmechanik|Massenpunktes]] analoge Form an (die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung). Nur sollte man nicht vergessen, dass der Rotator über die Achse zwangsweise [[Impuls]] (statische [[Unwucht]] und achsial wirkende Zwangskräfte) und [[Drehimpuls]] (dynamische Unwucht) mit der Umgebung austauschen kann.

==Energie==
[[Impuls]] und [[Drehimpuls]] sind [[Energieträger]]. Die von den zugehörigen Strömen transportiere Energie, den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energiestrom]] berechnet sich aus Stromstärke mal [[Potenzial]]

:<math>I_W = I_{px} v_x + I_{py} v_y + I_{pz} v_z = F_x\omega_x + F_y \omega_y + F_z \omega_z = P(\vec F)</math>

:<math>I_W = I_{Lx}\omega_x + I_{Ly}\omega_y + I_{Lz} \omega_z = M_x\omega_x + M_y \omega_y + M_z \omega_z = P(\vec M)</math>

Bezieht man die Impuls- und die Drehimpulsstromstärke auf einen Körper, heissen die zugeordneten Energieströme Leistung einer Kraft bzw. Leistung eins Drehmomentes.

Die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie heisst [[kinetische Energie|kinetische]], die gemeinsam mit dem Drehimpuls aufgenommene oder abgegebene Energie nennt man [[Rotationsenergie]]. Damit die Aussage der [[Energiebilanz]], wonach die Summe über alle Energieströme gleich der Änderungsrate des Energieinhaltes ist, zutrifft, darf dem einem Impulsstrom zugeordneten Drehimpulsstrom, dem Drehmoment einer Kraft, nicht auch noch ein Energiestrom zugewiesen werden.

Um die Energiebilanz eines Rotators zu formulieren, multipliziert man die aus der Impuls- und Drehimpulsbilanz gewonne gleichung mit der momentanen Winkelgeschwindigkeit

:<math>M \omega + \sum_j R_j F_{tj} \omega = P(M) + \sum_j P(F_j)= J_A \dot \omega \omega = \frac {J_A}{2}\dot {\omega^2} = \dot W_{Bew}</math>

Üblicherweise schreibt man der Gewichtskraft keine Leistung zu (ordnet man dem graviativ zugeführten Impuls keine Energie zu) und führt eine ein Gravitations oder potenzielle Energie ein. Damit erhält man die üblicherweise formulierte Energiebilanz

:<math>P(M) + \sum_i P(F_i)= \dot W_G + \dot W_{Bew}</math>

Die [[Bewegungsenergie]], die wie die Rotationsenergie bezüglich eines um ''m r''2 korrigierten Massenträgheitsmoments formuliert ist, nennt man oft auch nur Rotationsenergie.

==Fehlkonzepte==

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Biegung

2007-06-05T11:35:37Z

Markus Steiner:

Biegung tritt auf, wenn ein Körper von seitwärts fliessendem Drehimpuls durchströmt wird. Die Stärke dieses Drehimpulsstromes bezüglich einer ausgewählten Querschnittfläche nennt man Biegemoment. In der Regel untersucht man die Biegung prismatischer Körper (Balken, Vierkantrohr, U-, T- oder H-Balken). Hier wird angenommen, dass die ''x''-Achse in Richtung des Balkens zeigt und dass ''y''-Drehimpuls durch den Balken transportiert wird.

==Drehimpulstransport==
[[Bild:DrehimpulsstromBiegung.png|thumb|Drehimpulsstrom und Impulsstrom bei Biegung]]
Der [[Drehimpulsstrom]] kann nicht direkt gemessen werden. In ruhenden Systemen ([[Statik]]) wird der Drehimpulsstrom aber immer durch [[Impulsstrom|Impulsströme]] berandet. Die Stärke dieser Impulsströme kann mit Hilfe der Verformung des durchflossene Material gemessen werden ([[Federwaage]], [[Kraftmessdose]]). Damit Drehimpuls seitwärts zu seiner Bezugsrichtung fliessen kann, muss der Transport beidseits durch Impulsströme begrenzt sein. Wird zum Beispiel ''y''-Drehimpuls in die positive ''x''-Richtung durch einen Balken transportiert, fliesst auf der einen Seite ''x''-Impuls in Richtung der ''x''-Achse (Druck) und auf der andern Seite gegen die ''x''-Achse (Zug). Das Bild zeigt wie der ''x''-Impuls- (rot) und der ''y''-Drehimpuls (blau) durch den in der Mitte nach oben gebogenen Balken fliessen.

Zwischen der Drehimpulsstromdichte ''jLyx'' und der Impulsstromdichte ''jpxx'' besteht eine spezielle Gradientenbeziehung

<math>j_{Lyx,z} = -j_{pxx}</math>

Die Symbolik '',z'' steht für die partielle Ableitung nach der ''z''-Koordinate.

==Drehimpulseinleitung==
[[Bild:Bleistift.jpg|thumb|Impulsströme im Bleistift]]
Drehimpuls kann von der Seite her über eine verdrehte Welle in den Balken eingeleitet werden. Daneben bilden sich [[Drehimpulsquelle|Drehimpulsquellen]], sobald Impuls seitwärts zu seiner Bezugsrichtung transportiert wird.

Ein Bleistift lässt sich biegen, indem man an beiden Enden mit je zwei versetzt angreifenden Fingern gegendrückt. Im Bereich der Hände fliesst dann der ''z''-Impuls (grün) entweder in positive (rechts) oder negative (links) ''x''-Richtung. Längs diesen beiden Stromabschnitten bilden sich Quellen (rechts) und Senken (links) des ''y''-Drehimpulses aus, wodurch ein von den Quellen nach links zu den Senken fliessender Drehimpulsstrom induziert wird. Dieser Drehimpulsstrom wird dann seinerseits wieder von sekundären Impulsströmen (rot) begleitet. Die Skizze zeigt die beiden primären Impulsströme (grün) sowie den sekundären Impulsstromkreis (rot). Diese Impulsstrombilder sind mit dem [[FE]]-Programm ''Comsol'' berechnet worden. Der Drehimpulsstrom ist hier nicht skizziert, weil er keinen direkten Einfluss auf das Materialverhalten nimmt und mit der FE-Methode auch nicht gerechnet werden kann.

==Verhalten des Bauteils==
Geht man davon aus, dass sich das Material im Bauteil linear-elastisch verhält und vernachlässigt man die kleinen Änderungen der Geometrie des Bauteils, kann ein Zusammenhang zwischen der Stärke des durchfliessenden Drehimpulsstromes und der Veränderung des Neigungswinkels der Querschnittflächen des belasteten Bauteils gefunden werden

<math>I_{Ly} = E I_y \varphi_{y,x}</math>

Wird ''y''-Drehimpuls mit der Stromstärke ''ILy'' in Richtung der ''x''-Achse durch ein Bauteil transportiert, werden die einzelnen Querschnittflächen des Bauteils im negativen Drehsinn gegen die ''y''-Achse verdreht: der Verdrehungsgradient ist proportional zur Stärke des durchfliessenden Drehimpulsstroms. Die Verdrehung ist umso kleiner, je grösser der [[Elastitzitätsmodul|''E-''Modul]] des Materials und je grösser das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts ist.

==Biegelinie==

[[Kategorie:Rot]]

Datei Diskussion:DrehimpulsstromBiegung.png

2007-06-05T11:22:33Z

Markus Steiner:

die Achsenbeschriftung ist falsch (2mal Z-Achse, Y-Achse fehlt)

Milch kühlen

2007-06-04T19:18:59Z

Markus Steiner:

In einem Milchverarbeitungsbetrieb sollen 6000 Kilogramm Milch von 25°C auf 5°C abgekühlt werden. Eine [[Wärmepumpe]], welche die Wärme reversibel von -3°C und 37° fördert, sorgt für eine konstante Temperatur des Kühlraums von 0°C. Milch hat eine spezifische [[Wärmekapazität]] von 3.85 kJ/(kgK).
#Im Text kommt das Wort Wärme drei Mal vor. Ist drei Mal die gleiche physikalische Grösse gemeint?
#Wie viel Energie gibt die Milch an den Kühlraum ab?
#Wie viel Entropie wird dem Kühlraum von der sich abkühlenden Milch zugeführt?
#Wie viel Entropie fördert die Wärmepumpe?
#Wie viel Energie benötigt sie dazu?
#Die Wärme wird zum Schluss an die Umwelt abgeführt (Temperatur 27°C). Wie viel Entropie wird infolge des ganzen Kühlvorgangs produziert?

'''[[Lösung zu Milch kühlen|Lösung]]'''

[[Kategorie:Thermo]] [[Kategorie:Aufgaben]] [[Kategorie:ThermoAuf]]

Entropieproduktion

2007-06-02T19:42:14Z

Markus Steiner:

==Phänomen==
Entropie kann gespeichert und transportiert, aber auch produziert werden. Wird Entropie produziert, sagen wir oft, dass Wärme entsteht. In der Tat entspricht das umgangssprachliche Wort Wärme eher der [[Entropie]] als der [[Energie]].

{| border = "1"
!width = "160"|Vorgang
!width = "160"|Primärprozess
!width = "240"|Primärgrösse, Potenzial
|-
|Strömungswiderstand
|hydrodynamisch
|Volumen, Druck
|-
|Vollbremsung
|translationsmechanisch
|Impuls, Geschwindigkeit
|-
|Rutschkupplung
|rotationsmechanisch
|Drehimpuls, Winkelgeschwindigkeit
|-
|Elektroheizung
|elektrisch
|Ladung, elektrisches Potenzial
|-
|Diffusion
|chemisch
|Stoffmenge, chemisches Potenzial
|-
|Wärmeleitung
|thermisch
|Entropie, Temperatur
|}

==Theorie==
Ein Prozess setzt eine Prozessleistung frei, falls eine [[Primärgrösse]] über eine [[Potenzial|Potenzialdifferenz]] fällt. Die momentan freigesetzte Prozessleistung ist gleich dem Produkt aus Stromstärke und Potenzialdifferenz

<math>P = \Delta\varphi_M I_M</math>

Wird diese Leistung von einem zweiten Prozess vollständig aufgenommen, liegt eine ideale [[Prozesskopplung]] vor. Andernfalls sagt man, dass die Energie dissipiert worden sei. Nun kann die Entropieproduktion direkt aus der dissipierten Leistung berechnet werden

<math>\Pi_S = \frac {P_{diss}} {T}</math>

Als Temperatur ist der am Ort des Prozesses zu messende Wert einzusetzen.

Die Wärmeleitung folgt nicht ganz dem allgemeinen Schema ab, wonach eine Primärgrösse eine Leistung frei setzt, mit der Entropie produziert wird. Bei der Wärmeleitung produziert die durchfliessende Entropie selbst wieder Entropie, d.h. die produzierte Menge ist von der primär fliessenden nicht zu unterscheiden. Netto misst man am Ausgang eines Wärmeleiters dann einfach mehr Entropie als am Eingang. Dafür bleibt der Energiestrom erhalten.

==Zeitumkehr==
In der [[Raumzeit]] bildet die Zeit (eigentlich die Zeit mal die Lichtgeschwindigkeit) die vierte Dimension. Dennoch können wir uns in der Zeit nicht wie in den drei Raumrichtungen zurückbewegen. Der Grund dafür dürfte bei der Entropie zu suchen sein. Liesse man die Zeit rückwärts laufen, würde Entropie vernichtet. Und genau eine solche Entropievernichtung verbietet uns die Natur.

Ideale Prozesse, bei denen keine Entropie produziert wird, sind '''zeitumkehrinvariant'''. Nimmt man einen solchen Prozess auf DVD auf und lässt die Szene rückwärts laufen, sieht der Vorgang genau gleich aus wie vorher. Dabei müssen alle ablaufenden Prozesse berücksichtigt werden. Filmt man zum Beispiel einen Mann, der Klimmzüge macht, könnte es sein, dass dieser Vorgang im Rückwärtsgang genau gleich aussieht. Nur würde der Mann dann Sauerstoff ausstossen und Kohlendioxid einatmen. Auch der Schweiss würde kondensieren und in den Poren der Haut verschwinden.

==Wärmetod==
In einem geschlossenen System wird so lange Entropie produziert, bis sich ein absolutes Gleichgewicht einstellt. Dann gibt es keine [[Potenzial|Potenzialdifferenzen]] mehr, die noch irgendeinen Prozess antreiben können. Der Entropieinhalt des Systems ist dann unter den gegebenen Umständen maximal. Dieses Phänomen nennt man den Wärmetod.

Bis zur Formulierung der Grundprinzipien der Thermodynamik haben die Physiker das Universum als ein System gesehen, das im Prinzip mit der Newtonschen Punktmechanik beschreibbar ist. Pierre-Simon Laplace hatte sogar die Vermutung geäussert, dass ein Geist (Laplacescher Dämon), der die momentanen Werte aller Grössen des Universums kennt, sowohl die Zukunft voraussagen kann, als auch die Vorgeschichte aller Erscheinungen berechnen kann. Die Thermodynamik hat dieser mechanistischen "Uhrwerkphilosophie" den wissenschaftlichen Boden entzogen.

Jeder Mensch muss dauernd einen Entropiestrom von etwa 0.35 W/K abgeben können, damit er nicht an einem "Hitzestau" zugrunde geht. In der heissen Sauna, wo noch Wärme, also Entropie, mit dem Temperaturgefälle in den Körper hineinfliesst, wird die überschüssige Entropie über das Verdampfen von Schweiss abgeführt. Wasser nimmt beim Übergang vom flüssigen in den gasförmigen Zustand sehr viel Entropie auf. Doch wie rettet sich die Erde trotz Sonneneinstrahlung vor dem Wärmetod? Die Antwort findet man bei der [[Wärmestrahlung]].

[[Kategorie:Thermo]]

Entropieproduktion

2007-06-02T19:38:00Z

Markus Steiner:

==Phänomen==
Entropie kann gespeichert und transportiert, aber auch produziert werden. Wird Entropie produziert, sagen wir oft, dass Wärme entsteht. In der Tat entspricht das umgangssprachliche Wort Wärme eher der [[Entropie]] als der [[Energie]].

{| border = "1"
!width = "160"|Vorgang
!width = "160"|Primärprozess
!width = "240"|Primärgrösse, Potenzial
|-
|Strömungswiderstand
|hydrodynamisch
|Volumen, Druck
|-
|Vollbremsung
|translationsmechanisch
|Impuls, Geschwindigkeit
|-
|Rutschkupplung
|rotationsmechanisch
|Drehimpuls, Winkelgeschwindigkeit
|-
|Elektroheizung
|elektrisch
|Ladung, elektrisches Potenzial
|-
|Diffusion
|chemisch
|Stoffmenge, chemisches Potenzial
|-
|Wärmeleitung
|thermisch
|Entropie, Temperatur
|}

==Theorie==
Ein Prozess setzt eine Prozessleistung frei, falls eine [[Primärgrösse]] über eine [[Potenzial|Potenzialdifferenz]] fällt. Die momentan freigesetzte Prozessleistung ist gleich dem Produkt aus Stromstärke und Potenzialdifferenz

<math>P = \Delta\varphi_M I_M</math>

Wird diese Leistung von einem zweiten Prozess vollständig aufgenommen, liegt eine ideale [[Prozesskopplung]] vor. Andernfalls sagt man, dass die Energie dissipiert worden sei. Nun kann die Entropieproduktion direkt aus der dissipierten Leistung berechnet werden

<math>\Pi_S = \frac {P_{diss}} {T}</math>

Als Temperatur ist der am Ort des Prozesses zu messende Wert einzusetzen.

Die Wärmeleitung folgt nicht ganz dem allgemeinen Schema ab, wonach eine Primärgrösse eine Leistung frei setzt, mit der Entropie produziert wird. Bei der Wärmeleitung produziert die durchfliessende Entropie selbst wieder Entropie, d.h. die produzierte Menge ist von der primär fliessenden nicht zu unterscheiden. Netto misst man am Ausgang eines Wärmeleiters dann einfach mehr Entropie als am Eingang. Dafür bleibt der Energiestrom erhalten.

==Zeitumkehr==
In der [[Raumzeit]] bildet die Zeit (eigentlich die Zeit mal die Lichtgeschwindigkeit) die vierte Dimension. Dennoch können wir uns in der Zeit nicht wie in den drei Raumrichtungen zurückbewegen. Der Grund dafür dürfte bei der Entropie zu suchen sein. Liesse man die Zeit rückwärts laufen, würde Entropie vernichtet. Und genau eine solche Entropievernichtung verbietet uns die Natur.

Ideale Prozesse, bei denen keine Entropie produziert wird, sind '''zeitumkehrinvariant'''. Nimmt man einen solchen Prozess auf DVD auf und lässt die Szene rückwärts laufen, sieht der Vorgang genau gleich aus wie vorher. Dabei müssen alle ablaufenden Prozesse berücksichtigt werden. Filmt man zum Beispiel einen Mann, der Klimmzüge macht, könnte es sein, dass dieser Vorgang im Rückwärtsgang genau gleich aussieht. Nur würde der Mann dann Sauerstoff ausstossen und Kohlendioxid einatmen. Auch der Schweiss würde kondensierren und in den Poren der Haut verschwinden.

==Wärmetod==
In einem geschlossenen System wird so lange Entropie produziert, bis sich ein absolutes Gleichgewicht einstellt. Dann gibt es keine [[Potenzial|Potenzialdifferenzen]] mehr, die noch irgendeinen Prozess antreiben können. Der Entropieinhalt des Systems ist dann unter den gegebenen Umständen maximal. Dieses Phänomen nennt man den Wärmetod.

Bis zur Formulierung der Grundprinzipien der Thermodynamik haben die Physiker das Universum als ein System gesehen, das im Prinzip mit der Newtonschen Punktmechanik beschreibbar ist. Pierre-Simon Laplace hatte sogar die Vermutung geäussert, dass ein Geist (Laplacescher Dämon), der die momentanen Werte aller Grössen des Universums kennt, sowohl die Zukunft voraussagen kann, als auch die Vorgeschichte aller Erscheinungen berechnen kann. Die Thermodynamik hat dieser mechanistischen "Uhrwerkphilosophie" den wissenschaftlichen Boden entzogen.

Jeder Mensch muss dauernd einen Entropiestrom von etwa 0.35 W/K abgeben können, damit er nicht an einem "Hitzestau" zugrunde geht. In der heissen Sauna, wo noch Wärme, also Entropie, mit dem Temperaturgefälle in den Körper hineinfliesst, wird die überschüssige Entropie über das Verdampfen von Schweiss abgeführt. Wasser nimmt beim Übergang vom flüssigen in den gasförmigen Zustand sehr viel Entropie auf. Doch wie rettet sich die Erde trotz Sonneneinstrahlung vor dem Wärmetod? Die Antwort findet man bei der [[Wärmestrahlung]].

[[Kategorie:Thermo]]

Lösung zu Fragen zur Energie

2007-06-02T18:57:49Z

Markus Steiner:

#Die Energie übernimmt in der [[Physik der dynamischen Systeme]] die Rolle einer gebietübergreifenden Bilanzgrösse (Energie kann transportiert und gespeichert werden). Weil der umfassende Energiebegriff weder definiert noch aus theoretischen Überlegungen abgeleitet werden kann, sollte man solches schon gar nicht probieren.
#In einem Prozess durchfliesst eine mengenartige Grösse ([[Masse]], [[Volumen]], [[elektrische Ladung]], [[Impuls]], [[Drehimpuls]], [[Entropie]] oder [[Stoffmenge]]) eine zugehörige [[Potenzial]]differenz ([[Gravitationsfeld|Gravitationspotenzial]], [[Druck]], [[elektromagnetisches Feld|elektrisches Potenzial]], [[Geschwindigkeit]], [[Winkelgeschwindigkeit]], [[Temperatur]], [[chemisches Potenzial]]). Die zugehörige [[Prozessleistung]] ist dann Potenzialdifferenz mal Stärke des durchfliessenden Mengenstromes.
#Einem Mengenstrom kann bezüglich einer Referenzfläche ein Energiestrom zugeordnet werden. Die Stärke dieses zugeordneten Energiestromes ist gleich Potenzial auf der Referenzfläche mal Stromstärke der [[Primärgrösse|Menge]]. Im Gegensatz zur Prozessleistung hängt der Stärke zugeordnete Energiestrom von der Wahl des Potenzialnullpunktes ab. Den Begriff des zugeordneten Energiestromes braucht man unter anderem, um die Energieänderung eines Speichers zu rechnen.
#Etwas salopp formuliert ist Arbeit die bezüglich eines Systems mechanisch ausgetauschte Energie. Arbeit ist demnach eine Austauschform der Energie bezüglich eines vorher umschriebenen und abgegrenzten Systems. Was bedeutet nun aber mechanisch (ist mechanisch eine Eigenschaft der Energie)? Das Attribut mechanisch weist darauf hin, dass diese Energie zusammen mit dem [[Impuls]] oder dem [[Drehimpuls]] ausgetauscht worden ist. Arbeit kann streng genommen nur über den Begriffen Kraft und Drehmoment definiert werden. Deshalb sollte man soweit wie möglich und zweckmässig nur von Arbeit einer [[Kraft]] oder Arbeit eines [[Drehmoment]]es reden. Die [[Leistung einer Kraft]] und die [[Leistung eines Drehmomentes]] entsprechen dann den [[zugeordneter Energiestrom|zugeordneten Energieströmen]] (eine Kraft ist eine bezüglich des Systems gemessene Stärke des Impulsstromes, ein Drehmoment ein bezüglich des Systems gemessene Stärke des Drehimpulsstromes).
#In der Physik ist [[Wärme]] die bezüglich eines Systems thermisch ausgetauschte Energie. Wärme ist demnach eine Austauschform der Energie bezüglich eines vorher umschriebenen und abgegrenzten Systems. Was bedeutet nun aber thermisch (ist thermisch eine Eigenschaft der Energie)? Das Attribut thermisch weist darauf hin, dass diese Energie zusammen mit dem [[Entropie]] ausgetauscht worden ist. Weil die in der Physik gebräuchliche Definition unseren Alltagsvorstellung von Wärme nicht entspricht, geistert viel Unsinn herum. Streng genommen müsste man Wörter wie Wärmespeicher, Wärmekapazität oder Wärmeerzeugung verbieten.
#Arbeit, Wärme, elektrische und chemische Energie sind Austauschformen der Energie. Folglich kann keine dieser Grössen gespeichert werden.
#Die in einem System gespeicherte Energie darf nicht in Formen eingeteilt werden. Die gespeicherte Energie heisst schlicht und einfach [[innere Energie]] des Systems. Bei den in der Mechanik eingeführten Energieformen handelt es sich streng genommen nicht um im System gespeicherte Energie. Die Bewegungsenergie eines Körpers, die in eine [[kinetische Energie]] und eine [[Rotationsenergie]] unterteilt werden kann, bezieht sich immer auf ein (materielles) [[Bezugssystem]]. Die [[kinetische Energie]] wird freigesetzt, wenn der Körper auf die gleiche [[Geschwindigkeit]] wie das Bezugssystem gebracht wird: beim Abbremsen gibt der zwischen Körper und Bezugssystem fliessende [[Impulsstrom]] die kinetische Energie frei. Die [[Rotationsenergie]] wird freigesetzt, wenn der Körper auf die gleiche [[Winkelgeschwindigkeit]] wie das Bezugssystem gebracht wird: beim Abbremsen gibt der zwischen Körper und Bezugssystem fliessende [[Drehimpulsstrom]] die Rotationsenergie frei. Die potentielle Energie steckt dagegen im [[Gravitationsfeld]] (bzw. im [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feld]]). Die potentielle Energie wird nur dem Körper zugerechnet, weil man der Gewichtskraft (bzw. der elektromagnetischen Kraft) üblicherweise keine Arbeit zuschreibt.
#Albert Einstein hat 1905 folgendes geschrieben: ''Die [[Masse]] eines Körpers ist ein Mass für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/(9 1020), wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird.'' Nach Einstein sind Masse und Energie zwei Wörter für die gleiche physikalische Grösse, d.h. Energie selber hat die Eigenschaft der Schwere und der Trägheit. Einstein hat also nicht behauptet, man könne aus Masse Energie produzieren oder Masse könne in Energie umgewandelt werden (man kann eine Grösse nicht in sich selbst umwandeln). Die von Einstein formulierte Äquivalenz von Masse und Energie relativiert einige Aussagen zur Energie. Wenn man in umgangssprachlichen Formulierungen das Wort Energie durch den äquivalenten Begriff Masse ersetzt, erhält man Aussagen, die von den Dadaisten kaum schräger hätten formuliert werden können: Wärme ist eine Masseform; Masse ist Arbeitsvermögen; erneuerbare Massen waren lange Zeit eine energiewirtschaftliche Randerscheinung.
#Kann Masse in verschiedene Formen umgewandelt werden? Die Physik der dynamischen Systeme nutzt den von Einstein geschaffenen Freiraum, um die Rolle der Energie klarer zu definieren. Die Begriffe [[Prozessleistung]] und [[zugeordneter Energiestrom]] widersprechen der von Einstein formulierten Äquivalenz von Masse und Energie nicht direkt, sie vereinfachen nur. Die Energie ist eine rein buchhalterische Grösse, die zusammen mit einer andern [[Primärgrösse|Menge]] transportiert und in einem System gespeichert werden kann. Der [[Energieträger]] legt die (Austausch-) Form der Energie fest.
#Der fallende Körper tauscht mit dem Gravitationsfeld Impuls und Energie aus. Weil man die im Gravitationsfeld gespeicherte Energie dem Körper zuschreibt, muss man von einer Umwandlung reden (Umwandlung, Wandlung oder Transsubstantiation sind Begriffe aus der Philosophie oder Theologie und sollten in der Physik nur mit Vorsicht angewendet werden).
#Energie ist nur dann Arbeitsvermögen, wenn sie in einem Prozess freigesetzt werden kann, wenn sie sich von einem Träger auf einen zweiten umladen lässt. Energie (Masse) ist nicht per se Arbeitsvermögen.

'''[[Fragen zur Energie|Aufgabe]]'''

Benutzer:Markus Steiner

2007-05-31T19:53:55Z

Markus Steiner:

Student Bachelor of Science in Aviation [http://www.zhwin.ch/departement-t/aviatik/index.php Zürcher Hochschule Winterthur ZHW], Klasse Av06c
[http://home.zhwin.ch/~steinma0 eigene homepage]

Rotierendes Bezugssystem

2007-05-26T15:25:34Z

Markus Steiner: /* Verallgemeinerte Gravitation */

==Phänomene==
Nimmt man einen Kinderballon auf eine abendliche Busfahrt mit, stellt man in jeder Kurve fest, dass die müden Köpfe der Passagiere die Tendenz haben, gegen aussen zu kippen, der Ballon sich aber wie ein Motorradfahrer in die Kurve legt. Selber spürt man eine "[[Kraft]]", die einem vom Kurvenzentrum weg nach aussen drückt.

Rotiert ein grosses, mit Wasser gefülltes Glas um die eigene Achse, steigt der Wasserpiegel am Rand hoch. Bei gleichförmiger Rotation bildet die Wasseroberfläche ein Paraboloid.

Auf der Nordhalbkugel unserer Erde drehen sich die Hochdruckgebiete immer im Uhrzeigersinn und die Tiefdruckgebiete wirbeln in die andere Richtung. Auf der südlichen Hemisphäre sind die Verhältnise gerade umgekehrt.

==Theorie==
Üblicherweise versteht man in der Physik unter einem [[Bezugssystem]] ein reines Referenz- oder Koordinatensystem, auf das der Ort und die Orientierung eines Körpers bezogen wird. Als eigentliches Beobachtunssystem kommt aber nur ein materieller Körper wie ein Eisenbahnwagen, ein Lift, ein Bus oder ein Himmelkörper in Frage. Materielle Bezugssysteme können beliebig viel [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] aufnehmen, ohne ihr Bewegungsverhalten merklich zu ändern.

'''Aus kinematischer Sicht darf die Bewegung eines Körpers von jedem Koordinatensystem aus beschrieben werden. Um Physik im Sinne von Experimente durchführen zu betreiben, benötigt man aber ein materielles Bezugssystem.'''

===Geschwindigkeit und Beschleunigung===

Die Geschwindigkeit eines Punktes kann in eine Geschwindigkeit relativ zum rotierenden System und in die Geschwindigkeit des Ortes auf dem rotierenden System relativ zum Ruhesystem zerlegt werden

<math>\vec v = \vec v_S + \vec \omega \times \vec r_S</math>

Der Index ''S'' weistdarauf hin, dass sich diese Grösse auf das rotierende Sysem bezieht. Der Ortsvektor '''''r''''', nicht aber seine Komponentendarstellung, sieht in beiden Systemen gleich aus.

Die Beschleunigung kann auf ähnliche Art und Weise zerlegt werden

<math>\dot {\vec v} = \dot {\vec v_S} + 2 (\vec \omega \times \vec v_S) + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_S)</math>

===Impulsbilanz===
Die Impulsbilanz bezüglich eines kleinen Körpers kann zusammen mit dem Kapzitivgesetz zum Newtonschen Aktionsprinzip verschmolzen werden

<math>\sum_i \vec F_i + \vec F_G = m \dot {\vec v}</math>

Nun ist die (träge) Masse nicht nur [[kapazitives Gesetz|Impulskapazität]] sondern als schwere Masse auch noch Teil der [[Quelle|Impulsquelle]]. Die an der Oberfläche eines Körpers direkt messbaren [[Impulsstrom|Impulsströme]], die [[Kraft|Oberflächenkrafte]] '''''F'''i'', sind über die [[Impulsbilanz]] mit der Beschleunigung und mit der [[Gravitationsfeld|Gravitationsfeldstärke]] verknüpft.

<math>\sum_i \vec F_i + m \vec g = m \dot {\vec v}</math>

Weil in beiden Termen die Masse als Faktor vorkommt (die schwere Masse ist gemäss des [[Äquivalenzprinzip]]s von Einstein durch kein Experiment von der trägen zu unterscheiden), sind Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung des Körpers eine Frage des Bezugssystems, also Ansichtssache. Im SI werden denn auch beide Grössen mit der gleichen Einheit gemessen.

===Verallgemeinerte Gravitation===
Ersetzt man in der [[Impulsbilanz]] ([[Newtonsche Axiome|Aktionsprinzip von Newton]]) die Beschleunigung durch die weiter oben eingeführte Zerlegung bezüglich des rotierenden Bezugssystems und addiert alle Terme ausser der Relativbeschleunigung von der Inhalts- auf die Stromseite, erhält man die [[Impulsbilanz]] oder das Aktionsprinzip relativ zum rotierenden Bezugssystem

<math>\sum_i \vec F_i + m [\vec g - 2 (\vec \omega \times \vec v_S) - \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_S)] = m \dot {\vec v}</math>

Der Ausdruck in der rechteckigen Klammer steht für die Gravitationsfeldstärke bezüglich des rotierenden Systems. Diese Gravitationsfeldstärke weist einen statischen und einen dynamischen Teil auf

statischer Teil: <math>\vec g_s = \vec g + (\vec \omega \times \vec r_S) \times \vec \omega</math>

dynamischer Teil: <math>\vec g_s = 2 (\vec v_S \times \vec \omega)</math>

Der statische Teil besteht aus der auch im Ruhesystem festzustellenden Gravitationsfeldstärke plus dem Beitrag des Zentrifugalfeldes. Der dynamische Teil ist für die [[Corioliskraft]] verantwortlich.

===Zentrifugalkraft===
Als Zentrifugalkraft bezeichnet man den Anteil der Gewichtskraft, der auf einem rotierenden Bezugssystem zusätzlich einzuführen ist, damit die Mechanik wie in einem [[Inertialsystem]] formuliert werden kann

<math>\vec F_Z = m (\vec \omega \times \vec r_S) \times \vec \omega))</math>

Die ortsabhängige Zentrifugalkraft ist gleich '''''F'''Z = m ω2 '''r''''', zeigt vom Zentrum des rotierenden Systems weg und nimmt linear mit dem Abstand zu.

===Corioliskraft===
Neben der Zentrifugalkraft muss auf dem rotierenden Bezugssystem noch eine geschwindigkeitsabhängige Corioliskraft eingeführt werden

<math>\vec F_C = 2 m (\vec v_S \times \vec \omega)</math>

Die [[Corioliskraft]] ist proportional zur Geschwindigkeit im rotierenden System und proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Systems. Zudem steht sie normal zu diesen beiden Grössen.

Die Leistung der Corioliskraft ist immer gleich Null, die Corioliskraft kann deshalb nur die Bewegungsrichtung, nicht aber den Betrag der Relativgeschwindigkeit ändern

<math>P(\vec F_C) = \vec v_S \bullet (2 m (\vec v_S \times \vec \omega))</math>

===Potenzial des Zentrifugalfeldes===
Das Zentrifugalfeld ist wirbelfrei. Folglich besitzt es ein Potenzial

<math>\varphi_Z = -\frac {\omega^2 r^2} {2}</math>

Das Potenzial ist immer kleiner Null, sobald es auf das Zentrum des rotierenden Systems bezogen wird.

==Beispiele==
[[Bild:RotWasser2.jpg|thumb|Im rotierenden Zylinder bildet die Wasseroberfläche ein Paraboloid aus]]
[[Bild:Katzengras.jpg|thumb|Auch auf dem Karussell wächst Gras gegen die lokal nachweisbare Feldstärke]]
===rotierendes Wasserglas===
Lässt man einen teilweise mit Wasser gefüllten Zylinder um eine vertikale Achse rotieren, wird der Wasserspiegel aussen angehoben und in der Mitte abgesenkt. Dieses Phänomen kann im mitrotierenden System einfach erklärt werden. Die Oberfläche von ruhendem Wasser verläuft entlang einer Äquipotenzialfläche, einer Fläche mit gleichem Gravitationspotenzial. Das Potenzial im rotierenden Wasserglas setzt sich aus dem homogenen Feld des Laborsystems und dem Zentrifugalpotential des rotierenden Systems zusammen

<math>\varphi_{GS} = \varphi_G + \varphi_Z = g h - \frac {\omega^2 r^2} {2}</math>

Setzt man nun das Gesamtpotenzial gleich Null, bekommt man die Form der Wasseroberfläche

<math>h = \frac {\omega^2} {2 g} r^2</math>

Der Wasserspiegel nimmt die Form eines Paraboloids an.

===Karussell===
Ein Karussell bildet ein rotierendes System. Weil die Achse vertikal steht, überlagert sich das nach unten weisende Gravitationsfeld des Laborsystems und das Zentrifugalfeld zu einem Gesamtfeld mit der Feldstärke

<math>\vec g_S = \vec g + \vec g_Z = \vec g + \omega^2 \vec r</math>

und einem Potenzial, das einfach beschrieben werden kann

<math>\varphi_{GS} = \varphi_G + \varphi_Z = g h - \frac {\omega^2 r^2} {2}</math>

Viele Pflanzen verfügen über ein hormonelles Rückkopplungssystem, das man negativen Geotropismus nennt. Der negative Geotropismus lässt diese Pflanzen immer gegen das lokal nachweisbare Gravitationsfeld wachsen. Sät man also auf dem rotierenden Karussell Getreide an, wachsen die Halme nur in der Mitte nach oben. Weiter aussen legen sie sich förmlich in die Kurve.

Neben dem statischen Teil der verallgemeinerten Gravitationskraft tritt noch die Corioliskraft auf. Weil die Winkelgeschwindigkeit noch oben weist, wirkt die Corioliskraft in der Karussellebene in alle Richtungen gleich stark. Bewegt sich ein Körper radial, sorgt die Corioliskraft für eine Ablenkung. Bewegt er sich tangential, zeigt die Corioliskraft entweder nach aussen oder nach innen, überlagert sich also mit der Zentrifugalkraft und ihre Wirkung kann nicht als eigenständiges Phänomen studiert werden.

===Weltraumstation===
[[Bild:Raumstation.jpg|thumb|Raumstation mit künstlicher Gravitation]]
Um im Weltraum künstlich eine Gravitation zu erzeugt, lässt man eine Weltraumstation um ihre eigene Achse rotieren. Die Gravitationsfeldstärke nimmt dann linear mit dem Abstand vom Zentrum zu

<math>g(r) = \omega^2 r</math>

Um der Struktur dieses Gravitationsfeldes gerecht zu werden, baut man die Station am besten wagenradförmig (Radius ''R''). Die innenfläche der Felge bildet dann den Boden, auf dem man herumwandern kann. Klettert man in einer Speiche nach innen, also nach oben, wird man rasch leichter. Die Drehzahl sollte so gross sein, dass die Gravitationsfeldstärke am Boden etwa gleich gross ist wie auf der Erde

<math>T = \frac {2\pi} {\omega} = 2\pi \sqrt {\frac {R} {g_0}}</math>

===Vater-Sohn-Problematik===
Die Frage, wann man eine Zentrifugalkraft einführen muss und wann nicht, kann sehr schön anhand der Vater-Sohn-Problematik dargelegt werden. Bei diesem Beispiel steht der Vater neben und sein Sohn auf einem rotierenden Karussell. Sowohl der Vater als auch der Sohn können nun als Beobachter ('''Subjekt''') oder als Körper ('''Objekt''') genommen werden.

====Sicht des Vaters====
Versetzen wir uns zuerst in die Situation des Vaters. Er sieht, wie sein '''Sohn''' im Abstand '''''r''''' von der Karussellachse auf einer Kreisbahn umläuft. Die Umlaufzeit ist durch das Karussell gegeben

<math>a = \frac {v^2} {r} = \omega^2 r = \frac {4\pi^2} {T^2} r</math>

Die resultierende Kraft auf den Sohn, die auf die Karussellachse zu zeigt, setzt sich aus der Wirkung vom Karussell und der Gewichtskraft zusammen. Der Vater darf nun behaupten, dass die [[Normalkraft]] die Gewichtskraft kompensiert und die [[Gleitreibung|Haftreibung]] den Sohn auf eine Kreisbahn zwingt.

====Sicht des Sohnes====
Der Sohn sieht seine '''eigene Situation''' ein wenig anders. Aus seiner Sicht ist er im Gleichgewicht. Der im Prinzip direkt messbaren Haftreibunskraft setzt er die auf dem Karussell linear nach aussen wachsende Zentrifugalkraft entgegen. Er erklärt also das eigene Gleichgewicht mit dem Zusammenspiel von Haftreibungs- und Zentrifugalkraft.

Schwieriger wird die Sache, wenn der Sohn die Bewegung seines '''Vaters''' erklären muss. Vom Karussell aus gesehen kreist der Vater auf dem Radius ''R'' mit der Umlaufszeit des Karussells. Wohl hat die auf dem Karussell vorhandene Zentrifugalkraft die richtige Stärke, um die Zentral- oder Normalbeschleunigung des Vaters zu erklären. Leider zeigt die Zentrifugalkraft in die falsche Richtung. Erst die Corioliskraft, die in diesem Fall doppelt so stark wie die Zentrifugalkraft ist, vervollständigt die Analyse.

Radial auf den Vater einwirkenden Kräfte (positives Vorzeichen nach innen)

<math>F_{rad} = -F_Z + F_C = -m \omega^2 R + 2m v_S \omega</math>

mit <math>v_S = \omega R</math> folgt

<math>F_{rad} = m \omega^2 R</math>

Für die Beschleunigung des Vaters vom Karrussel aus gesehen gilt

<math>a = \frac {v^2_S} {R} = \omega^2 R</math>

Die radiale Kraft auf den kreisenden Vater, die sich aus der nach aussen gerichteten Zentrifugalkraft und der nach innen weisenden Corioliskraft zusammensetzt, verursacht die Beschleunigung des Vaters. Dies gilt natürlich nur für die Sicht des Sohnes.

====beide haben Recht====
Für den Vater gibt es weder Zentrifugalkraft noch Corioliskraft. Der Vater kennt nur die messbaren [[Impulsstrom|Oberflächenkräfte]] und die Wirkung des homogenen Gravitationsfeldes.

Der Sohn muss dagegen in jedem Fall eine ortsabhängige [[Zentrifugalkraft]] und eine geschwindigkeitsabhängige [[Corioliskraft]] einführen. Die Zentrifugalkraft nimmt linear mit dem Abstand von der Mitte zu, die Corioliskraft ist überall gleich stark, nimmt aber linear mit der Bewegung eines Körpers zu.

Vater und Sohn können miteinander diskutieren, sobald jeder die Sicht des andern auch versteht.

[[Kategorie:Rot]]

Rotierendes Bezugssystem

2007-05-26T15:24:32Z

Markus Steiner: /* Verallgemeinerte Gravitation */

==Phänomene==
Nimmt man einen Kinderballon auf eine abendliche Busfahrt mit, stellt man in jeder Kurve fest, dass die müden Köpfe der Passagiere die Tendenz haben, gegen aussen zu kippen, der Ballon sich aber wie ein Motorradfahrer in die Kurve legt. Selber spürt man eine "[[Kraft]]", die einem vom Kurvenzentrum weg nach aussen drückt.

Rotiert ein grosses, mit Wasser gefülltes Glas um die eigene Achse, steigt der Wasserpiegel am Rand hoch. Bei gleichförmiger Rotation bildet die Wasseroberfläche ein Paraboloid.

Auf der Nordhalbkugel unserer Erde drehen sich die Hochdruckgebiete immer im Uhrzeigersinn und die Tiefdruckgebiete wirbeln in die andere Richtung. Auf der südlichen Hemisphäre sind die Verhältnise gerade umgekehrt.

==Theorie==
Üblicherweise versteht man in der Physik unter einem [[Bezugssystem]] ein reines Referenz- oder Koordinatensystem, auf das der Ort und die Orientierung eines Körpers bezogen wird. Als eigentliches Beobachtunssystem kommt aber nur ein materieller Körper wie ein Eisenbahnwagen, ein Lift, ein Bus oder ein Himmelkörper in Frage. Materielle Bezugssysteme können beliebig viel [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] aufnehmen, ohne ihr Bewegungsverhalten merklich zu ändern.

'''Aus kinematischer Sicht darf die Bewegung eines Körpers von jedem Koordinatensystem aus beschrieben werden. Um Physik im Sinne von Experimente durchführen zu betreiben, benötigt man aber ein materielles Bezugssystem.'''

===Geschwindigkeit und Beschleunigung===

Die Geschwindigkeit eines Punktes kann in eine Geschwindigkeit relativ zum rotierenden System und in die Geschwindigkeit des Ortes auf dem rotierenden System relativ zum Ruhesystem zerlegt werden

<math>\vec v = \vec v_S + \vec \omega \times \vec r_S</math>

Der Index ''S'' weistdarauf hin, dass sich diese Grösse auf das rotierende Sysem bezieht. Der Ortsvektor '''''r''''', nicht aber seine Komponentendarstellung, sieht in beiden Systemen gleich aus.

Die Beschleunigung kann auf ähnliche Art und Weise zerlegt werden

<math>\dot {\vec v} = \dot {\vec v_S} + 2 (\vec \omega \times \vec v_S) + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_S)</math>

===Impulsbilanz===
Die Impulsbilanz bezüglich eines kleinen Körpers kann zusammen mit dem Kapzitivgesetz zum Newtonschen Aktionsprinzip verschmolzen werden

<math>\sum_i \vec F_i + \vec F_G = m \dot {\vec v}</math>

Nun ist die (träge) Masse nicht nur [[kapazitives Gesetz|Impulskapazität]] sondern als schwere Masse auch noch Teil der [[Quelle|Impulsquelle]]. Die an der Oberfläche eines Körpers direkt messbaren [[Impulsstrom|Impulsströme]], die [[Kraft|Oberflächenkrafte]] '''''F'''i'', sind über die [[Impulsbilanz]] mit der Beschleunigung und mit der [[Gravitationsfeld|Gravitationsfeldstärke]] verknüpft.

<math>\sum_i \vec F_i + m \vec g = m \dot {\vec v}</math>

Weil in beiden Termen die Masse als Faktor vorkommt (die schwere Masse ist gemäss des [[Äquivalenzprinzip]]s von Einstein durch kein Experiment von der trägen zu unterscheiden), sind Gravitationsfeldstärke und Beschleunigung des Körpers eine Frage des Bezugssystems, also Ansichtssache. Im SI werden denn auch beide Grössen mit der gleichen Einheit gemessen.

===Verallgemeinerte Gravitation===
Eretzt man in der [[Impulsbilanz]] ([[Newtonsche Axiome|Aktionsprinzip von Newton]]) die Beschleunigung durch die weiter oben eingeführte Zerlegung bezüglich des rotierenden Bezugssystems und addiert alle Terme ausser der Relativbeschleunigung von der Inhalts- auf die Stromseite, erhält man die [[Impulsbilanz]] oder das Aktionsprinzip relativ zum rotierenden Bezugssystem

<math>\sum_i \vec F_i + m [\vec g - 2 (\vec \omega \times \vec v_S) - \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_S)] = m \dot {\vec v}</math>

Der Ausdruck in der rechteckigen Klammer steht für die Gravitationsfeldstärke bezüglich des rotierenden Systems. Diese Gravitationsfeldstärke weist einen statischen und einen dynamischen Teil auf

statischer Teil: <math>\vec g_s = \vec g + (\vec \omega \times \vec r_S) \times \vec \omega</math>

dynamischer Teil: <math>\vec g_s = 2 (\vec v_S \times \vec \omega)</math>

Der statische Teil besteht aus der auch im Ruhesystem festzustellenden Gravitationsfeldstärke plus dem Beitrag des Zentrifugalfeldes. Der dynamische Teil ist für die [[Corioliskraft]] verantwortlich.

===Zentrifugalkraft===
Als Zentrifugalkraft bezeichnet man den Anteil der Gewichtskraft, der auf einem rotierenden Bezugssystem zusätzlich einzuführen ist, damit die Mechanik wie in einem [[Inertialsystem]] formuliert werden kann

<math>\vec F_Z = m (\vec \omega \times \vec r_S) \times \vec \omega))</math>

Die ortsabhängige Zentrifugalkraft ist gleich '''''F'''Z = m ω2 '''r''''', zeigt vom Zentrum des rotierenden Systems weg und nimmt linear mit dem Abstand zu.

===Corioliskraft===
Neben der Zentrifugalkraft muss auf dem rotierenden Bezugssystem noch eine geschwindigkeitsabhängige Corioliskraft eingeführt werden

<math>\vec F_C = 2 m (\vec v_S \times \vec \omega)</math>

Die [[Corioliskraft]] ist proportional zur Geschwindigkeit im rotierenden System und proportional zur Winkelgeschwindigkeit des Systems. Zudem steht sie normal zu diesen beiden Grössen.

Die Leistung der Corioliskraft ist immer gleich Null, die Corioliskraft kann deshalb nur die Bewegungsrichtung, nicht aber den Betrag der Relativgeschwindigkeit ändern

<math>P(\vec F_C) = \vec v_S \bullet (2 m (\vec v_S \times \vec \omega))</math>

===Potenzial des Zentrifugalfeldes===
Das Zentrifugalfeld ist wirbelfrei. Folglich besitzt es ein Potenzial

<math>\varphi_Z = -\frac {\omega^2 r^2} {2}</math>

Das Potenzial ist immer kleiner Null, sobald es auf das Zentrum des rotierenden Systems bezogen wird.

==Beispiele==
[[Bild:RotWasser2.jpg|thumb|Im rotierenden Zylinder bildet die Wasseroberfläche ein Paraboloid aus]]
[[Bild:Katzengras.jpg|thumb|Auch auf dem Karussell wächst Gras gegen die lokal nachweisbare Feldstärke]]
===rotierendes Wasserglas===
Lässt man einen teilweise mit Wasser gefüllten Zylinder um eine vertikale Achse rotieren, wird der Wasserspiegel aussen angehoben und in der Mitte abgesenkt. Dieses Phänomen kann im mitrotierenden System einfach erklärt werden. Die Oberfläche von ruhendem Wasser verläuft entlang einer Äquipotenzialfläche, einer Fläche mit gleichem Gravitationspotenzial. Das Potenzial im rotierenden Wasserglas setzt sich aus dem homogenen Feld des Laborsystems und dem Zentrifugalpotential des rotierenden Systems zusammen

<math>\varphi_{GS} = \varphi_G + \varphi_Z = g h - \frac {\omega^2 r^2} {2}</math>

Setzt man nun das Gesamtpotenzial gleich Null, bekommt man die Form der Wasseroberfläche

<math>h = \frac {\omega^2} {2 g} r^2</math>

Der Wasserspiegel nimmt die Form eines Paraboloids an.

===Karussell===
Ein Karussell bildet ein rotierendes System. Weil die Achse vertikal steht, überlagert sich das nach unten weisende Gravitationsfeld des Laborsystems und das Zentrifugalfeld zu einem Gesamtfeld mit der Feldstärke

<math>\vec g_S = \vec g + \vec g_Z = \vec g + \omega^2 \vec r</math>

und einem Potenzial, das einfach beschrieben werden kann

<math>\varphi_{GS} = \varphi_G + \varphi_Z = g h - \frac {\omega^2 r^2} {2}</math>

Viele Pflanzen verfügen über ein hormonelles Rückkopplungssystem, das man negativen Geotropismus nennt. Der negative Geotropismus lässt diese Pflanzen immer gegen das lokal nachweisbare Gravitationsfeld wachsen. Sät man also auf dem rotierenden Karussell Getreide an, wachsen die Halme nur in der Mitte nach oben. Weiter aussen legen sie sich förmlich in die Kurve.

Neben dem statischen Teil der verallgemeinerten Gravitationskraft tritt noch die Corioliskraft auf. Weil die Winkelgeschwindigkeit noch oben weist, wirkt die Corioliskraft in der Karussellebene in alle Richtungen gleich stark. Bewegt sich ein Körper radial, sorgt die Corioliskraft für eine Ablenkung. Bewegt er sich tangential, zeigt die Corioliskraft entweder nach aussen oder nach innen, überlagert sich also mit der Zentrifugalkraft und ihre Wirkung kann nicht als eigenständiges Phänomen studiert werden.

===Weltraumstation===
[[Bild:Raumstation.jpg|thumb|Raumstation mit künstlicher Gravitation]]
Um im Weltraum künstlich eine Gravitation zu erzeugt, lässt man eine Weltraumstation um ihre eigene Achse rotieren. Die Gravitationsfeldstärke nimmt dann linear mit dem Abstand vom Zentrum zu

<math>g(r) = \omega^2 r</math>

Um der Struktur dieses Gravitationsfeldes gerecht zu werden, baut man die Station am besten wagenradförmig (Radius ''R''). Die innenfläche der Felge bildet dann den Boden, auf dem man herumwandern kann. Klettert man in einer Speiche nach innen, also nach oben, wird man rasch leichter. Die Drehzahl sollte so gross sein, dass die Gravitationsfeldstärke am Boden etwa gleich gross ist wie auf der Erde

<math>T = \frac {2\pi} {\omega} = 2\pi \sqrt {\frac {R} {g_0}}</math>

===Vater-Sohn-Problematik===
Die Frage, wann man eine Zentrifugalkraft einführen muss und wann nicht, kann sehr schön anhand der Vater-Sohn-Problematik dargelegt werden. Bei diesem Beispiel steht der Vater neben und sein Sohn auf einem rotierenden Karussell. Sowohl der Vater als auch der Sohn können nun als Beobachter ('''Subjekt''') oder als Körper ('''Objekt''') genommen werden.

====Sicht des Vaters====
Versetzen wir uns zuerst in die Situation des Vaters. Er sieht, wie sein '''Sohn''' im Abstand '''''r''''' von der Karussellachse auf einer Kreisbahn umläuft. Die Umlaufzeit ist durch das Karussell gegeben

<math>a = \frac {v^2} {r} = \omega^2 r = \frac {4\pi^2} {T^2} r</math>

Die resultierende Kraft auf den Sohn, die auf die Karussellachse zu zeigt, setzt sich aus der Wirkung vom Karussell und der Gewichtskraft zusammen. Der Vater darf nun behaupten, dass die [[Normalkraft]] die Gewichtskraft kompensiert und die [[Gleitreibung|Haftreibung]] den Sohn auf eine Kreisbahn zwingt.

====Sicht des Sohnes====
Der Sohn sieht seine '''eigene Situation''' ein wenig anders. Aus seiner Sicht ist er im Gleichgewicht. Der im Prinzip direkt messbaren Haftreibunskraft setzt er die auf dem Karussell linear nach aussen wachsende Zentrifugalkraft entgegen. Er erklärt also das eigene Gleichgewicht mit dem Zusammenspiel von Haftreibungs- und Zentrifugalkraft.

Schwieriger wird die Sache, wenn der Sohn die Bewegung seines '''Vaters''' erklären muss. Vom Karussell aus gesehen kreist der Vater auf dem Radius ''R'' mit der Umlaufszeit des Karussells. Wohl hat die auf dem Karussell vorhandene Zentrifugalkraft die richtige Stärke, um die Zentral- oder Normalbeschleunigung des Vaters zu erklären. Leider zeigt die Zentrifugalkraft in die falsche Richtung. Erst die Corioliskraft, die in diesem Fall doppelt so stark wie die Zentrifugalkraft ist, vervollständigt die Analyse.

Radial auf den Vater einwirkenden Kräfte (positives Vorzeichen nach innen)

<math>F_{rad} = -F_Z + F_C = -m \omega^2 R + 2m v_S \omega</math>

mit <math>v_S = \omega R</math> folgt

<math>F_{rad} = m \omega^2 R</math>

Für die Beschleunigung des Vaters vom Karrussel aus gesehen gilt

<math>a = \frac {v^2_S} {R} = \omega^2 R</math>

Die radiale Kraft auf den kreisenden Vater, die sich aus der nach aussen gerichteten Zentrifugalkraft und der nach innen weisenden Corioliskraft zusammensetzt, verursacht die Beschleunigung des Vaters. Dies gilt natürlich nur für die Sicht des Sohnes.

====beide haben Recht====
Für den Vater gibt es weder Zentrifugalkraft noch Corioliskraft. Der Vater kennt nur die messbaren [[Impulsstrom|Oberflächenkräfte]] und die Wirkung des homogenen Gravitationsfeldes.

Der Sohn muss dagegen in jedem Fall eine ortsabhängige [[Zentrifugalkraft]] und eine geschwindigkeitsabhängige [[Corioliskraft]] einführen. Die Zentrifugalkraft nimmt linear mit dem Abstand von der Mitte zu, die Corioliskraft ist überall gleich stark, nimmt aber linear mit der Bewegung eines Körpers zu.

Vater und Sohn können miteinander diskutieren, sobald jeder die Sicht des andern auch versteht.

[[Kategorie:Rot]]