https://systemdesign.ch/api.php?action=feedcontributions&user=Admin&feedformat=atomSystemPhysik - Benutzerbeiträge [de]2024-03-28T10:13:02ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.35.0-rc.2https://systemdesign.ch/index.php?title=Physik_und_Systemwissenschaft_in_Aviatik&diff=12294Physik und Systemwissenschaft in Aviatik2022-02-03T14:05:34Z<p>Admin: /* zweites Semester */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
Die Studierenden<br />
*entwickeln eine persönliche und reflektierte Arbeitstechnik. <br />
*können Ihre Ergebnisse mündlich und schriftlich zielgruppengerecht präsentieren. <br />
*kennen die Grundprinzipien der [[Physik der dynamischen Systeme]] und können diese auf Fragestellungen aus der Luftfahrt anwenden. <br />
*beherrschen die [[System Dynamics|systemdynamische]] Modellbildung und Simulation. <br />
*können komplexe Fragestellungen analysieren und in ein dynamisches Modell umsetzen. <br />
*kennen die naturwissenschaftlich-technischen Grundlagen der Flugdynamik.<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Gliederung==<br />
Der Kurs '''Physik und Systemwissenschaft in Aviatik''' umfasst zwei Semester zu vierzehn Wochen und gliedert sich in zwei Lektionen Vorlesung, zwei Lektionen Übungen, zwei Lektionen Modellbildung sowie zwei Lektionen Arbeits- und Präsentationstechnik. Die Studierenden haben neben den Präsenzveranstaltungen (2 x 14 Wochen zu 8 Lektionen plus 13 Stunden Prüfungen) gemäss den von der Schulleitung festgelegten Regeln weitere 243 Stunden Hausarbeit (Stoff nachbearbeiten, selbständiges Üben, Berichte und Vorträge verfassen und Prüfung vorbereiten) zu leisten.<br />
<br />
==Stoffplan==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Vorlesung<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://youtu.be/maA_JQDhcuI H1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://youtu.be/78j7Vd81mJQ H2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://youtu.be/A-2W7i5wIHM H3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://youtu.be/Oi4HxOaMjh8 H4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://youtu.be/_pkf5ASDiZI E1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://youtu.be/n3_ZzKGQz-8 E2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://youtu.be/mulwp6x0Lc8 E3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://youtu.be/dnv58ZtMrzY E4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://youtu.be/rIaMNO4eoms T1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://youtu.be/U1tNz39_z-Q T2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://youtu.be/W8uhnkFuc7E T3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://youtu.be/232e5zMFiZs T4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://youtu.be/4aix-a8Z3qU T5]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://youtu.be/yT2WBUeOPYE T6]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Vorlesung<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://youtu.be/E0uzTdYLaiU O1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://youtu.be/seDnMhqUTVo O2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://youtu.be/AKdYdK3w9ZU TH1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://youtu.be/t1fhs-J4atg TH2]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://youtu.be/tgAV1vwc4Aw TH3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://youtu.be/6NFrhIW03eo TH4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://youtu.be/JWCcXgHqQaA TH5]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://youtu.be/u1MAEqyFXCI TH6]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://youtu.be/xM4Tx55iWMI R1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://youtu.be/9MpNKdcKmVc R2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://youtu.be/N19tVato7po R3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://youtu.be/cujl_T5cy_w R4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://youtu.be/7Mva8CsHjkk R5]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://youtu.be/JABXLdVqZEM M]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Links==<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=8UCAUdj5CBw Begrüssung der Studierenden]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=gnkXpZ-Dr7A Informationen für die Studierenden]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=EZzoaxWJWLk Übersicht]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=C5QIMy5nr88 Vortrag in Cottbus]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Physik_und_Systemwissenschaft_in_Aviatik&diff=12293Physik und Systemwissenschaft in Aviatik2022-02-03T12:05:40Z<p>Admin: /* erstes Semester */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
Die Studierenden<br />
*entwickeln eine persönliche und reflektierte Arbeitstechnik. <br />
*können Ihre Ergebnisse mündlich und schriftlich zielgruppengerecht präsentieren. <br />
*kennen die Grundprinzipien der [[Physik der dynamischen Systeme]] und können diese auf Fragestellungen aus der Luftfahrt anwenden. <br />
*beherrschen die [[System Dynamics|systemdynamische]] Modellbildung und Simulation. <br />
*können komplexe Fragestellungen analysieren und in ein dynamisches Modell umsetzen. <br />
*kennen die naturwissenschaftlich-technischen Grundlagen der Flugdynamik.<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Gliederung==<br />
Der Kurs '''Physik und Systemwissenschaft in Aviatik''' umfasst zwei Semester zu vierzehn Wochen und gliedert sich in zwei Lektionen Vorlesung, zwei Lektionen Übungen, zwei Lektionen Modellbildung sowie zwei Lektionen Arbeits- und Präsentationstechnik. Die Studierenden haben neben den Präsenzveranstaltungen (2 x 14 Wochen zu 8 Lektionen plus 13 Stunden Prüfungen) gemäss den von der Schulleitung festgelegten Regeln weitere 243 Stunden Hausarbeit (Stoff nachbearbeiten, selbständiges Üben, Berichte und Vorträge verfassen und Prüfung vorbereiten) zu leisten.<br />
<br />
==Stoffplan==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Vorlesung<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://youtu.be/maA_JQDhcuI H1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://youtu.be/78j7Vd81mJQ H2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://youtu.be/A-2W7i5wIHM H3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://youtu.be/Oi4HxOaMjh8 H4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://youtu.be/_pkf5ASDiZI E1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://youtu.be/n3_ZzKGQz-8 E2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://youtu.be/mulwp6x0Lc8 E3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://youtu.be/dnv58ZtMrzY E4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://youtu.be/rIaMNO4eoms T1]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://youtu.be/U1tNz39_z-Q T2]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://youtu.be/W8uhnkFuc7E T3]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://youtu.be/232e5zMFiZs T4]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://youtu.be/4aix-a8Z3qU T5]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://youtu.be/yT2WBUeOPYE T6]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "50"|Video<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2d2upv8cza/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/12b5qqgu9b/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1st976ike8/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/reaul8dmt/link_box aktiv]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1f66jkl8k1/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2pxvmtkq4g/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2ixbrl57ww/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/23q4lydr2e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/28sj39rv4e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1hidjw34ok/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/r0a8hzzkq/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2nzqiv1x3y/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/ni0ec0pdg/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/18joc5q6rk/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Links==<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=8UCAUdj5CBw Begrüssung der Studierenden]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=gnkXpZ-Dr7A Informationen für die Studierenden]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=EZzoaxWJWLk Übersicht]<br />
*[http://www.youtube.com/watch?v=C5QIMy5nr88 Vortrag in Cottbus]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12292Hauptseite2022-02-02T20:39:33Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 1200 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Aufgabenhilfe'''<br />
<br />
Kannst Du eine Aufgabe zur Physik nicht lösen? Dann sende die vollständig und klar formulierte Aufgabe an systemdynamiker2@gmail.com. Falls die Aufgabe neu und interessant ist, werden wir sie hier zusammen mit einer umfassenden Lösung veröffentlichen.<br />
<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12291Hauptseite2022-02-02T20:37:47Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 900 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Aufgabenhilfe'''<br />
<br />
Kannst Du eine Aufgabe zur Physik nicht lösen? Dann sende die vollständig und klar formulierte Aufgabe an systemdynamiker2@gmail.com. Falls die Aufgabe neu und interessant ist, werden wir sie hier zusammen mit einer umfassenden Lösung veröffentlichen.<br />
<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12191Hauptseite2017-08-26T13:06:03Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 900 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zur Videoaufzeichnung der Vorlesung '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/19bnu3wncd Physik und Systemwissenschaft in Aviatik I]''' und '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/1owxwkhlo9 Physik und Systemwissenschaft in Aviatik II]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Aufgabenhilfe'''<br />
<br />
Kannst Du eine Aufgabe zur Physik nicht lösen? Dann sende die vollständig und klar formulierte Aufgabe an systemdynamiker2@gmail.com. Falls die Aufgabe neu und interessant ist, werden wir sie hier zusammen mit einer umfassenden Lösung veröffentlichen.<br />
<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Systemphysik_f%C3%BCr_Aviatik&diff=12190Systemphysik für Aviatik2017-08-26T10:16:04Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>==Physik und Systemwissenschaft für Aviatik==<br />
Der Bachelorstudiengang Aviatik wird von der [[ZHAW]] seit 2006 durchgeführt. In diesem Studiengagn bildet das Modul [[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik|Physik und Systemwissenschaft für Aviatik]] mit 16 von 60 Kreditpunkten einen Schwerpunkt. Im Studienjahr 2009/2010 wurde die ganze Vorlesung (zwei Lektionen pro Woche) aufgezeichnet. All diese Vorlesungen sind neu auf SWITCHtube abrufbar. Im Studienjahr 2011/2012 wurde zu jeder Vorlesung eine Kurzfassung produziert und auf Youtube veröffentlicht<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Inhalt und Videos==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Stube<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/112ebf8d Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/11970435 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/fe26c0f5 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/d03e9c84 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/72692274 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/9ed5a8a7 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/13b65423 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/020aa3e1 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/5f6b0a1b Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/b0761df1 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/802de169 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/bd5c745b Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/ffd0a434 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/17a3cb93 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "50"|Video<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/5eb23757 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/631ead7f Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/a4be37a2 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/c9581f9a Vorlesung]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/fd87e453 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/bed166ba Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/cd8fabaa Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/c0c83488 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/49be64cf Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/80ba1d42 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/dd58950c Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/8d349571 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/6221310c Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/2df6d7a7 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Weitere Videos auf Switchtube==<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/9180cc94 Modellbildung 1]<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/109e721d Modellbildung 2]<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/7bef814d Einführung in die Systemphysik]<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/c0931b2c Einführung in die Rotationsmechanik]<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/4d938a0d Einführung in die Thermodynamik]<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/aed7b3e1 Hebelgesetz und Bahndrehimpuls]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Systemphysik_f%C3%BCr_Aviatik&diff=12189Systemphysik für Aviatik2017-08-26T10:01:16Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>==Physik und Systemwissenschaft für Aviatik==<br />
Der Bachelorstudiengang Aviatik wird von der [[ZHAW]] seit 2006 durchgeführt. In diesem Studiengagn bildet das Modul [[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik|Physik und Systemwissenschaft für Aviatik]] mit 16 von 60 Kreditpunkten einen Schwerpunkt. Im Studienjahr 2009/2010 wurde die ganze Vorlesung (zwei Lektionen pro Woche) aufgezeichnet. All diese Vorlesungen sind neu auf SWITCHtube abrufbar. Im Studienjahr 2011/2012 wurde zu jeder Vorlesung eine Kurzfassung produziert und auf Youtube veröffentlicht<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Inhalt und Videos==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Stube<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/112ebf8d Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/11970435 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/fe26c0f5 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/d03e9c84 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/72692274 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/9ed5a8a7 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/13b65423 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/020aa3e1 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/5f6b0a1b Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/b0761df1 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/802de169 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/bd5c745b Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/ffd0a434 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/17a3cb93 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "50"|Video<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/5eb23757 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/631ead7f Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/a4be37a2 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/c9581f9a Vorlesung]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/fd87e453 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/bed166ba Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/cd8fabaa Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/c0c83488 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/49be64cf Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/80ba1d42 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/dd58950c Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/8d349571 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/6221310c Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/2df6d7a7 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Weitere Videos auf Switchtube==<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/9180cc94 Modellbildung 1]<br />
*[https://tube.switch.ch/videos/109e721d Modellbildung 2]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Systemphysik_f%C3%BCr_Aviatik&diff=12188Systemphysik für Aviatik2017-08-26T09:43:04Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>==Physik und Systemwissenschaft für Aviatik==<br />
Der Bachelorstudiengang Aviatik wird von der [[ZHAW]] seit 2006 durchgeführt. In diesem Studiengagn bildet das Modul [[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik|Physik und Systemwissenschaft für Aviatik]] mit 16 von 60 Kreditpunkten einen Schwerpunkt. Im Studienjahr 2009/2010 wurde die ganze Vorlesung (zwei Lektionen pro Woche) aufgezeichnet. All diese Vorlesungen sind neu auf SWITCHtube abrufbar. Im Studienjahr 2011/2012 wurde zu jeder Vorlesung eine Kurzfassung produziert und auf Youtube veröffentlicht<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Inhalt und Videos==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Stube<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/112ebf8d Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/11970435 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/fe26c0f5 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/d03e9c84 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/72692274 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/9ed5a8a7 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/13b65423 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/020aa3e1 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/5f6b0a1b Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/b0761df1 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/802de169 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/bd5c745b Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/ffd0a434 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/17a3cb93 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "50"|Video<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2d2upv8cza/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/12b5qqgu9b/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1st976ike8/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/reaul8dmt/link_box aktiv]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1f66jkl8k1/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2pxvmtkq4g/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2ixbrl57ww/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/23q4lydr2e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/28sj39rv4e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1hidjw34ok/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/r0a8hzzkq/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2nzqiv1x3y/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/ni0ec0pdg/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/18joc5q6rk/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Weitere Videos auf Switchtube==</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Systemphysik_f%C3%BCr_Aviatik&diff=12187Systemphysik für Aviatik2017-08-26T09:02:50Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>==Physik und Systemwissenschaft für Aviatik==<br />
Der Bachelorstudiengang Aviatik wird von der [[ZHAW]] seit 2006 durchgeführt. In diesem Studiengagn bildet das Modul [[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik|Physik und Systemwissenschaft für Aviatik]] mit 16 von 60 Kreditpunkten einen Schwerpunkt. Im Studienjahr 2009/2010 wurde die ganze Vorlesung (zwei Lektionen pro Woche) aufgezeichnet. All diese Vorlesungen sind neu auf SWITCHtube abrufbar. Im Studienjahr 2011/2012 wurde zu jeder Vorlesung eine Kurzfassung produziert und auf Youtube veröffentlicht<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Inhalt und Videos==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Stube<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/112ebf8d Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/11970435 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/fe26c0f5 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/d03e9c84 Vorlesung]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/21dw3prm2p/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2khehakpq2/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/7wq10fzp0/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/uwjgxfl73/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1lemxk8aui/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2mfkbr109p/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2aqn7doqog/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1len7vhki5/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/y0srolsdx/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "50"|Video<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2d2upv8cza/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/12b5qqgu9b/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1st976ike8/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/reaul8dmt/link_box aktiv]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1f66jkl8k1/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2pxvmtkq4g/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2ixbrl57ww/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/23q4lydr2e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/28sj39rv4e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1hidjw34ok/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/r0a8hzzkq/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2nzqiv1x3y/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/ni0ec0pdg/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/18joc5q6rk/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Weitere Videos auf Switchtube==</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Systemphysik_f%C3%BCr_Aviatik&diff=12186Systemphysik für Aviatik2017-08-26T08:58:09Z<p>Admin: Die Seite wurde neu angelegt: „==Physik und Systemwissenschaft für Aviatik== Der Bachelorstudiengang Aviatik wird von der ZHAW seit 2006 durchgeführt. In diesem Studiengagn bildet das…“</p>
<hr />
<div>==Physik und Systemwissenschaft für Aviatik==<br />
Der Bachelorstudiengang Aviatik wird von der [[ZHAW]] seit 2006 durchgeführt. In diesem Studiengagn bildet das Modul [[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik|Physik und Systemwissenschaft für Aviatik]] mit 16 von 60 Kreditpunkten einen Schwerpunkt. Im Studienjahr 2009/2010 wurde die ganze Vorlesung (zwei Lektionen pro Woche) aufgezeichnet. All diese Vorlesungen sind neu auf SWITCHtube abrufbar. Im Studienjahr 2011/2012 wurde zu jeder Vorlesung eine Kurzfassung produziert und auf Youtube veröffentlicht<br />
<br />
==Lerninhalte==<br />
*[[Hydrodynamik]]: Volumenbilanz, Prozesse und Energie, resistive, kapazitive und induktive Glieder; <br />
*[[Elektrodynamik]]: Strom, Spannung, Prozessleistung, lineare Glieder; <br />
*[[Translationsmechanik]]: Impulsbilanz, Kinematik, Energie, Gravitation, Schnittstelle zur technischen Mechanik;<br />
*Offene [[System]]e: Energie- und Impulsbilanz, instationäre Prozesse; <br />
*[[Rotationsmechanik]]: Drehimpulsbilanz, Rotation um eine Achse, starre Körper in der Ebene; <br />
*[[Thermodynamik]]: Entropie- und Energiebilanz, thermische Prozesse, TD homogener Systeme, Wärmetransport; <br />
*Persönliche Arbeitstechnik, Anwendung bestimmter Textsorten, Präsentationstechnik.<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Modellbildung und Simulation bilden einen Schwerpunkt im Fach Physik und Systemwissenschaft. In der ersten Phase lernen die Studierenden anhand kleiner Beispiele aus den Gebieten [[Hydrodynamik]] und [[Elektrodynamik]] die Technik der [[System Dynamics|systemdynamischen Modellierung]]. Danach wird ein grösseres Beispiel aus der [[Translationsmechanik]] modelliert und simuliert. Im zweiten Semester befassen sich die Studierenden in Dreiergruppen mit je einem grossen Modell aus dem Bereich Luft- und Raumfahrt sowie der Thermodynamik, wobei jede Jahr mindestens ein neues Projekt gestartet wird.<br />
<br />
==Inhalt und Videos==<br />
===erstes Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "60"|Stube<br />
!width = "100"|Youtube<br />
|-<br />
|1<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Bilanzieren]]<br />
|[https://tube.switch.ch/videos/112ebf8d]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pfaPep6-4po Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Energiestrom und Prozessleistung]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/29kj041ci5/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=m2QJm8P1KfE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Speicher]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/19bo4rmwa5/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bYZxt4Kzwls Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Trägheit als Induktivität]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/xmqyafm3m/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dE0UDCwMVEM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladung und Strom]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/21dw3prm2p/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=udA0WLtDg5w Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Widerstand und Prozessleistung]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2khehakpq2/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KyJYcxT6du0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Ladungs- und Energiespeicher]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/7wq10fzp0/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=Tapq2TxR1o4 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[Magnetfeld und Induktivität]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/uwjgxfl73/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dup7lSm0z1c Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls, Impulsstrom und Kraft]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1lemxk8aui/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=RsryBBiUPEg Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls und Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2mfkbr109p/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eTBE8YWPC-8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls bei Kreisbewegung]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=dg_hno8iHPk Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Gravitation als Impulsquelle]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2aqn7doqog/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_Ym0MClHVv0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Arbeit, kinetische und potentielle Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1len7vhki5/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iUN3X3JkLIM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Widerstand und Auftrieb]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/y0srolsdx/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=bQQqhjKi5bc Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
===zweites Semester ===<br />
{|<br />
!width = "50"|Woche<br />
!width = "150"|Gebiet<br />
!width = "280"|Thema<br />
!width = "50"|Video<br />
|-<br />
|1<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[konvektiver Transport, Energieströme]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2d2upv8cza/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=fOJvkevWzAI Kurzfassung]<br />
|-<br />
|2<br />
|offenes [[System]]<br />
|[[Impulsbilanz bei offenen Systemen]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/12b5qqgu9b/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=QS904Aes_D8 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|3<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärme als Entropie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1st976ike8/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=TymjEcFG-Sw Kurzfassung]<br />
|-<br />
|4<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Entropie und Enthalpie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/reaul8dmt/link_box aktiv]<br />
|[http://youtu.be/fllbQuVkSvU Kurzfassung]<br />
|-<br />
|5<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Carnotor und ideales Gas]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1f66jkl8k1/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=3lq021_lb7s Kurzfassung]<br />
|-<br />
|6<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Kreisprozesse]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2pxvmtkq4g/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung]<br />
|-<br />
|7<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Wärmetransport]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2ixbrl57ww/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=MQG48OkW4fM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|8<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Reale Stoffe]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/23q4lydr2e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=KDvmYJmdk0U Kurzfassung]<br />
|-<br />
|9<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls und Energie]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/28sj39rv4e/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=hAnJ3eaLkj0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|10<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Massenmittelpunkt, Kinematik]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/1hidjw34ok/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=_4xDwwN6Eg0 Kurzfassung]<br />
|-<br />
|11<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpulsquelle und Bahndrehimpuls]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/r0a8hzzkq/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=pLNUEvw3cfM Kurzfassung]<br />
|-<br />
|12<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Mechanik des starren Körpers]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/2nzqiv1x3y/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|13<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Schwenkbewegung und Unwucht]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/ni0ec0pdg/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=eGpk9m1VcZE Kurzfassung]<br />
|-<br />
|-<br />
|14<br />
|[[Physik der dynamischen Systeme|Physik]]<br />
|[[Repetition]]<br />
|[https://cast.switch.ch/vod/clips/18joc5q6rk/link_box aktiv]<br />
|[http://www.youtube.com/watch?v=UtWUTHKqYCI Kurzfassung]<br />
|}<br />
<br />
==Weitere Videos auf Switchtube==</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12185Hauptseite2017-08-26T08:33:32Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 900 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zur Videoaufzeichnung der Vorlesung '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/19bnu3wncd Physik und Systemwissenschaft in Aviatik I]''' und '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/1owxwkhlo9 Physik und Systemwissenschaft in Aviatik II]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Aufgabenhilfe'''<br />
<br />
Können Sie eine Aufgabe zur Physik nicht lösen? Dann senden Sie die vollständig und klar formulierte Aufgabe an systemdynamiker2@gmail.com. Falls Ihre Aufgabe interessant und in ähnlicher Form im SystemphysikWiki noch nicht veröffentlicht ist, werden wir sie zusammen mit der Lösung hier veröffentlichen.<br />
<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12184Hauptseite2017-08-17T14:51:06Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 900 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zur Videoaufzeichnung der Vorlesung '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/19bnu3wncd Physik und Systemwissenschaft in Aviatik I]''' und '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/1owxwkhlo9 Physik und Systemwissenschaft in Aviatik II]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''aktuelle Videos'''<br />
::<videoflash>8Jd0el2Kgdc|649|360</videoflash><br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12183Hauptseite2017-08-17T14:48:17Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 900 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zur Videoaufzeichnung der Vorlesung '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/19bnu3wncd Physik und Systemwissenschaft in Aviatik I]''' und '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/1owxwkhlo9 Physik und Systemwissenschaft in Aviatik II]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''aktuelle Videos'''<br />
::<videoflash>t2a2Ww-LsEI|649|360</videoflash><br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Hauptseite&diff=12182Hauptseite2017-08-17T14:42:15Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>{|border="0" cellspacing="3" width=100%<br />
|width="100%" valign="top"|<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ccddff; align:right;"><br />
{|border="0" style="background-color:#ccddff"<br />
|bgcolor="#ccddff"|<big>'''SystemPhysik'''</big><br />
*ist ein deutschsprachiges [[Wiki]]-Projekt zur [[Physik der dynamischen Systeme]]<br />
*dient der Entwicklung eines zeitgemässen Physikkurses für Ingenieure, Naturwissenschafter und Lehrer<br />
*umfasst momentan '''{{NUMBEROFARTICLES}} Artikel'''<br />
<br />
'''Hier geht es'''<br />
*zum '''[[SystemPhysik:Portal|Physikportal]]'''<br />
*zur Systemphysik auf '''[http://www.youtube.com/user/Systemdynamiker? Youtube]''' (mehr als 900 Videos)<br />
*zum '''[[Modelica Kurs]]'''<br />
*zur Analyse des '''[[Gutachten der DPG|Gutachtens der DPG]]'''<br />
*zur Videoaufzeichnung der Vorlesung '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/19bnu3wncd Physik und Systemwissenschaft in Aviatik I]''' und '''[https://cast.switch.ch/vod/channels/8Jd0el2Kgdc Physik und Systemwissenschaft in Aviatik II]'''<br />
*zu [http://www.pegaswiss.ch '''Pegaswiss''']<br />
|}<br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''aktuelle Videos'''<br />
::<videoflash>t2a2Ww-LsEI|649|360</videoflash><br />
</div><br />
<br><br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
'''Wissen Sie,'''<br><br />
*auf welchem [[Basiskonzept|Fundament]] die [[Physik der dynamischen Systeme|Systemphysik]] ruht?<br />
*was unter [[Systemtechnik]] zu verstehen ist?<br />
*wieso ein Flugzeugt [[dynamischer Auftrieb|fliegt]]?<br />
</div><br><br />
<br />
<div style="margin: 0; margin-right:10px; border: 2px solid #8888FF; padding: 0 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:right;"><br />
Dieses Wiki wird von der Firma [http://maurer.systems '''maurer.systems''' ''Embedded Systems - Software Engineering - Services''] gewartet.<br />
</div><br><br />
<br />
|valign="top"|<div style="margin:0; border: 2px solid #8888FF; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#ffeeee; align:left;"><br />
<font color="#000000">'''Über SystemPhysik:'''</font> <br />
*[[Impressum]]<br />
*[[Sponsoren]]<br />
*[[Schulen]]<br />
*[[Literatur d]]<br />
*[[Literatur e]]<br />
*[[Links]]<br />
</div><br />
|}</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12130Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-24T15:05:59Z<p>Admin: /* Aufgabe 3 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
'''[https://www.youtube.com/watch?v=bIHQt69nclw Lösungsvideo]'''<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.<br />
#Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.<br />
#Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des [[ideales Gas|idealen Gases]] berechnet werden, womit man 315 K erhält.<br />
#Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus <math>\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}</math> folgt <math>\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}</math> = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit <math>W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T </math> = 26.9 kJ<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
#Die beiden Drehimpulskapazitäten (Massenträgheitsmomente) sind in Serie geschaltet und können durch eine Einzelkapazität ersetzt werden<br />
##<math>J = \frac{J_1J_2}{J_1+J_2}</math> = 16 kgm<sup>2</sup><br />
##Aus <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> folgt <math>D*=\frac{4\pi^2J}{T^2}</math> = 281 Nm/rad<br />
#Die Energie der Drehfeder ist bei einer Verdrehung von &pi;/2 gleich <math>W_D=\frac{D^*}{2}\frac{\pi^2}{4}</math> = 346 J<br />
##Aus dem [[Flüssigkeitsbild]] kann man heraus lesen, dass der Drehimpuls von einem Schwungrad ins andere befördert wird. Zudem sieht man dort sofort, dass die Winkelgeschwindigkeiten oder die "Pumphöhen" bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportiona zum Massenträgheitsmoment ist. Die Energie wird deshalb im Verhältnis 1 : 4 auf die beiden Schwungräder übertragen.<br />
##Aus <math>W_{rot} = \frac{J}{2}\omega^2</math> folgt <math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2 W_{{rot}_1}}{J_1}}</math> = 1.32 rad/s, wobei für die Rotationsenergie 20% der Federenergie genommen wird.<br />
#'''[https://www.youtube.com/watch?v=wZn87hvTwJY Modellbildung in Video erklärt]'''<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12129Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T16:53:49Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.<br />
#Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.<br />
#Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des [[ideales Gas|idealen Gases]] berechnet werden, womit man 315 K erhält.<br />
#Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus <math>\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}</math> folgt <math>\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}</math> = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit <math>W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T </math> = 26.9 kJ<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
#Die beiden Drehimpulskapazitäten (Massenträgheitsmomente) sind in Serie geschaltet und können durch eine Einzelkapazität ersetzt werden<br />
##<math>J = \frac{J_1J_2}{J_1+J_2}</math> = 16 kgm<sup>2</sup><br />
##Aus <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> folgt <math>D*=\frac{4\pi^2J}{T^2}</math> = 281 Nm/rad<br />
#Die Energie der Drehfeder ist bei einer Verdrehung von &pi;/2 gleich <math>W_D=\frac{D^*}{2}\frac{\pi^2}{4}</math> = 346 J<br />
##Aus dem [[Flüssigkeitsbild]] kann man heraus lesen, dass der Drehimpuls von einem Schwungrad ins andere befördert wird. Zudem sieht man dort sofort, dass die Winkelgeschwindigkeiten oder die "Pumphöhen" bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportiona zum Massenträgheitsmoment ist. Die Energie wird deshalb im Verhältnis 1 : 4 auf die beiden Schwungräder übertragen.<br />
##Aus <math>W_{rot} = \frac{J}{2}\omega^2</math> folgt <math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2 W_{{rot}_1}}{J_1}}</math> = 1.32 rad/s, wobei für die Rotationsenergie 20% der Federenergie genommen wird.<br />
#'''[https://www.youtube.com/watch?v=wZn87hvTwJY Modellbildung in Video erklärt]'''<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12128Aviatik 2015/22016-06-23T15:29:23Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik15 2 1.png|thumb|Satellit]]Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes (in der ursprünglichen Aufgabentellung ohne Werte für die Energie). Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
[[Datei:Kaltdampfprozess T-s.gif|''T-S-''Diagramm]]<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup>2</sup>, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelgeschwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12127Aviatik 2015/22016-06-23T15:27:33Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik15 2 1.png|thumb|Satellit]]Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes (in der ursprünglichen Aufgabentellung ohne Werte für die Energie). Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
[[Datei:Kaltdampfprozess T-s.gif|''T-S-''Diagramm]]<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup></sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelgeschwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12126Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T14:44:45Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.<br />
#Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.<br />
#Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des [[ideales Gas|idealen Gases]] berechnet werden, womit man 315 K erhält.<br />
#Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus <math>\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}</math> folgt <math>\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}</math> = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit <math>W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T </math> = 26.9 kJ<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
#Die beiden Drehimpulskapazitäten (Massenträgheitsmomente) sind in Serie geschaltet und können durch eine Einzelkapazität ersetzt werden<br />
##<math>J = \frac{J_1J_2}{J_1+J_2}</math> = 16 kgm<sup>2</sup><br />
##Aus <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> folgt <math>D*=\frac{4\pi^2J}{T^2}</math> = 281 Nm/rad<br />
#Die Energie der Drehfeder ist bei einer Verdrehung von &pi;/2 gleich <math>W_D=\frac{D^*}{2}\frac{\pi^2}{4}</math> = 346 J<br />
##Aus dem [[Flüssigkeitsbild]] kann man heraus lesen, dass der Drehimpuls von einem Schwungrad ins andere befördert wird. Zudem sieht man dort sofort, dass die Winkelgeschwindigkeiten oder die "Pumphöhen" bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportiona zum Massenträgheitsmoment ist. Die Energie wird deshalb im Verhältnis 1 : 4 auf die beiden Schwungräder übertragen.<br />
##Aus <math>W_{rot} = \frac{J}{2}\omega^2</math> folgt <math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2 W_{{rot}_1}}{J_1}}</math> = 1.32 rad/s, wobei für die Rotationsenergie 20% der Federenergie genommen wird.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12125Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T14:42:28Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.<br />
#Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.<br />
#Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des [[ideales Gas|idealen Gases]] berechnet werden, womit man 315 K erhält.<br />
#Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus <math>\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}</math> folgt <math>\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}</math> = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit <math>W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T </math> = 26.9 kJ<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
#Die beiden Drehimpulskapazitäten (Massenträgheitsmomente) sind in Serie geschaltet und können durch eine Einzelkapazität ersetzt werden<br />
##<math>J = \frac{J_1J_2}{J_1+J_2}</math> = 16 kgm<sup>2</sup><br />
##Aus <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> folgt <math>D*=\frac{4\pi^2J}{T^2}</math> = 281 Nm/rad<br />
#Die Energie der Drehfeder ist bei einer Verdrehung von &pi;/2 gleich <math>W_D=\frac{D^*}{2}\frac{\pi^2}{4}</math> = 346 J<br />
##Aus dem [[Flüssigkeitsbild]] kann man heraus lesen, dass der Drehimpuls von einem Schwungrad ins andere befördert wird. Zudem sieht man dort sofort, dass die Winkelgeschwindigkeiten oder die "Pumphöhen" bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportiona zum Massenträgheitsmoment ist. Die Energie wird deshalb im Verhältnis 1 : 4 auf die beiden Schwungräder übertragen.<br />
##Aus <math>W_{rot} = \frac{J}{2}\omega^2</math> folgt <math>\omega_1 = \sqrt{\frac{2 W_{{rot}_2}}{J_1}}</math> = 1.32 rad/s, wobei für die Rotationsenergie 20% der Federenergie genommen wird.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12124Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T14:12:53Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.<br />
#Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.<br />
#Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des [[ideales Gas|idealen Gases]] berechnet werden, womit man 315 K erhält.<br />
#Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus <math>\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}</math> folgt <math>\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}</math> = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit <math>W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T </math> = 26.9 kJ<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
#Die beiden Drehimpulskapazitäten (Massenträgheitsmomente) sind in Serie geschaltet und können durch eine Einzelkapazität ersetzt werden<br />
##<math>J = \frac{J_1J_2}{J_1+J_2}</math> = 16 kgm<sup>2</sup><br />
##Aus <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> folgt <math>D*=\frac{4\pi^2J}{T^2}</math> = 281 Nm/rad<br />
#Die Energie der Drehfeder ist bei einer Verdrehung von &pi;/2 gleich <math>W_D=\frac{D^*}{2}\frac{\pi^2}{4}</math> = 346 J<br />
##Aus dem [[Flüssigkeitsbild]] kann man heraus lesen, dass der Drehimpuls von einem Schwungrad ins andere befördert wird. Zudem sieht man dort sofort, dass die Winkelgeschwindigkeiten oder die "Pumphöhen" bei gleichem Drehimpuls umgekehrt proportiona zum Massenträgheitsmoment ist. Die Energie wird deshalb im Verhältnis 4 : 1 auf die beiden Schwungräder übertragen.<br />
##Aus <math>W_{rot} = \frac{J}{2}\omega^2</math> folgt <math>\omega_2 = \sqrt{\frac{2 W_{{rot}_2}}{J_2}}</math> = 1.32 rad/s, wobei für die Rotationsenergie 20% der Federenergie genommen wird.<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12123Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T13:43:35Z<p>Admin: /* Aufgabe 4 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
#Die beim Verdampfen vom Fluid aufgenommene Entrope lässt sich direkt aus der Graphik heraus lesen: 520 J/K. Die mit aufgenommene Wärmeenergie ist gleich der Fläche unter der Kurve (wie in der Animation gezeigt): 142 kJ.<br />
#Die beim Kondensieren abgegebene Entropie ist wiederum direkt ablesbar: -530 J/K. Die die Entropie begleitende Wärmeenergie ist wiederum gleich der Fläche unter der Kurve: -168 kJ. Die Pumparbeit entspricht der Differenz: 168 kJ - 142 kJ = 26 kJ.<br />
#Die Endtemperatur kann direkt mit der Formel für die isentrope Kompression des [[ideales Gas|idealen Gases]] berechnet werden, womit man 315 K erhält.<br />
#Die Kompressionsarbeit ist gleich der Änderung der inneren Energie. Die molare Wärmekapazität kann aus dem Isentropenexponent bestimmt werden. Aus <math>\kappa = \frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V + R}{\hat c_V}</math> folgt <math>\hat c_V = \frac{R}{\kappa - 1}</math> = 64 J/(mol K). Damit erahalten wir für die Kompressionsarbeit <math>W_{mech} = \Delta W = n\hat c_V \Delta T </math> = 26.9 kJ<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12122Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T13:16:47Z<p>Admin: /* Aufgabe 3 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
#Die Wärmekapazität beträgt ''C'' = 10 MW * 600 s pro Grad Celsius = 6 GJ/°C. Damit erhält man<br />
##<math>\Delta H = C\Delta T</math> = -480 GJ<br />
##<math>\Delta S = C \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)</math> = -632 MJ/K<br />
#Bei der Wärmepumpe kommt mehr Entropie an, als das Salz abgibt (bei diesem Wärmeübergang "fällt" die Entropie unkontrolliert hinunter). Die Energie bleibt dagegen erhalten<br />
##<math>S_{WKM} = \frac{|\Delta H|}{T_{WKM{Eingang}}}</math> =6.86 10<sup>8</sup> J/K<br />
##<math>W_{WKM} = S_{WKM}\Delta T_{WKM}</math> = 274 GJ<br />
#Die total produzierte Entropie ist gleich der an die Umgebung abgeführten Entropie minus die Entropieabnahme im Salz. Die an die Umgebung abgeführte Entropie ist gleich der Abwärme (480 GJ - 274 GJ = 206 GJ)<br />
##<math>S_{Umg}=\frac{W_{Umg}}{T_{Umg}}</math> = 734 MJ/K<br />
##<math>S_{prod} =S_{Umg}-|\Delta S|</math> = 103 MJ/K<br />
#Bei absolut idealer Prozessführung wird keine Entropie erzeugt. Als geht die Entropie vom Salz ohne Zuwachs an die Umgebung weg und nimmt dabei folgende Energie mit<br />
##<math>W_{Umg}=|\Delta S| T_{Umg}</math> = 177 GJ. Der Unterschied zwischen der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umgebung "verschleppten" Energie steht idealerweise zur Verfügung. Diese Energie heisst in der wissenschaftlichen Literatur oft auch Exergie<br />
##<math>W_{ideal}=|\Delta H|-W_{Umg}</math> = 303 GJ<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12121Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T12:46:48Z<p>Admin: /* Aufgabe 2 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
#Auf das Rad wirken neben der Gewichtskraft eine Achskraft (vom Flugzeug, kann in Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden) sowie die Normal- und die Haftreibungskraft von der Piste. Die Bilanzgleichungen lauten<br />
##<math>x: F_{Ax}-F_{HR}=ma</math><br />
##<math>y: F_{Ay}+F_G-F_N=0</math><br />
##<math>R: F_{HR}\cdot r=J\alpha</math><br />
#<math>F_{HR}=\frac{J\alpha}{r}</math> = 150 N; <math>F_{Ax}=ma+F_{HR}</math>= 210 N; <math>F_N=F_{Ay}+F_G</math> = 4.29 kN<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12120Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T11:48:15Z<p>Admin: /* Aufgabe 2 */</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
#Die Geschwindigkeit ergibt sich aus Geschwindigkeit der Achse plus Umfangsgeschwindigkeit relativ zur Achse. Beide Geschwindigkeiten haben einen Betrag von 1.6 m/s, sthen in diesem Punkt aber normal zueinander: ''v'' = 2.26 m/s<br />
#Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Rollbedingung <math>\alpha = \frac{a}{r}</math> = 5 rad/s<sup>2</sup>; Die Beschleunigung berechnet sich aus Beschleunigung der Achse plus Normal- und Tangentialbeschleunigung der Drehbewegung. Achsenbeschleunigung und Normalbeschleunigung (6.4 m/s<sup>2</sup>) zeigen gegeneinander und die Tangentialbeschleunigung (2 m/s<sup>2</sup>) steht normal dazu. Daraus ergibt sich für die Beschleunigung 4.83 m/s<sup>2</sup>.<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2015/2&diff=12119Lösung zu Aviatik 2015/22016-06-23T11:37:39Z<p>Admin: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 1== #<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m #In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer W…“</p>
<hr />
<div>==Aufgabe 1==<br />
#<math>x_{MMP}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}</math> = 1.4 m<br />
#In 60 s fliessen 240 Nms von einem Zylinder in den andern, was zu einer Winkelgeschwindigkeit von -48 rad/s und 9.6 rad/s führt ([[Flüssigkeitsbild]])<br />
#Schwungrad 2: <math>P_{max}=I_L\omega_{2max}</math> = 38.4 W; <math>W_{rot}=\frac{J_2}{2}\omega_{2max}^2</math> = 1152 J<br />
#Der Drehimpulsbeitrag eines Teilkörpers besteht in der Regel aus Eigendrehimpuls plus Bahndrehimpuls <math>J_2</math> = (20 + 20*0.4<sup>2</sup> + 25 + 60*0.6<sup>2</sup> + 20*1.4<sup>2</sup>) kgm<sup>2</sup> = 109 kgm<sup>2</sup>; <math>\omega = \frac{L}{J_2}</math> = 2.2 rad/s<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
<br />
'''[[Aviatik 2015/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12118Aviatik 2015/22016-06-23T11:17:03Z<p>Admin: /* Aufgabe 4 */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik15 2 1.png|thumb|Satellit]]Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes (in der ursprünglichen Aufgabentellung ohne Werte für die Energie). Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
[[Datei:Kaltdampfprozess T-s.gif|''T-S-''Diagramm]]<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup></sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelge-schwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12117Aviatik 2015/22016-06-23T11:14:31Z<p>Admin: /* Aufgabe 4 */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik15 2 1.png|thumb|Satellit]]Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes. Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
[[Datei:Kaltdampfprozess T-s.gif|''T-S-''Diagramm]]<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup></sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelge-schwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12116Aviatik 2015/22016-06-23T11:08:06Z<p>Admin: /* Aufgabe 5 */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik15 2 1.png|thumb|Satellit]]Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes. Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup></sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelge-schwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12115Aviatik 2015/22016-06-23T11:07:37Z<p>Admin: /* Aufgabe 1 */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
[[Datei:Aviatik15 2 1.png|thumb|Satellit]]Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes. Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup>2</sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelge-schwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Datei:Aviatik15_2_1.png&diff=12114Datei:Aviatik15 2 1.png2016-06-23T11:06:40Z<p>Admin: Skizze zu Aufgabe 1 von Aviatik 2015/2</p>
<hr />
<div>Skizze zu Aufgabe 1 von [[Aviatik 2015/2]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12113Aviatik 2015/22016-06-23T11:01:08Z<p>Admin: /* Studiengang Aviatik der ZHAW */</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes. Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup>2</sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelge-schwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Aviatik_2015/2&diff=12112Aviatik 2015/22016-06-23T11:00:46Z<p>Admin: Die Seite wurde neu angelegt: „==Studiengang Aviatik der ZHAW== '''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Form…“</p>
<hr />
<div>==Studiengang [[Aviatik]] der [[ZHAW]]==<br />
'''Erlaubte Hilfsmittel:''' : Netzunabhängiger und nicht kommunikationsfähiger Taschenrechner, selbst verfasste Formel-, Modell- und Beispielsammlung mit maximal 14 Seiten (14 einseitig oder 7 zweiseitig beschriebene Blätter), Wörterbuch für fremdsprachige Studierende.<br />
<br />
'''Daten:'''<br />
*Gravitationsfeldstärke = 9.81 N/kg<br />
*universelle Gaskonstante = 8.314 J/(mol.K)<br />
<br />
==Aufgabe 1==<br />
Ein Satellit besteht aus zwei zylinderförmigen Körpern (Körper 1: Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 5 kgm<sup>2</sup>; Körper 2: Masse 60 kg, Massenträgheitsmoment 25 kgm<sup>2</sup>) und einem Verbindungsstück (Masse 20 kg, Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>). Die beiden Zylinderachsen sind parallel ausgerichtet und um zwei Meter versetzt (siehe Skizze). Der Massenmittelpunkt des Verbindungsstücks liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Zylinderachsen. Auf den Achsen der beiden Zylinder befinden sich zwei kompakte Elektromotoren mit vernachlässigbaren Massen. Der Satellit rotiert anfänglich nicht (relativ zum Fixsternenhimmel), die Massenträgheitsmomente der drei Körper sind auf den entsprechenden Massenmittelpunkt bezogen.<br />
#Wie weit ist der Gesamtmassenmittelpunkt von der Achse des kleineren Zylinders entfernt? <br />
#Der Motor 1 wirkt nun während 60 Sekunden mit einem konstanten Drehmoment von 4 Nm auf den ersten Zylinder und das Verbindungsstück ein. Motor 2 wirkt gleichzeitig so auf den zweiten Zylinder ein, dass sich das Verbindungstück nicht dreht. Mit welchen Winkelgeschwindigkeiten drehen sich die beiden Zylinder nach diesen 60 Sekunden?<br />
#Wie gross ist die Maximalleistung von Motor 2 und wie viel Energie muss er insgesamt abgeben?<br />
#Nun nehmen wir an, dass Körper 2 fest (nicht drehbar) mit dem Verbindungsstück verbunden ist, während Motor 1 wieder während 60 Sekunden mit 4 Nm einwirkt. Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich nachher das Verbindungsstück?<br />
<br />
==Aufgabe 2==<br />
Ein Flugzeug startet auf einer horizontal ausgerichteten Betonpiste. Kurz nach dem Start misst man bei einer Geschwindigkeit von 1.6 m/s eine Beschleunigung von 2 m/s<sup>2</sup>. Das Flugzeug wirkt mit 4 kN vertikal auf die Achse des Bugrades ein (Masse 30 kg, Radius 0.4 m, Massenträgheitsmoment 12 kgm<sup>2</sup>). Das Bugrad rollt ohne zu rutschen und wir vernach¬lässigen jegliche Dissipation (Lagerreibung, Rollreibung, Gleitreibung).<br />
#Wie gross ist die Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit) am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Welche Winkelbeschleunigung erfährt das Rad? Wie gross ist der Betrag der Beschleunigung am vordersten Punkt des Rades (auf dem Umfang auf Höhe der Achse)?<br />
#Skizzieren Sie das Bugrad mit allen einwirkenden Kräften, führen Sie ein geeignetes Koordinatensystem ein und formulieren Sie die drei Bilanzgleichungen (Grundgesetze).<br />
#Wie gross sind Haftreibungs- und Normalkraft sowie die Horizontalkomponente der Kraft des Flugzeuges auf die Achse des Rades?<br />
<br />
==Aufgabe 3==<br />
Der Wärmespeicher einer grossen solarthermischen Anlage enthält geschmolzenes Salz von 527°C. Wenn man dem Speicher während zehn Minute Wärmeenergie mit einer thermischen Leistung (zugeordneter Energiestrom) von 10 MW entnimmt, sinkt die Temperatur des Speichers um 1°C.<br />
#Um wie viel nehmen die Enthalpie und die Entropie dieses Speichers ab, wenn man ihn von 527°C auf 447°C abkühlt?<br />
#Die dem Speicher unter a) entnommene Wärme dient dem Betrieb einer Wärmekraftmaschine, die reversibel zwischen 427°C und 27°C arbeitet. Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) gibt die Wärmekraftmaschine ab?<br />
#Wie viel Entropie wird bei b) zwischen Speicher und Umgebung produziert, wenn letztere 7°C warm ist?<br />
#Wie viel nutzbare Energie (Arbeit oder Prozessenergie) könnte man maximal gewinnen (der Speicher wird von 527°C auf 447°C abgekühlt und die Umgebungstemperatur beträgt 7°C)?<br />
<br />
==Aufgabe 4==<br />
Das Diagramm zeigt den idealisierten Prozess der Wärmepumpe eines Kühlschrankes. Die Entropie ist spezifische d.h. pro Kilogramm angegeben.<br />
#Wie viel Entropie und wie viel Wärmeenergie nimmt ein Kilogramm Kühlmittel beim Verdampfen auf (Prozess 4)?<br />
#Wie gross ist der Unterschied zwischen abgegebener (Prozess 2) und aufgenommener Wärmeenergie (Prozess 4)?<br />
#Für die isentrope Kompression von 2.9 bar auf 10.1 bar nehmen wir ersatzweise 10 mol ideales Gas mit einem Isentropenexponent von 1.13. Wie hoch würde die Temperatur des idealen Gases dabei steigen?<br />
#Wie gross wäre die Kompressionsarbeit für dieses Ersatzgas unter den gegebenen Bedingungen?<br />
<br />
==Aufgabe 5==<br />
Zwei Schwungräder (Rad 1: Massenträgheitsmoment 80 kgm<sup>2</sup>2, Rad 2: Massenträgheitsmoment 20 kgm<sup>2</sup>), die über eine ideale Feder miteinander verbunden sind, können durch gegenseitige Auslenkung in eine Drehschwingung versetzt werden. Die Schwingungsdauer beträgt 1.5 Sekunden. <br />
#Wie gross ist die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante) dieser Feder?<br />
#Die Feder wird vor dem Loslassen der beiden Schwungräder um eine Viertelumdrehung verdreht. In welchem Verhältnis wird die Federenergie auf die beiden Schwungräder verteilt? Mit welcher maximalen Winkelge-schwindigkeit rotiert das grössere Schwungrad?<br />
#Skizzieren Sie das Systemdiagramm (Flowchart) für dieses System und schreiben Sie die zugehörigen Gleichungen ins Systemdiagramm hinein (nur formal).<br />
#Das System wird nun um eine Wirbelstrombremse ergänzt, welche das grössere Schwungrad relativ zur Erde abbremst. Ergänzen Sie das Systemdiagramm um dieses Element. Ergänzen Sie zudem das Flowchart um zwei weitere Teile, welche die Energie der Feder und die in der Wirbelstrombremse dissipierte Energie berechnet. <br />
<br />
'''[[Lösung zu Aviatik 2015/2|Lösung]]'''<br />
<br />
[[Kategorie:Pruefungen]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aviatik_2013/2&diff=12111Lösung zu Aviatik 2013/22016-06-02T09:18:54Z<p>Admin: /* Lösung zu Aufgabe 1 */</p>
<hr />
<div>==Lösung zu Aufgabe 1==<br />
#<math>I_W=\varrho_{W_{kin}}I_V=\frac{\varrho}{2}v_1^2 I_V=\frac{\varrho}{2}Av_1^3</math> =1250 W<br />
#Torricelli <math>\sqrt{2gh}</math> = 4.2 m/s und <math>A_2=A_1\frac{v_1}{v_2}</math> = 2.38·10<sup>-4</sup> m<sup>2</sup><br />
#Impulsbilanz positive Richtung nach unten. Aus <math>-F_{festhalten}+mg+v_1I_{m1}+v_2I{m2}=\dot p=0</math> und Massebilanz <math>I_{m1}+I_{m1}=\dot m=0</math> folgt <math>F_{festhalten}</math> = 242 N<br />
#<math>I_W=\frac{\varrho}{2}v_2^2 I_V=\frac{v_2^2}{2}I_m=\sqrt{gh}I_m</math>=8.83 W. Die letzte Umformung zeigt den Ursprung der Energie des abfliessenden Wasser: diese Energie entstammt im stationären Zustand vollständig dem [[Gravitationsfeld]] ([[potentielle Energie]]), weil die von oben mit dem Wasser zufliessende Energie vollständig dissipiert wird.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 2==<br />
Diese Aufgabe entspricht ziemlich genau der Übungsaufgabe [[Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern]]. Das zugehürige Strombild entnehme man der [[Lösung zu Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern]].<br />
#<math>\Delta T_{01}=\frac{I_{W_1}}{G_W}</math> = 7 K . Daraus folgt <math>T_1=T_0-\Delta T_{01}</math> = 270 K (-3°C).<br />
#Zu pumpende Entropiestrom <math>I_{S_{12}}=\frac{I_{W_1}}{T_1}</math> . Pumpleistung <math>P=I_{S_{12}}\Delta T_{12}</math> = 648 W.<br />
#Energiestrom 2 (abgehender thermischer Energiestrom) <math>I_{W_2}=I_{W_1}+P</math> = 4.15 kW. Daraus folgt für den thermischen Leitwert <math>G_W=\frac{I_{W_2}}{\Delta T_{23}}</math> = 830 W/K.<br />
#Die [[Entropieproduktionsrate]] über die ganze Maschine gerechnet, ist gleich Entropiestromstärke am Ausgang minus Entropiestromstärke am Eingang <math>\Pi_S=I_{S_3}-I_{S_0}=\frac{I_{W_2}}{T_3}-\frac{I_{W_1}}{T_0}</math> = 0.533 W.<br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 3==<br />
#Diese Aufgabe fragt nach den ersten drei Teilprozessen des [[Joule-Zyklus]]. Deshalb entsprechen das ''S-T-''Diagramm und das ''p-V-''Diagramm bis auf den letzten Teilprozess den Diagrammen des JouleZykluses.<br />
#[[Isentrop]]er Prozess des [[ideales Gas|idealen Gases]] <math>p_2=p_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}</math> = 59.8 bar.<br />
#Die zugeführte [[Wärme]] ist gleich Stärke des thermischen [[Zugeordneter Energiestrom|Energiestromes]] mal den Zeitabschnitt, in dem geheizt wird <math>W_{therm}=I_{W_{therm}}\Delta t</math> = 75 kJ. Dies führt zu einer Temperaturerhöhung von <math>\Delta T = \frac{\Delta H}{n\hat c_p}W_{therm}</math> = 51.5 K und damit zu einer Endtemperatur für diesen Teilprozess von 552 K. Man beachte, dass beim [[isobar]]en Heizen die Wärme(energie) gleich der Änderung der [[Enthalpie]] ist.<br />
#Die Beschaltung des [[Carnotor]]s wird im folgenden Video erklärt<br />
::<videoflash>xQMf0P3eGko|649|360</videoflash><br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 4==<br />
Ohne gutes Verständnis des [[Flüssigkeitsbild]]es ist diese Aufgabe ziemlich schwierig!<br />
#Für das zweite [[Massenträgheitsmoment]] gilt <math>J_2=J_{20}+2mr^2</math>.<br />
##Phase: Es werden 12000 Nms von einem Teilsystem ins ander gepumpt. Das zweite Massenträgheitsmoment beträgt 510 kgm<sup>2</sup>. Für die [[Winkelgeschwindigkeit]] am Schluss dieser Phase gilt <math>\omega_1=\frac{-L}{J_1}=-48\frac{1}{s}</math> und <math>\omega_2=\frac{L}{J_{21}}=23.5\frac{1}{s}</math><br />
##Phase: Das Massenträgheitsmoment verkleinert sich von 510 kgm<sup>2</sup> auf 190 kgm<sup>2</sup>, also nimmt die Winkelgeschwindigkeit auf den folgenden Wert zu <math>\omega_2=\frac{L}{J_{22}}=63.2\frac{1}{s}</math><br />
##Phase: Der [[Drehimpuls]] fliesst zurück, womit beide Teile nicht mehr rotieren.<br />
#Die maximale Winkelgeschwindigkeitsdifferenz beträgt am Schluss der 1. Phase 71.5 1/s. Der gesamte Drehimpuls muss vom Motor aber nur um die Hälfte hochgepumpt werden <math>W_{Motor}=\Delta \omega_{mittel}L</math> = 429 kJ<br />
#Der Drehimpuls bleibt erhalten, wird aber "hochgequetscht". Die aufzuwendende Energie ist gleich Drehimpuls mal mittlere "Hubhöhe" <math>\Delta W_{rot}=\Delta \omega_{2_{mittel}}L</math> = 238 kJ.<br />
#In 15 s fliessen 4500 Nms Drehimpuls vom zweiten in den ersten Teil. Also verbleiben noch +/-7500 Nms in den beiden Teilen, womit die aktuellen Winkelgeschwindigkeiten 39.5 1/s und -30 1/s betragen. Daraus folgt <math>P=M\Delta \omega_{aktuell}</math> = 20.8kW.<br />
<br />
::<videoflash>MkVQnl3YJnU|649|360</videoflash><br />
<br />
==Lösung zu Aufgabe 5==<br />
#Auf den Zylinder wirken in der Rutschphase die Gewichtskraft (Volumenkraft), die Normalkraft und die Gleitreibungskraft (gegen die Rotation). Gewichtskraft und Normalkraft halten den Zylinder vertikal im Gleichgewicht.<br />
#Anfänglich bewegt sich die unterste Linie des Zylinders (Kontaklinie mit der Unterlage) mit <math>v_{unten}=\omega r</math> = 30 m/s. Damit erreicht die Gleitreibungskraft eine Leistung von <math>P(F_R)=v_{unten}F_R</math> = 1500 W.<br />
#Hier sind unbedingt zwei [[Flüssigkeitsbild]]er zu zeichnen. Dabei gilt bis zur Rollphase <math>\left(v_e=\omega_e r\right)</math> folgender Zusammenhang <math>\frac{F_Rr}{r}=\frac{|\Delta L|}{p}=\frac{J(\omega_a-\omega_e)}{mv_e}</math>. Löst man diese Gleichung mit Hilfe der Rollbedingung auf, folgt ''v<sub>e</sub>'' = 10 m/s und ''&omega;<sub>e</sub>'' = 100 1/s.<br />
#Für die Berechnung der zeitlichen Länge der Rutschphase und für die Energiebetrachtung sollte wieder das Flüssigkeitsbild beigezogen werden.<br />
##Die Gleitreibungskraft beschreibt den konstanten Zufluss von Impuls bis zum Erreichen der Rollphase, also folgt aus <math>F_R=\frac{p_e}{\Delta t}=\frac{mv_e}{\Delta t}</math> eine Zeitspanne von <math>\Delta t=\frac{mv_e}{F_R}</math> = 2.4 s.<br />
##Die [[Rotationsenergie]] nimmt ab, die [[kinetische Energie]] zu. Der Unterschied wird dissipiert <math>W_{diss}=\Delta W_{rot}-W_{kin}=\frac{J}{2}\left(\omega_a^2-\omega_e^2\right)-\frac{m}{2}v_e^2</math> = 1800 J.<br />
<br />
'''ähnliche Aufgabe''':<br />
*[http://www.systemdesign.ch/index.php?title=Bowling Bowling]<br />
<br />
<br />
'''[[Aviatik 2013/2|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Analogie&diff=12110Analogie2016-05-30T11:46:54Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>Eine Ähnlichkeit zwischen zwei verschiedenen Strukturen nennt man Analogie. Die [[Physik der dynamischen Systeme]] basiert stark auf solchen Analogien. Damit soll das Verständnis für die grundlegenden Zusammenhänge gefördert werden. Analogien erleichtern oft auch den mathematischen Umgang mit physikalischen Modellen.<br />
<br />
==Analogieschema==<br />
Das nachfolgende Analogieschema ist sehr knapp gehalten. Wer nach einer eingehenden Erklärung sucht, soll mit einem Mausklick die Hyperlinks aktivieren.<br />
<br />
{|<br />
!width = "120"|Gebiet<br />
!width = "120"|[[Hydrodynamik]]<br />
!width = "120"|[[Elektrodynamik]]<br />
!width = "120"|[[Translationsmechanik|Translation]]<br />
!width = "120"|[[Rotationsmechanik|Rotation]]<br />
!width = "120"|[[Thermodynamik]]<br />
|-<br />
|'''[[Primärgrösse|Menge]]'''<br />
|[[Volumen]] ''V''<br />
|[[elektrische Ladung|Ladung]] ''Q''<br />
|[[Impuls]] ''p<sub>x</sub>''<br />
|[[Drehimpuls]] ''L<sub>x</sub>''<br />
|[[Entropie]] ''S''<br />
|-<br />
|'''[[Einheit]]'''<br />
|m<sup>3</sup><br />
|Coulomb (C)<br />
|Ns<br />
|Nms<br />
|J/K<br />
|-<br />
|'''Basis-Einheit'''<br />
|m<sup>3</sup><br />
|1C = 1 As<br />
|1Ns = 1 kgm/s<br />
|1Nms = 1 kgm<sup>2</sup>/s<br />
|1J/K = 1 kgm<sup>2</sup>/(s<sup>2</sup>K)<br />
|-<br />
|'''Strom'''<br />
|Volumenstrom ''I<sub>V</sub>''<br />
|elektrischer Strom ''I''<br />
|[[Kraft]] ''F<sub>x</sub>''<br />
|[[Drehmoment]] ''M''<br />
|[[Entropiestrom]] ''I<sub>S</sub>''<br />
|-<br />
|'''[[Einheit]]'''<br />
|m<sup>3</sup>/s<br />
|Ampére (A)<br />
|Newton N<br />
|Nm<br />
|W/K<br />
|-<br />
|'''Basis-Einheit'''<br />
|m<sup>3</sup>/s<br />
|A<br />
|1 N = 1 kgm/s<sup>2</sup><br />
|1 Nm = 1 kgm<sup>2</sup>/s<sup>2</sup><br />
|kgm<sup>2</sup>/(s<sup>3</sup>K)<br />
|-<br />
|'''[[Potenzial]]'''<br />
|[[Druck]] ''p''<br />
|[[elektromagnetisches Feld|Potenzial]] ''&phi;''<br />
|[[Geschwindigkeit]] ''v<sub>x</sub>''<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit|Winkelgeschw.]] ''&omega;<sub>x</sub>''<br />
|[[Temperatur]] ''T''<br />
|-<br />
|'''[[Einheit]]'''<br />
|Pascal (Pa)<br />
|Volt (V)<br />
|m/s<br />
|1/s<br />
|Kelvin (K)<br />
|-<br />
|'''[[kapazitives Gesetz|Kapazität]]'''<br />
|''[[Hydraulische Kapazität|C<sub>V</sub>]]''<br />
|''[[Kondensator|C]]''<br />
|''[[Masse|m]]''<br />
|''[[Massenträgheitsmoment|J]]''<br />
|''[[Entropiekapazität|C<sub>S</sub>]]''<br />
|-<br />
|'''[[Einheit]]'''<br />
|m<sup>3</sup>/Pa<br />
|Farad (F)<br />
|Kilogramm (kg)<br />
|kgm<sup>2</sup><br />
|J/K<sup>2</sup><br />
|-<br />
|'''[[resistives Gesetz|Widerstand]]'''<br />
|''[[Hydraulischer Widerstand|R<sub>V</sub>]]''<br />
|''[[elektrischer Widerstand|R]]''<br />
|''[[translatorischer Widerstand|R_p]]''<br />
|''[[rotatorischer Widerstand|R_L]]''<br />
|''[[Thermischer Widerstand|C<sub>S</sub>]]''<br />
|-<br />
|'''[[Einheit]]'''<br />
|Pas/m<sup>3</sup><br />
|Ohm (&Omega;)<br />
|m/N<br />
|1/(Nm)<br />
|K<sup>2</sup>/W<br />
|-<br />
|'''[[induktives Gesetz|Induktivität]]'''<br />
|''[[Hydraulische Induktivität|L<sub>V</sub>]]''<br />
|''[[Spule|L]]''<br />
|''[[Feder|1/D]]''<br />
|''[[Drehfeder|1/D*]]''<br />
|keine<br />
|-<br />
|'''[[Einheit]]'''<br />
|Pas<sup>2</sup>/m<sup>3</sup><br />
|Henry (H)<br />
|m/N<br />
|1/(Nm)<br />
|<br />
|}<br />
<br />
*Die Einheiten der [[Primärgrösse]]n Impuls, Drehimpuls und Entropie haben keinen eigenen Namen. Um diesem unhaltbaren Zustand ein Ende zu setzen, sind im [[Karlsruher Physikkurs]] '''Huygens''' (Hy) als Einheit für den [[Impuls]], '''Euler''' (E) als Einheit für den [[Drehimpuls]] und '''Carnot''' als Einheit für die [[Entropie]] eingefürht worden.<br />
<br />
==Energie==<br />
Wird eine [[Primärgrösse|Menge]] durch eine Referenzfläche transportiert, fliesst ein Energiestrom mit, wobei das zugehörige Potenzial an dieser Referenzfläche die Beladung des Stromes mit Energie festlegt. Der [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnete Energiestrom]] ist deshalb immer gleich Potenzial bei mal Stromstärke durch die Referenzfläche<br />
<br />
:<math>I_W=\varphi_M I_M </math><br />
<br />
Durchfliesst der Mengenstrom ein Potenzialgefälle, ist die umgesetzte Leistung gleich Potenzialdifferenz mal Stromstärke<br />
<br />
:<math>P=\Delta\varphi_M I_M </math><br />
<br />
Die '''kapazitive Energie''' kann aus dem zugeordneten Energiestrom durch Integration über die Zeit berechnet werden<br />
<br />
:<math>W=\int I_W dt=\int \varphi_M I_M dt=\int\varphi_M C_M \dot \varphi_M dt=\int C_M\varphi_M d\varphi_M=\int\frac{M}{C_M}dM </math><br />
<br />
Falls die Kapazität nicht vom Potenzial bzw. von der gespeicherten Menge abhängt, liefert die Integration eine einfache Formel<br />
<br />
:<math>W=\frac{1}{2}C_M\varphi_M^2=\frac {M^2}{2C_M}</math><br />
<br />
*Nur zylindrische Gefässe und Federspeicher besitzen eine konstante Kapazität.<br />
*Kondensatoren besitzen zwei Anschlüsse, durch die zu jedem Zeitpunkt ein entgegengesetzt gleicher Strom fliesst. Folglich muss über die Prozessleistung und nicht über den zugeordneten Energiestrom integriert werden.<br />
*Die kapazitive Energie der Translationsmechanik, die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie, heisst [[kinetische Energie]].<br />
*Die kapazitive Energie der Rotationsmechanik, die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie, nennt man [[Rotationsenergie]].<br />
*Die kapazitive Energie der Thermodynamik, die zusammen mit der Entropie gespeicherte Energie, wird mit Hilfe der Energiekapazität, die dummerweise Wärmekapazität heisst, berechnet <math>W = \int C_S T dT = \int C dT</math><br />
<br />
Die '''induktive Energie''' berechnet sich aus der Prozessleistung durch Integration über die Zeit<br />
<br />
:<math>W=\int Pdt=\int\Delta\varphi_M I_M dt=\int L_M I_M\dot I_M dt </math><br />
<br />
Falls die Induktivität nicht von der Potenzialdifferenz abhängt, liefert die Integration eine einfache Formel<br />
<br />
:<math>W=\frac{L_M}{2} I_M^2</math><br />
<br />
Die induktive Energie einer Feder oder einer Drehfeder kann auch aus dem Kraft-Verformungs- bzw. aus dem Drehmoment-Verdrehungs-Diagramm berechnet werden.<br />
<br />
==Kopplungen==<br />
<br />
==Grenzen und Alternativen==<br />
<br />
[[Kategorie:Basis]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=L%C3%B6sung_zu_Aufgabe_zu_Federpendel&diff=12109Lösung zu Aufgabe zu Federpendel2016-05-24T14:57:38Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>Die Federkonstante ist gleich der Federkraft (Impulsstromstärke) geteilt durch Verformung <math>D=\frac{F_F}{\Delta s}</math> = 200 N/m<br />
#Aus <math>T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math> folgt <math>m=\frac{T^2}{4\pi^2}D</math> = 3.125 kg<br />
#Nimmt man die positive ''z''-Richtung nach unten, kann die Schwingung mit folgender Funktion beschrieben werden <math>z(t)=\hat z\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)=\hat z\sin\left(\omega t\right)</math>; setzt man hier die gewünschte Zeit von &pi;/12 s ein, erhält man eine Elongation von 4.33 cm<br />
#Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion gewinnt man durch Ableiten der Orts-Zeit-Funktion nach der Zeit <math>v(t)=\dot z(t) = \hat v\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)=\hat v\cos\left(\omega t\right)</math> mit <math>\hat v=\frac{2\pi}{T}\hat z=\omega \hat z</math>; setzt man hier die Zeit von &pi;/12 s ein, erhält man eine Geschwindigkeit von -0.2 m/s (aufwärts).<br />
#Die Federkraft ist gleich <math>F_F=F_G+Dz</math> = 36.7 N<br />
<br />
'''[[Aufgabe zu Federpendel|Aufgabe]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=DGL_1._Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten&diff=12108DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten2016-05-18T06:51:17Z<p>Admin: </p>
<hr />
<div>Im Kapitel [[Dynamische Systeme 1. Ordnung]] wurde die folgende DGL (Differentialgleichung) für ein Gefäss mit horizontalem Abfluss (RC-Glied) hergeleitet <math>V/C+R*\dot{V}=0</math> bzw. <math>V + 1/RC * \dot{V}=0</math><br />
#Lösen Sie diese DGL, in dem sie den Ansatz <math>V=V_0*e^{-t/RC}</math> ableiten und in die DGL einsetzen.<br />
#Lösen Sie diese DGL mit Hilfe von [http://www.wolframalpha.com Wolfram Alpha] oder eines CAS-fähigen Taschenrechners.<br />
#Stellen Sie den zeitlichen Verlauf des Volumens in Funktion der Zeit quantitativ dar. Wählen Sie selbst Werte für ''R'', ''C'', und ''V<sub>0</sub>'' aus.<br />
#Mit ''&tau;=RC'' wird die Zeitkonstante des Systems bezeichnet. Welchen Wert und welche Einheit hat ''&tau;'' in Aufgabe 3?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist das Volumen bei t=''&tau;'' abgesunken? Zeichnen Sie eine Tangente an die Kurve aus Aufgabe 3 und vergleichen Sie den Wert bei dem die Tangente die t-Achse schneidet mit ''&tau;''.<br />
<br />
'''[[Lösung zu DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten|Lösung]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12107Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:46:20Z<p>Admin: /* Antworten zu den Kontrollfragen */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular reference, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordnung sind Körper mit Feder und Dämpfer in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serieschaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequenz des nicht gedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines Systems ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regelungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzu weit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anschaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bei. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie ein elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstand, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12106Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:44:34Z<p>Admin: /* Kontrollfragen */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular reference, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordnung sind Körper mit Feder und Dämpfer in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serieschaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequenz des nicht gedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines Systems ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regelungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzu weit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anschaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bei. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie ein elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12105Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:42:45Z<p>Admin: /* Systeme höherer Ordnung */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular reference, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordnung sind Körper mit Feder und Dämpfer in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serieschaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequenz des nicht gedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines Systems ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regelungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzu weit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anschaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bei. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12104Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:38:16Z<p>Admin: /* Modellbildung */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular reference, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordnung sind Körper mit Feder und Dämpfer in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serieschaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequenz des nicht gedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12103Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:31:08Z<p>Admin: /* Resonanz */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular referende, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordung sind Körper mit Feder und Dämper in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serischaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequen des ungedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12102Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:25:03Z<p>Admin: /* gedämpfter Oszillator */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{2k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem unverzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde mann jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Vierelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder rezirok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichter. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Indukditvität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalischen Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular referende, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordung sind Körper mit Feder und Dämper in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serischaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequen des ungedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12101Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:10:16Z<p>Admin: /* gedämpfter Oszillator */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem unverzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde mann jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Vierelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder rezirok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichter. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Indukditvität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalischen Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular referende, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordung sind Körper mit Feder und Dämper in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serischaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequen des ungedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12100Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:07:18Z<p>Admin: /* Harmonischer Oszillator */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Ror verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem unverzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde mann jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Vierelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder rezirok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichter. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Indukditvität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalischen Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular referende, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordung sind Körper mit Feder und Dämper in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serischaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequen des ungedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_h%C3%B6herer_Ordnung&diff=12099Dynamische Systeme höherer Ordnung2016-05-16T11:01:10Z<p>Admin: /* Lernziele */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie man die Kreisfrequenz, Frequenz und Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators berechnet.<br />
*wie die Potential-Zeit-, die Stromstärke-Zeit- und die Leistungs-Zeit-Funktion bei einem harmonischen Oszillator formuliert werden.<br />
*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.<br />
*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt<br />
*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Zwei zylinderförmige Gefässe sind über ein bodennahes Röhrchen miteinander verbunden. Solange das eine Gefäss höher als das andere mit Wasser gefüllt ist, fliesst ein Ausgleichsstrom. Nimmt man Öl statt Wasser, bleibt die Strömung laminar und wir können den Ausgleichsvorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben. Nun denken wir uns das Röhrchen immer dicker bis ein mit Wasser gefülltes U-Rohr vor uns steht. Dann erfolgt der Ausgleichsvorgang nicht mehr über einen einmal abklingenden Volumenstrom, sondern über einen abklingend-oszillierenden Volumenstrom. Wäre die Flüssigkeit suprafluid, würde die Oszillation oder Schwingung überhaupt nicht mehr abklingen. <br />
<br />
Das Verhalten des U-Rohrs kann durch zwei Speicher mit konstanter [[Kapazität]] und einem Leiter mit [[Widerstand]] und [[Induktivität]] modelliert werden. Analoge Systeme kennt man aus der Elektrodynamik (zwei über eine Spule verbunden Kondensatoren), aus der Translationsmechanik (zwei über eine Feder verbundene Luftkissenfahrzeuge) und aus der Rotationsmechanik (zwei über eine Drehfeder verbundene Schwungräder). Dominiert das Widerstandselement (Strömungswiderstand, elektrischer Widerstand der Spule, Dämpfer in Serie zur Feder), klingt der Potentialunterschied (Druck, Spannung, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit) exponentiell ab, falls sich alle Elemente linear verhalten.<br />
<br />
Dynamischen Systemen, die aus zwei Speichern bestehen und die über einen Leiter miteinander verbunden sind, können mathematisch zu einem System mit nur einem Speicher und reduzierter Kapazität zusammenfasst werden. Systeme mit Mengenspeicher und Induktivität nennt man Systeme 2. Ordnung, weil man zur Berechnung des Verhaltens zweimal integrieren muss. Systeme 2. Ordnung besitzen zwei unabhängige Energiespeicher.<br />
<br />
==Speicher und Leiter==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität und Leiter mit linearem Widerstand und linearer Induktivität findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik, der Translationsmechanik und der Rotationsmechanik.<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Speicher<br />
!style ="width:15em"|Widerstand<br />
!style ="width:15em"|Induktivität<br />
!style ="width:15em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|<math>\Delta p=\frac{\Delta V}{C_V}=\frac{\varrho g\Delta V}{A}</math><br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|<math>U=\frac{Q}{C}</math> oder <math>\dot U=\frac{I}{C}</math><br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|<math>v_x=\frac{p_x}{m}</math><br />
|<math>\Delta v_x=R_{px}F_x</math><br />
|<math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
|[[Feder|Federgesetz]]<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|<math>\omega_x=\frac{L_x}{J_{xx}}</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x</math><br />
|<math>\Delta \omega_x=L_{Lx}\dot M_x</math><br />
|[[Feder|Drehfedergesetz]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Die mechanischen Systemparameter sind oft reziprok definiert: statt eines Impulswiderstandes führt man eine Dämpferkonstante ein; anstelle einer Impulsinduktivität definiert man eine Federkonstante<br />
<br />
:<math>F_x=k\Delta v_x</math> statt <math>\Delta v_x= R_{px}F_x</math><br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> statt <math>\Delta v_x=L_{px}\dot F_x</math><br />
<br />
==Harmonischer Oszillator==<br />
Ein harmonischer [[Oszillator]] ist ein schwingungsfähiges System, das aus einem oder zwei Speicher mit konstanter Kapazität und einem Leiter mit stromunabhängiger Induktivität besteht. Lenkt man ein solches System aus und lässt es los, schwingt es sinusförmig (harmonisch) um seine Ruhelage, wobei die Schwingungsdauer unabhängig von der Grösse der Auslenkung ist. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind Federpendel, elektrische Schwingkreise und U-Rohr mit sehr grossem Querschnitt.<br />
<br />
Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik. Er ist durch nur zwei Parameter (Gesamtkapazität und die Induktivität) vollständig beschrieben. Viele komplexere Systeme verhalten sich bei kleinen Auslenkungen näherungsweise wie harmonische Oszillatoren. Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, das sich ohne Näherungen berechnen lässt.<br />
<br />
In der [[Elektrodynamik]] bildet ein über eine ideale Spule ([[Induktivität]] ''L'') kurz geschlossener [[Kondensator]] ([[Kapazität]] ''C'') einen harmonischen Oszillator. Lädt man den Kondensator auf die Spannung ''U<sub>0</sub>'' auf und verbindet ihn dann mit der idealen Spule, ist die Spannung über beiden Elementen zu jedem Zeitpunkt gleich gross (die Umlaufspannung muss immer gleich null sein)<br />
<br />
:<math>U_C+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man für die beiden Spannungen die zugehörigen konstitutiven Gesetze ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+L\dot I=0</math><br />
<br />
Nun ersetzt man noch die Stromstärke über die Bilanz durch die Änderungsrate der Ladung<br />
<br />
:<math>Q+LC\ddot Q=0</math><br />
<br />
Die allgemeine Lösung dieser linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist <br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0cos(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
wobei für die Kreisfrequenz gilt (Lösung in Differenzialgleichung einsetzen und vergleichen!)<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{CL}}</math><br />
<br />
Die Ladungsamplitude ''Q<sub>0</sub>'' und die Phasenverschiebung hängen von den Anfangsbedingungen ab. Mit Hilfe des [[Kapazität|kapazitiven Gesetzes]] kann auf die Spannungs-Zeit-Funktion umgerechnet werden<br />
<br />
:<math>U(t)=U_0cos(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>U_0=\frac{Q_0}{C}</math><br />
<br />
Ersetzt man die Spannung mit Hilfe des [[Induktivität|induktiven Gesetzes]] erhält man eine Funktion für die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>\dot I(t)=\frac{U_0}{L}cos(\omega_0t+\delta)</math>. <br />
<br />
Eine Integration über die Zeit liefert<br />
<br />
:<math>I(t)=I_0sin(\omega_0t+\delta)</math> mit <math>I_0=\frac{U_0}{\omega_0L}=U_0\sqrt{\frac{C}{L}}=Q_0\sqrt{\frac{1}{CL}}=\omega_0 Q_0</math><br />
<br />
Für die Prozessleistung über dem Kondensator oder der Spule gilt<br />
<br />
:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man die Phasenverschiebung ''&delta;'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppeter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''&pi;'') schwingt<br />
<br />
:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math><br />
<br />
Während einer [[Periode]] oder Schwingungsdauer (2''&pi;'' durch Kreisfrequenz) ist der Kondensator zweimal geladen und der Strom erreicht zweimal seine maximale Stärke. Weil beide Bauteile zusammen mit der Ladung (Kondensator) oder mit dem Strom (Spule) Energie speichern, wird die Energie mit doppelter Oszillatorfrequenz hin und her verschoben.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=VkXZL-VAKxs harmonischer Oszillator]<br />
<br />
==gedämpfter Oszillator==<br />
Nun fügen wir beim elektrischen Schwingkreis noch einen Widerstand ein. Widerstand und Induktivität können als einfache Ersatzschaltung für eine reale Spule gesehen werden. Wieder gilt der Maschensatz, wonach Umlaufspannung gleich null sein muss<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Setzt man wie beim harmonischen Oszillator die konstitutiven Gesetze für die [[Kapazität]], den [[Widerstand]] und die [[Induktivität]] ein und ersetzt die Stromstärke über die [[Bilanz]]gleichung durch die Änderungsrate der Kondensatorladung, erhält man eine '''lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten'''<br />
<br />
:<math>\frac{Q}{C}+R\dot Q+L\ddot Q=0</math> oder <math>\frac{1}{LC}Q+\frac{R}{L}\dot Q+\ddot Q=0</math><br />
<br />
Diese Gleichung wird durch folgende allgemeine Funktion erfüllt<br />
<br />
:<math>Q(t)=Q_0e^{-t/\tau}cos(\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Setzt man diese Funktion in die Differentialgleichung ein, erhält man folgende Beziehung<br />
<br />
:<math>\left(\left(\frac{1}{LC}-\frac{R}{L\tau}+\frac{1}{\tau^2}-\omega^2\right)cos(\omega t+\delta)+\left(-\frac{R\omega}{L}+\frac{2\omega}{\tau}\right)sin(\omega t+\delta)\right)Q_0e^{-t/\tau}=0</math><br />
<br />
Die linke Seite dieser Gleichung kann nur zu allen Zeitpunkten gleich null sein, wenn beide Klammerausdrücke den Wert null annehmen. Damit gilt für die Abklingzeit<br />
<br />
:<math>\tau =2\frac{L}{R}</math><br />
<br />
und für die Kreisfrequenz<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}</math><br />
<br />
Ohne Dämpfung ist die Abklingzeit unendlich gross und die Kreisfrequenz entspricht dem Wert des harmonischen Oszillators. Unterschreitet die Abklingzeit einen gewissen Wert, wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und das System schwingt gar nicht mehr, sondern kriecht - wie wenn die Induktivität nicht da wäre - gegen die Gleichgewichtslage. Man unterscheidet drei Dämpfungsarten<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}>0</math>: '''unterkritische''' Dämpfung: System schwingt bezüglich der Gleichgewichtslage hin und her<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=0</math>: '''kritische''' Dämpfung: System bewegt sich gegen die Gleichgewichtslage ohne zu überschwingen<br />
*<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}<0</math>: '''überkritische''' Dämpfung: System kriecht gegen Gleichgewichtslage<br />
<br />
Die nachfolgende Tabelle zeigt noch die Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingkreisen<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Thema<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Serie-Schwingkreis<br />
|Kondensator, reale Spule<br />
|U-Rohr<br />
|Körper, Feder, Dämpfer, Körper<br />
|Schwungrad, Feder, Dämpfer, Schwungrad<br />
|-<br />
|rowspan="3" |Systemparameter<br />
|Kapazität ''C''<br />
|<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
|<math>C_{px}=m</math><br />
|<math>C_{Lx}=J_{xx}</math><br />
|-<br />
|Widerstand ''R''<br />
|<math>R_V=\frac{8\pi\cdot Länge\cdot\eta}{A^2}</math><br />
|<math>R_{px}=\frac{1}{k}</math><br />
|<math>R_{Lx}=\frac{1}{k^*}</math><br />
|-<br />
|Induktivität ''L''<br />
|<math>L_V=\frac{\varrho A}{Länge}</math><br />
|<math>L_{px}=\frac{1}{D}</math><br />
|<math>L_{Lx}=\frac{1}{D^*}</math><br />
|-<br />
|Kreisfrequenz <math>\omega_0</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{L_VC_V}}=\sqrt{\frac{g}{2\cdot Länge}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D(m_1+m_2)}{m_1m_2}}</math><br />
|<math>\omega_0=\sqrt{\frac{D^*(J_1+J_2)}{J_1J_2}}</math><br />
|-<br />
|Abklingzeit<br />
|<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
|<math>\tau=\frac{L_V}{R_V}</math><br />
|<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
|<math>\tau=\frac{k^*}{D^*}</math><br />
|-<br />
|}<br />
''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Ror verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]<br />
<br />
==Resonanz==<br />
Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem unverzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet<br />
<br />
:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math><br />
<br />
Das System durchläuft zuerst einen Einschwingvorgang und geht dann in ein stationäres Verhalten über. Der Einschwingvorgang hängt von den Anfangsbedingungen ab. Oft interessiert man sich nur für das stationäre Verhalten nach dem Einschwingvorgang. Dann übernimmt die Spannungsquelle das Zepter und das ganze System schwingt mit <math>\hat{\omega}=2\pi\hat f=\frac{2\pi}{\hat T}</math>.<br />
<br />
Weil sich alle Elemente im selben Kreis befinden, ist der elektrische Strom überall gleich stark. Im stationären Zustand schwingt der Strom mit der gleichen Frequenz wie die Spannung. Einzig eine Phasenverschiebung ist noch möglich. Diese Überlegung bringt uns zu folgendem Ansatz<br />
<br />
:<math>I(t)=\hat Icos(\hat\omega t+\delta)</math><br />
<br />
Nun können wir in der Differentialgleichung die Spannungen mit Hilfe der konstitutiven Gesetze durch die Stromstärken ersetzen<br />
<br />
:<math>\dot U_C=\frac{I}{C}</math> also <math>U_C=\frac{\hat I}{\hat\omega C}sin(\hat{\omega}t+\delta)</math><br />
<br />
:<math>U_R=RI</math> also <math>U_R=R\hat Icos(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math><br />
<br />
Würde mann jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Vierelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke). <br />
<br />
Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder rezirok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichter. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden<br />
<br />
:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math><br />
<br />
Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Indukditvität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.<br />
<br />
All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalischen Eigenheiten.<br />
<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]<br />
<br />
==Modellbildung==<br />
Die [[System Dynamics|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular referende, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordung sind Körper mit Feder und Dämper in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).<br />
<br />
===Modell===<br />
Zuerst zur Modellanalogie<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:10em"|Element<br />
!style ="width:10em"|elektrisch<br />
!style ="width:10em"|mechanisch<br />
!style ="width:20em"|Bemerkung<br />
|-<br />
|Kapazität<br />
|<math>Q=CU</math><br />
|<math>p=mv</math><br />
|Gesamtladung des Kondensators ist null<br />
|-<br />
|Widerstand<br />
|<math>U=RI</math><br />
|<math>F=k\Delta v</math><br />
|Dämpferkonstante ''k'' entspricht einem Leitwert<br />
|-<br />
|Induktivität<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|<math>F=D\Delta x</math><br />
|Federkonstante ''D'' entspricht einer reziproken Induktivität<br />
|}<br />
<br />
Die Serischaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.<br />
'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].<br />
<br />
===Verhalten im Zeitbereich===<br />
Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequen des ungedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik<br />
<br />
:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math><br />
<br />
:<math>\tau=2\frac{L}{R}=2\frac{k}{D}</math><br />
<br />
Dann gilt für die Kreisfrequenz des gedämpften Oszillators<br />
<br />
:<math>\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{D}{m}-\frac{D^2}{4k^2}}</math><br />
<br />
Die Kreisfrequenz ist gleich null, wenn die Dämpferkonstante gleich der Hälfte der Wurzel aus Masse mal Federkonstante ist (bitte nachrechnen; die ganze Analyse wäre mit komplexen Zahlen etwas übersichtlicher).<br />
<br />
Zur Analyse der Resultate sollte man zuerst die Strom- und Potentialgrössen darstellen, also Kraft und Geschwindigkeit. Zur Kontrolle kann man dann noch das Zeitverhalten der gespeicherten Energie beiziehen. Bei mechanischen Schwingkreisen sind Dämpfer und Feder meist parallel statt wie hier in Reihe geschaltet, es liegt dann eine duale Analogie vor.<br />
<br />
===Phasenraum===<br />
Statt alle Grössen als Funktion der Zeit darzustellen, kann man auch zwei Zustandgrössen (Topfgrössen in der Systemdynamik) gegeneinander auftragen. Man erhält dann eine [[Phasenraum]]darstellung. In der Translationsmechanik spannen [[Impuls]] und Ort den Phasenraum auf.<br />
<br />
Die untenstehenden Bilder zeigen das Grundmodell des mechanischen Serie-Schwingkreises, die zugehörige Energieebene, das Geschwindigkeits- und das Impulsstromstärke-Zeit-Diagramm bei kritischer Dämpfung sowie die Phasenraumdarstellung für einen Körper bei drei verschiedenen Dämpfungen (unterkritisch bis kritisch).<br />
<br />
<gallery><br />
MechSchwingkreisSerieBM.jpg|[[Systemdiagramm]] Grundmodell<br />
MechSchwingkreisSerieEnergie.jpg|[[Systemdiagramm]] Energieebene<br />
MechSchwingkreisSerie v F t.png|''v-t-'' und ''F-t-''Diagramm<br />
MechSchwingkreisSerie p x.png|Phasenraum <br />
</gallery><br />
<br />
==Systeme höherer Ordnung==<br />
Die Ordnung eines System ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern können, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regeleungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzuweit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Grösse<br />
!style ="width:15em"|Elektrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Hydrodynamik<br />
!style ="width:15em"|Translation<br />
!style ="width:15em"|Rotation<br />
|-<br />
|Menge<br />
|elektrische Ladung<br />
|Volumen<br />
|Impuls<br />
|Drehimpuls<br />
|-<br />
|Stromstärke<br />
|elektrischer Strom<br />
|Volumenstrom<br />
|Kraft<br />
|Drehmoment<br />
|-<br />
|Potential<br />
|Spannung<br />
|Druck<br />
|Geschwindigkeit<br />
|Winkelgeschwindigkeit<br />
|-<br />
|Extensum<br />
|Spannungsstoss<br />
|Druckstoss<br />
|Ort<br />
|Winkel<br />
|-<br />
|Prozessleistung<br />
|<math>P=UI</math><br />
|<math>P=\Delta pI_V</math><br />
|<math>P=\Delta v_xF_x</math><br />
|<math>P=\Delta\omega_xM_x</math><br />
|-<br />
|}<br />
<br />
Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.<br />
<br />
Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anachaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bie. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Ein Körper schwingt an einer Feder auf und ab. Wie gross ist die Schwingungsdauer, wenn Masse und Federkonstante bekannt sind?<br />
#Zwei Schwungräder, die über eine elastische Welle miteinander verbunden und reibungsfrei gelagert sind, schwingen gegeneinander. Wie berechnet man die Winkelrichtgrösse (Drehfederkonstante der Welle) aus Schwingungsdauer und den beiden Massenträgheitsmomenten?<br />
#Wie gross muss der Widerstand in einem elektrischen Schwingkreis (Kapazität ''C'', Induktivität ''L'') gewählt werden, damit der Strom kritisch gedämpft abklingt?<br />
#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?<br />
#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?<br />
#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie eine elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.<br />
#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Schwingungsdauer <math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math><br />
#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^*}}</math> also gilt <math>D^*=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math><br />
#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math><br />
#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstant, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math><br />
#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math><br />
#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.<br />
#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_1._Ordnung&diff=12098Dynamische Systeme 1. Ordnung2016-05-10T06:31:08Z<p>Admin: /* RC-Glied */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie eine [[Kapazität]] definiert ist<br />
*wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist<br />
*wie eine Induktivität zu definieren ist<br />
*wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht<br />
*wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht<br />
*wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird<br />
*wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird<br />
*wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist<br />
*wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines [[Systemdynamik|systemdynamischen Tools]] modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.<br />
<br />
Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in Bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entleert also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir eine klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden<br />
:<math>\Delta V=C_V\Delta p</math> <br />
wobei für zylinderförmige Gefässe gilt <br />
:<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander<br />
:<math>\Delta p = R_VI_V</math><br />
Der [[gerades Rohrstück|laminare Strömungswiderstand]] kann mit Hilfe des Gesetzes von [[Hagen-Poiseuille]] berechnet werden. Beachten Sie, dass <math>\Delta p</math> in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.<br />
<br />
==Leiter==<br />
Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<br />
<math>U=RI</math><br />
<br /><math>I=GU</math><br />
|Widerstandselement<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{px}=F_x=k\Delta v_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{Lx}=M_x=k^*\Delta \omega_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<br />
<math>\Delta T=R_WI_W</math><br />
<br /><math>I_W=G_W\Delta T</math><br />
|[[Wärmeleitung]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz ([[Wasserfallbild]]). Dabei wird [[Prozessleistung|Energie]] frei gesetzt und [[Entropie]] erzeugt. Weil bei der [[Wärmeleitung]] Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die [[Wärme|Wärmeenergie]] als erhaltene mengenartige Grösse.<br />
<br />
==Speicher==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>C_V\Delta p=\Delta V</math><br />
|zylinderförmiger Behälter<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>CU=Q</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>mv_x=p_x</math><br />
|Hammer<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>J\omega_x=L_x</math><br />
|Schwungrad<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<math>C_p\Delta T=\Delta H</math><br />
|[[Wärmespeicher]]<br />
|-<br />
|}<br />
Die [[Masse]] eines Körpers bildet die [[Kapazität|Impulskapazität]] für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen [[Massenträgheitsmoment]]en. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse [[Enthalpie]]. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.<br />
<br />
==RC-Glied==<br />
Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe. <br />
<br />
:<math>\Delta p=\varrho gh</math><br />
<br />
Folgt man dann der durch das horizontale Rohr wegströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrostatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0</math><br />
<br />
Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und [[resistives Gesetz|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0</math><br />
<br />
Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,<br />
<br />
:<math>I_V=\dot V</math><br />
<br />
erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0</math> oder <math>\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0</math><br />
<br />
Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),<br />
<br />
:<math>V=V_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
wenn für die [[Zeitkonstante]] ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau =R_VC_V</math><br />
<br />
Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit [[Dichte]] und [[Gravitationsfeld]]stärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab<br />
<br />
:<math>I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}</math> mit <math>I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}</math><br />
<br />
Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\</math><br />
<br />
und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend<br />
<br />
:<math>V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)</math> mit <math>V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}</math><br />
<br />
Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.<br />
<br />
Diese Herleitungen und Ergebnisse können mit Hilfe der oben abgebildeten Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.<br />
<br />
==Induktivität==<br />
Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|langes Rohr]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|supraleitende Spule<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta v_x=L_p\dot I_{px}</math><br />
<br /><math>D\Delta v_x=\dot F_{x}</math><br />
|ideale Feder<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}</math><br />
<br /><math>D^*\Delta\omega_x=\dot M_{x}</math><br />
|ideale Drehfeder<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung<br />
<br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> oder <math>M_x=D^*\Delta\phi</math><br />
<br />
wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.<br />
<br />
==RL-Glied==<br />
Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdurchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt<br />
<br />
:<math>U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive Gesetz]] durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math><br />
<br />
Diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden<br />
<br />
:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
womit für die Zeitkonstante ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
<br />
In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes entspricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
<br />
In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python) direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.<br />
<br />
==Energie und Prozessleistung==<br />
Mengenspeicher (Kapazitäten) sind auch Energiespeicher. Für lineare Systeme gilt (''M'' steht für Menge und ''&phi;'' für Potential)<br />
<br />
:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math><br />
<br />
In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].<br />
<br />
Induktiv wirkende Stromglieder speichern ebenfalls Energie. Die Energie einer Induktivität berechnet sich<br />
<br />
:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math><br />
<br />
Zur Berechnung der Federenergie kann man diese Formel auch verwenden. Dazu setzt man die Federkonstante als reziproke Induktivität ein. Bei Federn geht man aber meistens vom Kraft-Weg-Diagramm aus. In diesem Diagramm ist die Energie als Fläche unter der Kurve erkennbar. So lassen sich auch Aufnahme und Abgabe der Energie von nichtlinearen Federn mit Hysterese berechnen.<br />
<br />
Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert<br />
<br />
:<math>P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}</math><br />
<br />
Bei der [[Wärmeleitung]] lässt sich die Formel für die Prozessleistung nur auf den [[Entropie]]strom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss zum abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden (siehe [[Wärme als Entropie]]). So erhält man die Energieerhaltung bei der Wärmeleitung.<br />
<br />
==Nichtlineare RC-Glieder==<br />
Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu<br />
<br />
:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math><br />
<br />
In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Geschlossen lösbar sind nur einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten. Geschlossen lösbar heisst, dass die Zustandsgrössen (Inhalt oder Potential) mit zeitabhängigen Funktionen vollständig beschreibbar sind. Zu den geschlossen lösbaren Systemen gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math><br />
<br />
Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine Konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend<br />
<br />
:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math><br />
<br />
Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleerungsvorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerungszeit ''&Tau;''. Die Entleerungszeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe<br />
<br />
:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math><br />
<br />
:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math><br />
<br />
Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>'' und der Verlustziffer ''&zeta;''<br />
<br />
:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math><br />
<br />
Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''&zeta;''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.<br />
<br />
Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur des dynamischen Systems mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektorientierte Sprache wie [[Modelica]].<br />
<br />
==Zwei Speicher==<br />
<br />
Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist ([[zwei Gefässe]], [[U-Rohr mit Federn]], [[zwei Kondensatoren]], [[RC-Glied mit zwei Kondensatoren]], [[Rangierstoss]], [[zwei Klötze mit Feder]], [[zwei Schwungräder]] oder [[zwei Wärmespeicher]]). Solche Systeme lassen sich in ihrer Komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt<br />
<br />
:<math>C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}</math><br />
<br />
und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.<br />
<br />
In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann<br />
<br />
:<math>m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math><br />
<br />
''m<sub>red</sub>'' heisst auch reduzierte Masse.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?<br />
#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?<br />
#Zählen Sie je eine Kapazität aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.<br />
#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Wie lange dauert es nach dem Einschalten, bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Bei laminarer Strömung gilt das Gesetz von [[Hagen-Poiseuille]], das einen linearen Zusammenhang zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz postuliert.<br />
#Dämpfer wirken als Impuls- oder Drehimpulswiderstand, wobei die Dämpferkonstante analog zum elektrischen Leitwert ist. Die Wirbelstrombremse wirkt ebenfalls linear.<br />
#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).<br />
#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge).<br />
#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken (Verhältnis <math>e^{-6}</math>).<br />
#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math><br />
#Nach sechs Zeitkonstanten ist die Prozessleistung auf 0.0006% des Anfangswerts gesunken (Verhältnis <math>e^{-12}</math>).<br />
#<math>0.9I_0=I_0\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)</math> also gilt <math>t = -\ln(0.1)\tau=\ln(10)\tau</math><br />
<br />
==Links==<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=eR0l2sqv8Zo Das RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=oH9f2ZoRY74 hydraulisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=yaQmGFE_n00 elektrisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=QiWTrNmvl-Y mechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=HRYAYH5FN8Q rotationsmechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=5luXptUy8Jw thermodynamisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=ojyBnTu9FJw Systemphysik: RC-Glied]<br />
<br />
<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:VorAV]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_1._Ordnung&diff=12097Dynamische Systeme 1. Ordnung2016-05-09T06:50:44Z<p>Admin: /* Antworten zu den Kontrollfragen */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie eine [[Kapazität]] definiert ist<br />
*wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist<br />
*wie eine Induktivität zu definieren ist<br />
*wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht<br />
*wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht<br />
*wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird<br />
*wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird<br />
*wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist<br />
*wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines [[Systemdynamik|systemdynamischen Tools]] modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.<br />
<br />
Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in Bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entleert also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir eine klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden<br />
:<math>\Delta V=C_V\Delta p</math> <br />
wobei für zylinderförmige Gefässe gilt <br />
:<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander<br />
:<math>\Delta p = R_VI_V</math><br />
Der [[gerades Rohrstück|laminare Strömungswiderstand]] kann mit Hilfe des Gesetzes von [[Hagen-Poiseuille]] berechnet werden. Beachten Sie, dass <math>\Delta p</math> in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.<br />
<br />
==Leiter==<br />
Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<br />
<math>U=RI</math><br />
<br /><math>I=GU</math><br />
|Widerstandselement<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{px}=F_x=k\Delta v_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{Lx}=M_x=k^*\Delta \omega_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<br />
<math>\Delta T=R_WI_W</math><br />
<br /><math>I_W=G_W\Delta T</math><br />
|[[Wärmeleitung]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz ([[Wasserfallbild]]). Dabei wird [[Prozessleistung|Energie]] frei gesetzt und [[Entropie]] erzeugt. Weil bei der [[Wärmeleitung]] Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die [[Wärme|Wärmeenergie]] als erhaltene mengenartige Grösse.<br />
<br />
==Speicher==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>C_V\Delta p=\Delta V</math><br />
|zylinderförmiger Behälter<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>CU=Q</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>mv_x=p_x</math><br />
|Hammer<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>J\omega_x=L_x</math><br />
|Schwungrad<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<math>C_p\Delta T=\Delta H</math><br />
|[[Wärmespeicher]]<br />
|-<br />
|}<br />
Die [[Masse]] eines Körpers bildet die [[Kapazität|Impulskapazität]] für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen [[Massenträgheitsmoment]]en. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse [[Enthalpie]]. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.<br />
<br />
==RC-Glied==<br />
Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe. <br />
<br />
:<math>\Delta p=\varrho gh</math><br />
<br />
Folgt man dann der durch das horizontale Rohr wegströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrostatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0\</math><br />
<br />
Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und [[resistives Gesetz|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0</math><br />
<br />
Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,<br />
<br />
:<math>I_V=\dot V</math><br />
<br />
erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0</math> oder <math>\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0</math><br />
<br />
Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),<br />
<br />
:<math>V=V_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
wenn für die [[Zeitkonstante]] ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau =R_VC_V</math><br />
<br />
Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit [[Dichte]] und [[Gravitationsfeld]]stärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab<br />
<br />
:<math>I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}</math> mit <math>I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}</math><br />
<br />
Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\</math><br />
<br />
und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend<br />
<br />
:<math>V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)</math> mit <math>V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}</math><br />
<br />
Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.<br />
<br />
Diese Herleitungen und Ergebnisse können mit Hilfe der oben abgebildeten Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.<br />
<br />
==Induktivität==<br />
Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|langes Rohr]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|supraleitende Spule<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta v_x=L_p\dot I_{px}</math><br />
<br /><math>D\Delta v_x=\dot F_{x}</math><br />
|ideale Feder<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}</math><br />
<br /><math>D^*\Delta\omega_x=\dot M_{x}</math><br />
|ideale Drehfeder<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung<br />
<br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> oder <math>M_x=D^*\Delta\phi</math><br />
<br />
wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.<br />
<br />
==RL-Glied==<br />
Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdurchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt<br />
<br />
:<math>U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive Gesetz]] durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math><br />
<br />
Diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden<br />
<br />
:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
womit für die Zeitkonstante ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
<br />
In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes entspricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
<br />
In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python) direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.<br />
<br />
==Energie und Prozessleistung==<br />
Mengenspeicher (Kapazitäten) sind auch Energiespeicher. Für lineare Systeme gilt (''M'' steht für Menge und ''&phi;'' für Potential)<br />
<br />
:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math><br />
<br />
In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].<br />
<br />
Induktiv wirkende Stromglieder speichern ebenfalls Energie. Die Energie einer Induktivität berechnet sich<br />
<br />
:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math><br />
<br />
Zur Berechnung der Federenergie kann man diese Formel auch verwenden. Dazu setzt man die Federkonstante als reziproke Induktivität ein. Bei Federn geht man aber meistens vom Kraft-Weg-Diagramm aus. In diesem Diagramm ist die Energie als Fläche unter der Kurve erkennbar. So lassen sich auch Aufnahme und Abgabe der Energie von nichtlinearen Federn mit Hysterese berechnen.<br />
<br />
Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert<br />
<br />
:<math>P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}</math><br />
<br />
Bei der [[Wärmeleitung]] lässt sich die Formel für die Prozessleistung nur auf den [[Entropie]]strom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss zum abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden (siehe [[Wärme als Entropie]]). So erhält man die Energieerhaltung bei der Wärmeleitung.<br />
<br />
==Nichtlineare RC-Glieder==<br />
Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu<br />
<br />
:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math><br />
<br />
In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Geschlossen lösbar sind nur einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten. Geschlossen lösbar heisst, dass die Zustandsgrössen (Inhalt oder Potential) mit zeitabhängigen Funktionen vollständig beschreibbar sind. Zu den geschlossen lösbaren Systemen gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math><br />
<br />
Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine Konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend<br />
<br />
:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math><br />
<br />
Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleerungsvorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerungszeit ''&Tau;''. Die Entleerungszeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe<br />
<br />
:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math><br />
<br />
:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math><br />
<br />
Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>'' und der Verlustziffer ''&zeta;''<br />
<br />
:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math><br />
<br />
Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''&zeta;''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.<br />
<br />
Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur des dynamischen Systems mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektorientierte Sprache wie [[Modelica]].<br />
<br />
==Zwei Speicher==<br />
<br />
Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist ([[zwei Gefässe]], [[U-Rohr mit Federn]], [[zwei Kondensatoren]], [[RC-Glied mit zwei Kondensatoren]], [[Rangierstoss]], [[zwei Klötze mit Feder]], [[zwei Schwungräder]] oder [[zwei Wärmespeicher]]). Solche Systeme lassen sich in ihrer Komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt<br />
<br />
:<math>C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}</math><br />
<br />
und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.<br />
<br />
In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann<br />
<br />
:<math>m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math><br />
<br />
''m<sub>red</sub>'' heisst auch reduzierte Masse.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?<br />
#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?<br />
#Zählen Sie je eine Kapazität aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.<br />
#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Wie lange dauert es nach dem Einschalten, bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Bei laminarer Strömung gilt das Gesetz von [[Hagen-Poiseuille]], das einen linearen Zusammenhang zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz postuliert.<br />
#Dämpfer wirken als Impuls- oder Drehimpulswiderstand, wobei die Dämpferkonstante analog zum elektrischen Leitwert ist. Die Wirbelstrombremse wirkt ebenfalls linear.<br />
#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).<br />
#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge).<br />
#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken (Verhältnis <math>e^{-6}</math>).<br />
#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math><br />
#Nach sechs Zeitkonstanten ist die Prozessleistung auf 0.0006% des Anfangswerts gesunken (Verhältnis <math>e^{-12}</math>).<br />
#<math>0.9I_0=I_0\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)</math> also gilt <math>t = -\ln(0.1)\tau=\ln(10)\tau</math><br />
<br />
==Links==<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=eR0l2sqv8Zo Das RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=oH9f2ZoRY74 hydraulisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=yaQmGFE_n00 elektrisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=QiWTrNmvl-Y mechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=HRYAYH5FN8Q rotationsmechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=5luXptUy8Jw thermodynamisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=ojyBnTu9FJw Systemphysik: RC-Glied]<br />
<br />
<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:VorAV]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_1._Ordnung&diff=12096Dynamische Systeme 1. Ordnung2016-05-09T06:49:12Z<p>Admin: /* Antworten zu den Kontrollfragen */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie eine [[Kapazität]] definiert ist<br />
*wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist<br />
*wie eine Induktivität zu definieren ist<br />
*wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht<br />
*wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht<br />
*wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird<br />
*wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird<br />
*wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist<br />
*wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines [[Systemdynamik|systemdynamischen Tools]] modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.<br />
<br />
Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in Bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entleert also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir eine klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden<br />
:<math>\Delta V=C_V\Delta p</math> <br />
wobei für zylinderförmige Gefässe gilt <br />
:<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander<br />
:<math>\Delta p = R_VI_V</math><br />
Der [[gerades Rohrstück|laminare Strömungswiderstand]] kann mit Hilfe des Gesetzes von [[Hagen-Poiseuille]] berechnet werden. Beachten Sie, dass <math>\Delta p</math> in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.<br />
<br />
==Leiter==<br />
Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<br />
<math>U=RI</math><br />
<br /><math>I=GU</math><br />
|Widerstandselement<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{px}=F_x=k\Delta v_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{Lx}=M_x=k^*\Delta \omega_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<br />
<math>\Delta T=R_WI_W</math><br />
<br /><math>I_W=G_W\Delta T</math><br />
|[[Wärmeleitung]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz ([[Wasserfallbild]]). Dabei wird [[Prozessleistung|Energie]] frei gesetzt und [[Entropie]] erzeugt. Weil bei der [[Wärmeleitung]] Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die [[Wärme|Wärmeenergie]] als erhaltene mengenartige Grösse.<br />
<br />
==Speicher==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>C_V\Delta p=\Delta V</math><br />
|zylinderförmiger Behälter<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>CU=Q</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>mv_x=p_x</math><br />
|Hammer<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>J\omega_x=L_x</math><br />
|Schwungrad<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<math>C_p\Delta T=\Delta H</math><br />
|[[Wärmespeicher]]<br />
|-<br />
|}<br />
Die [[Masse]] eines Körpers bildet die [[Kapazität|Impulskapazität]] für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen [[Massenträgheitsmoment]]en. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse [[Enthalpie]]. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.<br />
<br />
==RC-Glied==<br />
Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe. <br />
<br />
:<math>\Delta p=\varrho gh</math><br />
<br />
Folgt man dann der durch das horizontale Rohr wegströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrostatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0\</math><br />
<br />
Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und [[resistives Gesetz|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0</math><br />
<br />
Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,<br />
<br />
:<math>I_V=\dot V</math><br />
<br />
erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0</math> oder <math>\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0</math><br />
<br />
Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),<br />
<br />
:<math>V=V_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
wenn für die [[Zeitkonstante]] ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau =R_VC_V</math><br />
<br />
Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit [[Dichte]] und [[Gravitationsfeld]]stärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab<br />
<br />
:<math>I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}</math> mit <math>I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}</math><br />
<br />
Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\</math><br />
<br />
und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend<br />
<br />
:<math>V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)</math> mit <math>V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}</math><br />
<br />
Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.<br />
<br />
Diese Herleitungen und Ergebnisse können mit Hilfe der oben abgebildeten Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.<br />
<br />
==Induktivität==<br />
Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|langes Rohr]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|supraleitende Spule<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta v_x=L_p\dot I_{px}</math><br />
<br /><math>D\Delta v_x=\dot F_{x}</math><br />
|ideale Feder<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}</math><br />
<br /><math>D^*\Delta\omega_x=\dot M_{x}</math><br />
|ideale Drehfeder<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung<br />
<br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> oder <math>M_x=D^*\Delta\phi</math><br />
<br />
wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.<br />
<br />
==RL-Glied==<br />
Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdurchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt<br />
<br />
:<math>U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive Gesetz]] durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math><br />
<br />
Diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden<br />
<br />
:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
womit für die Zeitkonstante ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
<br />
In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes entspricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
<br />
In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python) direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.<br />
<br />
==Energie und Prozessleistung==<br />
Mengenspeicher (Kapazitäten) sind auch Energiespeicher. Für lineare Systeme gilt (''M'' steht für Menge und ''&phi;'' für Potential)<br />
<br />
:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math><br />
<br />
In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].<br />
<br />
Induktiv wirkende Stromglieder speichern ebenfalls Energie. Die Energie einer Induktivität berechnet sich<br />
<br />
:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math><br />
<br />
Zur Berechnung der Federenergie kann man diese Formel auch verwenden. Dazu setzt man die Federkonstante als reziproke Induktivität ein. Bei Federn geht man aber meistens vom Kraft-Weg-Diagramm aus. In diesem Diagramm ist die Energie als Fläche unter der Kurve erkennbar. So lassen sich auch Aufnahme und Abgabe der Energie von nichtlinearen Federn mit Hysterese berechnen.<br />
<br />
Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert<br />
<br />
:<math>P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}</math><br />
<br />
Bei der [[Wärmeleitung]] lässt sich die Formel für die Prozessleistung nur auf den [[Entropie]]strom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss zum abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden (siehe [[Wärme als Entropie]]). So erhält man die Energieerhaltung bei der Wärmeleitung.<br />
<br />
==Nichtlineare RC-Glieder==<br />
Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu<br />
<br />
:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math><br />
<br />
In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Geschlossen lösbar sind nur einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten. Geschlossen lösbar heisst, dass die Zustandsgrössen (Inhalt oder Potential) mit zeitabhängigen Funktionen vollständig beschreibbar sind. Zu den geschlossen lösbaren Systemen gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math><br />
<br />
Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine Konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend<br />
<br />
:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math><br />
<br />
Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleerungsvorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerungszeit ''&Tau;''. Die Entleerungszeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe<br />
<br />
:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math><br />
<br />
:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math><br />
<br />
Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>'' und der Verlustziffer ''&zeta;''<br />
<br />
:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math><br />
<br />
Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''&zeta;''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.<br />
<br />
Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur des dynamischen Systems mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektorientierte Sprache wie [[Modelica]].<br />
<br />
==Zwei Speicher==<br />
<br />
Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist ([[zwei Gefässe]], [[U-Rohr mit Federn]], [[zwei Kondensatoren]], [[RC-Glied mit zwei Kondensatoren]], [[Rangierstoss]], [[zwei Klötze mit Feder]], [[zwei Schwungräder]] oder [[zwei Wärmespeicher]]). Solche Systeme lassen sich in ihrer Komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt<br />
<br />
:<math>C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}</math><br />
<br />
und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.<br />
<br />
In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann<br />
<br />
:<math>m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math><br />
<br />
''m<sub>red</sub>'' heisst auch reduzierte Masse.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?<br />
#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?<br />
#Zählen Sie je eine Kapazität aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.<br />
#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Wie lange dauert es nach dem Einschalten, bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Bei laminarer Strömung gilt das Gesetz von [[Hagen-Poiseuille]], das einen linearen Zusammenhang zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz postuliert.<br />
#Dämpfer wirken als Impuls- oder Drehimpulswiderstand, wobei die Dämpferkonstante analog zum elektrischen Leitwert ist. Die Wirbelstrombremse wirkt ebenfalls linear.<br />
#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).<br />
#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge).<br />
#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-6}</math>).<br />
#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math><br />
#Nach sechs Zeitkonstanten ist die Prozessleistung auf 0.0006% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-12}</math>).<br />
#<math>0.9I_0=I_0\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)</math> also gilt <math>t = -\ln(0.1)\tau=\ln(10)\tau</math><br />
<br />
==Links==<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=eR0l2sqv8Zo Das RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=oH9f2ZoRY74 hydraulisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=yaQmGFE_n00 elektrisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=QiWTrNmvl-Y mechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=HRYAYH5FN8Q rotationsmechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=5luXptUy8Jw thermodynamisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=ojyBnTu9FJw Systemphysik: RC-Glied]<br />
<br />
<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:VorAV]]</div>Adminhttps://systemdesign.ch/index.php?title=Dynamische_Systeme_1._Ordnung&diff=12095Dynamische Systeme 1. Ordnung2016-05-09T06:46:30Z<p>Admin: /* Kontrollfragen */</p>
<hr />
<div>==Lernziele==<br />
In dieser Vorlesung lernen Sie<br />
*wie eine [[Kapazität]] definiert ist<br />
*wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist<br />
*wie eine Induktivität zu definieren ist<br />
*wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht<br />
*wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht<br />
*wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird<br />
*wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird<br />
*wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist<br />
*wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt<br />
<br />
==Problemstellung==<br />
Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines [[Systemdynamik|systemdynamischen Tools]] modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.<br />
<br />
Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in Bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entleert also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir eine klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden<br />
:<math>\Delta V=C_V\Delta p</math> <br />
wobei für zylinderförmige Gefässe gilt <br />
:<math>C_V=\frac{A}{\varrho g}</math><br />
Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander<br />
:<math>\Delta p = R_VI_V</math><br />
Der [[gerades Rohrstück|laminare Strömungswiderstand]] kann mit Hilfe des Gesetzes von [[Hagen-Poiseuille]] berechnet werden. Beachten Sie, dass <math>\Delta p</math> in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.<br />
<br />
==Leiter==<br />
Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik<br />
<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=R_VI_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|laminare Strömung]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<br />
<math>U=RI</math><br />
<br /><math>I=GU</math><br />
|Widerstandselement<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{px}=F_x=k\Delta v_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>I_{Lx}=M_x=k^*\Delta \omega_x</math><br />
|Dämpferkonstante als Leitwert<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<br />
<math>\Delta T=R_WI_W</math><br />
<br /><math>I_W=G_W\Delta T</math><br />
|[[Wärmeleitung]]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz ([[Wasserfallbild]]). Dabei wird [[Prozessleistung|Energie]] frei gesetzt und [[Entropie]] erzeugt. Weil bei der [[Wärmeleitung]] Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die [[Wärme|Wärmeenergie]] als erhaltene mengenartige Grösse.<br />
<br />
==Speicher==<br />
Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>C_V\Delta p=\Delta V</math><br />
|zylinderförmiger Behälter<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>CU=Q</math><br />
|[[Kondensator]]<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<math>mv_x=p_x</math><br />
|Hammer<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<math>J\omega_x=L_x</math><br />
|Schwungrad<br />
|-<br />
|[[Thermodynamik]]<br />
|[[Energie]]<br />
|[[Temperatur]]<br />
|<math>C_p\Delta T=\Delta H</math><br />
|[[Wärmespeicher]]<br />
|-<br />
|}<br />
Die [[Masse]] eines Körpers bildet die [[Kapazität|Impulskapazität]] für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen [[Massenträgheitsmoment]]en. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse [[Enthalpie]]. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.<br />
<br />
==RC-Glied==<br />
Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe. <br />
<br />
:<math>\Delta p=\varrho gh</math><br />
<br />
Folgt man dann der durch das horizontale Rohr wegströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrostatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0\</math><br />
<br />
Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz|kapazitives]] und [[resistives Gesetz|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0</math><br />
<br />
Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,<br />
<br />
:<math>I_V=\dot V</math><br />
<br />
erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0</math> oder <math>\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0</math><br />
<br />
Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),<br />
<br />
:<math>V=V_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
wenn für die [[Zeitkonstante]] ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau =R_VC_V</math><br />
<br />
Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit [[Dichte]] und [[Gravitationsfeld]]stärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab<br />
<br />
:<math>I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}</math> mit <math>I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}</math><br />
<br />
Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet<br />
<br />
:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\</math><br />
<br />
und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend<br />
<br />
:<math>V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)</math> mit <math>V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}</math><br />
<br />
Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.<br />
<br />
Diese Herleitungen und Ergebnisse können mit Hilfe der oben abgebildeten Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.<br />
<br />
==Induktivität==<br />
Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik<br />
{|class="wikitable"<br />
!style ="width:15em"|Gebiet<br />
!style ="width:15em"|Menge<br />
!style ="width:15em"|Potential<br />
!style ="width:15em"|Gesetz<br />
!style ="width:15em"|Beispiel<br />
|-<br />
|[[Hydrodynamik]]<br />
|[[Volumen]]<br />
|[[Druck]]<br />
|<math>\Delta p=L_V\dot I_V</math><br />
|[[gerades Rohrstück|langes Rohr]]<br />
|-<br />
|[[Elektrodynamik]]<br />
|[[elektrische Ladung]]<br />
|[[Potential|Spannung]]<br />
|<math>U=L\dot I</math><br />
|supraleitende Spule<br />
|-<br />
|[[Translationsmechanik]]<br />
|[[Impuls]]<br />
|[[Geschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta v_x=L_p\dot I_{px}</math><br />
<br /><math>D\Delta v_x=\dot F_{x}</math><br />
|ideale Feder<br />
|-<br />
|[[Rotationsmechanik]]<br />
|[[Drehimpuls]]<br />
|[[Winkelgeschwindigkeit]]<br />
|<br />
<math>\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}</math><br />
<br /><math>D^*\Delta\omega_x=\dot M_{x}</math><br />
|ideale Drehfeder<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung<br />
<br />
:<math>F_x=D\Delta x</math> oder <math>M_x=D^*\Delta\phi</math><br />
<br />
wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.<br />
<br />
==RL-Glied==<br />
Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdurchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt<br />
<br />
:<math>U_R+U_L=0</math><br />
<br />
Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das [[resistives Gesetz|resistive]] und das [[induktives Gesetz|induktive Gesetz]] durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke<br />
<br />
:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math><br />
<br />
Diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden<br />
<br />
:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math><br />
<br />
womit für die Zeitkonstante ''&tau;'' gilt<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{L}{R}</math><br />
<br />
In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes entspricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems<br />
<br />
:<math>\tau=\frac{k}{D}</math><br />
<br />
In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python) direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.<br />
<br />
==Energie und Prozessleistung==<br />
Mengenspeicher (Kapazitäten) sind auch Energiespeicher. Für lineare Systeme gilt (''M'' steht für Menge und ''&phi;'' für Potential)<br />
<br />
:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math><br />
<br />
In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].<br />
<br />
Induktiv wirkende Stromglieder speichern ebenfalls Energie. Die Energie einer Induktivität berechnet sich<br />
<br />
:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math><br />
<br />
Zur Berechnung der Federenergie kann man diese Formel auch verwenden. Dazu setzt man die Federkonstante als reziproke Induktivität ein. Bei Federn geht man aber meistens vom Kraft-Weg-Diagramm aus. In diesem Diagramm ist die Energie als Fläche unter der Kurve erkennbar. So lassen sich auch Aufnahme und Abgabe der Energie von nichtlinearen Federn mit Hysterese berechnen.<br />
<br />
Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert<br />
<br />
:<math>P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}</math><br />
<br />
Bei der [[Wärmeleitung]] lässt sich die Formel für die Prozessleistung nur auf den [[Entropie]]strom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss zum abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden (siehe [[Wärme als Entropie]]). So erhält man die Energieerhaltung bei der Wärmeleitung.<br />
<br />
==Nichtlineare RC-Glieder==<br />
Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu<br />
<br />
:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math><br />
<br />
In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Geschlossen lösbar sind nur einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten. Geschlossen lösbar heisst, dass die Zustandsgrössen (Inhalt oder Potential) mit zeitabhängigen Funktionen vollständig beschreibbar sind. Zu den geschlossen lösbaren Systemen gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir<br />
<br />
:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math><br />
<br />
Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine Konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend<br />
<br />
:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math><br />
<br />
Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleerungsvorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerungszeit ''&Tau;''. Die Entleerungszeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe<br />
<br />
:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math><br />
<br />
:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math><br />
<br />
Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>'' und der Verlustziffer ''&zeta;''<br />
<br />
:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math><br />
<br />
Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''&zeta;''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.<br />
<br />
Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur des dynamischen Systems mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektorientierte Sprache wie [[Modelica]].<br />
<br />
==Zwei Speicher==<br />
<br />
Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist ([[zwei Gefässe]], [[U-Rohr mit Federn]], [[zwei Kondensatoren]], [[RC-Glied mit zwei Kondensatoren]], [[Rangierstoss]], [[zwei Klötze mit Feder]], [[zwei Schwungräder]] oder [[zwei Wärmespeicher]]). Solche Systeme lassen sich in ihrer Komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt<br />
<br />
:<math>C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}</math><br />
<br />
und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.<br />
<br />
In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann<br />
<br />
:<math>m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math><br />
<br />
''m<sub>red</sub>'' heisst auch reduzierte Masse.<br />
<br />
==Kontrollfragen==<br />
#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?<br />
#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?<br />
#Zählen Sie je eine Kapazität aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.<br />
#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?<br />
#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?<br />
#Wie lange dauert es nach dem Einschalten, bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?<br />
<br />
==Antworten zu den Kontrollfragen==<br />
#Bei laminarer Strömung gitl das Gesetz von [[Hagen-Poiseuille]], das einen linearen Zusammenhang zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz postuliert.<br />
#Dämpfer wirken als Impuls- oder Drehimpulswiderstand, wobei die Dämpferkonstante analog zum elektrischen Leitwert ist. Die Wirbelstrombremse wirkt ebenfalls linear dämpfend.<br />
#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).<br />
#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge als Menge).<br />
#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-6}</math>).<br />
#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math><br />
#Nach sechs Zeitkonstanten ist die Prozessleistung auf 0.0006% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-12}</math>).<br />
#<math>0.9I_0=I_0\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)</math> also gilt <math>t = -\ln(0.1)\tau=\ln(10)\tau</math><br />
<br />
==Links==<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=eR0l2sqv8Zo Das RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=oH9f2ZoRY74 hydraulisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=yaQmGFE_n00 elektrisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=QiWTrNmvl-Y mechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=HRYAYH5FN8Q rotationsmechanisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=5luXptUy8Jw thermodynamisches RC-Glied]<br />
*'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=ojyBnTu9FJw Systemphysik: RC-Glied]<br />
<br />
<br />
<br />
'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''<br />
<br />
<br />
[[Kategorie:VorAV]]</div>Admin