Quelltext der Seite Magnusrolle

==Das Objekt==
Ein Hohlzylinder aus Karton wird mit Hilfe eines aufgewickelten Stoffbandes weggeschleudert und gleichzeitig in Rotation versetzt. Abhängig vom Wicklungssinn des Bandes steigt der Zylinder auf oder fliegt sehr schnell zu Boden. Mit etwas Übung bringt man den rotierenden Zylinder auf eine schleifenförmige Bahn (Looping). Diese verblüffende Bahnabweichung des rotierenden Körpers, die bei vielen [[Fussball|Ballspielen]] bewusst eingesetzt wird, heisst [[Magnus-Effekt]].

==Theorie==
Auf den rotierenden Zylinder wirken drei [[Kraft|Kräfte]] ein, die Gewichtskraft (Impulsaustausch über das [[Gravitationsfeld]]), der Luftwiderstand und die [[Magnus-Effekt]] Magnuskraft. Luftwiderstand und Magnuskraft gehören ursächlich zusammen. Der Luftwiderstand ist der dissipativ wirkende Anteil des [[Impuls]]austausches mit der Luft; der [[Luftwiderstand]] wirkt folglich gegen die momentane Anströmmgeschwindigkeit. Die Magnuskraft ist die normal zur Geschwindigkeit stehende Komponente der Luftkraft.

Anhand einer einfachen Energieüberlegung kann für den [[Luftwiderstand]] eine Näherungsformel abgeleitet werden. Um den Einfluss der Körperform (Zylinder, Kugel, Halbkugel) zu beschreiben, wird ein zusätzlicher Formfaktor (Widerstandsbeiwert ''c<sub>W</sub>'') eingeführt. Widerstandswert und Querschnittsfläche dürfen zur effektiven Fläche zusammengefasst werden

<math>\vec F_W = -\frac {\rho}{2} c_W A_{quer} |\vec v| \vec v = -\frac {\rho}{2} A_{eff} |\vec v| \vec v</math>

Die [[Magnus-Effekt]] hängt von der [[Winkelgeschwindigkeit]] des Zylinders und von der Anströmgeschwindigkeit ab. Für die speziellen Eigenheiten des Körpers wird ein zweiten Formfaktor eingeführt

<math>\vec F_M = \rho r c_M A_{quer} (\vec \omega x \vec v)</math>

Die Luft bremst über die mitgerissene Grenzschicht die Rotation des Zylinders. Mangels exakter Theorie machen wir für das auf den Zylinder einwirkende Drehmoment eine plausible Abschätzung. Die Unsicherheiten bezüglich der Wirkung steckt im dritten Formfaktor (''c<sub>R</sub>'')

<math>M = \frac {\rho}{2} r^3 c_R A_{quer} \omega^2</math>

==Simulationsmodell==
[[Bild:Magnusrolle_SD.jpg|thumb|Systemdiagramm der Magnusrolle]]
Das Grundgerüst des Simulationsmodells wird von drei Bilanzgleichungen gebildet, den [[Impulsbilanz|Impulsbilanzen]] für die zwei Richtungen sowie der [[Drehimpulsbilanz]]. 

Die ''x''-Impulsbilanz fasst die ''x''-Komponenten des Luftwiderstandes und der Magnuskraft zur Impulsänderungsrate zusammen. Bei der Bilanz der vertikalen Komponente kommt noch der Impulsaustausch mit dem Gravitationsfeld dazu. In der Drehimpulsbilanz erscheint nur der Drehimpulsaustausch zwischen Luft und Körper, das Reibdrehmoment. Neben den drei Bilanzgleichungen führt die Integration der Schwerpunktsgeschwindigkeit über die Zeit zur Position zu zwei weiteren Fluss-Topf- (flow-stock-) Strukturen.

Die konstitutiven Gesezte sind entweder grundlegend ([[Masse]] und [[Massenträgheitsmoment]] als [[kapazitives Gesetz|Kapazitäten]]) oder oben schon diskutiert worden. Beim Start ist die Geschwindigkeit horizontal gerichtet und die Winkelgeschwindigkeit ist gleich Geschwindigkeitsbetrag dividiert durch Zylinderradius.

==Simulation==
[[Bild:Magnusrolle_xy.gif|thumb|Bahn der Magnusrolle]]
Der Widerstandsbeiwert kann einem Tabellenbuch entnommen werden. Die beiden andern Formfaktoren sind anhand der experimentellen Erfahrung geschätz worden. Die Graphik zeigt eine Parameterstudie für den Formfaktor des reibenden Drehmoments.

[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie:Modelle]] [[Kategorie:TransMod]] [[Kategorie:RotMod]]