Änderungsrate - Versionsgeschichte

User: /* Integration */

2006-08-28T12:08:28Z

Integration

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 12:08 Uhr
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	Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert dieser Grösse zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten		Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert dieser Grösse zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten

	<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot M_{i-1,i} (t_i - t_{i-1})</math>		<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot M(t_{i-1,i}) (t_i - t_{i-1})</math>

	Die Formel besagt, dass man zum Anfangswert ''M<sub>0</sub>'' solange um die Änderungsrate mal den zugehörigen Zeitabschnitt erhöhen soll, bis die Endzeit erreicht ist.		Die Formel besagt, dass man zum Anfangswert ''M<sub>0</sub>'' solange um die Änderungsrate mal den zugehörigen Zeitabschnitt erhöhen soll, bis die Endzeit erreicht ist. Die Änderungsrate muss zu einem Zeitpunkt innerhalb des fraglichen Intervalls genommen werden. Diese "Wahlfreiheit" erzeugt bei jedem Summanden einen kleinen Fehler, den man durch Verkürzen der Intervalle kleiner machen kann.

	Mach man die Zeitabschnitte beliebig kurz, ist über beliebig viele Abschnitte zu summieren. Dieses mathematische Verfahren nennt man Integration über die Zeit		Mach man die Zeitabschnitte beliebig kurz, ist über beliebig viele Abschnitte zu summieren. Dieses mathematische Verfahren nennt man Integration über die Zeit

User: /* Integration */

2006-08-28T12:02:53Z

Integration

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	Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert dieser Grösse zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten		Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert dieser Grösse zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten

	<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot ~~M_i~~ (t_i - t_{i-1})</math>		<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot M_{i-1,i} (t_i - t_{i-1})</math>

	Die Formel besagt, dass man zum Anfangswert ''M<sub>0</sub>'' solange um die Änderungsrate mal den zugehörigen Zeitabschnitt erhöhen soll, bis die Endzeit erreicht ist.		Die Formel besagt, dass man zum Anfangswert ''M<sub>0</sub>'' solange um die Änderungsrate mal den zugehörigen Zeitabschnitt erhöhen soll, bis die Endzeit erreicht ist.

User: /* Integration */

2006-08-28T11:40:33Z

Integration

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	Liegt das zeitliche Verhalten der Änderungsrate als Diagramm vor, entspricht die totale Änderung der zugehörigen Grösse im fraglichen Zeitabschnitt der Fläche unter der Kurve, wobei Flächenstücke im Negativbereich der Änderungsrate auch negativ zu zählen sind.		Liegt das zeitliche Verhalten der Änderungsrate als Diagramm vor, entspricht die totale Änderung der zugehörigen Grösse im fraglichen Zeitabschnitt der Fläche unter der Kurve, wobei Flächenstücke im Negativbereich der Änderungsrate auch negativ zu zählen sind.

	Systemdynamische Werkzeuge führen die Integration über die Zeit automatisch aus, sobald man die Bilanz bestehend Fluss-Bestandesgrössen im [[Systemdiagramm]] gezeichnet hat. Der Anfangs- oder Startwert muss zusätzlich eingegeben werden, damit der Endwert eindeutig bestimmt ist.		Systemdynamische Werkzeuge führen die Integration über die Zeit automatisch aus, sobald man die Bilanz bestehend aus Fluss- und Bestandesgrössen im [[Systemdiagramm]] gezeichnet hat. Der Anfangs- oder Startwert muss zusätzlich eingegeben werden, damit der Endwert eindeutig bestimmt ist.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Admin: /* Beispiele */

2006-08-28T11:32:03Z

Beispiele

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Admin: /* Integration */

2006-08-28T11:10:33Z

Integration

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 11:10 Uhr
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	==Integration==		==Integration==
	Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate ~~eines Systems bezüglich~~ einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert ~~des~~ ~~Inhaltes~~ zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten		Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert dieser Grösse zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten

	<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot M_i (t_i - t_{i-1})</math>		<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot M_i (t_i - t_{i-1})</math>
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	Liegt das zeitliche Verhalten der Änderungsrate als Diagramm vor, entspricht die totale Änderung der zugehörigen Grösse im fraglichen Zeitabschnitt der Fläche unter der Kurve, wobei Flächenstücke im Negativbereich der Änderungsrate auch negativ zu zählen sind.		Liegt das zeitliche Verhalten der Änderungsrate als Diagramm vor, entspricht die totale Änderung der zugehörigen Grösse im fraglichen Zeitabschnitt der Fläche unter der Kurve, wobei Flächenstücke im Negativbereich der Änderungsrate auch negativ zu zählen sind.

	Systemdynamische Werkzeuge führen die Integration über die Zeit automatisch aus, sobald man ~~eine~~ Fluss-~~Bestandesgrösse~~ im [[Systemdiagramm]] gezeichnet hat. Der Anfangs- oder Startwert muss zusätzlich eingegeben werden, damit der Endwert eindeutig bestimmt ist.		Systemdynamische Werkzeuge führen die Integration über die Zeit automatisch aus, sobald man die Bilanz bestehend Fluss-Bestandesgrössen im [[Systemdiagramm]] gezeichnet hat. Der Anfangs- oder Startwert muss zusätzlich eingegeben werden, damit der Endwert eindeutig bestimmt ist.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Admin: /* Definition */

2006-08-28T11:07:12Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 11:07 Uhr
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	==Definition==		==Definition==
	Die Änderungsrate bestimmt man aus der sich ändernden Grösse, indem ~~man~~ die Veränderung dieser Grösse durch die dafür benötigte Zeitspanne dividiert		Die Änderungsrate bestimmt man aus der sich ändernden Grösse, indem die Veränderung dieser Grösse durch die dafür benötigte Zeitspanne dividiert wird

	<math>\dot M = \frac {M(t_2) - M(t_1)} {t_2 - t_1} = \frac {M_2 - M_1} {t_2 - t_1}</math>		<math>\dot M = \frac {M(t_2) - M(t_1)} {t_2 - t_1} = \frac {M_2 - M_1} {t_2 - t_1}</math>

	Weil ~~die sich ändernde~~ Grösse oft bilanzierfähig oder mengenartig ist, steht hier das Formelzeichen ''M'' für Menge. Der ~~zweite~~ '''Differenzenquotient''' ~~entspricht~~ ~~der~~ ~~üblichen~~ ~~Schreibweise~~, ~~obwohl~~ der ~~erste~~ ~~Quotient~~ ~~den~~ ~~Sachverhalt~~ ~~präziser ausdrückt~~.		Weil diese Grösse oft bilanzierfähig oder mengenartig ist, steht hier das Formelzeichen ''M'' für Menge. Der erste '''Differenzenquotient''' drückt den Sachverhalt präzis aus, der zweite entspricht der gängigen Schreibweise.

	Solange die Änderungsrate konstant bleibt, ist die oben gegebene Definition der Änderungsrate exakt. Verändert sich diese Rate ebenfalls mit der Zeit, gilt die Definition nur näherungsweise. Um eine präzise Definition der Änderungsrate zu erhalten, muss das Zeitintervall beliebig kurz gewählt werden		Solange die Änderungsrate konstant bleibt, ist die oben gegebene Definition der Änderungsrate exakt. Verändert sich diese Rate ebenfalls mit der Zeit, gilt die Definition nur näherungsweise. Um eine präzise Definition der Änderungsrate zu erhalten, muss das Zeitintervall beliebig kurz gewählt werden
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	Mit diesem Grenzübergang geht der Differenzenquotient in den '''Differentialquotienten''' über. Die Anwendung des Differentialquotienten auf beliebige Funktionen ist Aufgabe der Differenzialrechnung.		Mit diesem Grenzübergang geht der Differenzenquotient in den '''Differentialquotienten''' über. Die Anwendung des Differentialquotienten auf beliebige Funktionen ist Aufgabe der Differenzialrechnung.

	Liegt das zeitliche Verhalten einer Grösse als Diagramm vor, entspricht die Änderungsrate dieser Grösse der Steigung der Kurve zum fraglichen Zeitpunkt. Der Differenzenquotient ist dann als Steigungsmass der durch ~~die~~ ~~zwei~~ ~~ausgezeichneten Punkte~~ gehenden Sekante zu erkennen. Mit dem Grenzübergang zum Differentialquotienten geht die Sekante in die Tagente über. Weil die Tagente und der Funktionsgraph im Berührpunkt die gleiche Steigung haben, erlaubt die Tangentenkonstruktion das Herausmessen der Änderungsrate aus einer graphischen Darstellung. Man achte darauf, dass bei dieser graphischen Bestimmung der Änderungsrate die Einheit der sich ändernden Grösse und die Einheit der Zeit korrekt mitgeführt werden.		Liegt das zeitliche Verhalten einer Grösse als Diagramm vor, entspricht die Änderungsrate dieser Grösse der Steigung der Kurve zum fraglichen Zeitpunkt. Der Differenzenquotient ist dann als Steigungsmass der durch ''M<sub>2</sub>(t<sub>2</sub>)'' und ''M<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>)'' gehenden Sekante zu erkennen. Mit dem Grenzübergang vom Differenzen- zum Differentialquotienten geht die Sekante in die Tagente über. Weil die Tagente und der Funktionsgraph im Berührpunkt die gleiche Steigung haben, erlaubt die Tangentenkonstruktion das Herausmessen der Änderungsrate aus einer graphischen Darstellung. Man achte darauf, dass bei dieser graphischen Bestimmung der Änderungsrate die Einheit der sich ändernden Grösse und die Einheit der Zeit korrekt mitgeführt werden.

	==Integration==		==Integration==

Admin: /* Begriff */

2006-08-28T10:55:10Z

Begriff

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 10:55 Uhr
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	==Begriff==		==Begriff==
	Die Änderungsrate ist ~~eine~~ der zentralen Begriffe in der [[Physik der dynamischen Systeme]]. Auf Änderungsraten trifft man aber auch ausserhalb der Physik: Geburtenrate, Sterberate, Wachstumsrate. Mit Rate meint man in der Regel eine Veränderung pro Zeiteinheit. In der Physik ~~nimmt~~ ~~man~~ als Zeiteinheit ~~die Sekunde~~, in der Wirtschaft oft ~~das~~ Jahr.		Die Änderungsrate ist einer der zentralen Begriffe der [[Physik der dynamischen Systeme]]. Auf Änderungsraten trifft man aber auch ausserhalb der Physik: Geburtenrate, Sterberate, Wachstumsrate. Mit Rate meint man in der Regel eine Veränderung pro Zeiteinheit. In der Physik gilt die Sekunde als Zeiteinheit, in der Wirtschaft bezieht man die Änderung oft auf ein Jahr.

	Als Formelzeichne für die Änderungsrate nimmt man das Formelzeichen für die sich ändernde Grösse und setzt einen Punkt darüber. Die Einheit der Änderungsrate ist gleich der Einheit der sich ändernden Grösse dividiert durch Sekunde.		Als Formelzeichne für die Änderungsrate nimmt man das Formelzeichen für die sich ändernde Grösse und setzt einen Punkt darüber. Die Einheit der Änderungsrate ist gleich der Einheit der sich ändernden Grösse dividiert durch Sekunde.

Admin am 28. August 2006 um 10:28 Uhr

2006-08-28T10:28:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 10:28 Uhr
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	Liegt das zeitliche Verhalten einer Grösse als Diagramm vor, entspricht die Änderungsrate dieser Grösse der Steigung der Kurve zum fraglichen Zeitpunkt. Der Differenzenquotient ist dann als Steigungsmass der durch die zwei ausgezeichneten Punkte gehenden Sekante zu erkennen. Mit dem Grenzübergang zum Differentialquotienten geht die Sekante in die Tagente über. Weil die Tagente und der Funktionsgraph im Berührpunkt die gleiche Steigung haben, erlaubt die Tangentenkonstruktion das Herausmessen der Änderungsrate aus einer graphischen Darstellung. Man achte darauf, dass bei dieser graphischen Bestimmung der Änderungsrate die Einheit der sich ändernden Grösse und die Einheit der Zeit korrekt mitgeführt werden.		Liegt das zeitliche Verhalten einer Grösse als Diagramm vor, entspricht die Änderungsrate dieser Grösse der Steigung der Kurve zum fraglichen Zeitpunkt. Der Differenzenquotient ist dann als Steigungsmass der durch die zwei ausgezeichneten Punkte gehenden Sekante zu erkennen. Mit dem Grenzübergang zum Differentialquotienten geht die Sekante in die Tagente über. Weil die Tagente und der Funktionsgraph im Berührpunkt die gleiche Steigung haben, erlaubt die Tangentenkonstruktion das Herausmessen der Änderungsrate aus einer graphischen Darstellung. Man achte darauf, dass bei dieser graphischen Bestimmung der Änderungsrate die Einheit der sich ändernden Grösse und die Einheit der Zeit korrekt mitgeführt werden.

			==Integration==
			Bei dynamischen Systemen liefert die [[Bilanz]]gleichung die Änderungsrate eines Systems bezüglich einer bestimmten Grösse. Um den aktuellen Wert des Inhaltes zu bestimmen, muss die Änderungsrate über alle Zeitabschnitte aufsummiert werden. Die zugehörige Rechnung folgt aus der Definition des Differenzenquotienten

			<math> M_n = M_0 + \sum_{i=1}^n \dot M_i (t_i - t_{i-1})</math>

			Die Formel besagt, dass man zum Anfangswert ''M<sub>0</sub>'' solange um die Änderungsrate mal den zugehörigen Zeitabschnitt erhöhen soll, bis die Endzeit erreicht ist.

			Mach man die Zeitabschnitte beliebig kurz, ist über beliebig viele Abschnitte zu summieren. Dieses mathematische Verfahren nennt man Integration über die Zeit

			<math>M(t_e) = M(t_a) + \int_{t_a}^{t_e} \dot M dt</math>

			Die Anwendung der Integration auf beliebige Funktionen ist Aufgabe der Integralrechnung.

			Liegt das zeitliche Verhalten der Änderungsrate als Diagramm vor, entspricht die totale Änderung der zugehörigen Grösse im fraglichen Zeitabschnitt der Fläche unter der Kurve, wobei Flächenstücke im Negativbereich der Änderungsrate auch negativ zu zählen sind.

			Systemdynamische Werkzeuge führen die Integration über die Zeit automatisch aus, sobald man eine Fluss-Bestandesgrösse im [[Systemdiagramm]] gezeichnet hat. Der Anfangs- oder Startwert muss zusätzlich eingegeben werden, damit der Endwert eindeutig bestimmt ist.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Admin: /* Definition */

2006-08-28T09:58:40Z

Definition

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 09:58 Uhr
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	==Definition==		==Definition==
			Die Änderungsrate bestimmt man aus der sich ändernden Grösse, indem man die Veränderung dieser Grösse durch die dafür benötigte Zeitspanne dividiert

			<math>\dot M = \frac {M(t_2) - M(t_1)} {t_2 - t_1} = \frac {M_2 - M_1} {t_2 - t_1}</math>

			Weil die sich ändernde Grösse oft bilanzierfähig oder mengenartig ist, steht hier das Formelzeichen ''M'' für Menge. Der zweite '''Differenzenquotient''' entspricht der üblichen Schreibweise, obwohl der erste Quotient den Sachverhalt präziser ausdrückt.

			Solange die Änderungsrate konstant bleibt, ist die oben gegebene Definition der Änderungsrate exakt. Verändert sich diese Rate ebenfalls mit der Zeit, gilt die Definition nur näherungsweise. Um eine präzise Definition der Änderungsrate zu erhalten, muss das Zeitintervall beliebig kurz gewählt werden

			<math>\dot M = \lim_{(t_2-t_1) \to \0}(\frac {M_2 - M_1} {t_2 - t_1})</math>

			Mit diesem Grenzübergang geht der Differenzenquotient in den '''Differentialquotienten''' über. Die Anwendung des Differentialquotienten auf beliebige Funktionen ist Aufgabe der Differenzialrechnung.

			Liegt das zeitliche Verhalten einer Grösse als Diagramm vor, entspricht die Änderungsrate dieser Grösse der Steigung der Kurve zum fraglichen Zeitpunkt. Der Differenzenquotient ist dann als Steigungsmass der durch die zwei ausgezeichneten Punkte gehenden Sekante zu erkennen. Mit dem Grenzübergang zum Differentialquotienten geht die Sekante in die Tagente über. Weil die Tagente und der Funktionsgraph im Berührpunkt die gleiche Steigung haben, erlaubt die Tangentenkonstruktion das Herausmessen der Änderungsrate aus einer graphischen Darstellung. Man achte darauf, dass bei dieser graphischen Bestimmung der Änderungsrate die Einheit der sich ändernden Grösse und die Einheit der Zeit korrekt mitgeführt werden.

	==Beispiele==		==Beispiele==

Admin: /* Begriff */

2006-08-28T09:21:01Z

Begriff

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2006, 09:21 Uhr
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	==Begriff==		==Begriff==
			Die Änderungsrate ist eine der zentralen Begriffe in der [[Physik der dynamischen Systeme]]. Auf Änderungsraten trifft man aber auch ausserhalb der Physik: Geburtenrate, Sterberate, Wachstumsrate. Mit Rate meint man in der Regel eine Veränderung pro Zeiteinheit. In der Physik nimmt man als Zeiteinheit die Sekunde, in der Wirtschaft oft das Jahr.

			Als Formelzeichne für die Änderungsrate nimmt man das Formelzeichen für die sich ändernde Grösse und setzt einen Punkt darüber. Die Einheit der Änderungsrate ist gleich der Einheit der sich ändernden Grösse dividiert durch Sekunde.

	==Definition==		==Definition==