Bohrsches Atommodell - Versionsgeschichte

Admin: /* Heisenberg */

2013-01-24T15:27:47Z

Heisenberg

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	Dies ist genau die Auswahlbedingung von Bohr.		Dies ist genau die Auswahlbedingung von Bohr.

			===Links===
			*'''[http://www.youtube.com/watch?v=elysoslqbDA Video auf Youtube]'''

	[[Kategorie:Quant]]		[[Kategorie:Quant]]

Admin am 6. Januar 2008 um 16:26 Uhr

2008-01-06T16:26:17Z

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	Das '''Bohrsche Atommodell''' wurde 1913 von ''Niels Bohr'' entwickelt und baut auf dem ''Rutherfordsches Atommodell'' (Elektronen umkreisen einen serh kleinen, positiv geladenen Atomkern) auf. Das Bohrsche Atommodell konnte wohl die Spektrallinien des Wasserstoffatoms erklären, erwies sich sonst aber als Sackgasse. Dass dieses Modell heute noch an Schulen gelehrt wird, ist ein deutliches Indiz für den Reformbedarf des Physikunterrichts.		[[Bild:RutherfordAtommodell.jpg\|thumb\|Planetenmodell von Rutherford]]Das '''Bohrsche Atommodell''' wurde 1913 von ''Niels Bohr'' entwickelt und baut auf dem ''Rutherfordsches Atommodell'' (Elektronen umkreisen einen serh kleinen, positiv geladenen Atomkern) auf. Das Bohrsche Atommodell konnte wohl die Spektrallinien des Wasserstoffatoms erklären, erwies sich sonst aber als Sackgasse. Dass dieses Modell heute noch an Schulen gelehrt wird, ist ein deutliches Indiz für den Reformbedarf des Physikunterrichts.

	== Modell ==		== Modell ==

Admin: /* De Broglie */

2008-01-06T16:21:08Z

De Broglie

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	=== De Broglie ===		=== De Broglie ===
	Schon 1923 betrachtete ''Louis-Victor de Broglie'' Elektronen zum ersten Mal als Wellen ([[Materiewellen]]) und zeigte mithilfe einer [[Spezielle Relativitätstheorie\|relativistischen]] Argumentation, dass ein Elektron mit dem [[Impuls]] die folgende Wellenlänge (''λ'') besitzt		[[Bild:BohrschesAtommodellMateriewellen.jpg\|thumb\|Materiewelle des Eletrons]]Schon 1923 betrachtete ''Louis-Victor de Broglie'' Elektronen zum ersten Mal als Wellen ([[Materiewellen]]) und zeigte mithilfe einer [[Spezielle Relativitätstheorie\|relativistischen]] Argumentation, dass ein Elektron mit dem [[Impuls]] die folgende Wellenlänge (''λ'') besitzt

	:<math>\lambda = { h \over p }</math>		:<math>\lambda = { h \over p }</math>

Admin: /* Energie */

2008-01-06T16:19:04Z

Energie

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	=== Energie ===		=== Energie ===
	Die potentielle Energie des Elektrons im Feld des Protons ist gleich		[[Bild:BohrschesAtommodellSerien.jpg\|thumb\|Bohrsches Atommodell]] Die potentielle Energie des Elektrons im Feld des Protons ist gleich

	:<math>W_E=-{1\over 4\pi\varepsilon_0}{e^2\over r}</math>		:<math>W_E=-{1\over 4\pi\varepsilon_0}{e^2\over r}</math>

Admin: /* Ausblick */

2008-01-06T16:07:45Z

Ausblick

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	== Ausblick ==		== Ausblick ==

	Das bohrsche Atommodell fand im [[Bohr-Sommerfeldsches Atommodell]] verschiedene Erweiterungen. So wurde unter anderem eine zweite und dritte Quantenzahl eingefügt, um [[Feinstruktur]]-Aufspaltungen zu erklären. Der [[Stern-Gerlach-Versuch]] erweiterte das Modell abermals um den [[Spin]].		Das bohrsche Atommodell fand im [[Bohr-Sommerfeldsches Atommodell]] verschiedene Erweiterungen. So wurde unter anderem eine zweite und dritte Quantenzahl eingefügt, um [[Feinstruktur]]-Aufspaltungen zu erklären. Der [[Stern-Gerlach-Versuch]] erweiterte das Modell abermals um den [[Spin]]. Mit der [[Quantenmechanik]] ist eine umfassendere Theorie entstanden, die auch die Bohrschen Postulate vollständig begründet. Die Bohrsche Auswahlbedingung kann durch zwei grundlegende quantenmechanische Prinzipien - den [[Materiewellen]] bzw. die [[Unschärferelation\|Heisenbergsche Unschärferelation]] - plausibel erklärt werden

	Mit der [[Quantenmechanik]] wurden beide Modelle abgelöst, zugleich aber auch die bohrschen Postulate vollständig begründet. Es wurde erkennbar, warum das bohrsche Modell und seine Erweiterung in vielen Bereichen Erfolge hatten, das heißt richtige Voraussagen trafen.

	An dieser Stelle sollen zwei Beispiele gegeben werden, wie die bohrsche Auswahlbedingung schon durch grundlegende quantenmechanische Prinzipien - den [[Materiewellen]] beziehungsweise die [[heisenbergsche Unschärferelation]] - plausibel gemacht werden kann, ohne in irgendeiner Form den quantenmechanischen Formalismus aufzubauen.

	=== De Broglie ===		=== De Broglie ===
	Schon [[1923]] betrachtete [[Louis-Victor de Broglie]] Elektronen zum ersten Mal als Wellen ([[Materiewellen]]) und zeigte mithilfe einer [[Spezielle Relativitätstheorie\|relativistischen]] Argumentation, dass ~~für~~ ~~die~~ ~~Wellenlänge~~ ~~<math>\lambda</math>~~ ~~eines~~ ~~Elektrons~~ ~~mit~~ ~~dem~~ ~~Impuls <math>p</math>~~ ~~gilt~~		Schon 1923 betrachtete ''Louis-Victor de Broglie'' Elektronen zum ersten Mal als Wellen ([[Materiewellen]]) und zeigte mithilfe einer [[Spezielle Relativitätstheorie\|relativistischen]] Argumentation, dass ein Elektron mit dem [[Impuls]] die folgende Wellenlänge (''λ'') besitzt

	:<math>\lambda = { h \over p } ~~= { h \over mv }.~~</math>		:<math>\lambda = { h \over p }</math>

	So ~~wie~~ ~~die~~ ~~Saite~~ ~~einer~~ ~~Geige~~ ~~auch~~ ~~nur~~ so ~~schwingen~~ ~~kann~~, dass ein ganzzahliges Vielfaches der ~~Wellenlänge~~ ~~auf~~ ~~die~~ ~~Saite passt - denn an den Aufhängungspunkten muss ein Wellenknoten vorliegen - so kann das Elektron auch nur so schwingen, dass ein ganzzahliges Vielfaches~~ auf ~~seine~~ Kreisbahn passt:		Modelliert man das umlaufende Elektrons als stehende Welle, muss der Umfang so gewählt werden, dass ein ganzzahliges Vielfaches der Länge der zugehörigen Materiewelle auf die Kreisbahn passt:

	:<math>2 \pi r = n \lambda \Leftrightarrow 2 \pi r = n { h \over mv } \Leftrightarrow ~~mvr~~ = n \hbar \Leftrightarrow L = n \hbar;</math>		:<math>2\pi r=n\lambda \Leftrightarrow 2 \pi r=n{h\over p} \Leftrightarrow pr =n\hbar \Leftrightarrow L=n \hbar;</math>

			Damit folgt die Bohrsche Auswahlbedingung aus der Forderung, dass die Elektronen im Atom stehende Wellen ausbilden.
	genau Bohrs Auswahlbedingung.

	=== Heisenberg ===		=== Heisenberg ===
	Eine häufig gebrauchte Formulierung der [[~~Heisenbergsche~~ Unschärferelation\|heisenbergschen Unschärferelation]] besagt, dass für die Ortsunschärfe <math>\Delta x</math> und die Impulsunschärfe <math>\Delta p</math> stets gilt		Eine häufig gebrauchte Formulierung der [[Unschärferelation\|heisenbergschen Unschärferelation]] besagt, dass für die Ortsunschärfe <math>\Delta x</math> und die Impulsunschärfe <math>\Delta p</math> stets gilt

	:<math> \Delta x \Delta p \ge h </math>.		:<math> \Delta x \Delta p \ge h </math>.

	Gleichartige Relationen gelten aber auch unter anderem für Energie und Zeit, und~~, was hier benutzt werden soll,~~ für [[Drehimpuls]] L und Drehwinkel <math>\varphi</math>:		Gleichartige Relationen gelten aber auch unter anderem für Energie und Zeit und für [[Drehimpuls]] L und Drehwinkel <math>\varphi</math>:

	:<math> \Delta L \Delta \varphi \ge h </math>.		:<math> \Delta L \Delta \varphi \ge h </math>.

	Nun kann man bei der Messung eines Drehwinkels ~~aber offenbar~~ maximal einen Fehler von <math>2\pi</math> (360°) machen~~, also <math> \Delta \varphi \le 2\pi</math>, und damit folgt für die maximale Unschärfe für den Winkel <math>\Delta \varphi_{max} = 2\pi</math>, und damit~~		Nun kann man bei der Messung eines Drehwinkels maximal einen Fehler von <math>2\pi</math> (360°) machen

			:<math>\Delta \varphi_{max} = 2\pi</math>

			Folglich gilt für die Unschärfe des Drehimpulses

	:<math> \Delta L \Delta \varphi_{max} \ge h ~~\Rightarrow \Delta L \cdot 2\pi \ge h~~ \Rightarrow \Delta L \ge \frac{h}{2\pi} = \hbar </math>.		:<math>\Delta L\Delta \varphi_{max} \ge h\Rightarrow \Delta L \ge \frac{h}{2\pi} = \hbar </math>.

	Für minimale Unschärfe von L gilt dann:		Für minimale Unschärfe von L gilt dann:
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	:<math> \Delta L_{min} = \hbar </math>		:<math> \Delta L_{min} = \hbar </math>

	Man kann also sagen, dass der Drehimpuls einen Bereich von <math>\hbar</math> für sich beansprucht. Drehimpulse müssen also, um unterscheidbar zu sein, mindestens diesen Abstand oder ein Vielfaches davon haben. ~~Also muss gelten~~		Man kann also sagen, dass der Drehimpuls infolge der Unschärferelation einen Bereich von <math>\hbar</math> für sich beansprucht. Drehimpulse müssen also, um unterscheidbar zu sein, mindestens diesen Abstand oder ein Vielfaches davon haben. Folglich gilt

	:<math> L = n \hbar.</math>		:<math> L = n \hbar.</math>

Admin: /* Probleme */

2008-01-06T15:47:04Z

Probleme

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 Eine weitere Bestätigung des Bohrschen Atommodells erfolgte 1913/1914 mit dem [[Franck-Hertz-Versuch]]. In dem Versuch konnte gezeigt werden, dass die Abgabe von Energie nur in bestimmten, diskreten Paketen möglich ist. Damit war der Quantenaspekt des Bohrschen Atommodells bestätigt.
-== Probleme ==
+== Mängel ==
-* Chemische Bindungen können mit dem Bohr-Modell nicht verstanden werden.
+* Atome mit mehreren Elektronen und chemische Bindungen zwischen Atomen können mit dem Bohrschen Modell nicht befriedigend erklärt werden.
-* Der Bahn-Drehimpuls des Elektrons im Grundzustand  müsste nach dem Bohr-Modell <math>\hbar</math> sein, tatsächlich ist er aber 0.
+* Der [[Bahndrehimpuls]] des Elektrons müsste nach dem Bohrschen Modell im Grundzustand gleich <math>\hbar</math> sein, tatsächlich ist er aber gleich Null.
 == Ausblick ==

Admin: /* Bestätigungen */

2008-01-06T14:08:49Z

Bestätigungen

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2008, 14:08 Uhr
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	Das bohrsche Atommodell konnte eine Reihe von physikalischen Messergebnissen der im Entstehen begriffenen [[Atomphysik]] erklären. In nachfolgenden mit höherer Genauigkeit durchgeführten Experimenten zeigten sich allerdings auch deutliche Abweichungen zwischen Modell und Wirklichkeit.		Das bohrsche Atommodell konnte eine Reihe von physikalischen Messergebnissen der im Entstehen begriffenen [[Atomphysik]] erklären. In nachfolgenden mit höherer Genauigkeit durchgeführten Experimenten zeigten sich allerdings auch deutliche Abweichungen zwischen Modell und Wirklichkeit.

	=== ~~Größe~~ der Atome ===		=== Grösse der Atome ===
	Der mit den wenigen Grundannahmen des Modells berechnete Durchmesser von Atomen liegt für viele Elemente in der richtigen ~~Größenordnung~~. Insbesondere stimmten sie grob mit den zur gleichen Zeit von [[Max von Laue]] und [[William Henry Bragg~~\|William H. Bragg]]~~ erstmals durchgeführten Experimenten zur Röntgenbeugung überein. Die kleine, aber endliche ~~Größe~~ war eine Schlüssel-Eigenschaft der Atome in den noch vagen Vorstellungen zum Aufbau der Materie. Daher wurde die Fähigkeit des Bohr-Modells, die ~~Größe~~ aus allgemeinen Annahmen abzuleiten, als Erfolg angesehen.		Der mit den wenigen Grundannahmen des Modells berechnete Durchmesser von Atomen liegt für viele Elemente in der richtigen Grössenordnung. Insbesondere stimmten sie grob mit den zur gleichen Zeit von ''Max von Laue'' und ''William Henry Bragg'' erstmals durchgeführten Experimenten zur Röntgenbeugung überein. Die kleine, aber endliche Grösse war eine Schlüssel-Eigenschaft der Atome in den noch vagen Vorstellungen zum Aufbau der Materie. Daher wurde die Fähigkeit des Bohr-Modells, die Grösse aus allgemeinen Annahmen abzuleiten, als Erfolg angesehen.

	=== Spektrale Übergänge ===		=== Spektrale Übergänge ===
	Schon 1885 wurden spektrale Linien beim Wasserstoff-Atom entdeckt ([[Balmer-Serie]], später [[Lyman-Serie]], [[Paschen-Serie]] und weitere). Für die Position der Linien innerhalb der jeweiligen Serie konnte [[Johannes Rydberg]] anhand von gemessenen [[Linienspektrum\|Linienspektren]] bereits 1888 eine numerische ~~[[Rydberg-~~Formel~~\|Formel]]~~ angeben. Der physikalische Hintergrund dieser Formel blieb jedoch zwanzig Jahre lang ein Rätsel. Die von Bohr eingeführten spektralen Übergänge der Elektronen von einer Schale auf die andere erlaubten, die [[Rydberg-Formel]] aus allgemeinen Prinzipien abzuleiten. Auch waren sie ein intuitiv einleuchtendes Bild der Vorgänge im Atom. Eine Serie entspricht dabei den Übergängen von Elektronen höherer Niveaus auf das gleiche Grundniveau. Für verschiedene höhere Niveaus erhält man eine höhere Energiedifferenz und damit Photonen höherer Energie, also höherer Frequenz.		Schon 1885 wurden spektrale Linien beim Wasserstoff-Atom entdeckt (''Balmer-Serie'', später ''Lyman-Serie'', ''Paschen-Serie'' und weitere). Für die Position der Linien innerhalb der jeweiligen Serie konnte ''Johannes Rydberg'' anhand von gemessenen [[Linienspektrum\|Linienspektren]] bereits 1888 eine numerische Formel angeben. Der physikalische Hintergrund dieser Formel blieb jedoch zwanzig Jahre lang ein Rätsel. Die von Bohr eingeführten spektralen Übergänge der Elektronen von einer Schale auf die andere erlaubten, die ''Rydberg-Formel'' aus allgemeinen Prinzipien abzuleiten.

	=== Franck-Hertz-Versuch ===		=== Franck-Hertz-Versuch ===
	Eine weitere Bestätigung des ~~bohrschen~~ Atommodells erfolgte 1913/1914 mit dem [[Franck-Hertz-Versuch]]. In dem Versuch konnte gezeigt werden, dass die Abgabe von Energie nur in bestimmten, diskreten Paketen möglich ist. Damit war der Quantenaspekt des ~~bohrschen~~ Atommodells bestätigt.		Eine weitere Bestätigung des Bohrschen Atommodells erfolgte 1913/1914 mit dem [[Franck-Hertz-Versuch]]. In dem Versuch konnte gezeigt werden, dass die Abgabe von Energie nur in bestimmten, diskreten Paketen möglich ist. Damit war der Quantenaspekt des Bohrschen Atommodells bestätigt.

	== Probleme ==		== Probleme ==

Admin: /* Energie */

2008-01-06T14:03:13Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2008, 14:03 Uhr
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	:<math>f= {{m e^4}\over {8\epsilon_0^2 h^3} }\left({1\over n_2^2}-{1\over n_1^2}\right)</math>.		:<math>f= {{m e^4}\over {8\epsilon_0^2 h^3} }\left({1\over n_2^2}-{1\over n_1^2}\right)</math>.

	~~Diese Voraussage entspricht bis auf die vierte Dezimale den beobachteten Werten.~~ Lässt man <math>n_1</math> gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand <math>n_2</math> zu bewegen, also die Gesamtenergie des Zustands <math>n_2</math>.		Lässt man <math>n_1</math> gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand <math>n_2</math> zu bewegen, also die Gesamtenergie des Zustands <math>n_2</math>.

	Exaktere Werte erhält man, wenn man berücksichtigt, dass sich sowohl das 1836 Mal schwerere Protons als auch das Elektrons um den gemeinsamen [[Massenmittelpunkt]] bewegen. Um den Einfluss des sich bewegenden Protons zu korrigieren, sind die Energie- und Frequenzwerte mit folgendem Faktor zu korrigieren		Exaktere Werte erhält man, wenn man berücksichtigt, dass sich sowohl das 1836 Mal schwerere Protons als auch das Elektrons um den gemeinsamen [[Massenmittelpunkt]] bewegen. Um den Einfluss des sich bewegenden Protons zu korrigieren, sind die Energie- und Frequenzwerte mit folgendem Faktor zu korrigieren

Admin: /* Energie */

2008-01-06T14:02:13Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2008, 14:02 Uhr
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	:<math>f= {{m e^4}\over {8\epsilon_0^2 h^3} }\left({1\over n_2^2}-{1\over n_1^2}\right)</math>.		:<math>f= {{m e^4}\over {8\epsilon_0^2 h^3} }\left({1\over n_2^2}-{1\over n_1^2}\right)</math>.

	Diese Voraussage entspricht bis auf die vierte Dezimale den beobachteten Werten. Lässt man <math>n_1</math> gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand <math>n_2</math> zu bewegen, also die Gesamtenergie des ~~Grundzustands~~ <math>n_2</math>.		Diese Voraussage entspricht bis auf die vierte Dezimale den beobachteten Werten. Lässt man <math>n_1</math> gegen Unendlich gehen, erhält man die Energie, die nötig ist, um ein Elektron aus dem Unendlichen bis zum Zustand <math>n_2</math> zu bewegen, also die Gesamtenergie des Zustands <math>n_2</math>.

	Exaktere Werte erhält man, wenn man berücksichtigt, dass sich sowohl das 1836 Mal schwerere Protons als auch das Elektrons um den gemeinsamen [[Massenmittelpunkt]] bewegen. Um den Einfluss des sich bewegenden Protons zu korrigieren, sind die Energie- und Frequenzwerte mit folgendem Faktor zu korrigieren		Exaktere Werte erhält man, wenn man berücksichtigt, dass sich sowohl das 1836 Mal schwerere Protons als auch das Elektrons um den gemeinsamen [[Massenmittelpunkt]] bewegen. Um den Einfluss des sich bewegenden Protons zu korrigieren, sind die Energie- und Frequenzwerte mit folgendem Faktor zu korrigieren

Admin: /* Bahnradius */

2008-01-06T14:00:12Z

Bahnradius

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2008, 14:00 Uhr
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	=== Bahnradius ===		=== Bahnradius ===
	Im Bohrschen Atommodell wird das Elektron (Masse ''m'', Ladung -''e'') durch die elektrostatische Kraft des Atomkerns auf einer Kreisbahn gehalten		Im Bohrschen Atommodell wird das Elektron (Masse ''m'', Ladung -''e'') durch die elektrostatische Kraft des Atomkerns auf einer Kreisbahn gehalten ('''1.''' Postulat)

	:<math> F_E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=ma_n={mv^2\over r }</math>		:<math> F_E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=ma_n={mv^2\over r }</math>

	Der Bahndrehimpuls des Elektrons ''L'' ist nach dem ~~dritten~~ Postulat quantisiert		Der Bahndrehimpuls des Elektrons ''L'' ist nach dem '''3.''' Postulat quantisiert

	:<math>L=mvr=n\hbar \Leftrightarrow\ v={n\hbar\over mr}</math>.		:<math>L=mvr=n\hbar \Leftrightarrow\ v={n\hbar\over mr}</math>.