Dynamische Systeme 1. Ordnung - Versionsgeschichte

Admin: /* RC-Glied */

2016-05-10T06:31:08Z

RC-Glied

← Nächstältere Version		Version vom 10. Mai 2016, 06:31 Uhr
Zeile 119:		Zeile 119:
	Folgt man dann der durch das horizontale Rohr wegströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrostatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross		Folgt man dann der durch das horizontale Rohr wegströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrostatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross

	:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0\</math>		:<math>\Delta p_C+\Delta p_R=0</math>

	Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz\|kapazitives]] und [[resistives Gesetz\|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man		Setzt man nun die konstitutiven Gesetze ([[kapazitives Gesetz\|kapazitives]] und [[resistives Gesetz\|resistives]]) in die Druckgleichung ein, erhält man

Admin: /* Antworten zu den Kontrollfragen */

2016-05-09T06:50:44Z

Antworten zu den Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 06:50 Uhr
Zeile 300:		Zeile 300:
	#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).		#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).
	#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge).		#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge).
	#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-6}</math>).		#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken (Verhältnis <math>e^{-6}</math>).
	#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math>		#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math>
	#Nach sechs Zeitkonstanten ist die Prozessleistung auf 0.0006% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-12}</math>).		#Nach sechs Zeitkonstanten ist die Prozessleistung auf 0.0006% des Anfangswerts gesunken (Verhältnis <math>e^{-12}</math>).
	#<math>0.9I_0=I_0\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)</math> also gilt <math>t = -\ln(0.1)\tau=\ln(10)\tau</math>		#<math>0.9I_0=I_0\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)</math> also gilt <math>t = -\ln(0.1)\tau=\ln(10)\tau</math>

Admin: /* Antworten zu den Kontrollfragen */

2016-05-09T06:49:12Z

Antworten zu den Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 06:49 Uhr
Zeile 296:		Zeile 296:

	==Antworten zu den Kontrollfragen==		==Antworten zu den Kontrollfragen==
	#Bei laminarer Strömung ~~gitl~~ das Gesetz von [[Hagen-Poiseuille]], das einen linearen Zusammenhang zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz postuliert.		#Bei laminarer Strömung gilt das Gesetz von [[Hagen-Poiseuille]], das einen linearen Zusammenhang zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz postuliert.
	#Dämpfer wirken als Impuls- oder Drehimpulswiderstand, wobei die Dämpferkonstante analog zum elektrischen Leitwert ist. Die Wirbelstrombremse wirkt ebenfalls linear ~~dämpfend~~.		#Dämpfer wirken als Impuls- oder Drehimpulswiderstand, wobei die Dämpferkonstante analog zum elektrischen Leitwert ist. Die Wirbelstrombremse wirkt ebenfalls linear.
	#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).		#Hydraulik: Querschnitt eines zylinderförmigen Gefässes geteilt durch Dichte und Gravitationsfeldstärke; Elektrodynamik: Kapazität von Kondensatoren; Translation: Masse; Rotation: Massenträgheitsmoment; Thermodynamik: Wärmekapazität (bezüglich Energie!).
	#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie ~~als Menge~~ als Menge).		#Hydraulik: Gefäss mit langem Röhrchen und zäher Flüssigkeit (Volumen oder Masse als Menge); Translation: Körper gleitet auf viskoser Ölschicht (Impuls als Menge); Rotation: Schwungrad wird mit Wirbelstrom gebremst (Drehimpuls als Menge); Thermodynamik: heisser Körper kühlt aus (Energie als Menge).
	#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-6}</math>).		#Nach sechs Zeitkonstanten sind Potentialdifferenz oder Stromstärke auf 0.25% des Anfangswerts gesunken(Verhältnis <math>e^{-6}</math>).
	#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math>		#<math>\frac{U_0}{2}=U_0e^{\frac{-t_{1/2}}{\tau}}</math> also gilt <math>t_{1/2}=\ln(2)\tau </math>

Admin: /* Kontrollfragen */

2016-05-09T06:46:30Z

Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 06:46 Uhr
Zeile 288:		Zeile 288:
	#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?		#Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?
	#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?		#Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?
	#Zählen Sie je eine ~~Kapaztitäten~~ aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.		#Zählen Sie je eine Kapazität aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.
	#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?		#Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?
	#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?		#Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
	#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?		#Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?
	#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?		#Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
	#Wie lange dauert nach dem Einschalten bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?		#Wie lange dauert es nach dem Einschalten, bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?

	==Antworten zu den Kontrollfragen==		==Antworten zu den Kontrollfragen==

Admin: /* Nichtlineare RC-Glieder */

2016-05-09T06:38:51Z

Nichtlineare RC-Glieder

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 06:38 Uhr
Zeile 245:		Zeile 245:

	==Nichtlineare RC-Glieder==		==Nichtlineare RC-Glieder==
	Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit ~~laminiar~~. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu		Beim [[Blasenspeicher]] steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminar. Ab einer kritischen [[Reynolds-Zahl]] wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu

	:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math>		:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math>

Admin: /* Nichtlineare RC-Glieder */

2016-05-09T06:35:07Z

Nichtlineare RC-Glieder

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 06:35 Uhr
Zeile 263:		Zeile 263:
	:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math>		:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math>

	Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>''und der Verlustziffer ''ζ''		Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>'' und der Verlustziffer ''ζ''

	:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math>		:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math>

Admin: /* Nichtlineare RC-Glieder */

2016-05-09T06:33:55Z

Nichtlineare RC-Glieder

Admin: /* Energie und Prozessleistung */

2016-05-09T05:39:15Z

Energie und Prozessleistung

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 05:39 Uhr
Zeile 226:		Zeile 226:

	==Energie und Prozessleistung==		==Energie und Prozessleistung==
	Mengenspeicher (Kapazitäten) ~~und~~ ~~Induktivitäten sind~~ Energiespeicher. Für lineare ~~Elemente~~ gilt (''M'' steht für Menge und ''φ'' für Potential)		Mengenspeicher (Kapazitäten) sind auch Energiespeicher. Für lineare Systeme gilt (''M'' steht für Menge und ''φ'' für Potential)

	:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math>		:<math>W=M\frac{\varphi}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}</math>
Zeile 232:		Zeile 232:
	In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].		In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie [[kinetische Energie]] und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie [[Rotationsenergie]].

	Die Energie einer Induktivität berechnet sich		Induktiv wirkende Stromglieder speichern ebenfalls Energie. Die Energie einer Induktivität berechnet sich

	:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math>		:<math>W=\frac{L_M}{2}I_M^2</math>

	Zur Berechnung der Federenergie ~~könnte~~ man diese Formel auch verwenden, ~~wenn~~ man die Federkonstante als reziproke Induktivität ~~einsetzt~~. Bei Federn geht man aber meistens vom Kraft-~~Verformungs~~-Diagramm aus. In diesem Diagramm ist die Energie als Fläche unter der Kurve erkennbar, ~~was~~ ~~dann~~ auch ~~bei~~ Federn mit ~~nichtlinearem Verhalten~~ ~~zutrifft~~.		Zur Berechnung der Federenergie kann man diese Formel auch verwenden. Dazu setzt man die Federkonstante als reziproke Induktivität ein. Bei Federn geht man aber meistens vom Kraft-Weg-Diagramm aus. In diesem Diagramm ist die Energie als Fläche unter der Kurve erkennbar. So lassen sich auch Aufnahme und Abgabe der Energie von nichtlinearen Federn mit Hysterese berechnen.

	Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert		Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert

Admin: /* RL-Glied */

2016-05-09T05:02:10Z

RL-Glied

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 05:02 Uhr
Zeile 223:		Zeile 223:
	:<math>\tau=\frac{k}{D}</math>		:<math>\tau=\frac{k}{D}</math>

	In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python)direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.		In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python) direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.

	==Energie und Prozessleistung==		==Energie und Prozessleistung==

Admin: /* RL-Glied */

2016-05-09T04:46:52Z

RL-Glied

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 04:46 Uhr
Zeile 203:		Zeile 203:

	==RL-Glied==		==RL-Glied==
	Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine ~~stromdruchflossene~~ Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt		Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "[[Kraftfluss]]". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdurchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt

	:<math>U_R+U_L=0</math>		:<math>U_R+U_L=0</math>
Zeile 211:		Zeile 211:
	:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math>		:<math>RI+L\dot I=0</math> oder <math>\frac{R}{L}I+\dot I=0</math>

	Diese lineare ~~Differentialgeleichung~~ erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden		Diese lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden

	:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math>		:<math>I=I_0e^{-t/\tau}</math>
Zeile 219:		Zeile 219:
	:<math>\tau=\frac{L}{R}</math>		:<math>\tau=\frac{L}{R}</math>

	In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes ~~enstpricht~~ und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems		In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante ''k'', die dem Reziprokwert des Widerstandes entspricht und damit einen [[Leitwert]] darstellt. Mit der Federkonstante ''D'' ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems

	:<math>\tau=\frac{k}{D}</math>		:<math>\tau=\frac{k}{D}</math>

	In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und ~~die~~ ~~hier~~ ~~definierte~~ ~~Zeitkonstante kann~~ nicht direkt ~~auf~~ ~~hydraulische~~ ~~Systeme~~ ~~übertragen~~ ~~werden~~.		In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr [[laminar]] und das System verhält sich nicht mehr linear. Nichtlineare Differentialgleichungen lassen sich numerisch (z.B. mit Hilfe von Berkeley Madonna oder Python)direkt, also ohne Angabe einer expliziten Funktion, integrieren.

	==Energie und Prozessleistung==		==Energie und Prozessleistung==

← Nächstältere Version		Version vom 9. Mai 2016, 06:33 Uhr
Zeile 249:		Zeile 249:
	:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math>		:<math>\Delta p = k_VI_V^2</math>

	In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. ~~Einige~~ wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten ~~lassen~~ ~~sich so~~ ~~modellieren~~, dass ~~deren~~ ~~Verhalten~~ ~~geschlossen~~ ~~lösbar~~ ~~sind.~~ ~~Ihr~~ ~~zeitliches~~ ~~Verhalten~~ ~~kann~~ ~~dann~~ ~~mit~~ ~~Funktionen~~ ~~beschrieben~~ ~~werden.~~ ~~Dazu~~ gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir		In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter) nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Geschlossen lösbar sind nur einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten. Geschlossen lösbar heisst, dass die Zustandsgrössen (Inhalt oder Potential) mit zeitabhängigen Funktionen vollständig beschreibbar sind. Zu den geschlossen lösbaren Systemen gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir

	:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math>		:<math>\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0</math> oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz <math>V+C_Vk_V\dot V^2=0</math>

	Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine ~~konstante~~ sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend		Die Lösung dieser '''nichtlinearen''' Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion ''V(t)'', die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine Konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend

	:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math>		:<math>I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t</math>

	Die Volumenstromstärke zu Beginn des ~~Entleervorgangs~~ ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der ~~Entleerzeit~~ ''Τ''. Die ~~Entleerzeit~~ ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe		Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleerungsvorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerungszeit ''Τ''. Die Entleerungszeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe

	:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math>		:<math>I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}</math>

	:<math>~~\Tau~~=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math>		:<math>T=\frac{2V_0}{I_{V0}}</math> und damit <math>Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}</math>

	Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der ~~Entleerzeit~~. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>''und der Verlustziffer ''ζ''		Der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitelwert gleich null bei der Entleerungszeit. Der turbulente Widerstand ''k<sub>V</sub>'' berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt ''A<sub>Rohr</sub>''und der Verlustziffer ''ζ''

	:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math>		:<math>k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}</math>
Zeile 269:		Zeile 269:
	Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''ζ''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik\|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.		Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ''ζ''=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der [[Systemdynamik\|systemdynamischen]] Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.

	Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein ~~objektoriente~~ Sprache wie [[Modelica]].		Das systemdynamische Modell des [[RC-Glied]]es zeigt die Struktur des dynamischen Systems mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektorientierte Sprache wie [[Modelica]].

	==Zwei Speicher==		==Zwei Speicher==