Dynamische Systeme höherer Ordnung - Versionsgeschichte

Systemdynamiker: /* Antworten zu den Kontrollfragen */

2017-05-18T13:36:17Z

Antworten zu den Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 18. Mai 2017, 13:36 Uhr
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	#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math>		#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math>
	#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstand, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math>		#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstand, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math>
	#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math>		#<math>J=D^*\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 Nm}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math>
	#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.		#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.
	#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.		#Kondensator und Wechselspannungsquelle einseitig geerdet. Induktivität und Widerstand parallel mit den andern beiden Enden von Kondensator und Wechselspannungsquelle verbunden. Mechanische Anregung erfolgt vom Boden her. Das ist ein einfaches Modell für ein Auto, das über Bodenwellen fährt. Die Gewichtskraft wäre als Konstantstromquelle zu modellieren, was aber keinen Einfluss auf die Dynamik hat.

Admin: /* Antworten zu den Kontrollfragen */

2016-05-16T11:46:20Z

Antworten zu den Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:46 Uhr
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	#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^}}</math> also gilt <math>D^=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math>		#Schwingungsdauer <math>T=2\pi\sqrt{\frac{J}{D^}}</math> also gilt <math>D^=J\frac{4\pi^2}{T^2}</math>
	#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math>		#Kritische Dämpfung tritt ein, wenn die Kreisfrequenz null ist, wenn gilt <math>\sqrt{\omega_0^2-\frac{1}{\tau^2}}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=0</math>. Somit gilt für den Widerstand bei kritischer Dämpfung <math>R=2\sqrt\frac{L}{C}</math>
	#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken ~~Widerstant~~, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math>		#Übersetzen wir die Formel für die kritische Dämpfung vom elektrischen auf den mechanischen Schwingkreis <math>k=\frac{1}{2}\sqrt{mD}</math> (die Dämpferkonstante entspricht einem reziproken Widerstand, also einem Leitwert, die Federkonstante der reziproken Induktivität und die Masse der Kapazität). Nun verteilt sich der Impulsstrom zwischen Fahrzeug und Erde auf vier identische Stromglieder. Also ist nur ein Viertel der Masse zu nehmen <math>k=\frac{1}{4}\sqrt{m_{Fahrzeug}D}</math>
	#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math>		#<math>J=D^*J\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{5 N}{\pi}\frac{(0.8 s)^2}{4\pi^2}=2.58 10^{-2} kgm^2</math>
	#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.		#Zwei Kondensatoren einseitig geerdet mit Induktivität in erster Verbindung und zwei Widerständen in der zweiten Verbindung. Ein Punkt zwischen den beiden Widerständen ist geerdet.

Admin: /* Kontrollfragen */

2016-05-16T11:44:34Z

Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:44 Uhr
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	#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?		#Ein gefedertes Fahrzeug belastet die vier Räder gleichmässig. Wie berechnet man die Dämpferkonstante für die kritische Dämpfung aus der Masse des Fahrzeugs und der Konstante für die Federung eines Rades (lineares Verhalten vorausgesetzt)?
	#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?		#Um einen geraden Stahldraht um eine halbe Umdrehung zu verdrehen, muss man einen Drehimpulsstrom der Stärke 5 Nm durchfliessen lassen. Nun hängt man den Draht an der Decke auf und befestigt am unteren Ende einen Körper. Wie gross ist dessen Massenträgheitsmoment, wenn er für eine volle Drehschwingung 0.8 s benötigt?
	#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie ~~eine~~ elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.		#Zwei Schwungräder sind über eine elastische Welle miteinander verbunden. Zeichnen Sie ein elektrisch analoges Schaltbild unter der Annahme, dass die Reibung in beiden Lagern proportional zu Winkelgeschwindigkeit ist.
	#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.		#Ein Körper liegt auf einem Feder-Dämpfer-System (parallel geschaltet) auf. Skizzieren Sie die elektrisch analoge Schaltung. Nun fügen sie in diesem Schaltbild eine Wechselspannungsquelle ein und überliegen sich, wie das mechanische Analogon aussehen müsste.

Admin: /* Systeme höherer Ordnung */

2016-05-16T11:42:45Z

Systeme höherer Ordnung

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:42 Uhr
Zeile 272:		Zeile 272:

	==Systeme höherer Ordnung==		==Systeme höherer Ordnung==
	Die Ordnung eines ~~System~~ ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern ~~können~~, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der ~~Regeleungstechnik~~ angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich ~~allzuweit~~ von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf		Die Ordnung eines Systems ist durch die Zahl der unabhängigen Integrationen gegeben (zwei in Reihe geschaltete Kapazitäten oder Induktivitäten ergeben nur eine Ordnung). Weil sowohl Kapazität als auch Induktivität Energie speichern, darf die Ordnung auch durch die Zahl der unabhängigen Energiespeicher ausgedrückt werden. Das Verhalten nichtlinearer Systeme (Blasenspeicher, Teller- oder Elastomerfedern, nichtlineare Dämpfer) kann in der Nähe eines Arbeitspunktes linearisiert werden. Dieses Verfahren wird oft in der Regelungstechnik angewendet, weil man dem System nicht erlaubt, sich allzu weit von gewissen Zuständen zu entfernen. Federn sollte man aber nur dann als Induktivitäten behandeln, wenn deren Verhalten näherungsweise linear ist und die Analogie mit elektrischen oder hydraulischen Systemen gesucht wird. Ansonsten beschreibt man diese Elemente mit der Kraft-Verformungs-Funktion bzw. der Drehmoment-Verdrehungs-Funktion. Die folgende Tabelle führt nochmals analoge Grössen auf

	{\|class="wikitable"		{\|class="wikitable"
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	Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.		Ein Spannungsstoss (Integral der Spannung über die Zeit oder Fläche unter der Spannungs-Zeit-Kurve) ist oft die Folge einer magnetischen Flussänderung. Kraft oder Drehmoment sind Impuls- bzw. Drehimpulsstromstärken bezüglich eines Körpers. Wird eine Feder von einem Impulsstrom durchflossen, kann man die zugehörige Stromstärke am Ein- oder Ausgang messen. So erhält man die beiden Kräfte, welche die Feder im Gleichgewicht halten.

	Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne ~~anachaulicher~~ mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung ~~bie~~. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.		Systeme n-ter Ordnung werden mit einer Differentialgleichung der entsprechenden Ordnung beschrieben. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen führt dies zu einer Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Solche Systeme lassen sich auch und in gewissem Sinne anschaulicher mit n Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben. Die [[Systemphysik]] erlaubt eine direkte Modellierung mechanischer Systeme mittels Gleichungen erster Ordnung. Die Impulsbilanz bzw. die Drehimpulsbilanz liefert so für jedes System und jede Komponente eine Gleichung, die zugehörige Kinematik steuert dann die zweite Gleichung bei. Die meisten Modelle, die Sie mit BerkeleyMadonna aufgebaut haben, erzeugen solche Gleichungen. So gesehen haben Sie ab erster Woche in der Zustandsraumdarstellung modelliert.

	==Kontrollfragen==		==Kontrollfragen==

Admin: /* Modellbildung */

2016-05-16T11:38:16Z

Modellbildung

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:38 Uhr
Zeile 214:		Zeile 214:

	==Modellbildung==		==Modellbildung==
	Die [[System Dynamics\|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular ~~referende~~, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische ~~Anordung~~ sind Körper mit Feder und ~~Dämper~~ in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).		Die [[System Dynamics\|Systemdynamik]] ermöglicht eine intuitive Modellbildung. Ausgehend von der Mengenbilanz fügt man die konstitutiven Gesetze ein und verbindet das Ganze zu einem Wirkkreis, was dann mathematisch zu einer Differentialgleichung führt. Konkret berechnet man aus den Speichern die Potentiale und daraus dann wiederum die Stromstärken. Diese Methode, die auch oft Analogien benutz, hat auch ihre Grenzen. So muss die [[Kausalität]] immer festgelegt sein und es dürfen keine zirkuläre Abhängigkeiten(circular reference, algebraic loop) formuliert werden. Auch sind die Analogien nicht immer offensichtlich. Dementsprechend kann man nicht unbesehen Resultate von einem Gebiet ins andere übertragen. Nehmen wir als Beispiel den elektrischen Schwingkreis mit Kondensator, Widerstand und Induktivität in Reihe. Die entsprechende mechanische Anordnung sind Körper mit Feder und Dämpfer in Reihe. Damit das System geschlossen ist (keine Impulsaustausch mit der Erde), nehmen wir zwei frei bewegliche Gleiter einer Luftkissenbahn mit Feder und Dämpfer im selben Impulsfluss (siehe Video Schwingkreis: Analogie und Dualität).

	===Modell===		===Modell===
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	\|}		\|}

	Die ~~Serischaltung~~ von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.		Die Serieschaltung von zwei Stromgliedern ist mit einem systemdynamischen Tool nicht ganz einfach zu modellieren (deshalb sind die Simulatoren für elektrische Netzwerke anders programmiert). Dazu muss die Kausalität des Widerstandselementes umgedreht werden, d.h. der Strom (Impulsstrom) bestimmt die Spannung (Geschwindigkeitsdifferenz) und diese muss vom kapazitiv berechneten Wert abgezogen werden.
	'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].		'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDkSchwingkreis: Analogie und Dualität].

	===Verhalten im Zeitbereich===		===Verhalten im Zeitbereich===
	Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die ~~Kreisfrequen~~ des ~~ungedämpften~~ Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik		Nun übersetzen wir die Berechnungsformel für die Kreisfrequenz des nicht gedämpften Oszillators und die Abklingzeit von der Elektrizitätslehre in die Mechanik

	:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math>		:<math>\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{D}{m}}</math>

Admin: /* Resonanz */

2016-05-16T11:31:08Z

Resonanz

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:31 Uhr
Zeile 183:		Zeile 183:

	==Resonanz==		==Resonanz==
	Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem ~~unverzweigten~~ Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet		Ein elektrischer Schwingkreis kann mit einer Wechselspannungsquelle, die man in den Kreis einfügt, angeregt werden. Alle vier Elemente (Spannungsquelle, Kapazität, Widerstand und Induktivität) sind miteinander zu einem nicht verzweigten Kreis verbunden. Die beschreibende Gleichung lautet

	:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math>		:<math>U_C+U_R+U_L=\hat Ucos(\hat{\omega}t)</math>
Zeile 201:		Zeile 201:
	:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math>		:<math>U_L=L\dot I</math> also <math>U_L=-\hat\omega Lsin(\hat{\omega}t+\delta))</math>

	Würde ~~mann~~ jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine ~~Vierelperiode~~ nach (Spannung ändert Stromstärke).		Würde man jedes der drei Elemente einzeln mit der Spannungsquelle verbinden, wäre die Lösung der Gleichung einfach zu finden: beim Widerstand schwingt der Strom in Phase mit der angelegten Spannung, bei der Kapazität läuft der Strom der Spannung eine Viertelperiode voraus (der Strom baut die Spannung auf) und bei der Induktivität eine Viertelperiode nach (Spannung ändert Stromstärke).

	Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder ~~rezirok~~-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark ~~erleichter~~. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden		Strom- und Spannungsamplituden unterscheiden sich bei allen drei Elementen um einen Faktor, der entweder konstant ist, sich proportional oder reziprok-proportional mit der angelegten Kreisfrequenz ändert. Dieser Faktor, eigentlich eine Verallgemeinerung des Widerstandes, heisst [[Impedanz]] ''Z''. Die Verallgemeinerung des Leitwerts, des Kehrwerts der Impedanz, nennt man [[Admittanz]]. Betrag und Phase dieser Grössen lassen sich entweder als Zeiger oder als komplexe Zahl darstellen, was das Berechnen von Strom und Spannung stark erleichtert. Der Betrag der Impedanz, also das Verhältnis zwischen den Amplituden der Spannung und der Stromstärke, Scheinwiderstand genannt, kann bei Serie- oder Reihenschaltung mit Hilfe des Pythagoras gerechnet werden

	:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math>		:<math>Z=\sqrt{R^2+\left(\frac{1}{\hat\omega C}\right)^2-\left(\hat\omega L\right)^2}</math>

	Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der ~~Indukditvität~~ genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.		Der stärkste Strom tritt dann auf, wenn sich die Blindwiderstände der Kapazität und der Induktivität genau kompensieren. Dann begrenzt nur noch der Wirkwiderstand die Stromstärke.

	All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen ~~physikalischen~~ Eigenheiten.		All diese Aussagen lassen sich auf mechanische Systeme übertragen, falls die zugehörigen Bauteile analog angeordnet sind. Oft sind Feder und Dämpfer aber parallel geschaltet (Impuls- bzw. Drehimpulsstrom verzweigen sich) und die Anregung erfolgt nicht mit konstanter Geschwindigkeits- oder Winkelgeschwindigkeitsamplitude. Dann muss man halt den dazu analogen elektrischen Kreis zur Untersuchung beiziehen. Die mechanisch-elektrische Analogie hat mehrere Vorteile. Erstens sind elektrische Systeme schneller aufgebaut, reagieren schneller und sind billiger als mechanische. Zweitens stehen für elektrische Netzwerke leistungsstarke Simulatoren zur Verfügung. Drittens interessiert man sich in der Regelungstechnik nur für das Verhalten eines Systems und nicht für dessen physikalische Eigenheiten.

	'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]		'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=BF1Wn40WlJk Resonanz]

Admin: /* gedämpfter Oszillator */

2016-05-16T11:25:03Z

gedämpfter Oszillator

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:25 Uhr
Zeile 172:		Zeile 172:
	\|-		\|-
	\|Abklingzeit		\|Abklingzeit
	\|<math>\tau=\frac{L}{R}</math>		\|<math>\tau=\frac{2L}{R}</math>
	\|<math>\tau=\frac{~~L_V~~}{R_V}</math>		\|<math>\tau=\frac{2L_V}{R_V}</math>
	\|<math>\tau=\frac{k}{D}</math>		\|<math>\tau=\frac{2k}{D}</math>
	\|<math>\tau=\frac{k^}{D^}</math>		\|<math>\tau=\frac{2k^}{D^}</math>
	\|-		\|-
	\|}		\|}

Admin: /* gedämpfter Oszillator */

2016-05-16T11:10:16Z

gedämpfter Oszillator

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:10 Uhr
Zeile 178:		Zeile 178:
	\|-		\|-
	\|}		\|}
	''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-~~Ror~~ verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.		''k'' ist die Dämpferkonstante, ''D'' die Federkonstante oder Richtgrösse. Bei der entsprechenden Drehgrösse ist noch ein Stern zugefügt. In der Mechanik sind Feder und Dämpfer oft parallel statt in Reihe geschaltet. Der Strom verzweigt sich und man spricht man von einem Parallel-Schwingkreis. Das U-Rohr verhält sich nur bedingt analog zu den andern Systemen, weil die Strömung eher turbulent als laminar ist und das System sich damit nichtlinear verhält.

	'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]		'''Video:''' [https://www.youtube.com/watch?v=q1MuIE-TQDk Schwingkreis: Analogie und Dualität]

Admin: /* Harmonischer Oszillator */

2016-05-16T11:07:18Z

Harmonischer Oszillator

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:07 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:
	:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math>		:<math>P=UI=U_0I_0cos(\omega_0t+\delta)sin(\omega_0t+\delta)</math>

	Setzt man die Phasenverschiebung ''δ'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit ~~doppeter~~ [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''π'') schwingt		Setzt man die Phasenverschiebung ''δ'' gleich null (freie Wahl des Zeitnullpunktes), erhält man eine Leistung, die mit doppelter [[Frequenz]] (Kreisfrequenz durch 2''π'') schwingt

	:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math>		:<math>P=UI=\frac{U_0I_0}{2}sin(2\omega_0t)</math>

Admin: /* Lernziele */

2016-05-16T11:01:10Z

Lernziele

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2016, 11:01 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.		*wie man die Abklingzeit und die Kreisfrequenz bei einem gedämpften Oszillator berechnet.
	*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt		*unter welchen Bedingungen ein Serie-Schwingkreis bei harmonischer Anregung den stärksten Strom durchlässt
	*wie das Verhalten ~~dynmischer~~ Systeme modelliert und analysiert wird.		*wie das Verhalten dynamischer Systeme modelliert und analysiert wird.

	==Problemstellung==		==Problemstellung==