Energie-Impuls-Tensor - Versionsgeschichte

Admin am 27. Januar 2010 um 05:10 Uhr

2010-01-27T05:10:58Z

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	*<math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum		*<math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

	Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.		Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Jede Zeil des Energie-Impuls-Tensors beschreibt eine bilanzierfähige Erhaltungsgrösse

			:<math>T^{\alpha\beta}_{,\beta}</math>

			wobei die erste Zeile die Energie-Massen-Erhaltung und die drei letzten die Impulserhaltung umfassen.

	== Festkörper ==		== Festkörper ==

Admin: /* Festkörper */

2010-01-27T05:07:18Z

Festkörper

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	Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.		Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

	==Festkörper==		== Festkörper ==
	Im ruhenden Festkörper nimmt der Energie-Impuls-Tensor die folgende Form an		Im ruhenden Festkörper nimmt der Energie-Impuls-Tensor die folgende Form an

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	Wendet man nun eine spezielle [[Lorentz-Transformation]] (Transformation der Zeit- und ''x''-Achse) auf den Energie-Impulstensor an, folgt für <math>\alpha,\beta=0,1</math>		Wendet man nun eine spezielle [[Lorentz-Transformation]] (Transformation der Zeit- und ''x''-Achse) auf den Energie-Impulstensor an, folgt für <math>\alpha,\beta=0,1</math>

	:<math>\left(T^{\alpha\beta}\right)=\frac{~~1}{1-\frac{v_x~~^2}{c^2}}\begin{pmatrix}(c^2+v_x^2)\varrho-\sigma_{xx}\frac{v_x^2}{c^2} & \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x\\ \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x & ~~\left(~~\varrho-~~\frac{~~\sigma_{xx}}{c^2}\right)~~v_x^2 -\sigma_{xx}~~\end{pmatrix}</math>		:<math>\left(T^{\alpha\beta}\right)=\frac{c^2}{c^2-v_x^2}\begin{pmatrix}(c^2+v_x^2)\varrho-\sigma_{xx}\frac{v_x^2}{c^2} & \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x\\ \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x & \varrho v_x^2-\sigma_{xx}\left(1+\frac{v_x^2}{c^2}\right)\end{pmatrix}</math>

			In der nichtrelativistischen Physik wird der erste Term des nichtdiagonalen Elementes <math>\varrho v_x</math> entweder als Massenstromdichte (rechts oben) oder als Impulsdichte gelesen. Der zweite Term ist die Energiestromdichte, die über einen Querschnitt integriert als [[zugeordneter Energiestrom]] bezeichnet wird. Im zweiten Diagonalelement kommt zur leitungsartigen Impulsstromdichte (Element des Spannungstensors) noch eine konvektive <math>\varrho v_x^2</math>dazu.

	==elektromagnetisches Feld==		==elektromagnetisches Feld==

Admin am 26. Januar 2010 um 21:27 Uhr

2010-01-26T21:27:50Z

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	Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.		Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

			==Festkörper==
			Im ruhenden Festkörper nimmt der Energie-Impuls-Tensor die folgende Form an

			:<math>\left(T^{\alpha\beta}\right)=\begin{pmatrix}c^2\varrho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ 0 & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\ 0 & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{pmatrix}</math>

			Der Zeit-Zeit-Teil beschreibt die Dichte mal die Lichtgeschwindigkeit im Quadrat und der Raum-Raum-Teil ist gleich dem negativen Spannungstensor.

			Wendet man nun eine spezielle [[Lorentz-Transformation]] (Transformation der Zeit- und ''x''-Achse) auf den Energie-Impulstensor an, folgt für <math>\alpha,\beta=0,1</math>

			:<math>\left(T^{\alpha\beta}\right)=\frac{1}{1-\frac{v_x^2}{c^2}}\begin{pmatrix}(c^2+v_x^2)\varrho-\sigma_{xx}\frac{v_x^2}{c^2} & \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x\\ \left(c\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c}\right)v_x & \left(\varrho-\frac{\sigma_{xx}}{c^2}\right)v_x^2 -\sigma_{xx}\end{pmatrix}</math>

			==elektromagnetisches Feld==



	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

Admin am 26. Januar 2010 um 20:50 Uhr

2010-01-26T20:50:49Z

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Zeile 4:		Zeile 4:

	* <math>T^{00}=\varrho_W</math> ist die [[Energiedichte]] (Energie pro [[Volumen]])		* <math>T^{00}=\varrho_W</math> ist die [[Energiedichte]] (Energie pro [[Volumen]])
	* <math>T^{0j}=(j_{W_x},j_{W_y},j_{W_z})</math> ist eine [[Energiestromdichte]] (Energiestromstärke pro Fläche)		* <math>cT^{0j}=(j_{W_x},j_{W_y},j_{W_z})</math> ist eine [[Energiestromdichte]] (Energiestromstärke pro Fläche)
	* <math>T^{i0}=(\varrho_{p_y},\varrho_{p_y},\varrho_{p_y})^T</math> ist die [[Impulsdichte]] (Impuls pro [[Volumen]])		* <math>c^{-1}T^{i0}=(\varrho_{p_y},\varrho_{p_y},\varrho_{p_y})^T</math> ist die [[Impulsdichte]] (Impuls pro [[Volumen]])
	* <math>T^{ij}=j_{p_{ij}}</math> ist die [[Impulsstromdichte]] (Impulsstromstärke pro Fläche)		* <math>T^{ij}=j_{p_{ij}}</math> ist die [[Impulsstromdichte]] (Impulsstromstärke pro Fläche)
	*<math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum		*<math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

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Der '''Energie-Impuls-Tensor''' beschreibt die [[Dichte]] (erste Spalte) und die [[Stromdichte]] (restlichen drei Spalten) der [[Energie]] und des [[Impuls]]es:

<center><math>\left(T^{\alpha\beta}\right)=\begin{pmatrix}\varrho_W & \frac{j_{W_x}}{c} & \frac{j_{W_y}}{c} & \frac{j_{W_z}}{c}\\ c\varrho_{p_x} & j_{p_{xx}} & j_{p_{xy}} & j_{p_{xz}} \\ c\varrho_{p_y} & j_{p_{yx}} & j_{p_{yy}} & j_{p_{yz}} \\ c\varrho_{p_z} & j_{p_{zx}} & j_{p_{zy}} & j_{p_{zz}} \end{pmatrix}</math> </center>

* <math>T^{00}=\varrho_W</math> ist die [[Energiedichte]] (Energie pro [[Volumen]])
* <math>T^{0j}=(j_{W_x},j_{W_y},j_{W_z})</math> ist eine [[Energiestromdichte]] (Energiestromstärke pro Fläche)
* <math>T^{i0}=(\varrho_{p_y},\varrho_{p_y},\varrho_{p_y})^T</math> ist die [[Impulsdichte]] (Impuls pro [[Volumen]])
* <math>T^{ij}=j_{p_{ij}}</math> ist die [[Impulsstromdichte]] (Impulsstromstärke pro Fläche)
*<math>c</math> die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

Der Impuls-Energie-Tensor ist symmetrisch, kann somit lokal in eine Diagonalform transformiert werden. Die Energiestromdichte ist deshalb gleich der Impulsdichte mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

[[Kategorie:Trans]]