Federpendel - Versionsgeschichte

Admin: /* Energie */

2011-03-08T09:46:24Z

Energie

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	:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>		:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>

	Modelliert man den Prozess mittels eines [[~~system~~ ~~dynamics~~\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.		Modelliert man den Prozess mittels eines [[System Dynamics\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.

	==Dämpfung==		==Dämpfung==

Admin: /* Energie */

2011-03-08T09:44:31Z

Energie

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	:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>		:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>

	Modelliert man den Prozess mittels eines [[system ~~dynamis~~\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.		Modelliert man den Prozess mittels eines [[system dynamics\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.

	==Dämpfung==		==Dämpfung==

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2011-03-08T09:42:56Z

Links

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	Modelliert man den Prozess mittels eines [[system dynamis\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.		Modelliert man den Prozess mittels eines [[system dynamis\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.

			==Dämpfung==
			Die Bewegung des Körpers kann auf verschiedene Arten gedämpft werden, durch die umgebende Luft, durch die innere Reibung der Feder oder durch einen seriell angebrachten, linearen Dämpfer. Dann lautet das Grundgesetz (Impulsbilanz)

			:<math>F_G-F_R-F_F=m\ddot z</math>

			wobei für die Reibung drei verschiedene Gesetzmässigkeiten denkbar sind
			*Coulomb-Reibung (in der Feder): <math>F_R=F_0 sign(\dot z)</math>
			*viskose Reibung (linearer Dämpfer): <math>F_R=k_1\dot z</math>
			*turbulente Reibung ([[Luftwiderstand]]): <math>F_R=k_2\vert\dot z\vert\dot z</math>

			Mathematisch wird meist nur die lineare Dämpfung untersucht. Dann lautet die (transformierte) Differentialgleichung

			:<math>-F_R-F_F=m\ddot s</math>

			oder

			:<math>m\ddot s+k_1\dot s+Ds=0</math>

	==Links==		==Links==

Admin: /* Energie */

2011-03-08T09:23:46Z

Energie

Admin: /* Schwingungsgleichung */

2011-03-08T09:18:52Z

Schwingungsgleichung

← Nächstältere Version		Version vom 8. März 2011, 09:18 Uhr
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	==Schwingungsgleichung==		==Schwingungsgleichung==
	[[Freischneiden\|Schneidet]] man den Körper frei, findet man drei Kräfte, die Gewichtskraft, die Federkraft und die Kraft der Luft. Die Luftkraft kann in einen statischen Teil (Auftrieb) und einen dynamischen ([[Luftwiderstand]]) zerlegt werden. Wählt man die positive Richtung der ''z''-Achse nach unten und den Nullpunkt am Ort des Körpers bei entspannter Feder, lautet die [[Impulsbilanz]] oder das Grundgesetz der Mechanik		[[Freischneiden\|Schneidet]] man den Körper frei, findet man drei Kräfte, die Gewichtskraft, die Federkraft und die Kraft der Luft. Die Luftkraft kann in einen statischen Teil ([[Auftrieb]]) und einen dynamischen ([[Luftwiderstand]]) zerlegt werden. Wählt man die positive Richtung der ''z''-Achse nach unten und den Nullpunkt am Ort des Körpers bei entspannter Feder, lautet die [[Impulsbilanz]] oder das Grundgesetz der Mechanik

	:<math>F_G-F_F\mp F_W=ma</math>		:<math>F_G-F_F\mp F_W=ma</math>
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	Nun verschiebt man mittels einer Variablentransformation den Nullpunkt in die Gleichgewichtslage		Nun verschiebt man mittels einer Variablentransformation den Nullpunkt in die Gleichgewichtslage

	:<math>x=z-\frac{mg}{D}</math>		:<math>s=z-\frac{mg}{D}</math>

	womit sich die Gleichung vereinfacht		womit sich die Gleichung vereinfacht

	:<math>-Dx=m\ddot x</math>		:<math>-Ds=m\ddot s</math>

	oder		oder

	:<math>Dx+m\ddot x=0</math>		:<math>Ds+m\ddot s=0</math>

	Die Lösung dieser Gleichung entspricht einer [[harmonischer Oszillator\|harmonischen Schwingung]] mit der Kreisfrequenz		Die Lösung dieser Gleichung entspricht einer [[harmonischer Oszillator\|harmonischen Schwingung]] mit der Kreisfrequenz

Admin: /* Energie */

2011-03-08T09:16:11Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 8. März 2011, 09:16 Uhr
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	==Energie==		==Energie==
			Das System Federpendel speichert auf drei Arten Energie:
			*[[kinetische Energie]] (Energie, die zusammen mit dem [[Impuls]] gespeichert ist): <math>W_{kin}=\frac{m}{2}{\dot z}^2</math>
			*Gravitatationsenergie (Energie, die im [[Gravitationsfeld]] gespeichert ist): <math>W_G=-mgz</math>
			*Federenergie (elastisch frei setzbarer Anteil der [[innere Energie\|inneren Energie]] der Feder): <math>W_{Feder}=\frac{D}{2}z^2</math>

			Kinetische Energie und Federenergie sind positiv, die Gravitationsenergie ist hier negativ, solange die Feder gedehnt ist (das System verhält sich nur solange stabil, wie die Feder gedehnt ist). Transformiert man das System auf eine Ortsvariable mit Nullpunkt in der Gleichgewichtslage, können Feder und Gravitationsenergie zur [potentielle Energie\|potentiellen Energie]] zusammengefasst werden.

			Die [[Arbeit]] der beiden Kräfte kann dem [[Kraft-Weg-Diagramm]] entnommen werden. Die Leistung der Kräfte beschreibt den Energieaustausch in Form des [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordneten Energiestroms]]. Zur Formulierung der Energiebilanz (auch Leistungsbilanz genannt) multipliziert man die [[Impulsbilanz]] (Grundgesetz) mit der momentanen Geschwindigkeit

			:<math>Dz\dot z-mgz\dot z=mgz\ddot z</math>

			Links stehen die Leistungen der beiden Kräfte und rechts die Änderungsrate der kinetischen Energie

			:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>

			Modelliert man den Prozess mittels eines systemdynamischen Werkzeugs, bildet die Impulsbilanz den Kern des Modells. Die Energiebilanz kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.

	==Links==		==Links==

Admin: /* Schwingungsgleichung */

2011-03-08T07:51:16Z

Schwingungsgleichung

← Nächstältere Version		Version vom 8. März 2011, 07:51 Uhr
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	:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math>		:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math>

			==Energie==

			==Links==
			*[http://www.youtube.com/watch?v=bnr9Uf2zfS0 Federpendel] auf Youtube

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2011-03-08T07:42:48Z

Die Seite wurde neu angelegt: Ein Federpendel besteht aus einer linearen Feder und einem daran befestigten Körper besteht. Lenkt man den an der Feder hängenden Körper aus und lässt ihn dann los,...

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Ein Federpendel besteht aus einer linearen Feder und einem daran befestigten Körper besteht. Lenkt man den an der Feder hängenden Körper aus und lässt ihn dann los, bewegt er sich danach auf und ab. Hätte die Feder eine exakt lineare Charakteristik und könnte man jegliche Reibung (Luftwiderstand, innere Reibung der Feder) vernachlässigen, wäre das Federpendel ein [[harmonischer Oszillator]].

==Schwingungsgleichung==
[[Freischneiden|Schneidet]] man den Körper frei, findet man drei Kräfte, die Gewichtskraft, die Federkraft und die Kraft der Luft. Die Luftkraft kann in einen statischen Teil (Auftrieb) und einen dynamischen ([[Luftwiderstand]]) zerlegt werden. Wählt man die positive Richtung der ''z''-Achse nach unten und den Nullpunkt am Ort des Körpers bei entspannter Feder, lautet die [[Impulsbilanz]] oder das Grundgesetz der Mechanik

:<math>F_G-F_F\mp F_W=ma</math>

wobei das Vorzeichen des Luftwiderstandes von der Bewegungsrichtung abhängt. Vernachlässigt man nun den Luftwiderstand und setzt für die beiden andern Kräfte die entsprechenden Gesetze ein, erhält man die Differentialgleichung

:<math>mg-Dz=m\ddot z</math>

Nun verschiebt man mittels einer Variablentransformation den Nullpunkt in die Gleichgewichtslage

:<math>x=z-\frac{mg}{D}</math>

womit sich die Gleichung vereinfacht

:<math>-Dx=m\ddot x</math>

oder

:<math>Dx+m\ddot x=0</math>

Die Lösung dieser Gleichung entspricht einer [[harmonischer Oszillator|harmonischen Schwingung]] mit der Kreisfrequenz

:<math>\omega^2=\frac{D}{m}</math>

oder der Schwingungsdauer

:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}</math>

← Nächstältere Version		Version vom 8. März 2011, 09:23 Uhr
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	==Energie==		==Energie==
	Das System Federpendel speichert auf drei Arten Energie:		Das System Federpendel speichert auf drei Arten Energie:
	*[[kinetische Energie]] (Energie, die zusammen mit dem [[Impuls]] gespeichert ist): <math>W_{kin}=\frac{m}{2}{\dot z}^2</math>		*[[kinetische Energie]] (Energie, die zusammen mit dem [[Impuls]] gespeichert ist): <math>W_{kin}=\frac{m}{2}{\dot z}^2=\frac{p^2}{2m}</math>
	*Gravitatationsenergie (Energie, die im [[Gravitationsfeld]] gespeichert ist): <math>W_G=-mgz</math>		*Gravitatationsenergie (Energie, die im [[Gravitationsfeld]] gespeichert ist): <math>W_G=-mgz</math>
	*Federenergie (elastisch frei setzbarer Anteil der [[innere Energie\|inneren Energie]] der Feder): <math>W_{Feder}=\frac{D}{2}z^2</math>		*Federenergie (elastisch frei setzbarer Anteil der [[innere Energie\|inneren Energie]] der Feder): <math>W_{Feder}=\frac{D}{2}z^2</math>

	Kinetische Energie und Federenergie sind positiv, die Gravitationsenergie ist hier negativ, solange die Feder gedehnt ist (das System verhält sich nur solange stabil, wie die Feder gedehnt ist). Transformiert man das System auf eine Ortsvariable mit Nullpunkt in der Gleichgewichtslage, können Feder und Gravitationsenergie zur [potentielle Energie\|potentiellen Energie]] zusammengefasst werden.		Kinetische Energie und Federenergie sind positiv, die Gravitationsenergie ist hier negativ, solange die Feder gedehnt ist (das System verhält sich nur solange stabil, wie die Feder gedehnt ist). Transformiert man das System auf eine Ortsvariable mit Nullpunkt in der Gleichgewichtslage (''s''-Koordinate), können Feder und Gravitationsenergie zur [[potentielle Energie\|potentiellen Energie]] zusammengefasst werden.

	Die [[Arbeit]] der beiden Kräfte kann dem [[Kraft-Weg-Diagramm]] entnommen werden. Die Leistung der Kräfte beschreibt den Energieaustausch in Form des [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordneten Energiestroms]]. Zur Formulierung der Energiebilanz (auch Leistungsbilanz genannt) multipliziert man die [[Impulsbilanz]] (Grundgesetz) mit der momentanen Geschwindigkeit		Die [[Arbeit]] der beiden Kräfte kann dem [[Kraft-Weg-Diagramm]] entnommen werden. Die Leistung der Kräfte beschreibt den Energieaustausch in Form des [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordneten Energiestroms]]. Zur Formulierung der Energiebilanz (auch Leistungsbilanz genannt) multipliziert man die [[Impulsbilanz]] (Grundgesetz) mit der momentanen Geschwindigkeit

	:<math>Dz\dot z-mgz\dot z=~~mgz~~\ddot z</math>		:<math>Dz\dot z-mgz\dot z=m\ddot z\dot z</math>

	Links stehen die Leistungen der beiden Kräfte und rechts die Änderungsrate der kinetischen Energie		Links stehen die Leistungen der beiden Kräfte und rechts die Änderungsrate der kinetischen Energie
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	:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>		:<math>P(F_F)+P(F_G)=\dot W_{kin}</math>

	Modelliert man den Prozess mittels eines systemdynamischen Werkzeugs, bildet die Impulsbilanz den Kern des Modells. Die Energiebilanz kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.		Modelliert man den Prozess mittels eines [[system dynamis\|systemdynamischen]] Werkzeugs, bildet die [[Impulsbilanz]] den Kern des Modells. Die [[Energiebilanz]] kann dann als zusätzliche Ebene eingefügt werden.

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