Geschwindigkeit - Versionsgeschichte

Admin am 4. Januar 2008 um 08:30 Uhr

2008-01-04T08:30:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2008, 08:30 Uhr
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	Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes. Als Formelzeichen verwendet man in der Regel ein kleines ''v''. Die Geschwindigkeit wird in m/s oder km/h gemessen.		Die (kinematische) Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes. Als Formelzeichen verwendet man in der Regel ein kleines ''v''. Die Geschwindigkeit wird in m/s oder km/h gemessen. In der [[Translationsmechanik]] lässt sich die Geschwindigkeit auch dynamisch, als Quotient von [[Impuls]] und [[Masse]] definieren. Die dynamische Geschwindigkeit ist das [[Potenzial\|Energiebeladungsmass]] des [[Impulsstrom]]es.

	==eindimensional==		==eindimensional==

Admin am 4. Januar 2008 um 08:26 Uhr

2008-01-04T08:26:22Z

Admin: /* Geschwindigkeitsgradient */

2007-01-24T06:00:43Z

Geschwindigkeitsgradient

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2007, 06:00 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (''w<sup>a</sup><sub>ij</sub>'') entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]]. Der symmetrische Teil (''w<sup>s</sup><sub>ij</sub>'') kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden		Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (''w<sup>a</sup><sub>ij</sub>'') entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]]. Der symmetrische Teil (''w<sup>s</sup><sub>ij</sub>'') kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden

	:<math>w_{ij}^i := div(\vec v) = (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z}) = v_{i,i}</math>		:<math>w_{ij}^i := div(\vec v) \delta_{ij} = (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z})\delta_{ij} = v_{i,i}\delta_{ij}</math>

	:<math>w_{ij}^g := (w_{ij}^s - w_{ij}^i)</math>		:<math>w_{ij}^g := (w_{ij}^s - w_{ij}^i)</math>

User: /* Geschwindigkeitsgradient */

2007-01-23T16:30:24Z

Geschwindigkeitsgradient

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2007, 16:30 Uhr
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	Die negative, leitungsartige [[Impulsstromdichte]] ist unter dem Namen [[Spannungstensor]] bekannt. Der Geschwindigkeitsgradient wird wie jeder Gradient durch Ableitung nach den Ortsvariablen berechnet. Um die Schreibweise kompakt zu halten, wird nachfolgend von der [[Einstein-Notation]] gebrauch gemacht. Der Geschwindigkeitsgradient ist gleich dem Gradienten der einzelnen Komponenten der Geschwindigkeit		Die negative, leitungsartige [[Impulsstromdichte]] ist unter dem Namen [[Spannungstensor]] bekannt. Der Geschwindigkeitsgradient wird wie jeder Gradient durch Ableitung nach den Ortsvariablen berechnet. Um die Schreibweise kompakt zu halten, wird nachfolgend von der [[Einstein-Notation]] gebrauch gemacht. Der Geschwindigkeitsgradient ist gleich dem Gradienten der einzelnen Komponenten der Geschwindigkeit

	:<math>~~gv_~~{ij} := grad (\vec v) = v_{i,j} = \begin{bmatrix} \frac {\partial v_x}{\partial x} \ \frac {\partial v_x}{\partial y} \ \frac {\partial v_x}{\partial z} \\ \frac {\partial v_y}{\partial x} \ \frac {\partial v_y}{\partial y} \ \frac {\partial v_y}{\partial z} \\ \frac {\partial v_z}{\partial x} \ \frac {\partial v_z}{\partial y} \ \frac {\partial v_z}{\partial z} \end{bmatrix}</math>		:<math>w_{ij} := grad (\vec v) = v_{i,j} = \begin{bmatrix} \frac {\partial v_x}{\partial x} \ \frac {\partial v_x}{\partial y} \ \frac {\partial v_x}{\partial z} \\ \frac {\partial v_y}{\partial x} \ \frac {\partial v_y}{\partial y} \ \frac {\partial v_y}{\partial z} \\ \frac {\partial v_z}{\partial x} \ \frac {\partial v_z}{\partial y} \ \frac {\partial v_z}{\partial z} \end{bmatrix}</math>

	Der Geschwindigkeitsgradient lässt sich in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil aufspalten		Der Geschwindigkeitsgradient lässt sich in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil aufspalten

	:<math>~~gvs_~~{ij} := \frac {1}{2} (~~gv_~~{ij} + ~~gv_~~{ji})</math>		:<math>w_{ij}^s := \frac {1}{2} (w_{ij} + w_{ji})</math>

	:<math>~~gva_~~{ij} := \frac {1}{2} (~~gv_~~{ij} - ~~gv_~~{ji}) =: \Omega_{ij}</math>		:<math>w_{ij}^a := \frac {1}{2} (w_{ij} - w_{ji}) =: \Omega_{ij}</math>

	Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (''~~gva~~<sub>ij</sub>'') entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]]. Der symmetrische Teil (''~~gvs~~<sub>ij</sub>'') kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden		Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (''w<sup>a</sup><sub>ij</sub>'') entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]]. Der symmetrische Teil (''w<sup>s</sup><sub>ij</sub>'') kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden

	:<math>~~gvi_~~{ij} := div(\vec v) = (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z}) = v_{i,i}</math>		:<math>w_{ij}^i := div(\vec v) = (\frac {\partial v_x}{\partial x} + \frac {\partial v_y}{\partial y} + \frac {\partial v_z}{\partial z}) = v_{i,i}</math>

	:<math>~~gvg_~~{ij} := ~~gvs_~~{ij} - ~~gvi_~~{ij})</math>		:<math>w_{ij}^g := (w_{ij}^s - w_{ij}^i)</math>

	Isotrope Materialen können nun mit Hilfe des isotropen und des Gestaltänderungsanteils des Geschwindigkeitsgradienten sowie der analogen Zerlegung des (symmetrischen) Spannungstensors beschrieben werden:		Isotrope Materialen können nun mit Hilfe des isotropen und des Gestaltänderungsanteils des Geschwindigkeitsgradienten sowie der analogen Zerlegung des (symmetrischen) Spannungstensors beschrieben werden:

Admin: /* Geschwindigkeitsgradient */

2007-01-23T09:20:41Z

Geschwindigkeitsgradient

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2007, 09:20 Uhr
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	:<math>gvs_{ij} := \frac {1}{2} (gv_{ij} + gv_{ji})</math>		:<math>gvs_{ij} := \frac {1}{2} (gv_{ij} + gv_{ji})</math>

	:<math>gva_{ij} := \frac {1}{2} (gv_{ij} - gv_{ji})</math>		:<math>gva_{ij} := \frac {1}{2} (gv_{ij} - gv_{ji}) =: \Omega_{ij}</math>

	Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (''gva<sub>ij</sub>'') entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]]. Der symmetrische Teil (''gvs<sub>ij</sub>'') kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden		Der antisymmetrische Teil des Geschwindigkeitsgradienten (''gva<sub>ij</sub>'') entspricht der [[Winkelgeschwindigkeit]]. Der symmetrische Teil (''gvs<sub>ij</sub>'') kann weiter in einen isotropen Teil, der die lokale Volumenänderungsrate beschreibt, und einen Rest, der mit der Veränderung der Gestalt des Körpers zu tun hat, unterteilt werden

Admin: /* Massenmittelpunkt */

2007-01-23T09:16:41Z

Massenmittelpunkt

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 ==Massenmittelpunkt==
-Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die Dynamik liefert aber noch eine zweite Definition der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt|Massenmittelpunktes]] ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse
+Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die zweite Definition der Geschwindigkeit entstammt der Dynamik: die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt|Massenmittelpunktes]] ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse
 <math>\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}</math>
-Im Modell des [[Punktmechanik|Massenpunktes]] fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Beim [[starrer Körper|starren Körper]] ist der Massenmittelpunkt körperfest. Bei allen andern Objekten hat die dynamische Definition nicht direkt etwas mit der kinematischen zu tun.
+Im Modell des [[Punktmechanik|Massenpunktes]] fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Weil bei ausgedehnten Objekten die dynamische Definition der Geschwindigkeit nur auf den Massenmittelpunkt zutrifft, muss bekannt sein, wie sich die einzelnen Punkte des Körpers rrelativ zum Massenmittelpunkt bewegen:
 [[Kategorie:Trans]]

Admin: /* räumlich */

2007-01-23T07:54:30Z

räumlich

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2007, 07:54 Uhr
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	<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}</math>		<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}</math>

			Der Geschwindigkeitsvektor steht immer tangential zur [[Bahn]] eines Punktes.

	==Massenmittelpunkt==		==Massenmittelpunkt==

Admin: /* eindimensional */

2007-01-23T07:53:02Z

eindimensional

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2007, 07:53 Uhr
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	<math>v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}</math>		<math>v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}</math>

			Die Geschwindigkeit ist als Steigung aus dem Orts-Zeit-Diagramm herauszulesen.

	==räumlich==		==räumlich==

User: /* Massenmittelpunkt */

2007-01-04T22:04:51Z

Massenmittelpunkt

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2007, 22:04 Uhr
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	Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die Dynamik liefert aber noch eine zweite Definition der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse		Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die Dynamik liefert aber noch eine zweite Definition der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse

	<math>\vec {v_{MMP}} = \frac {\vec p}{m}</math>		<math>\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}</math>

	Im Modell des [[Punktmechanik\|Massenpunktes]] fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Beim [[starrer Körper\|starren Körper]] ist der Massenmittelpunkt körperfest. Bei allen andern Objekten hat die dynamische Definition nicht direkt etwas mit der kinematischen zu tun.		Im Modell des [[Punktmechanik\|Massenpunktes]] fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Beim [[starrer Körper\|starren Körper]] ist der Massenmittelpunkt körperfest. Bei allen andern Objekten hat die dynamische Definition nicht direkt etwas mit der kinematischen zu tun.

Admin am 4. Januar 2007 um 16:05 Uhr

2007-01-04T16:05:12Z

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Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Ortes. Als Formelzeichen verwendet man in der Regel ein kleines ''v''. Die Geschwindigkeit wird in m/s oder km/h gemessen.

==eindimensional==
Bewegt sich ein Punkt längs einer Geraden, kann seine Ort in Abhängigkeit der Zeit mittels der Funktion ''x(t)'') beschrieben oder durch das Orts-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δt'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

<math>\overline{v_x} = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>

Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

<math>v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}</math>

==räumlich==
Bewegt sich ein Punkt im Raum, ist sein Ort durch den Vektor '''''r'''(t)'' eindeutig festgelegt. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δt'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

<math>\overline {\vec v} = \frac {\vec r_2 - \vec r_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}</math>

Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

<math>\vec v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}</math>

Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems kann die Bewegung im Raum durch drei skalare Funktionen beschrieben werden

<math>\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>

Die drei Komponenten der Geschwindigkeit sind aus den entsprechenden Funktionen des Ortes zu berechenen

<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}</math>

==Massenmittelpunkt==
Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die Dynamik liefert aber noch eine zweite Definition der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt|Massenmittelpunktes]] ist gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse

<math>\vec {v_{MMP}} = \frac {\vec p}{m}</math>

Im Modell des [[Punktmechanik|Massenpunktes]] fallen die kinematische und die dynamische Definition der Geschwindigkeit zusammen. Beim [[starrer Körper|starren Körper]] ist der Massenmittelpunkt körperfest. Bei allen andern Objekten hat die dynamische Definition nicht direkt etwas mit der kinematischen zu tun.

[[Kategorie:Trans]]

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	==eindimensional==		==eindimensional==
	Bewegt sich ein Punkt längs einer Geraden, kann seine Ort in Abhängigkeit der Zeit mittels der Funktion ''x(t)'') beschrieben oder durch das Orts-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δt'' ist durch den folgenden Quotienten definiert		Bewegt sich ein Punkt längs einer Geraden, kann seine Ort in Abhängigkeit der Zeit mittels der Funktion ''x(t)'') beschrieben oder durch das [[Orts-Zeit-Diagramm]] dargestellt werden. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δt'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

	<math>\overline{v_x} = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>		:<math>\overline{v_x} = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>

	Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0		Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

	<math>v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}</math>		:<math>v_x = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta x}{\Delta t}</math>

	Die Geschwindigkeit ist als Steigung aus dem Orts-Zeit-Diagramm herauszulesen.		Die Geschwindigkeit ist als Steigung aus dem [[Orts-Zeit-Diagramm]] herauszulesen.

	==räumlich==		==räumlich==
	Bewegt sich ein Punkt im Raum, ist sein Ort durch den Vektor '''''r'''(t)'' eindeutig festgelegt. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δt'' ist durch den folgenden Quotienten definiert		Bewegt sich ein Punkt im Raum, ist sein Ort durch den Vektor '''''r'''(t)'' eindeutig festgelegt. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitabschnitt ''Δt'' ist durch den folgenden Quotienten definiert

	<math>\overline {\vec v} = \frac {\vec r_2 - \vec r_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}</math>		:<math>\overline {\vec v} = \frac {\vec r_2 - \vec r_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}</math>

	Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0		Den Momentanwert der Geschwindigkeit erhält man durch einen Grenzübergang für ''Δt'' gegen 0

	<math>\vec v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}</math>		:<math>\vec v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta {\vec r}}{\Delta t}</math>

	Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems kann die Bewegung im Raum durch drei skalare Funktionen beschrieben werden		Bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems kann die Bewegung im Raum durch drei skalare Funktionen beschrieben werden

	<math>\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>		:<math>\vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math>

	Die drei Komponenten der Geschwindigkeit sind aus den entsprechenden Funktionen des Ortes zu berechenen		Die drei Komponenten der Geschwindigkeit sind aus den entsprechenden Funktionen des Ortes zu berechenen

	<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}</math>		:<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}</math>

	Der Geschwindigkeitsvektor steht immer tangential zur [[Bahn]] eines Punktes.		Der Geschwindigkeitsvektor steht immer tangential zur [[Bahn]] eines Punktes.

	==Massenmittelpunkt==		==Massenmittelpunkt==
	Die kinematische Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die ~~zweite~~ Definition der Geschwindigkeit ~~entstammt der~~ ~~Dynamik:~~ die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] ~~ist~~ gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse		Die '''kinematische''' Definition der Geschwindigkeit kann auf jedes punkförmige Objekt (Körper, Lichtfleck an einer Wand, Schwingungszustand einer Schallwelle) angewendet werden. Die '''dynamische''' Definition der Geschwindigkeit besagt, dass die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] gleich dem Quotienten aus Impuls und Masse ist

	<math>\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}</math>		<math>\vec v_{MMP} = \frac {\vec p}{m}</math>
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	==Geschwindigkeitsgradient==		==Geschwindigkeitsgradient==
	Die dynamische Geschwindigkeit ist das translatorische [[Potenzial]]: die Geschwindigkeit besagt, wie stark ein Impulsstrom mit Energie beladen ist. Ändert sich die Geschwindigkeit längs eines Impulsstromes, wird eine [[Prozessleistung]] umgesetzt.		Die dynamische Geschwindigkeit ist das translatorische [[Potenzial]]: die Geschwindigkeit besagt, wie stark ein [[Impulsstrom]] mit [[Energie]] beladen ist. Ändert sich die Geschwindigkeit längs eines Impulsstromes, wird eine [[Prozessleistung]] umgesetzt.

	[[resistives Gesetz\|Resistives]] und [[induktives Gesetz\|induktives]] Verhalten können mit Hilfe des Impulsstromes und der Geschwindigkeitsdifferenz beschrieben werden. Um diese Gesetzmässigkeiten lokal zu formulieren, müssen die Stromdichten und die Gradienten der Potenziale gebildet werden.		[[resistives Gesetz\|Resistives]] und [[induktives Gesetz\|induktives]] Verhalten können mit Hilfe des Impulsstromes und der Geschwindigkeitsdifferenz beschrieben werden. Um diese Gesetzmässigkeiten lokal zu formulieren, müssen die Stromdichten und die Gradienten der Potenziale gebildet werden.