Homogener Stoff - Versionsgeschichte

Admin: /* direkte Darstellung */

2007-07-29T15:04:38Z

direkte Darstellung

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2007, 15:04 Uhr
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	'''Arbeit:''' <math>W = \int I_W_{mech} dt = \int p I_V dt = -\int p \dot V dt = -\int T dV</math>		'''Arbeit:''' <math>W = \int I_W_{mech} dt = \int p I_V dt = -\int p \dot V dt = -\int T dV</math>

	Natürlicherweise müsste man im ''T-S-''Diagramm eine Schar von Isochoren (Kurven mit konstant gehaltenem Volumen) und im ''p-V-''Diagramm eine Schar von Isentropen (Kurven mit konstant gehaltener Entropie) als Hilfslinien einzeichnen. Dann wären beide bilanzierfähigen [[~~Primärgrössen~~]] als freie Variablen sichtbar. Oft nimmt man aber die Isobaren (Kurven mit konstant gehaltenem Druck) als Hilfslinien im ''T-S-''Diagramm und die Isothermen (Kurven mit konstant gehaltener Temperatur) als Hilfslinien im ''p-V-''Diagramm.		Natürlicherweise müsste man im ''T-S-''Diagramm eine Schar von Isochoren (Kurven mit konstant gehaltenem Volumen) und im ''p-V-''Diagramm eine Schar von Isentropen (Kurven mit konstant gehaltener Entropie) als Hilfslinien einzeichnen. Dann wären beide bilanzierfähigen [[Primärgrösse]]n als freie Variablen sichtbar. Oft nimmt man aber die Isobaren (Kurven mit konstant gehaltenem Druck) als Hilfslinien im ''T-S-''Diagramm und die Isothermen (Kurven mit konstant gehaltener Temperatur) als Hilfslinien im ''p-V-''Diagramm.

	===Umkehrfunktionen===		===Umkehrfunktionen===

Admin: /* Nebenbedinungen */

2006-12-26T13:38:01Z

Nebenbedinungen

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	===Nebenbedinungen===		===Nebenbedinungen===
	~~Die~~ ~~vier~~ ~~Funktionen~~ ~~für~~ ~~die~~ ~~Materialeigenschaften~~ ~~sind~~ ~~voneinander~~ ~~abhängig~~, sonst wäre die Energie des Stoffes nicht mehr ~~nur~~ ~~eine~~ Funktion der Entropie und des Volumens. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie ~~und~~ des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man		Temperatur und Druck können nicht beliebig mit den bilanzierfähigen [[Primärgrösse\|Primärgrössen]] zusammenhängen, sonst wäre die Energie des Stoffes nicht mehr eindeutig als Funktion der Entropie und des Volumens gegeben. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie sowie des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse\|Zustandsvariablen]] nach der Zeit ab, erhält man

	<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>		<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>
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	<math>T(S,V)_{,V} = -p(S,V}_{,S}</math>		<math>T(S,V)_{,V} = -p(S,V}_{,S}</math>

	Diese Bedingung muss unabhängig von der konkreten Gestalt der beiden [[~~konstitutiven~~ Beziehung\|konstitutiven Gleichungen]] erfüllt sein.		Diese Bedingung muss unabhängig von der konkreten Gestalt der beiden [[konstitutive Beziehung\|konstitutiven Gleichungen]] ''T(S,V)'' und ''p(S,V)'' erfüllt sein.

	Bei homogenen Stoffen hängen in der Regel Temperatur und Druck sowohl von der Entropie als auch dem Volumen ab. Diese Abhängigkeiten unterliegt aber der oben formulierten Einschränkung, damit die Energie eines bestimmten Zustandes gegeben ist.

	==Prozess==		==Prozess==

Admin: /* Umkehrfunktionen */

2006-12-26T13:30:51Z

Umkehrfunktionen

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 13:30 Uhr
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	*''C<sub>Sp</sub>'' = ''m c<sub>Sp</sub>'' (spezifisch)		*''C<sub>Sp</sub>'' = ''m c<sub>Sp</sub>'' (spezifisch)
	*''Λ<sub>T</sub>'' = ''m λ<sub>T</sub>'' (spezifisch)		*''Λ<sub>T</sub>'' = ''m λ<sub>T</sub>'' (spezifisch)
	*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (''γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient konstantem Druck)		*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (''γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient bei konstantem Druck)
	*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (''γ<sub>T</sub>'' Kompressibilität bei konstanter Temperatur)		*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (''γ<sub>T</sub>'' Kompressibilität bei konstanter Temperatur)

Admin: /* Umkehrfunktionen */

2006-12-26T13:29:19Z

Umkehrfunktionen

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 13:29 Uhr
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	*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (''γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient konstantem Druck)		*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (''γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient konstantem Druck)
	*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (''γ<sub>T</sub>'' Kompressibilität bei konstanter Temperatur)		*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (''γ<sub>T</sub>'' Kompressibilität bei konstanter Temperatur)

	Oft stellt man die beiden mengenartigen [[Primärgrösse\|Primärgrössen]] in Funktion des eigenen Potenzials und der jeweils andern Menge dar

	<math>\dot S(T,V) = S_{,T} \dot T + S_{,V} \dot V = C_{SV} \dot T + S_{,V} \dot V</math>

	<math>\dot V(T,p) = V_{,T} \dot T + V_{,p} \dot p</math>

	''C<sub>SV</sub>'' nennt man Entropiekapazität bei konstantem Volumen. Diese Grösse kann spezifisch oder molar tabelliert werden.

	===Nebenbedinungen===		===Nebenbedinungen===

Admin: /* Umkehrfunktionen */

2006-12-26T13:25:00Z

Umkehrfunktionen

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 13:25 Uhr
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	<math>\dot V(T,p) = V_{,T} \dot T + V_{,p} \dot p = \Gamma_p \dot T + K_T \dot p</math>		<math>\dot V(T,p) = V_{,T} \dot T + V_{,p} \dot p = \Gamma_p \dot T + K_T \dot p</math>

			Zur Beschreibung der partiellen Ableitung der Entropie und des Volumens nach der Temperatur und dem Druck ist die [[Einstein-Notation]] verwendet worden. Die vier Materialfunktionen heissen
	Die vier Materialfunktionen heissen
	*''C<sub>Sp</sub>'' Entropiekapazität bei konstantem Druck		*''C<sub>Sp</sub>'' Entropiekapazität bei konstantem Druck
	*''Λ<sub>T</sub>'' latentes Entropiespeichervermögen bei konstanter Temperatur		*''Λ<sub>T</sub>'' latentes Entropiespeichervermögen bei konstanter Temperatur

Admin: /* Umkehrfunktionen */

2006-12-26T13:23:27Z

Umkehrfunktionen

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 13:23 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	*''C<sub>Sp</sub>'' = ''m c<sub>Sp</sub>'' (spezifisch)		*''C<sub>Sp</sub>'' = ''m c<sub>Sp</sub>'' (spezifisch)
	*''Λ<sub>T</sub>'' = ''m λ<sub>T</sub>'' (spezifisch)		*''Λ<sub>T</sub>'' = ''m λ<sub>T</sub>'' (spezifisch)
	*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient konstantem Druck)		*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (''γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient konstantem Druck)
	*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (γ<sub>T</sub> Kompressibilität bei konstanter Temperatur)		*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (''γ<sub>T</sub>'' Kompressibilität bei konstanter Temperatur)

			Oft stellt man die beiden mengenartigen [[Primärgrösse\|Primärgrössen]] in Funktion des eigenen Potenzials und der jeweils andern Menge dar

			<math>\dot S(T,V) = S_{,T} \dot T + S_{,V} \dot V = C_{SV} \dot T + S_{,V} \dot V</math>
⚫	~~Diese~~ ~~Abhängigkeit~~ ~~kann~~ ~~aber~~ ~~nicht~~ ~~beliebig~~ ~~sein,~~ ~~weil~~ sonst die Energie des Stoffes nicht mehr nur eine Funktion der Entropie und des Volumens ~~ist~~. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man

	<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>		<math>\dot V(T,p) = V_{,T} \dot T + V_{,p} \dot p</math>

			''C<sub>SV</sub>'' nennt man Entropiekapazität bei konstantem Volumen. Diese Grösse kann spezifisch oder molar tabelliert werden.
	Zur Beschreibung der partiellen Ableitung nach der Entropie und dem Volumen ist die [[Einstein-Notation]] verwendet worden.

			===Nebenbedinungen===
		⚫	Die vier Funktionen für die Materialeigenschaften sind voneinander abhängig, sonst wäre die Energie des Stoffes nicht mehr nur eine Funktion der Entropie und des Volumens. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man

			<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>

	Vegleicht man diesen Ausdruck mit der Energiebilanz, kann die Temperatur als partielle Ableitung der Energie nach der Entropie und der Druck als negative partielle Ableitung der Energie nach dem Volumen geschrieben werden. Weil nun sowohl die Temperatur als auch der Druck gleich der partiellen Ableitung einer skalaren Funktion ist, gelten die Maxwell-Relationen, wonach die [[Rotation]] eines [[Gradient\|Gradienten]] verschwinden muss		Vegleicht man diesen Ausdruck mit der Energiebilanz, kann die Temperatur als partielle Ableitung der Energie nach der Entropie und der Druck als negative partielle Ableitung der Energie nach dem Volumen geschrieben werden. Weil nun sowohl die Temperatur als auch der Druck gleich der partiellen Ableitung einer skalaren Funktion ist, gelten die Maxwell-Relationen, wonach die [[Rotation]] eines [[Gradient\|Gradienten]] verschwinden muss

Admin: /* konstitutive Gleichungen */

2006-12-26T13:01:44Z

konstitutive Gleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 13:01 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	Einfache Systeme wie etwa ein [[Blasenspeicher]] oder ein elektrischer [[Kondensator]] ändern ihr [[Potenzial]], indem sie die zugehörige [[Primärgrösse]] aufnehmen oder abgeben. Der [[starrer Körper\|starre Körper]] verhält sich bezüglich [[Impuls]] und [[Geschwindigkeit]] des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] analog. Jede Änderung einer Geschwindigkeitskomponente des Massenmittelpunktes ist die direkte Folge eines Impulsaustausches. Bei der Rotations des starren Körpers trifft dies nicht mehr zu: jede der drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] hängt von allen drei [[Drehimpuls]]komponenten ab.		Einfache Systeme wie etwa ein [[Blasenspeicher]] oder ein elektrischer [[Kondensator]] ändern ihr [[Potenzial]], indem sie die zugehörige [[Primärgrösse]] aufnehmen oder abgeben. Der [[starrer Körper\|starre Körper]] verhält sich bezüglich [[Impuls]] und [[Geschwindigkeit]] des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] analog. Jede Änderung einer Geschwindigkeitskomponente des Massenmittelpunktes ist die direkte Folge eines Impulsaustausches. Bei der Rotations des starren Körpers trifft dies nicht mehr zu: jede der drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] hängt von allen drei [[Drehimpuls]]komponenten ab.

			===direkte Darstellung===
⚫	Beim homogenen Stoff können nun sowohl das thermische Potenzial, die absolute [[Temperatur]], wie auch das hydrodynamische Potenzial, der absolute [[Druck]], sowohl von der [[Entropie]] als auch vom [[Volumen]] abhängen. Diese Abhängigkeit kann aber nicht beliebig sein, weil sonst die Energie des Stoffes nicht mehr nur eine Funktion der Entropie und des Volumens ist. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man
			Beim homogenen Stoff können nun sowohl das thermische Potenzial, die absolute [[Temperatur]], wie auch das hydrodynamische Potenzial, der absolute [[Druck]], sowohl von der [[Entropie]] als auch vom [[Volumen]] abhängen. Sind die Funktionen ''T(S,V)'' und ''p(S,V)'' bekannt, kann das Verhalten des Soffes dynamisch modelliert werden. Die Funktionswerte können in Form von Daten (Tabellen) oder graphischen Darstellungen (''T-S-V-'' oder ''p-S-V-''Schaubild) gegeben sein.

			Eine vereinfachte, aber sehr nützliche Darstellung liefern das ''T-S-'' und das ''p-V-''Diagramm. Trägt man in diese Diagramme eine Zustandsänderung, einen thermodynamischen Prozess, als Pfad ein, entspricht die Fläche unter der Kurve im ''T-S-''Diagramm der Wärme (thermisch ausgetauschte Energie) und die Fläche unter der Kurve im ''p-V-''Diagramm der Arbeit (hydraulisch ausgetauschte Energie)

			'''Wärme:''' <math>Q = \int I_W_{therm} dt = \int T I_S dt = \int T \dot S dt = \int T dS</math>

			'''Arbeit:''' <math>W = \int I_W_{mech} dt = \int p I_V dt = -\int p \dot V dt = -\int T dV</math>

			Natürlicherweise müsste man im ''T-S-''Diagramm eine Schar von Isochoren (Kurven mit konstant gehaltenem Volumen) und im ''p-V-''Diagramm eine Schar von Isentropen (Kurven mit konstant gehaltener Entropie) als Hilfslinien einzeichnen. Dann wären beide bilanzierfähigen [[Primärgrössen]] als freie Variablen sichtbar. Oft nimmt man aber die Isobaren (Kurven mit konstant gehaltenem Druck) als Hilfslinien im ''T-S-''Diagramm und die Isothermen (Kurven mit konstant gehaltener Temperatur) als Hilfslinien im ''p-V-''Diagramm.

			===Umkehrfunktionen===
			Die der Modellbildung dienende Darstellung der beiden Potenziale Temperatur und Druck in Funktion der bilanzierfähigen Mengen [[Entropie]] und [[Volumen]] lässt sich nach den beiden Variablen auflösen. Nimmt man dann die zugehörigen Änderungsraten, erhält man Materialfunktionen, die der direkten Messung zugänglich sind

			<math>\dot S(T,p) = S_{,T} \dot T + S_{,p} \dot p = C_{Sp} \dot T + \Lambda_T \dot p</math>

			<math>\dot V(T,p) = V_{,T} \dot T + V_{,p} \dot p = \Gamma_p \dot T + K_T \dot p</math>

			Die vier Materialfunktionen heissen
			*''C<sub>Sp</sub>'' Entropiekapazität bei konstantem Druck
			*''Λ<sub>T</sub>'' latentes Entropiespeichervermögen bei konstanter Temperatur
			*''Γ<sub>p</sub>'' thermischer Volumenausdehnungskoeffizient bei konstantem Druck
			*''K<sub>T</sub>'' Kompressionsvermögen bei konstanter Temperatur

			Oft werden diese Materialfunktionen auf die Masse (spezifisch), auf die Stoffmenge (molar) oder auf das Volumen (Dichte) bezogen
			*''C<sub>Sp</sub>'' = ''m c<sub>Sp</sub>'' (spezifisch)
			*''Λ<sub>T</sub>'' = ''m λ<sub>T</sub>'' (spezifisch)
			*''Γ<sub>p</sub>'' = ''V γ<sub>p</sub>'' (γ<sub>p</sub>'': Volumenausdehnungskoeffizient konstantem Druck)
			*''Γ<sub>T</sub>'' = ''V γ<sub>T</sub>'' (γ<sub>T</sub> Kompressibilität bei konstanter Temperatur)


		⚫	Diese Abhängigkeit kann aber nicht beliebig sein, weil sonst die Energie des Stoffes nicht mehr nur eine Funktion der Entropie und des Volumens ist. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man

	<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>		<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>

Admin: /* Bilanz */

2006-12-26T11:59:39Z

Bilanz

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 11:59 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:

	==Bilanz==		==Bilanz==
	Der homogene Stoff kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) [[Entropie]] und [[Volumen]] mit der Umgebung austauschen. Weil der Stoff homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich ~~kann~~ die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden		Der homogene Stoff kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) [[Entropie]] und [[Volumen]] mit der Umgebung austauschen. Weil der Stoff homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich können die [[Entropiebilanz]] und die [[Volumenbilanz]] in einfachster Form hingeschrieben werden

	'''Entropiebilanz:'''<math>I_S = \dot S</math>		'''Entropiebilanz:'''<math>I_S = \dot S</math>
Zeile 18:		Zeile 18:
	<math>\dot W = I_W_{therm} + I_W_{mech} = T I_S + p I_V = T \dot S - p \dot V</math>		<math>\dot W = I_W_{therm} + I_W_{mech} = T I_S + p I_V = T \dot S - p \dot V</math>

	Die Gleichsetzung der Temperatur im thermischen Portal mit dem Wert im Stoff sowie des Drucks in der Flüssigkeit mit dem des Stoffs ist nur unter ~~diesen~~ idealisierten Bedingungung möglich. Die Formulierung, wonach die Änderung der Energie nur von den vier Grössen Temperatur, Entropie, Volumen und Druck abhängt, verbietet eine Entropieproduktion im Stoff selber.		Die Gleichsetzung der Temperatur im thermischen Portal mit dem Wert im Stoff sowie des Drucks in der Flüssigkeit mit dem des Stoffs ist nur unter den weiter oben erwähnten, idealisierten Bedingungung möglich. Die Formulierung, wonach die Änderung der Energie nur von den vier Grössen Temperatur, Entropie, Volumen und Druck abhängt, verbietet eine Entropieproduktion im Stoff selber.

	==konstitutive Gleichungen==		==konstitutive Gleichungen==

Admin: /* Modell */

2006-12-26T11:57:44Z

Modell

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 11:57 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Modell==		==Modell==
	Der homogene Stoff ist der eigentliche Modellkörper der [[Thermodynamik]]. Der Zustand eines homogenen Stoffes ist durch seinen Druck und seine Temperatur ~~([[Zustandsdiagramm]])~~ vollständig beschrieben. Der Stoff kann flüssig oder gasförmig sein. Liegt der Zustand auf der [[Dampfdruckkurve]], koexistieren beide Aggregatszustände. Da ~~sowohl~~ ~~der~~ ~~Druck~~ ~~als~~ ~~auch~~ ~~die~~ Temperatur zu jedem Zeitpunkt überall gleich ~~sind,~~ breitet sich der Schall ~~undendlich~~ ~~schnell~~ ~~durch~~ ~~den Körper~~ aus und die Wärmeleitfähigkeit ~~des Stoffes~~ ist beliebig gross. Das Modell des homogenen Stoffes kann ~~also~~ nur ~~dann~~ verwendet werden, wenn die Vorgänge so langsam ablaufen, dass die Ausbreitung der Wärme und des Schalls im Innern des Körpers keine Rolle mehr spielen.		Der homogene Stoff ist der eigentliche Modellkörper der [[Thermodynamik]]. Der Zustand eines homogenen Stoffes ist durch seinen Druck und seine Temperatur vollständig beschrieben. Der Stoff kann flüssig oder gasförmig sein. Im [[Zustandsdiagramm]] trennt die [[Dampfdruckkurve]] die flüssige von der gasförmigen Phase. Liegt der Zustand auf der Dampfdruckkurve, koexistieren beide Aggregatszustände. Die Modellgleichungen des homogenen Stoffes beschreiben nur Gleichgewichtszustände, d.h. Druck und Temperatur sind zu jedem Zeitpunkt überall gleich gross. Folglich breitet sich der Schall im Stoff undendlich schnell aus und die Wärmeleitfähigkeit ist beliebig gross. Das Modell des homogenen Stoffes kann somit nur verwendet werden, wenn die Vorgänge so langsam ablaufen, dass die Ausbreitung der Wärme und des Schalls im Innern des Körpers keine Rolle mehr spielen.

	[[Bild: Ideales_Gas.gif\|thumb\|thermische und mechanische Verbindung des homogenen Stoffes]]		[[Bild: Ideales_Gas.gif\|thumb\|thermische und mechanische Verbindung des homogenen Stoffes]]
	Der Zustand des homogenen Stoffes kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Der Stoff befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst den Stoff hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab. ~~Der~~ Druck in der Flüssigkeit und im homogenen Stoff sind ~~somit~~ immer gleich gross.		Der Zustand des homogenen Stoffes kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Der Stoff befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst den Stoff hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab; der Druck in der Flüssigkeit und im homogenen Stoff sind immer gleich gross.

	Das Systeme homogener Stoff besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.		Das Systeme homogener Stoff besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

Admin: /* konstitutive Gleichungen */

2006-12-26T09:22:11Z

konstitutive Gleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 26. Dezember 2006, 09:22 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:

	==konstitutive Gleichungen==		==konstitutive Gleichungen==
	Einfache Systeme wie etwa ein [[Blasenspeicher]] oder ein elektrischer [[Kondensator]] ändern ihr [[Potenzial]], indem sie die zugehörige [[Primärgrösse]] aufnehmen oder abgeben. Der [[starrer Körper\|starre Körper]] verhält sich bezüglich [[Impuls]] und [[Geschwindigkeit]] des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] analog. Jede Änderung einer Geschwindigkeitskomponente des Massenmittelpunktes ist die direkte Folge eines Impulsaustausches. Bei der Rotations trifft dies nicht mehr zu: jede der drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit hängt von allen drei ~~Drehimpulskomponenten~~ ab.		Einfache Systeme wie etwa ein [[Blasenspeicher]] oder ein elektrischer [[Kondensator]] ändern ihr [[Potenzial]], indem sie die zugehörige [[Primärgrösse]] aufnehmen oder abgeben. Der [[starrer Körper\|starre Körper]] verhält sich bezüglich [[Impuls]] und [[Geschwindigkeit]] des [[Massenmittelpunkt\|Massenmittelpunktes]] analog. Jede Änderung einer Geschwindigkeitskomponente des Massenmittelpunktes ist die direkte Folge eines Impulsaustausches. Bei der Rotations des starren Körpers trifft dies nicht mehr zu: jede der drei Komponenten der [[Winkelgeschwindigkeit]] hängt von allen drei [[Drehimpuls]]komponenten ab.

	Beim homogenen Stoff können nun sowohl das thermische Potenzial, die absolute Temperatur, wie auch das hydrodynamische Potenzial, der absolute Druck, sowohl von der [[Entropie]] als auch vom [[Volumen]] abhängen. Diese Abhängigkeit kann aber nicht beliebig sein, weil sonst die Energie des mehr ~~direkt~~ ~~von~~ der Entropie und ~~dem Volumen~~ des ~~Stoffes~~ ~~abhängt~~. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man		Beim homogenen Stoff können nun sowohl das thermische Potenzial, die absolute [[Temperatur]], wie auch das hydrodynamische Potenzial, der absolute [[Druck]], sowohl von der [[Entropie]] als auch vom [[Volumen]] abhängen. Diese Abhängigkeit kann aber nicht beliebig sein, weil sonst die Energie des Stoffes nicht mehr nur eine Funktion der Entropie und des Volumens ist. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese [[Zustandsgrösse]] nach der Zeit ab, erhält man

	<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>		<math>\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V</math>
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	Vegleicht man diesen Ausdruck mit der Energiebilanz, kann die Temperatur als partielle Ableitung der Energie nach der Entropie und der Druck als negative partielle Ableitung der Energie nach dem Volumen geschrieben werden. Weil nun sowohl die Temperatur als auch der Druck gleich der partiellen Ableitung einer skalaren Funktion ist, gelten die Maxwell-Relationen, wonach die [[Rotation]] eines [[Gradient\|Gradienten]] verschwinden muss		Vegleicht man diesen Ausdruck mit der Energiebilanz, kann die Temperatur als partielle Ableitung der Energie nach der Entropie und der Druck als negative partielle Ableitung der Energie nach dem Volumen geschrieben werden. Weil nun sowohl die Temperatur als auch der Druck gleich der partiellen Ableitung einer skalaren Funktion ist, gelten die Maxwell-Relationen, wonach die [[Rotation]] eines [[Gradient\|Gradienten]] verschwinden muss

	<math>T(S,V)_{,p} = -p(S,V}_{,T}</math>		<math>T(S,V)_{,V} = -p(S,V}_{,S}</math>

	Diese Bedingung muss unabhängig von der konkreten Gestalt der beiden [[konstitutiven Beziehung\|konstitutiven Gleichungen]] erfüllt sein. Bei homogenen Stoffen hängen sowohl die Temperatur als auch der Druck sowohl von der Entropie als auch vom Volumen ab. Diese Abhängigkeiten unterliegt aber einer Einschränkung, damit die Energie eines bestimmten Zustandes gegeben ist.		Diese Bedingung muss unabhängig von der konkreten Gestalt der beiden [[konstitutiven Beziehung\|konstitutiven Gleichungen]] erfüllt sein.

			Bei homogenen Stoffen hängen in der Regel Temperatur und Druck sowohl von der Entropie als auch dem Volumen ab. Diese Abhängigkeiten unterliegt aber der oben formulierten Einschränkung, damit die Energie eines bestimmten Zustandes gegeben ist.

	==Prozess==		==Prozess==