Kegeln - Versionsgeschichte

Systemdynamiker: /* Links */

2014-06-29T13:36:20Z

Links

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	==Links==		==Links==
	*[~~http~~://www.youtube.com/watch?v=~~e_oi324c6mA~~ ~~Kegelkugel~~] auf Youtube		*[https://www.youtube.com/watch?v=6DyI4h_tnvI Bowling] auf Youtube

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]

Admin: /* Modelica */

2011-03-07T05:50:59Z

Modelica

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2011, 05:50 Uhr
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	Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die kurz bevor die Kugel rollt auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die Kugel an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.		Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die kurz bevor die Kugel rollt auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die Kugel an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.

			==Links==
			*[http://www.youtube.com/watch?v=e_oi324c6mA Kegelkugel] auf Youtube

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]

Admin: /* Theorie */

2007-04-28T05:38:38Z

Theorie

← Nächstältere Version		Version vom 28. April 2007, 05:38 Uhr
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	[[Bild:KegelnSchnittbild.jpg\|thumb\|Kräfte und Drehmomente auf die Kugel]]		[[Bild:KegelnSchnittbild.jpg\|thumb\|Kräfte und Drehmomente auf die Kugel]]
	Im [[Schnittbild]] ordnet man der Stärke des volumenmässig vom [[Gravitationsfeld]] her zufliessenden Impulses einen Pfeil zu, der nach unten zeigt, die Stärke ''m '''g''''' hat und Gewichtskraft heisst. Die Stärke des Impulsstromes bezüglich eines Oberflächenstückes nennt man Schnitt- oder Oberflächenkraft. Die Stärke des Drehimpulsstromes heisst [[Drehmoment]]. Ein im Körper seitwärts fliessender Impulsstrom bildet eine Drehimpulsquelle ([[Hebelgesetz]]).		Im [[Freischneiden\|Schnittbild]] ordnet man der Stärke des volumenmässig vom [[Gravitationsfeld]] her zufliessenden Impulses einen Pfeil zu, der nach unten zeigt, die Stärke ''m '''g''''' hat und Gewichtskraft heisst. Die Stärke des Impulsstromes bezüglich eines Oberflächenstückes nennt man Schnitt- oder Oberflächenkraft. Die Stärke des Drehimpulsstromes heisst [[Drehmoment]]. Ein im Körper seitwärts fliessender Impulsstrom bildet eine Drehimpulsquelle ([[Hebelgesetz]]).

	Im Schnittbild der Kugel zeigt das Gewicht ('''''F'''<sub>G</sub>'') die Stärke des Zuflusses von ''y''-Impuls und die Normalkraft ('''''F'''<sub>N</sub>'') die des Abflusses an. Die Reibkraft ('''''F'''<sub>R</sub>'') steht für die Stärke des abliessenden ''x''-Impulsstromes. Das Reibdrehmoment ('''''M'''<sub>R</sub>'') beschreibt die Stärke des abfliessenden ''z''-Drehimpulses. Die Drehimpulsquelle wird im Schnittbild nicht eingezeichnet, muss aber bei der Formulierung der Bilanzgleichungen (Grundgesetze) über das korrekt formulierte [[Hebelgesetz]] berücksichtigt werden.		Im Schnittbild der Kugel zeigt das Gewicht ('''''F'''<sub>G</sub>'') die Stärke des Zuflusses von ''y''-Impuls und die Normalkraft ('''''F'''<sub>N</sub>'') die des Abflusses an. Die Reibkraft ('''''F'''<sub>R</sub>'') steht für die Stärke des abliessenden ''x''-Impulsstromes. Das Reibdrehmoment ('''''M'''<sub>R</sub>'') beschreibt die Stärke des abfliessenden ''z''-Drehimpulses. Die Drehimpulsquelle wird im Schnittbild nicht eingezeichnet, muss aber bei der Formulierung der Bilanzgleichungen (Grundgesetze) über das korrekt formulierte [[Hebelgesetz]] berücksichtigt werden.

Admin: /* Modelica */

2006-11-29T18:11:44Z

Modelica

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2006, 18:11 Uhr
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	==Modelica==		==Modelica==
	[[Bild:Kegeln_Sim.png\|thumb\|Impulsstromstärke (Reibungskraft) bezüglich Kugel]]		[[Bild:Kegeln_Sim.png\|thumb\|Impulsstromstärke (Reibungskraft) bezüglich Kugel]]
	Mit der [[Modelica]]-Bibliothek [[~~PhyDynSys~~]] lässt sich dieses Problem in kürzester Zeit modellieren. Als Basis wird das Element ''Rolle'' der Bibliothek entnommen und parametrisiert. Den Drehimpulsanschluss der ''Rolle'' verbindet man über das Element ''Drehreibung'' mit der ''Erde''. Einen der beiden seitlichen Impulsanschlüsse der ''Rolle'' verknüpft man analog dazu über das Element ''Reibung'' mit der ''Erde''. Der Sensor ''Strecke'' liefert den von der Kugel zurückgelegten Weg.		Mit der [[Modelica]]-Bibliothek [[SystemPhysik]] lässt sich dieses Problem in kürzester Zeit modellieren. Als Basis wird das Element ''Rolle'' der Bibliothek entnommen und parametrisiert. Den Drehimpulsanschluss der ''Rolle'' verbindet man über das Element ''Drehreibung'' mit der ''Erde''. Einen der beiden seitlichen Impulsanschlüsse der ''Rolle'' verknüpft man analog dazu über das Element ''Reibung'' mit der ''Erde''. Der Sensor ''Strecke'' liefert den von der Kugel zurückgelegten Weg.

	Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die kurz bevor die Kugel rollt auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die Kugel an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.		Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die kurz bevor die Kugel rollt auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die Kugel an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.

Admin: /* Modelica */

2006-09-20T16:09:23Z

Modelica

← Nächstältere Version		Version vom 20. September 2006, 16:09 Uhr
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	Mit der [[Modelica]]-Bibliothek [[PhyDynSys]] lässt sich dieses Problem in kürzester Zeit modellieren. Als Basis wird das Element ''Rolle'' der Bibliothek entnommen und parametrisiert. Den Drehimpulsanschluss der ''Rolle'' verbindet man über das Element ''Drehreibung'' mit der ''Erde''. Einen der beiden seitlichen Impulsanschlüsse der ''Rolle'' verknüpft man analog dazu über das Element ''Reibung'' mit der ''Erde''. Der Sensor ''Strecke'' liefert den von der Kugel zurückgelegten Weg.		Mit der [[Modelica]]-Bibliothek [[PhyDynSys]] lässt sich dieses Problem in kürzester Zeit modellieren. Als Basis wird das Element ''Rolle'' der Bibliothek entnommen und parametrisiert. Den Drehimpulsanschluss der ''Rolle'' verbindet man über das Element ''Drehreibung'' mit der ''Erde''. Einen der beiden seitlichen Impulsanschlüsse der ''Rolle'' verknüpft man analog dazu über das Element ''Reibung'' mit der ''Erde''. Der Sensor ''Strecke'' liefert den von der Kugel zurückgelegten Weg.

	Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die ~~gegen~~ ~~Schluss~~ auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die ~~Rolle~~ an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.		Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die kurz bevor die Kugel rollt auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die Kugel an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]

Admin: /* Simulation */

2006-09-20T16:02:08Z

Simulation

← Nächstältere Version		Version vom 20. September 2006, 16:02 Uhr
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	Will man also das Phänomen Rollreibung im Schnittbild erklären, muss ein Rollreibdrehmoment und eine Haftreibungskraft eingezeichnet werden. Die Haftreibungskraft steht für den Impulsabfluss, das Rolldrehmoment für den Drehimpulsabfluss. Das Hebelgesetz sorgt dann dafür, dass die vom Impulsstrom im Innern der Kugel freigesetzte Energe zu jedem Zeitpunkt genau so gross ist wie die Energie, die vom zufliessenden Drehimpuls benötigt wird. Diese Kopplung zwischen abfliessendem Impuls und zugeführtem Drehimpuls bezeichnet man etwas salop als Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie.		Will man also das Phänomen Rollreibung im Schnittbild erklären, muss ein Rollreibdrehmoment und eine Haftreibungskraft eingezeichnet werden. Die Haftreibungskraft steht für den Impulsabfluss, das Rolldrehmoment für den Drehimpulsabfluss. Das Hebelgesetz sorgt dann dafür, dass die vom Impulsstrom im Innern der Kugel freigesetzte Energe zu jedem Zeitpunkt genau so gross ist wie die Energie, die vom zufliessenden Drehimpuls benötigt wird. Diese Kopplung zwischen abfliessendem Impuls und zugeführtem Drehimpuls bezeichnet man etwas salop als Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie.


			==Modelica==
			[[Bild:Kegeln_Sim.png\|thumb\|Impulsstromstärke (Reibungskraft) bezüglich Kugel]]
			Mit der [[Modelica]]-Bibliothek [[PhyDynSys]] lässt sich dieses Problem in kürzester Zeit modellieren. Als Basis wird das Element ''Rolle'' der Bibliothek entnommen und parametrisiert. Den Drehimpulsanschluss der ''Rolle'' verbindet man über das Element ''Drehreibung'' mit der ''Erde''. Einen der beiden seitlichen Impulsanschlüsse der ''Rolle'' verknüpft man analog dazu über das Element ''Reibung'' mit der ''Erde''. Der Sensor ''Strecke'' liefert den von der Kugel zurückgelegten Weg.

			Das Diagramm zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf der Reibungskraft. In der ersten Phase wirkt eine Gleitreibung, die gegen Schluss auf den maximalen Haftreibunswert (Stribeck-Effekt) ansteigt. Danach fliesst gerade noch so viel Impuls an die Erde weg, damit die Rollbedingung erfüllt bleibt. Die Haftreibungskraft ist ohne Dissipation und der Begriff Rollreibungskraft demnach ein Ammenmärchen. Die Sache ist um einiges komplexer: bei der Rollreibung fliesst primär Drehimpuls an die Unterlage weg; damit die Rollbedingung erfüllt bleibt, muss auch Impuls abfliessen; der zugehörige Impulsstrom wirkt als Drehimpulsquelle. Demnach fliesst mehr Drehimpuls an die Unterlage weg, als die Rolle an Inhalt verliert. Obwohl kinetische und Rotationsenergie gemeinsam abnehmen, wird die Energie nur vom Drehimpulsstrom dissipiert.

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]

Admin: /* Simulation */

2006-09-09T04:58:37Z

Simulation

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2006, 04:58 Uhr
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	Die Stärken des ''x''-Impulsstromes und der damit verknüpften ''z''-Drehimpulsquelle sind anfänglich sehr gross. Sobald die Rollbewegung einsetzt, erzwingt das Rolldrehmoment einen dissipationsfreien Impulsabfluss. Die vom Impulsstrom freigesetzte Energie wird vollständig zum "Pumpen" des Drehimpulses (Quelle) benötigt. Dissipiert wird die Energie also nur durch den Abfluss von Drehimpuls. Nur der Drehimpuls "fällt" an der Kugeloberfläche über eine Potenzialdifferenz, über eine sprunghafte Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Der abfliessende Impuls verlässt die Kugel in der Rollphase dagegen auf "Nullniveau".		Die Stärken des ''x''-Impulsstromes und der damit verknüpften ''z''-Drehimpulsquelle sind anfänglich sehr gross. Sobald die Rollbewegung einsetzt, erzwingt das Rolldrehmoment einen dissipationsfreien Impulsabfluss. Die vom Impulsstrom freigesetzte Energie wird vollständig zum "Pumpen" des Drehimpulses (Quelle) benötigt. Dissipiert wird die Energie also nur durch den Abfluss von Drehimpuls. Nur der Drehimpuls "fällt" an der Kugeloberfläche über eine Potenzialdifferenz, über eine sprunghafte Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Der abfliessende Impuls verlässt die Kugel in der Rollphase dagegen auf "Nullniveau".

	Will man also das Phänomen Rollreibung im Schnittbild erklären, muss ein Rollreibdrehmoment und eine Haftreibungskraft eingezeichnet werden. Die Haftreibungskraft steht für den Impulsabfluss, das Rolldrehmoment für den Drehimpulsabfluss. Das Hebelgesetz sorgt dann dafür, dass die vom Impulsstrom im Innern der Kugel freigesetzte Energe zu jedem Zeitpunkt genau so gross ist wie die Energie, die vom ~~durch die Quelle~~ zufliessenden Drehimpuls benötigt wird. Diese Kopplung bezeichnet man etwas salop als Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie.		Will man also das Phänomen Rollreibung im Schnittbild erklären, muss ein Rollreibdrehmoment und eine Haftreibungskraft eingezeichnet werden. Die Haftreibungskraft steht für den Impulsabfluss, das Rolldrehmoment für den Drehimpulsabfluss. Das Hebelgesetz sorgt dann dafür, dass die vom Impulsstrom im Innern der Kugel freigesetzte Energe zu jedem Zeitpunkt genau so gross ist wie die Energie, die vom zufliessenden Drehimpuls benötigt wird. Diese Kopplung zwischen abfliessendem Impuls und zugeführtem Drehimpuls bezeichnet man etwas salop als Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie.

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]] [[Kategorie: Modelle]] [[Kategorie: TransMod]] [[Kategorie: RotMod]]

Admin: /* SD-Modell */

2006-09-09T04:53:46Z

SD-Modell

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2006, 04:53 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	Über der Zeile mit den Parametern und Anfangswerten ist die Bilanz für den ''x''-Impuls und den ''z''-Drehimpuls formuliert. Die Kopplung zwischen dem nach unten wegfliessenden Impulsstrom und der Drehimpulsquelle ist mit einem Wirkungspfeil (arrow) gekennzeichnet. Der Quotient aus Impulsinhalt und Masse ergibt die momentane Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. Entsprechend erhält man die Winkelgeschwindigkeit aus Drehimpuls und Massenträgheitsmoment. Um den reibungsbedingten Impuls- bzw. Drehimpulsstrom zu berechnen, wird für die Schlupfgeschwindigkeit (''v unten'') und die Winkelgeschwindigkeit je eine Vorzeichenfunktion (''sgn v unten'' und ''sgn w'') gebildet. Solange man mit festen Schrittweiten und guter zeitlicher Auflösung rechnet, eignet sich die auf eins normierte und mit einem Faktor vor dem Argument gestauchte '''Arcustangens'''-Funktion gut, um die Vorzeichenfunktion nachzubilden.		Über der Zeile mit den Parametern und Anfangswerten ist die Bilanz für den ''x''-Impuls und den ''z''-Drehimpuls formuliert. Die Kopplung zwischen dem nach unten wegfliessenden Impulsstrom und der Drehimpulsquelle ist mit einem Wirkungspfeil (arrow) gekennzeichnet. Der Quotient aus Impulsinhalt und Masse ergibt die momentane Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. Entsprechend erhält man die Winkelgeschwindigkeit aus Drehimpuls und Massenträgheitsmoment. Um den reibungsbedingten Impuls- bzw. Drehimpulsstrom zu berechnen, wird für die Schlupfgeschwindigkeit (''v unten'') und die Winkelgeschwindigkeit je eine Vorzeichenfunktion (''sgn v unten'' und ''sgn w'') gebildet. Solange man mit festen Schrittweiten und guter zeitlicher Auflösung rechnet, eignet sich die auf eins normierte und mit einem Faktor vor dem Argument gestauchte '''Arcustangens'''-Funktion gut, um die Vorzeichenfunktion nachzubilden.

	Die Dynamik wirkt auf der Ebene Impuls, Drehimpuls, Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit. Will man die Strecke oder den Drehwinkel berechnen, muss über die Geschwindigkeit oder über die Winkelgeschwindigkeit aufzusummiert werden. Dies geschieht hier für die von der Kugel zurückgelegten Strecke mit einer Rohr-Topf-Anordnung.		Die Dynamik wirkt auf der Ebene Impuls, Drehimpuls, Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit. Will man die Strecke oder den Drehwinkel berechnen, muss über die Geschwindigkeit oder über die Winkelgeschwindigkeit aufzusummiert werden. Dies geschieht hier für die von der Kugel zurückgelegten Strecke mit einer Rohr-Topf-Anordnung (zweite Ebene).

	Die Energie bildet neben der Bilanz- und der Geometrieebene die dritte Etage. Im SD-Modell werden die Prozessleistungen für die beiden Reibungseffekte ~~gebildet~~ (Stromstärke mal Potenzialdifferenz) und mit einer Rohr-Topf-Anordnung aufintegriert.		Die Energie bildet neben der Bilanz- und der Geometrieebene die dritte Etage. Im hier abgebildeten SD-Modell werden die Prozessleistungen für die beiden Reibungseffekte berechnet (Stromstärke mal Potenzialdifferenz) und mit einer Rohr-Topf-Anordnung aufintegriert.

	==Simulation==		==Simulation==

Admin: /* Flüssigkeitsbild */

2006-09-09T04:49:09Z

Flüssigkeitsbild

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2006, 04:49 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	<math>{-}r = \frac {\Sigma_{Lz}}{I_{px}} = \frac {\Delta L_z}{\Delta p_x} = \frac {J(\omega_{ze}-0)}{m(v_{xe}-v_{xa})} = \frac {J(v_{xe}/r-0)}{m(v_{xe}-v_{xa})}</math>		<math>{-}r = \frac {\Sigma_{Lz}}{I_{px}} = \frac {\Delta L_z}{\Delta p_x} = \frac {J(\omega_{ze}-0)}{m(v_{xe}-v_{xa})} = \frac {J(v_{xe}/r-0)}{m(v_{xe}-v_{xa})}</math>

	(Erklärung zum zweiten Gleichheitszeichen: weil die ''z''-Drehimpulsquelle ''Σ<sub>Lz</sub>'' über das Hebelgesetz mit dem Impulsstrom verknüpft ist, muss ~~in diesem Fall~~ auch die Drehimpulsänderung gleich minus Radius mal Impulsänderung sein.) Durch Auflösen nach der Endgeschwindigkeit erhält man		(Erklärung zum zweiten Gleichheitszeichen: weil die ''z''-Drehimpulsquelle ''Σ<sub>Lz</sub>'' über das Hebelgesetz mit dem Impulsstrom verknüpft ist, muss auch die Drehimpulsänderung gleich minus Radius mal Impulsänderung sein.) Durch Auflösen nach der Endgeschwindigkeit erhält man

	<math>v_{xe} = \frac {m}{m + J/r^2} \cdot v_{xa}</math>		<math>v_{xe} = \frac {m}{m + J/r^2} \cdot v_{xa}</math>
Zeile 32:		Zeile 32:
	<math>W_{rot} = \overline{\omega_z} L_z = \frac {1}{2} J \omega_z^2</math>		<math>W_{rot} = \overline{\omega_z} L_z = \frac {1}{2} J \omega_z^2</math>

	Der nach unten wegfliessende ''x''-Impuls verliert - je nach Drehzahl der Kugel - schon im Innern der Kugel an Potenzial. ~~Die~~ ~~zugehörige~~ Prozessleistung dient dazu, den Drehimpuls auf die entsprechende "Höhe" zu befördern		Der nach unten wegfliessende ''x''-Impuls verliert - je nach Drehzahl der Kugel - schon im Innern der Kugel an Potenzial (Geschwindigkeit). Folglich setzt der ''x''-Impulsstrom schon im Innern der Kugel Energie frei. Diese Prozessleistung dient dazu, den Drehimpuls auf die entsprechende "Höhe" zu befördern

	<math>P = \Delta v_x I_{px} = \omega_z r I_{px} = \omega_z \Sigma_{Lz} = I_W</math>		<math>P = \Delta v_x I_{px} = \omega_z r I_{px} = \omega_z \Sigma_{Lz} = I_W</math>
Zeile 40:		Zeile 40:
	<math>P_{diss} = (v_x - \omega r) I_{px}</math>		<math>P_{diss} = (v_x - \omega r) I_{px}</math>

	Die Energiedissipation der Rollreibung hängt ~~dagegen~~ nicht davon ab, ob der Körper rollt oder rutscht		Die Energiedissipation der Rollreibung hängt in unserem Modell nicht davon ab, ob der Körper rollt oder rutscht

	<math>P_{diss} = \omega_z I_{Lz}</math>		<math>P_{diss} = \omega_z I_{Lz}</math>

Admin: /* Simulation */

2006-09-08T11:39:28Z

Simulation

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2006, 11:39 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	==Simulation==		==Simulation==
	[[Bild:KegelnDiagramm.gif\|thumb\|''v-t-'' und ''ω-t-''Diagramm]]		[[Bild:KegelnDiagramm.gif\|thumb\|''v-t-'' und ''ω-t-''Diagramm]]
	Mit den ~~hier gesetzten~~ Anfangsbedingungen (Geschwindigkeit 8 m/s, keine Winkelgeschwindigkeit) und der gewählten Parametrisierung (Masse 2.8 kg, Radius 0.08 m, Gleitreibungszahl 0.5, Rolreibungsmoment 0.08 Nm) dauert es etwa eine halbe Sekunde bis die Kugel ins Rollen kommt. Unter Vernachlässigung des Rollreibungsdrehmoments erhält man für eine Kugel (''J'' = ''0.4 m r<sup>2</sup>'') gemäss der oben aufgeführten Formel eine Endgeschwindigkeit von 5.7 m/s. Die Rollreibung setzt diesen Wert nur ganz wenig hinunter. In der Rollphase nehmen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit linear mit der Zeit ab.		Mit den '''Anfangsbedingungen''' Geschwindigkeit 8 m/s, keine Winkelgeschwindigkeit und der gewählten '''Parametrisierung''' (Masse 2.8 kg, Radius 0.08 m, Gleitreibungszahl 0.5, Rolreibungsmoment 0.08 Nm) dauert es etwa eine halbe Sekunde bis die Kugel ins Rollen kommt. Unter Vernachlässigung des Rollreibungsdrehmoments erhält man für eine Kugel (''J'' = ''0.4 m r<sup>2</sup>'') gemäss der oben aufgeführten Formel eine Endgeschwindigkeit von 5.7 m/s. Die Rollreibung setzt diesen Wert nur ganz wenig hinunter. In der Rollphase nehmen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit linear mit der Zeit ab.

	[[Bild:KegelnDiagramm2.gif\|thumb\|''I<sub>px</sub>-t'' und ''I<sub>Lz</sub>-t-''Diagramme]]		[[Bild:KegelnDiagramm2.gif\|thumb\|''I<sub>px</sub>-t'' und ''I<sub>Lz</sub>-t-''Diagramme]]
	Die Stärken des ''x''-Impulsstromes und der damit verknüpften ''z''-~~Drehimpulsguelle~~ sind anfänglich sehr gross. Sobald die Rollbewegung einsetzt, erzwingt das Rolldrehmoment einen dissipationsfreien Impulsabfluss. Die vom Impulsstrom freigesetzte Energie wird vollständig zum "Pumpen" des Drehimpulses (Quelle) benötigt. Dissipiert wird die Energie also nur durch den Abfluss von Drehimpuls. Nur der Drehimpuls "fällt" an der Kugeloberfläche über eine Potenzialdifferenz, über eine sprunghafte Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Der abfliessende Impuls verlässt die Kugel in der Rollphase dagegen ~~schon~~ auf "Nullniveau".		Die Stärken des ''x''-Impulsstromes und der damit verknüpften ''z''-Drehimpulsquelle sind anfänglich sehr gross. Sobald die Rollbewegung einsetzt, erzwingt das Rolldrehmoment einen dissipationsfreien Impulsabfluss. Die vom Impulsstrom freigesetzte Energie wird vollständig zum "Pumpen" des Drehimpulses (Quelle) benötigt. Dissipiert wird die Energie also nur durch den Abfluss von Drehimpuls. Nur der Drehimpuls "fällt" an der Kugeloberfläche über eine Potenzialdifferenz, über eine sprunghafte Änderung der Winkelgeschwindigkeit. Der abfliessende Impuls verlässt die Kugel in der Rollphase dagegen auf "Nullniveau".

	Will man also das Phänomen Rollreibung im Schnittbild erklären, muss ein Rollreibdrehmoment und eine Haftreibungskraft eingezeichnet werden. Die Haftreibungskraft steht für den Impulsabfluss, das Rolldrehmoment für den Drehimpulsabfluss. Das Hebelgesetz sorgt dann dafür, dass die vom Impulsstrom im Innern der Kugel freigesetzte Energe zu jedem Zeitpunkt genau so gross ist wie die Energie, die vom durch die Quelle zufliessenden Drehimpuls benötigt wird. Diese Kopplung bezeichnet man etwas salop als Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie.		Will man also das Phänomen Rollreibung im Schnittbild erklären, muss ein Rollreibdrehmoment und eine Haftreibungskraft eingezeichnet werden. Die Haftreibungskraft steht für den Impulsabfluss, das Rolldrehmoment für den Drehimpulsabfluss. Das Hebelgesetz sorgt dann dafür, dass die vom Impulsstrom im Innern der Kugel freigesetzte Energe zu jedem Zeitpunkt genau so gross ist wie die Energie, die vom durch die Quelle zufliessenden Drehimpuls benötigt wird. Diese Kopplung bezeichnet man etwas salop als Umwandlung von kinetischer Energie in Rotationsenergie.