Keplersche Gesetze - Versionsgeschichte

Admin am 18. November 2008 um 08:53 Uhr

2008-11-18T08:53:24Z

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	[[Bild:Plantenbahnen.gif\|thumb\|Zwei Planeten]] Die drei '''keplerschen Gesetze''' (auch '''Kepler-Gesetze''') sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen ''Johannes Kepler'' benannt. Er formulierte diese Gesetzmässigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik untersucht. Für Trabanten (Planeten, Planetoiden, Kometen), die sich um ein Zentralgestirn (Sonne oder Planet) bewegen, gilt		[[Bild:Plantenbahnen.gif\|thumb\|Zwei Planeten mit gleicher Periode]] Die drei '''keplerschen Gesetze''' (auch '''Kepler-Gesetze''') sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen ''Johannes Kepler'' benannt. Er formulierte diese Gesetzmässigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik untersucht. Für Trabanten (Planeten, Planetoiden, Kometen), die sich um ein Zentralgestirn (Sonne oder Planet) bewegen, gilt

	: ''1. Keplergesetz:'' Die Umlaufbahn eines Trabanten um das Zentralgestirn bildet eine Ellipse. Das Zentralgestirn liegt in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse.		: ''1. Keplergesetz:'' Die Umlaufbahn eines Trabanten um das Zentralgestirn bildet eine Ellipse. Das Zentralgestirn liegt in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse.

Admin am 18. November 2008 um 08:52 Uhr

2008-11-18T08:52:31Z

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	Die drei '''keplerschen Gesetze''' (auch '''Kepler-Gesetze''') sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen ''Johannes Kepler'' benannt. Er formulierte diese Gesetzmässigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik untersucht. Für Trabanten (Planeten, Planetoiden, Kometen), die sich um ein Zentralgestirn (Sonne oder Planet) bewegen, gilt		[[Bild:Plantenbahnen.gif\|thumb\|Zwei Planeten]] Die drei '''keplerschen Gesetze''' (auch '''Kepler-Gesetze''') sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen ''Johannes Kepler'' benannt. Er formulierte diese Gesetzmässigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik untersucht. Für Trabanten (Planeten, Planetoiden, Kometen), die sich um ein Zentralgestirn (Sonne oder Planet) bewegen, gilt

	: ''1. Keplergesetz:'' Die Umlaufbahn eines Trabanten um das Zentralgestirn bildet eine Ellipse. Das Zentralgestirn liegt in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse.		: ''1. Keplergesetz:'' Die Umlaufbahn eines Trabanten um das Zentralgestirn bildet eine Ellipse. Das Zentralgestirn liegt in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse.

Admin: /* Weblinks */

2008-01-13T16:11:37Z

Weblinks

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	* [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Weltbilder – Kepler Gesetze]. In: [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/ LEIFI]. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)		* [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Weltbilder – Kepler Gesetze]. In: [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/ LEIFI]. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)



	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:TransMod]] [[Kategorie:Modelle]]

Admin: /* Simulation */

2008-01-13T15:25:39Z

Simulation

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	==Simulation==		==Simulation==
	[[Bild:Kepler_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm einer Planetenbewegung]]		[[Bild:Kepler_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm einer Planetenbewegung]]
	Die Bewegung eines Himmelskörpers im Feld der Sonne ~~ist~~ ~~ohne~~ ~~dynamisches~~ ~~Modell~~ ~~zu rechnen~~, bestimmt doch ~~seine~~ momentane Lage die Beschleunigung (die Beschleunigung ist gleich der wirkenden Gravitationsfeldstärke). Das Modell besteht deshalb nur aus vier Integratoren (je zwei pro Raumrichtung) und einer Rückkopplung		Die Bewegung eines Himmelskörpers im Feld der Sonne lässt sich rein kinematisch berechnen, bestimmt doch die momentane Lage eines Körpers direkt die Beschleunigung (die Beschleunigung ist gleich der dort wirkenden Gravitationsfeldstärke). Das systemdynamische Modell besteht deshalb nur aus vier Integratoren (je zwei pro Raumrichtung) und einer Rückkopplung

	:<math>\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=-\frac{konst.}{r^3}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=-\frac{konst.}{r^3}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>

	Die Konstante ist, wie weiter oben diskutiert, gleich vier mal das Quadrat von ''π'' dividiert durch die Keplerkonstante. Nimmt man die Erde als ~~Körper~~, beträgt die Umlaufzeit ein Jahr. Die zugehörige Bahn darf in erster Näherung als Kreis mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer angenommen werden. Dies ergibt eine Keplerkonstante von 2.9510<sup>-19</sup> s<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>. Daraus berechnet man eine Gravitationsfeldstärke am Ort der Erde von 5.94610<sup>-3</sup> m/s<sup>2</sup>. Weil die Beschleunigung auf einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|Kreisbahn]] gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist, ergibt sich die Geschwindigkeit aus		Die hier verwendete Konstante ist, wie weiter oben diskutiert, gleich vier mal das Quadrat von ''π'' dividiert durch die Keplerkonstante. Nimmt man die Erde als Himmelskörper, beträgt die Umlaufzeit ein Jahr. Die zugehörige Bahn darf in erster Näherung als Kreis mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer angenommen werden. Dies ergibt eine Keplerkonstante von 2.9510<sup>-19</sup> s<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>. Daraus berechnet man eine Gravitationsfeldstärke am Ort der Erde von 5.94610<sup>-3</sup> N/kg (m/s<sup>2</sup>). Weil die Beschleunigung auf einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|Kreisbahn]] gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist, ergibt sich die Geschwindigkeit aus
		⚫	[[Bild:Erdbahn_v0_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Geschwindigkeiten]]

	:<math>v=\sqrt{a_nr}=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{KK r}}</math> =29'865 m/s		:<math>v=\sqrt{a_nr}=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{KK\cdot r}}</math> =29'865 m/s

		⚫	Die zweite Graphik zeigt eine Kreisbahn (rot) und zwei Ellipsen. Die Kreisbahn entsteht, falls man den weiter oben bestimmten Wert für die Geschwindigkeit von 29'865 m/s als Anfangswert für ''v<sub>y0</sub>'' und gleichzeitig 1.5*10<sup>11</sup> m als Startwert in ''x''-Richtung einsetzt. Vergrössert man die Anfangsgeschwindigkeit um 1000 m/s auf 30'865 m/s, ergibt sich eine Ellipse, die auf der gegenüber liegenden Seite der Sonne weiter hinauf führt (grüne Kurve). Eine um 1000 m/s kleiner Anfangsgeschwindigkeit ergibt eine Ellipse (schwarze Kurve), welche auf der linken Seite näher bei der Sonne verläuft. Die gewählte Simulationszeit von 200 Millionen Sekunden (6.3 Jahre) lässt die Erde mehrmals über den Kreis oder die Ellipsen wandern. Erst bei sehr starker Vergrösserung der Bahn können Abweichungen zwischen den einzelnen Umläufen festgestellt werden. Diese unterschiedlichen Bahnverläufe sind numerisch bedingt. Die exakte Lösung sieht nur eine Ellipsenbahn vor, die beliebig oft durchlaufen werden kann.
⚫	[[Bild:Erdbahn_v0_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Geschwindigkeiten]]
⚫	Die Graphik zeigt eine Kreisbahn (rot) und zwei Ellipsen. Die Kreisbahn entsteht, falls man den oben bestimmten Wert für die Geschwindigkeit von 29'865 m/s als Anfangswert für ''v<sub>y0</sub>'' ~~nimmt~~ und gleichzeitig ~~als Startwert in ''x''-Richtung~~ 1.5*10<sup>11</sup> m einsetzt. Vergrössert man die Anfangsgeschwindigkeit um 1000 m/s auf 30'865 m/s, ~~erhält~~ ~~man~~ eine Ellipse, die ~~weiter~~ ~~von~~ der Sonne ~~weg~~ führt (grüne Kurve). Eine um 1000 m/s kleiner Anfangsgeschwindigkeit ergibt eine Ellipse (schwarze Kurve), welche auf der ~~gegenüberliegenden~~ Seite näher bei der Sonne verläuft.

	[[Bild:Erdbahn_Exp_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Gravitationsgesetzen]]		[[Bild:Erdbahn_Exp_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Gravitationsgesetzen]]

			Auf der dritten Graphik sind drei recht unterschiedliche Bahnen, die nur noch wenig Gemeinsamkeiten aufweisen, zu erkennen. Die grüne Kurve beschreibt die gleich Ellipse wie die entsprechende Kurve in der zweiten Graphik. Die beiden andern Kurven sind mit der selben Anfangsgeschwindigkeit von 30'865 m/s und dem selben Startort simuliert worden. Nur ist diesmal die Gesetzmässigkeit der Gravitation verändert worden. Statt ein Exponent von 2 ist einer von 1.99 (rote Kurve) und einer von 1.98 (schwarze Kurve) eingesetzt worden. Würde die Gravitationsfeldstärke nicht exakt mit <math>\frac {1}{r^2}</math> abnehmen, würden die Bahnen der Trabanten der Sonne (Planeten, Planetoiden und Kometen) nicht mehr die Form von Ellipsen annehmen.

			Die Bahn des Merkurs weicht etwas von der Ellipsenform ab. Diese Abweichung, die viel weniger ausgeprägt ist als hier gezeigt, dreht die grosse Achse der Merkurellipse ein ganz klein wenig (Periheldrehung). Ein Teil dieser Drehung (43 Bodensekunden in hundert Jahren) kann nur mit der [[Allgemeine Relativitätstheorie\|allgemeinen Relativitätstheorie]] erklärt werden. Gemäss dieser von ''Albert Einstein'' formulierten Gravitationstheorie ändert sich das Gravitationsfeld in der Nähe der Sonne nicht genau nach dem eins-durch-r-Quadrat-Gesetz.

			Aus dynamischer Sicht ist die Bewegung eines Körpers in einem Zentralfeld eine unbefriedigende Sache, weil der [[Impuls]] mit einem fiktiven Punkt im All (Gravitationszentrum) ausgetauscht wird. Modelliert man die Sonne dazu, erhält man ein [[Zweikörperproblem]]. Ab dem [[Dreikörperproblem]] existieren keine geschlossenen Lösungen mehr. Der Aufwand, ein solches Modell mit Hilfe der [[System Dynamics\|Systemdynamik]] aufzustellen, hält sich dennoch in Grenzen.

	== Weblinks ==		== Weblinks ==

Admin: /* Simulation */

2008-01-13T13:35:45Z

Simulation

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	Die Konstante ist, wie weiter oben diskutiert, gleich vier mal das Quadrat von ''π'' dividiert durch die Keplerkonstante. Nimmt man die Erde als Körper, beträgt die Umlaufzeit ein Jahr. Die zugehörige Bahn darf in erster Näherung als Kreis mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer angenommen werden. Dies ergibt eine Keplerkonstante von 2.9510<sup>-19</sup> s<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>. Daraus berechnet man eine Gravitationsfeldstärke am Ort der Erde von 5.94610<sup>-3</sup> m/s<sup>2</sup>. Weil die Beschleunigung auf einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|Kreisbahn]] gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist, ergibt sich die Geschwindigkeit aus		Die Konstante ist, wie weiter oben diskutiert, gleich vier mal das Quadrat von ''π'' dividiert durch die Keplerkonstante. Nimmt man die Erde als Körper, beträgt die Umlaufzeit ein Jahr. Die zugehörige Bahn darf in erster Näherung als Kreis mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer angenommen werden. Dies ergibt eine Keplerkonstante von 2.9510<sup>-19</sup> s<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>. Daraus berechnet man eine Gravitationsfeldstärke am Ort der Erde von 5.94610<sup>-3</sup> m/s<sup>2</sup>. Weil die Beschleunigung auf einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|Kreisbahn]] gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist, ergibt sich die Geschwindigkeit aus

	:<math>v=\sqrt{a_nr}=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{KK r}}</math> =~~2.9865~~ m/s		:<math>v=\sqrt{a_nr}=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{KK r}}</math> =29'865 m/s

	[[Bild:Erdbahn_v0_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Geschwindigkeiten]]		[[Bild:Erdbahn_v0_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Geschwindigkeiten]]
			Die Graphik zeigt eine Kreisbahn (rot) und zwei Ellipsen. Die Kreisbahn entsteht, falls man den oben bestimmten Wert für die Geschwindigkeit von 29'865 m/s als Anfangswert für ''v<sub>y0</sub>'' nimmt und gleichzeitig als Startwert in ''x''-Richtung 1.5*10<sup>11</sup> m einsetzt. Vergrössert man die Anfangsgeschwindigkeit um 1000 m/s auf 30'865 m/s, erhält man eine Ellipse, die weiter von der Sonne weg führt (grüne Kurve). Eine um 1000 m/s kleiner Anfangsgeschwindigkeit ergibt eine Ellipse (schwarze Kurve), welche auf der gegenüberliegenden Seite näher bei der Sonne verläuft.
	Die Graphik zeigt eine Kreisbahn (rot) und zwei Ellipsen

	[[Bild:Erdbahn_Exp_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Gravitationsgesetzen]]		[[Bild:Erdbahn_Exp_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Gravitationsgesetzen]]

Admin am 13. Januar 2008 um 13:27 Uhr

2008-01-13T13:27:54Z

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	Seit man die Gravitationskonstante ''G'' im Labor bestimmen kann, kennt man dank den keplerschen Gesetzen die Masse der verschiedenen Zentralgestirne (Sonne, Jupiter, Erde).		Seit man die Gravitationskonstante ''G'' im Labor bestimmen kann, kennt man dank den keplerschen Gesetzen die Masse der verschiedenen Zentralgestirne (Sonne, Jupiter, Erde).

⚫	== Weblinks ==
⚫	* Walter Fendt: [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler1.htm Erstes Keplersches Gesetz], [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler2.htm Zweites Keplersches Gesetz] (Java-Applets)
⚫	* [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Weltbilder – Kepler Gesetze]. In: [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/ LEIFI]. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)

	==Simulation==		==Simulation==
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	:<math>\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=-\frac{konst.}{r^3}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=-\frac{konst.}{r^3}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>

	Die Konstante ist, wie weiter oben diskutiert, gleich vier mal das Quadrat von ''π'' dividiert durch die Keplerkonstante. Nimmt man die Erde als Körper, beträgt die Umlaufzeit ein Jahr. Die zugehörige Bahn darf in erster Näherung als Kreis mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer angenommen werden. Dies ergibt eine Keplerkonstante von 2.9510<sup>-19</sup> s<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>. Daraus ~~ergibt~~ ~~sich~~ eine Gravitationsfeldstärke am Ort der Erde von 5.94610<sup>-3</sup> m/s<sup>2</sup>. Weil die Beschleunigung auf einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|Kreisbahn]] gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist, ergibt sich die Geschwindigkeit aus		Die Konstante ist, wie weiter oben diskutiert, gleich vier mal das Quadrat von ''π'' dividiert durch die Keplerkonstante. Nimmt man die Erde als Körper, beträgt die Umlaufzeit ein Jahr. Die zugehörige Bahn darf in erster Näherung als Kreis mit einem Radius von 150 Millionen Kilometer angenommen werden. Dies ergibt eine Keplerkonstante von 2.9510<sup>-19</sup> s<sup>2</sup>/m<sup>3</sup>. Daraus berechnet man eine Gravitationsfeldstärke am Ort der Erde von 5.94610<sup>-3</sup> m/s<sup>2</sup>. Weil die Beschleunigung auf einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|Kreisbahn]] gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius ist, ergibt sich die Geschwindigkeit aus

	:<math>v=\sqrt{a_nr}=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{KK r}}</math>		:<math>v=\sqrt{a_nr}=\sqrt{gr}=\sqrt{\frac{4\pi^2}{KK r}}</math> =2.9865 m/s

	[[Bild:Erdbahn_v0_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Geschwindigkeiten]]		[[Bild:Erdbahn_v0_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Geschwindigkeiten]]
			Die Graphik zeigt eine Kreisbahn (rot) und zwei Ellipsen

	[[Bild:Erdbahn_Exp_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Gravitationsgesetzen]]		[[Bild:Erdbahn_Exp_variabel.png\|thumb\|Erdbahn mit verschiedenen Gravitationsgesetzen]]

		⚫	== Weblinks ==
		⚫	* Walter Fendt: [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler1.htm Erstes Keplersches Gesetz], [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler2.htm Zweites Keplersches Gesetz] (Java-Applets)
		⚫	* [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Weltbilder – Kepler Gesetze]. In: [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/ LEIFI]. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)

Admin: /* Weblinks */

2008-01-13T13:23:18Z

Weblinks

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 * Walter Fendt: [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler1.htm Erstes Keplersches Gesetz], [http://www.walter-fendt.de/ph11d/kepler2.htm Zweites Keplersches Gesetz] (Java-Applets)
 * [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/materialseiten/m09_kepler.htm Weltbilder – Kepler Gesetze]. In: [http://leifi.physik.uni-muenchen.de/ LEIFI]. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen,  Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)
 [[Kategorie:Trans]]

Admin: /* Gravitationsgesetz */

2008-01-12T22:45:19Z

Gravitationsgesetz

← Nächstältere Version		Version vom 12. Januar 2008, 22:45 Uhr
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	:<math>g=-\frac{4\pi^2}{KK}\frac{1}{r^2}</math>		:<math>g=-\frac{4\pi^2}{KK}\frac{1}{r^2}</math>

	~~Gemäss~~ den keplerschen Gesetzen ~~nimmt~~ die Gravitationsfeldstärke wie die Intensität des Lichts einer punktförmigen Quelle mit dem Quadrat des Abstandes ab. Nimmt man an, dass die Gravitationsfeldstärke proportional zur Masse des Zentralgestirns ''m<sub>Z</sub>'' und einer universellen Konstante ''G'' ist, darf das die Graviationsfeldstärke eines Körpers wie folgt geschrieben werden		Aus den keplerschen Gesetzen folgt damit, dass sich die Gravitationsfeldstärke eines grossen Himmelskörpers wie die Intensität des Lichts einer punktförmigen Quelle mit dem Quadrat des Abstandes abschwächt. Nimmt man an, dass die Gravitationsfeldstärke proportional zur Masse des Zentralgestirns ''m<sub>Z</sub>'' und einer universellen Konstante ''G'' ist, darf das die Graviationsfeldstärke eines Körpers wie folgt geschrieben werden

	:<math>g=-G\frac{m_Z}{r^2}</math>		:<math>g=-G\frac{m_Z}{r^2}</math>
Zeile 95:		Zeile 95:

	:<math>KK=\frac{4\pi^2}{G m_Z}</math>		:<math>KK=\frac{4\pi^2}{G m_Z}</math>

			Seit man die Gravitationskonstante ''G'' im Labor bestimmen kann, kennt man dank den keplerschen Gesetzen die Masse der verschiedenen Zentralgestirne (Sonne, Jupiter, Erde).

	== Weblinks ==		== Weblinks ==

Admin: /* Gravitationsgesetz */

2008-01-12T22:31:45Z

Gravitationsgesetz

Admin: /* Gravitationsgesetz */

2008-01-12T22:09:03Z

Gravitationsgesetz

← Nächstältere Version		Version vom 12. Januar 2008, 22:09 Uhr
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	:<math>\dot r=\frac{\varepsilon}{k}\sin(\varphi)r^2\dot\varphi</math>		:<math>\dot r=\frac{\varepsilon}{k}\sin(\varphi)r^2\dot\varphi</math>

	Der Flächensatz verlangt nun, dass		Der Flächensatz verlangt nun, dass die Änderungsrate der Fläche

	:<math>\vec r\times \vec v=r^2\dot\varphi=A_{P}</math>		:<math>\vec r\times \vec v=r^2\dot\varphi=2A_{P}</math>

	konstant bleibt. Folglich ist die Radialgeschwindigkeit gleich		konstant bleibt. Folglich ist die Radialgeschwindigkeit gleich

	:<math>\dot r=\frac{\varepsilon}{k}\sin(\varphi)~~A_P~~</math>		:<math>\dot r=\frac{\varepsilon}{k}\sin(\varphi)2A_P</math>

	Eine nochmalige Ableitung nach der Zeit liefert		Eine nochmalige Ableitung nach der Zeit liefert

	:<math>\ddot r=\frac{\varepsilon A_P}{k}\cos(\varphi)\dot \varphi=\frac{\varepsilon A_P^2}{kr^2}\cos(\varphi)</math>		:<math>\ddot r=2\frac{\varepsilon A_P}{k}\cos(\varphi)\dot \varphi=4\frac{\varepsilon A_P^2}{kr^2}\cos(\varphi)</math>

	Der zweite Term in der Radialbeschleunigung lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Flächensatzes umschreiben		Der zweite Term in der Radialbeschleunigung lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Flächensatzes umschreiben

	:<math>r\dot\varphi^2=\frac{A_P}{r^3}</math>		:<math>r\dot\varphi^2=4\frac{A_P}{r^3}</math>

	Nun setzt man beide Ausdrücke in die Radialbeschleunigung ein und verwendet nochmals die Beschreibung der Ellipse vom Brennpunkt aus		Nun setzt man beide Ausdrücke in die Radialbeschleunigung ein und verwendet nochmals die Beschreibung der Ellipse vom Brennpunkt aus

	:<math>g=a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2=\frac{A_P^2}{r^2}\left(\frac{\varepsilon}{k}\cos\varphi-\frac 1r\right)=-\frac{A_P}{kr^2}</math>		:<math>g=a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2=4\frac{A_P^2}{r^2}\left(\frac{\varepsilon}{k}\cos\varphi-\frac 1r\right)=-4\frac{A_P}{kr^2}</math>

			Die Flächenänderungsrate ''A<sub>P</sub>'' und der Ellipsenparameter ''k'' sind für jeden Trabanten verschieden. Für die zugehörige Umlaufzeit gilt

			:<math>T=\frac{A}{A_P}=\frac{\pi ab}{A_P}</math>

			Das dritte keplersche Gesetz verlangt nun, dass die Umlaufzeit im Quadrat dividiert durch die dritte Potenz der grossen Halbachse ''a'' für alle Trabanten den gleichen Wert liefert

			:<math>\frac{T^2}{a^3}=\frac{\pi^2 a^2 b^2}{A_P^2 a^3}=\frac{\pi b^2}{A_P a}=\frac{\pi k}{A_P}=KK</math>

			In der zweitletzten Umformung ist für den Ellipsenparameter ''k'' die Beziehung <math>k=\frac{b^2}{a}</math> verwendet worden. Die Keplerkonstante ''KK'' hat für alle Trabanten den gleichen Wert. Folglich gilt für die Gravitationsfeldstärke

			:<math>g=-\frac{4\pi}{KK}\frac{1}{r^2}</math>

			Nimmt man an, dass die Gravitationsfeldstärke proportional zur Masse des Zentralgestirns ''m<sub>Z</sub>'' und einer universellen Konstante ''G'' ist, darf das die Graviationsfeldstärke eines Körpers wie folgt geschrieben werden

			:<math>g=-G\frac{m_Z}{r^2}</math>

			Die Keplerkonstante ist demnach proportional zum Reziprokwert der Masse des Zentralgestirns

			:<math>KK=\frac{4\pi}{m_Z}</math>

	== Weblinks ==		== Weblinks ==

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	==Gravitationsgesetz==		==Gravitationsgesetz==
	Aus den keplerschen Gesetzen hat Newton das Gravitationsgesetz abgeleitet. Diese Ableitung soll hier rekapituliert werden. Vernachlässigt man die Wechselwirkung zwischen den Trabanten und nimmt nur dir Gravitationskraft ~~der~~ ~~Sonne~~, ist die Beschleunigung eines Trabanten zu jeder Zeit und an jedem Ort gleich der Gravitationsfeldstärke ~~der~~ ~~Sonne~~. Aus der Symmetrie des Gravitatinsfeldes folgt, dass die Feldstärke und somit die Beschleunigung immer gegen die Mitte ~~der~~ ~~Sonne~~ zeigt. Ausgedrückt in [[Polarkoordinaten]] ist die Radialbeschleunigung gleich		Aus den keplerschen Gesetzen hat Newton das Gravitationsgesetz abgeleitet. Diese Ableitung soll hier rekapituliert werden. Vernachlässigt man die Wechselwirkung zwischen den Trabanten und nimmt nur dir Gravitationskraft des Zentralgestirns, ist die Beschleunigung eines Trabanten zu jeder Zeit und an jedem Ort gleich der Gravitationsfeldstärke des Zentralgestirns. Aus der Symmetrie des Gravitatinsfeldes folgt, dass die Feldstärke und somit die Beschleunigung immer gegen die Mitte des Zentralgestirns zeigt. Ausgedrückt in [[Polarkoordinaten]] ist die Radialbeschleunigung gleich

	:<math>g=a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2</math>		:<math>g=a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2</math>

	~~Von~~ ~~einem~~ ~~Brennpunkt~~ ~~aus~~ lässt sich ~~die Ellipse~~ mit Hilfe der numerischen Exzentrizität :<math>\varepsilon = \frac ea = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}a </math> (''a'' grosse, ''b'' kleine Halbasche, ''e'' Exzentrizität) und dem Parameter <math>k=\frac{a^2-e^2}{a}</math> beschreiben		Die elliptische Bahn eines Trabanten lässt sich mit Hilfe der numerischen Exzentrizität :<math>\varepsilon = \frac ea = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}a </math> (''a'' grosse, ''b'' kleine Halbasche, ''e'' Exzentrizität) und dem Parameter <math>k=\frac{a^2-e^2}{a}=\frac{b^2}{a}</math> beschreiben

	:<math>\frac 1r=\frac 1k(1+\varepsilon \cos\varphi)</math>		:<math>\frac 1r=\frac 1k(1+\varepsilon \cos\varphi)</math>
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	:<math>\dot r=\frac{\varepsilon}{k}\sin(\varphi)r^2\dot\varphi</math>		:<math>\dot r=\frac{\varepsilon}{k}\sin(\varphi)r^2\dot\varphi</math>

	Der Flächensatz verlangt nun, dass die Änderungsrate der Fläche		Der Flächensatz ('''zweites''' keplersches Gesetz) verlangt nun, dass die Änderungsrate der Fläche ''A<sub>P</sub>''

	:<math>\vec r\times \vec v=r^2\dot\varphi=2A_{P}</math>		:<math>\vec r\times \vec v=r^2\dot\varphi=2A_{P}</math>
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	Der zweite Term in der Radialbeschleunigung lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Flächensatzes umschreiben		Der zweite Term in der Radialbeschleunigung lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Flächensatzes umschreiben

	:<math>r\dot\varphi^2=4\frac{A_P}{r^3}</math>		:<math>r\dot\varphi^2=4\frac{A_P^2}{r^3}</math>

	Nun setzt man beide Ausdrücke in die Radialbeschleunigung ein und verwendet nochmals die Beschreibung der Ellipse vom Brennpunkt aus		Nun setzt man beide Ausdrücke in die Radialbeschleunigung ein und verwendet nochmals die Beschreibung der Ellipse vom Brennpunkt aus

	:<math>g=a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2=4\frac{A_P^2}{r^2}\left(\frac{\varepsilon}{k}\cos\varphi-\frac 1r\right)=-4\frac{A_P}{kr^2}</math>		:<math>g=a_r=\ddot r-r\dot\varphi^2=4\frac{A_P^2}{r^2}\left(\frac{\varepsilon}{k}\cos\varphi-\frac 1r\right)=-4\frac{A_P^2}{kr^2}</math>

	Die Flächenänderungsrate ''A<sub>P</sub>'' und der Ellipsenparameter ''k'' sind für jeden Trabanten verschieden. Für die zugehörige Umlaufzeit gilt		Die Flächenänderungsrate ''A<sub>P</sub>'' und der Ellipsenparameter ''k'' sind für jeden Trabanten verschieden. Für die zugehörige Umlaufzeit gilt
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	:<math>T=\frac{A}{A_P}=\frac{\pi ab}{A_P}</math>		:<math>T=\frac{A}{A_P}=\frac{\pi ab}{A_P}</math>

	Das dritte keplersche Gesetz verlangt nun, dass die Umlaufzeit im Quadrat dividiert durch die dritte Potenz der grossen Halbachse ''a'' für alle Trabanten den gleichen Wert liefert		Das '''dritte''' keplersche Gesetz verlangt nun, dass die Umlaufzeit im Quadrat dividiert durch die dritte Potenz der grossen Halbachse ''a'' für alle Trabanten den gleichen Wert liefert

	:<math>\frac{T^2}{a^3}=\frac{\pi^2 a^2 b^2}{A_P^2 a^3}=\frac{\pi b^2}{A_P a}=\frac{\pi k}{A_P}=KK</math>		:<math>\frac{T^2}{a^3}=\frac{\pi^2 a^2 b^2}{A_P^2 a^3}=\frac{\pi^2 b^2}{A_P^2 a}=\frac{\pi^2 k}{A_P^2}=KK</math>

	In der zweitletzten Umformung ist für den Ellipsenparameter ''k'' die Beziehung <math>k=\frac{b^2}{a}</math> verwendet worden. Die Keplerkonstante ''KK'' hat für alle Trabanten den gleichen Wert. Folglich gilt für die Gravitationsfeldstärke		In der zweitletzten Umformung ist für den Ellipsenparameter ''k'' die Beziehung <math>k=\frac{b^2}{a}</math> verwendet worden. Die Keplerkonstante ''KK'' hat für alle Trabanten den gleichen Wert. Folglich gilt für die Gravitationsfeldstärke

	:<math>g=-\frac{4\pi}{KK}\frac{1}{r^2}</math>		:<math>g=-\frac{4\pi^2}{KK}\frac{1}{r^2}</math>

	Nimmt man an, dass die Gravitationsfeldstärke proportional zur Masse des Zentralgestirns ''m<sub>Z</sub>'' und einer universellen Konstante ''G'' ist, darf das die Graviationsfeldstärke eines Körpers wie folgt geschrieben werden		Gemäss den keplerschen Gesetzen nimmt die Gravitationsfeldstärke wie die Intensität des Lichts einer punktförmigen Quelle mit dem Quadrat des Abstandes ab. Nimmt man an, dass die Gravitationsfeldstärke proportional zur Masse des Zentralgestirns ''m<sub>Z</sub>'' und einer universellen Konstante ''G'' ist, darf das die Graviationsfeldstärke eines Körpers wie folgt geschrieben werden

	:<math>g=-G\frac{m_Z}{r^2}</math>		:<math>g=-G\frac{m_Z}{r^2}</math>
Zeile 94:		Zeile 94:
	Die Keplerkonstante ist demnach proportional zum Reziprokwert der Masse des Zentralgestirns		Die Keplerkonstante ist demnach proportional zum Reziprokwert der Masse des Zentralgestirns

	:<math>KK=\frac{4\pi}{m_Z}</math>		:<math>KK=\frac{4\pi^2}{G m_Z}</math>

	== Weblinks ==		== Weblinks ==