Kreisbewegung - Versionsgeschichte

Systemdynamiker: /* Siehe auch */

2017-11-19T12:35:19Z

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	==Siehe auch==		==Siehe auch==
	*[[Erzwungene Kreisbewegung]]		*[[Erzwungene Kreisbewegung]]
	*[~~https:~~http://www.youtube.com/watch?v=62ssS0Eow9s Video mit Animation]		*[http://www.youtube.com/watch?v=62ssS0Eow9s Video mit Animation]
	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]
	*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube		*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube

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2017-11-19T12:34:32Z

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	==Siehe auch==		==Siehe auch==
	*[[Erzwungene Kreisbewegung]]		*[[Erzwungene Kreisbewegung]]
	*[https://~~home~~.~~zhaw~~.ch/~~~maur/Lehre/Wiki/Kreisbewegung.html~~ Animation]		*[https:http://www.youtube.com/watch?v=62ssS0Eow9s Video mit Animation]
	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]
	*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube		*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube

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2011-03-07T06:06:36Z

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	*[https://home.zhaw.ch/~maur/Lehre/Wiki/Kreisbewegung.html Animation]		*[https://home.zhaw.ch/~maur/Lehre/Wiki/Kreisbewegung.html Animation]
	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]
			*[http://www.youtube.com/watch?v=16HiNCBJAeg Kreisbewegung] auf Youtube

	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

Admin: /* Impulsbilanz */

2011-03-07T06:05:42Z

Impulsbilanz

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2011, 06:05 Uhr
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	Die Impulsänderungsrate erhält man durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit		Die Impulsänderungsrate erhält man durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit

	<math>\begin{pmatrix} \dot p_x \\ \dot p_y \end{pmatrix} = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + \omega p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} \dot p_x \\ \dot p_y \end{pmatrix} = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = \dot p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + \omega p \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math>

	Der erste Term beschreibt die [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die [[Impulsbilanz]] setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstrom- und -quellenstärke. In der [[Punktmechanik]] sagt man dieser Summe resultierende [[Kraft]] und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin		Der erste Term beschreibt die [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die [[Impulsbilanz]] setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstrom- und -quellenstärke. In der [[Punktmechanik]] sagt man dieser Summe resultierende [[Kraft]] und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin

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2009-11-30T06:42:28Z

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	*[[Erzwungene Kreisbewegung]]		*[[Erzwungene Kreisbewegung]]
	*[https://home.zhaw.ch/~maur/Lehre/Wiki/Kreisbewegung.html Animation]		*[https://home.zhaw.ch/~maur/Lehre/Wiki/Kreisbewegung.html Animation]
			*[https://cast.switch.ch/vod/clips/1kmkuy0vb0/link_box Video der Vorlesung]

	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

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2009-10-14T06:55:20Z

Siehe auch

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	==Siehe auch==		==Siehe auch==
	*[[Erzwungene Kreisbewegung]]		*[[Erzwungene Kreisbewegung]]
			*[https://home.zhaw.ch/~maur/Lehre/Wiki/Kreisbewegung.html Animation]

	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

Admin: /* Punktmechanik */

2008-09-28T13:00:25Z

Punktmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2008, 13:00 Uhr
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	Die Dynamik der Kreisbewegung sollte nach mehr als zweihundert Jahren [[Newtonsche Axiome\|Newtonscher Mechanik]] eigentlich keine ernsthaften Probleme mehr bereiten. Didaktische Untersuchungen haben aber gezeigt, dass die Mehrheit einer Gruppe von Physik Studierenden bei der Kreisfahrt eines Autos weder in der Lage ist, Kräfte korrekt einzuzeichnen, noch die Richtung der Beschleunigung einigermassen richtig anzugeben weiss [JUNG, W., WIESNER, H.: ''Verständnisschwierigkeiten beim physikalischen Kraftbegriff''. Eine Untersuchung zum Kraftbegriff bei Physikstudenten. In: Physik und Didaktik 2/1981, S. 111-122]. Was erzählen wohl diese ehemaligen Studenten, von denen viele als Physiklehrer tätig sein dürften, heute ihren Schülerinnen und Schülern?		Die Dynamik der Kreisbewegung sollte nach mehr als zweihundert Jahren [[Newtonsche Axiome\|Newtonscher Mechanik]] eigentlich keine ernsthaften Probleme mehr bereiten. Didaktische Untersuchungen haben aber gezeigt, dass die Mehrheit einer Gruppe von Physik Studierenden bei der Kreisfahrt eines Autos weder in der Lage ist, Kräfte korrekt einzuzeichnen, noch die Richtung der Beschleunigung einigermassen richtig anzugeben weiss [JUNG, W., WIESNER, H.: ''Verständnisschwierigkeiten beim physikalischen Kraftbegriff''. Eine Untersuchung zum Kraftbegriff bei Physikstudenten. In: Physik und Didaktik 2/1981, S. 111-122]. Was erzählen wohl diese ehemaligen Studenten, von denen viele als Physiklehrer tätig sein dürften, heute ihren Schülerinnen und Schülern?

			==Siehe auch==
			*[[Erzwungene Kreisbewegung]]

	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

Admin am 5. Mai 2008 um 04:07 Uhr

2008-05-05T04:07:59Z

Admin: /* Punktmechanik */

2007-05-07T05:32:04Z

Punktmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2007, 05:32 Uhr
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	==Punktmechanik==		==Punktmechanik==
	[[Bild:Kreisbewegung2.png\|thumb\|Normal- und Tangentialbeschleunigung bei einer Kreisbewegung]]		[[Bild:Kreisbewegung2.png\|thumb\|Normal- und Tangentialbeschleunigung bei einer Kreisbewegung]]
	In der Modellstruktur der [[Punktmechanik]] untersucht man die Bewegung von punkförmigen Körpern unter der Wirkung von Zentralkräften (Wechselwirkungspaare zwischen den einzelnen Punkten). Bei der Kreisbewegung beschränkt man sich auf einen einzigen Körper, der unter der Wirkung von Kräften einer vorgegebenen Kreisbahn folgt. Die resultierende Kraft ist dann gemäss dem Aktionsprinzip von Newton über die Beschleunigung definiert.		In der Modellstruktur der [[Punktmechanik]] untersucht man die Bewegung von punkförmigen Körpern unter der Wirkung von Zentralkräften (Wechselwirkungspaare zwischen den einzelnen Punkten). Bei der Kreisbewegung beschränkt man sich auf einen einzigen Körper, der unter der Wirkung von Kräften einer vorgegebenen Kreisbahn folgt. Die resultierende Kraft ist dann gemäss dem Aktionsprinzip von [[Newtonsche Axiome\|Newton]] über die Beschleunigung definiert.

	Die Beschleunigung bei Kreisbewegungen erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit		Die Beschleunigung bei Kreisbewegungen erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit

Admin: /* Punktmechanik */

2007-05-07T05:26:44Z

Punktmechanik

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2007, 05:26 Uhr
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	Die Beschleunigung zerfällt in einen Anteil, der in Bewegungsrichtung zeigt (''a<sub>t</sub> = dv/dt''), und einen Anteil, der normal zur Bewegungsrichtung steht, also zur Kreismitte gerichtet ist (''a<sub>n</sub> = v ω = r ω<sup>2</sup> = v<sup>2</sup> / r'' ). Im [[Alltagsmechanik\|Alltag]] wird nur die Tangentialbeschleunigung ''a<sub>t</sub>'' als Beschleunigung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu) oder als Verzögerung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt ab) wahrgenommen. Die Normalbeschleunigung gilt in der Umgangssprache nicht als Beschleunigung.		Die Beschleunigung zerfällt in einen Anteil, der in Bewegungsrichtung zeigt (''a<sub>t</sub> = dv/dt''), und einen Anteil, der normal zur Bewegungsrichtung steht, also zur Kreismitte gerichtet ist (''a<sub>n</sub> = v ω = r ω<sup>2</sup> = v<sup>2</sup> / r'' ). Im [[Alltagsmechanik\|Alltag]] wird nur die Tangentialbeschleunigung ''a<sub>t</sub>'' als Beschleunigung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu) oder als Verzögerung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt ab) wahrgenommen. Die Normalbeschleunigung gilt in der Umgangssprache nicht als Beschleunigung.

	Die Dynamik der Kreisbewegung sollte nach mehr als zweihundert Jahren Newtonscher Mechanik eigentlich keine ernsthaften Probleme mehr bereiten. Didaktische Untersuchungen haben aber gezeigt, dass die Mehrheit einer Gruppe von Physik Studierenden bei der Kreisfahrt eines Autos weder in der Lage ist, Kräfte korrekt einzuzeichnen, noch die Richtung der Beschleunigung einigermassen richtig anzugeben weiss [JUNG, W., WIESNER, H.: ''Verständnisschwierigkeiten beim physikalischen Kraftbegriff''. Eine Untersuchung zum Kraftbegriff bei Physikstudenten. In: Physik und Didaktik 2/1981, S. 111-122]. Was erzählen wohl diese ehemaligen Studenten, von denen viele als Physiklehrer tätig sein dürften, heute ihren Schülerinnen und Schülern?		Die Dynamik der Kreisbewegung sollte nach mehr als zweihundert Jahren [[Newtonsche Axiome\|Newtonscher Mechanik]] eigentlich keine ernsthaften Probleme mehr bereiten. Didaktische Untersuchungen haben aber gezeigt, dass die Mehrheit einer Gruppe von Physik Studierenden bei der Kreisfahrt eines Autos weder in der Lage ist, Kräfte korrekt einzuzeichnen, noch die Richtung der Beschleunigung einigermassen richtig anzugeben weiss [JUNG, W., WIESNER, H.: ''Verständnisschwierigkeiten beim physikalischen Kraftbegriff''. Eine Untersuchung zum Kraftbegriff bei Physikstudenten. In: Physik und Didaktik 2/1981, S. 111-122]. Was erzählen wohl diese ehemaligen Studenten, von denen viele als Physiklehrer tätig sein dürften, heute ihren Schülerinnen und Schülern?

	[[Kategorie:Trans]]		[[Kategorie:Trans]]

← Nächstältere Version		Version vom 5. Mai 2008, 04:07 Uhr
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	Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn beschreibt man am einfachsten mittels den Polarkoordinaten ''r'' und ''φ''. Polarkoordinaten lassen sich mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen in kartesische Korrdinaten umrechnen		Die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn beschreibt man am einfachsten mittels den Polarkoordinaten ''r'' und ''φ''. Polarkoordinaten lassen sich mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen in kartesische Korrdinaten umrechnen

	<math>\vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}</math>		:<math>\vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix}</math>

	Bei der Kreisbewegung ist ''r'' ein [[Parameter]] und ''φ'' eine Funktion der Zeit. Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert den Geschwindigkeitsvektor des kreisenden [[Referenzpunkt\|Referenzpunktes]]		Bei der Kreisbewegung ist ''r'' ein [[Parameter]] und ''φ'' eine Funktion der Zeit. Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert den Geschwindigkeitsvektor des kreisenden [[Referenzpunkt\|Referenzpunktes]]

	<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi</math>		:<math>\dot {\vec r} = \begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi</math>
	oder		oder
	<math>\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = r \omega \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = r \omega \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math>

	Der Geschwindigkeitsvektor steht normal zum Radius. Sein Betrag ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Radius und der Winkelgeschwindigkeit.		Der Geschwindigkeitsvektor steht normal zum Radius. Sein Betrag ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Radius und der Winkelgeschwindigkeit.
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	Das [[kapazitives Gesetz\|Kapazitivgesetz]] liefert bei gegebener Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes den Impulsinhalt des Körpers		Das [[kapazitives Gesetz\|Kapazitivgesetz]] liefert bei gegebener Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes den Impulsinhalt des Körpers

	<math>\vec p = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} = m \vec v = m v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math>		:<math>\vec p = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} = m \vec v = m v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix}</math>

	Für den Betrag des Impulsvektors gilt: ''p = m v = m ω r''		Für den Betrag des Impulsvektors gilt: ''p = m v = m ω r''
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	Der erste Term beschreibt die [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die [[Impulsbilanz]] setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstrom- und -quellenstärke. In der [[Punktmechanik]] sagt man dieser Summe resultierende [[Kraft]] und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin		Der erste Term beschreibt die [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages, der zweite Term die durch die Kreisbahn erzwungene Schwenkbewegung des Impulsvektors. Die [[Impulsbilanz]] setzt nun die Impulsänderungsrate gleich der Summe über alle Impulsstrom- und -quellenstärke. In der [[Punktmechanik]] sagt man dieser Summe resultierende [[Kraft]] und schreibt die Gleichung oft koordinatenunabhängig hin

	<math>\vec F_{res} = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p</math>		:<math>\vec F_{res} = \dot p \frac {\vec p} {p} + \vec \omega \times \vec p</math>

	Mit ''p'' ist der Betrag des Impulsvektors gemeint. Dass die [[Winkelgeschwindigkeit]] als Vektor geschrieben werden darf, ist mathematisch nicht einfach zu begründen. Dieser Vektor steht nach der Rechten-Hand-Regel normal zur Kreisbahnebene. Die [[Rechte-Hand-Regel\|Rechte-Hand-Regel]] besagt hier, dass der Daumen der rechten Hand die Richtung der Winkelgeschwindgigkeit anzeigt, wenn die Finger im Drehsinn auf den Kreis gelegt werden.		Mit ''p'' ist der Betrag des Impulsvektors gemeint. Dass die [[Winkelgeschwindigkeit]] als Vektor geschrieben werden darf, ist mathematisch nicht einfach zu begründen. Dieser Vektor steht nach der Rechten-Hand-Regel normal zur Kreisbahnebene. Die [[Rechte-Hand-Regel\|Rechte-Hand-Regel]] besagt hier, dass der Daumen der rechten Hand die Richtung der Winkelgeschwindgigkeit anzeigt, wenn die Finger im Drehsinn auf den Kreis gelegt werden.
Zeile 38:		Zeile 38:
	Falls die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, also bei einer gleichförmigen Kreisbewegung, entfällt der erste Term		Falls die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, also bei einer gleichförmigen Kreisbewegung, entfällt der erste Term

	<math>\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p = -\omega p \frac {\vec r} {r}</math>		:<math>\vec F_{res} = \vec \omega \times \vec p = -\omega p \frac {\vec r} {r}</math>

	Bei der [[gleichmässige Kreisbewegung\|gleichmässigen Kreisbewegung]] zeigt der Vektor der resultierenden Kraft gegen das Kreiszentrum und sein Betrag ist gleich dem Produkt aus Winkelgeschwindigkeit und Impulsinhalt des Körpers.		Bei der [[gleichmässige Kreisbewegung\|gleichmässigen Kreisbewegung]] zeigt der Vektor der resultierenden Kraft gegen das Kreiszentrum und sein Betrag ist gleich dem Produkt aus Winkelgeschwindigkeit und Impulsinhalt des Körpers.
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	Wird die Kreisbewegung durch einen einzigen Impulsstrom, eine einzige [[Kraft]], verursacht, kann der [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energiestrom]] durch das Skalarprodukt aus Geschwindigkeit und Impulsänderungsrate ausgedrückt werden (in diesem Fall ist die Impulsänderungsrate gleich gross wie die Impulsstromstärke)		Wird die Kreisbewegung durch einen einzigen Impulsstrom, eine einzige [[Kraft]], verursacht, kann der [[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energiestrom]] durch das Skalarprodukt aus Geschwindigkeit und Impulsänderungsrate ausgedrückt werden (in diesem Fall ist die Impulsänderungsrate gleich gross wie die Impulsstromstärke)

	<math>I_W = v_x \dot p_x + v_y \dot p_y + v_z \dot p_z = v \dot p [\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi] + v \omega p [\sin \varphi \cos \varphi - \cos \varphi \sin \varphi] = v \dot p</math>		:<math>I_W = v_x \dot p_x + v_y \dot p_y + v_z \dot p_z = v \dot p [\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi] + v \omega p [\sin \varphi \cos \varphi - \cos \varphi \sin \varphi] = v \dot p</math>

	Der zugeordnete Energiestrom ist gleich dem Produkt aus [[Schnelligkeit]] (Betrag der Geschwindigkeit) und [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages. Dieser Energiestrom verschwindet bei einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|gleichmässigen Kreisbewegung]], weil dann der Betrag des Impulses konstant bleibt. Sobald mehrere Impulsströme im Spiel sind, mehrer Kräfte wirken (kreisendes Flugzeug, Kurvenfahrt eines Schnellzuges), verschwindet bei der gleichmässigen Kreisbewegung nur die Summe über alle Energieströme, nicht aber die den einzelnen Impulsströmen zugeordneten Energieströme.		Der zugeordnete Energiestrom ist gleich dem Produkt aus [[Schnelligkeit]] (Betrag der Geschwindigkeit) und [[Änderungsrate]] des Impulsbetrages. Dieser Energiestrom verschwindet bei einer [[gleichmässige Kreisbewegung\|gleichmässigen Kreisbewegung]], weil dann der Betrag des Impulses konstant bleibt. Sobald mehrere Impulsströme im Spiel sind, mehrer Kräfte wirken (kreisendes Flugzeug, Kurvenfahrt eines Schnellzuges), verschwindet bei der gleichmässigen Kreisbewegung nur die Summe über alle Energieströme, nicht aber die den einzelnen Impulsströmen zugeordneten Energieströme.
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	Setzt man den resultierenden Energiestrom in die Energiebilanz ein, bekommt man die [[Änderungsrate]] der kinetischen Energie		Setzt man den resultierenden Energiestrom in die Energiebilanz ein, bekommt man die [[Änderungsrate]] der kinetischen Energie

	<math>I_W = \dot W_{kin} = \frac {m}{2}(v^2\dot) = m v \dot v = v \dot p</math>		:<math>I_W = \dot W_{kin} = \frac {m}{2}(v^2\dot) = m v \dot v = v \dot p</math>

	Die Energiebilanz folgt somit - wie in der ganzen Mechanik der homogenen Systeme - direkt aus der Impulsbilanz. Die Änderungsrate der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]] eines Körpers ist demnach immer gleich Geschwindigkeit mal Änderungsrate des Impulses.		Die Energiebilanz folgt somit - wie in der ganzen Mechanik der homogenen Systeme - direkt aus der Impulsbilanz. Die Änderungsrate der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]] eines Körpers ist demnach immer gleich Geschwindigkeit mal Änderungsrate des Impulses.
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	Die Beschleunigung bei Kreisbewegungen erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit		Die Beschleunigung bei Kreisbewegungen erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit

	<math>\begin{pmatrix} \dot v_x \\ \dot v_y \end{pmatrix} = \dot v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = a_t \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + a_n \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} \dot v_x \\ \dot v_y \end{pmatrix} = \dot v \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix} \dot \varphi = a_t \begin{pmatrix} -\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{pmatrix} + a_n \begin{pmatrix} -\cos \varphi \\ -\sin \varphi \end{pmatrix}</math>

	Die Beschleunigung zerfällt in einen Anteil, der in Bewegungsrichtung zeigt (''a<sub>t</sub> = dv/dt''), und einen Anteil, der normal zur Bewegungsrichtung steht, also zur Kreismitte gerichtet ist (''a<sub>n</sub> = v ω = r ω<sup>2</sup> = v<sup>2</sup> / r'' ). Im [[Alltagsmechanik\|Alltag]] wird nur die Tangentialbeschleunigung ''a<sub>t</sub>'' als Beschleunigung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu) oder als Verzögerung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt ab) wahrgenommen. Die Normalbeschleunigung gilt in der Umgangssprache nicht als Beschleunigung.		Die Beschleunigung zerfällt in einen Anteil, der in Bewegungsrichtung zeigt (''a<sub>t</sub> = dv/dt''), und einen Anteil, der normal zur Bewegungsrichtung steht, also zur Kreismitte gerichtet ist (''a<sub>n</sub> = v ω = r ω<sup>2</sup> = v<sup>2</sup> / r'' ). Im [[Alltagsmechanik\|Alltag]] wird nur die Tangentialbeschleunigung ''a<sub>t</sub>'' als Beschleunigung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt zu) oder als Verzögerung (Betrag der Geschwindigkeit nimmt ab) wahrgenommen. Die Normalbeschleunigung gilt in der Umgangssprache nicht als Beschleunigung.