Lösung zu Aviatik 2007/4 - Versionsgeschichte

Admin am 19. Juni 2008 um 05:15 Uhr

2008-06-19T05:15:27Z

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	Für jede Aufgabe werden maximal vier Punkte vergeben. Fehlende Einheiten, falsch gesetzte Kommas und einfache Rechenfehler führen zu einem Abzug von 0.25 Punkten. Formeln, die nach dem Zufallsprinzip hingeschrieben werden und nicht zur Lösung führen, werden nicht ~~mit dem geringsten Bruchteil eines Punktes~~ bewertet.		Für jede Aufgabe werden maximal vier Punkte vergeben. Fehlende Einheiten, falsch gesetzte Kommas und einfache Rechenfehler führen zu einem Abzug von 0.25 Punkten. Formeln, die nach dem Zufallsprinzip hingeschrieben werden und nicht zur Lösung führen, werden nicht bewertet.

	==Lösung zu Aufgabe 1==		==Lösung zu Aufgabe 1==

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 5 */

2008-06-19T05:07:47Z

Lösung zu Aufgabe 5

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	4.) Der Antrieb hat '''1.23 kJ''' mehr Energie aufgewendet, als beim Bremsen wieder frei gesetzt worden ist. Der Unterschied ist beim Ausfahren der Solarpanel aus dem mechanischen System Satellit und Schwungrad "abgeflossen". Die Solarpanel müssen nämlich beim Ausfahren richtiggehend gebremst werden.		4.) Der Antrieb hat '''1.23 kJ''' mehr Energie aufgewendet, als beim Bremsen wieder frei gesetzt worden ist. Der Unterschied ist beim Ausfahren der Solarpanel aus dem mechanischen System Satellit und Schwungrad "abgeflossen". Die Solarpanel müssen nämlich beim Ausfahren richtiggehend gebremst werden.

			==Lösung zu Aufgabe 6==
			<gallery>
			Bild:Boiler_SD.jpg\|Systemdiagramm
			Bild:Boiler_T.png\|Temperaturverlauf
			Bild:Boiler_IW_IS.png\|Energie- und Entropiestrom
			Bild:Boiler_PiS.png\|Entropieproduktionsrate
			</gallery>
			Die Bildfolge zeigt das Systemdiagramm, den Temperaturverlauf, die abfliessenden Ströme sowie die Entropieproduktionsrate während 24 Stunden. In den ersten 4 Stunden wird mit 6 kW geheizt (Entropie produziert). Obwohl die Heizleistung konstant ist, nimmt die Entropieproduktion ab. Dies hat mit der steigenden Temperatur des Wassers zu tun: je höher die Temperatur, desto weniger Entropie wird bei gleicher Energie produziert.

			Der Leitwert berechnet sich aus dem Energiestrom und dem mittleren Temperaturgefälle. Der Energiestrom ist hier vereinfacht gerechnet gleich der Energieänderung durch die benötigte Zeit

			:<math>G_W=\frac{I_W}{\Delta T}=\frac{\Delta W}{\Delta t\Delta T}=\frac{mc\Delta T_W}{\Delta t\Delta T}</math> = 1.18 W/K

			Beachten Sie, dass in dieser Gleichung mit ''Δ'' zweimal eine zeitliche und einmal eine räumliche Differenz gemeint ist.

			Bei ausgeschalteter Heizung wird nur längs des Wärmetransportes Entropie produziert

			:<math>\Pi_S=I_{S2}-I_{S1}=I_W\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)</math> = 0.0195 W/K

			'''[[Aviatik 2007/4\|Aufgabe]]'''

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 4 */

2008-06-18T16:59:37Z

Lösung zu Aufgabe 4

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	:<math>S_{ab}=\Delta S=n\hat c_V\ln\frac{T_1}{T_2}=\frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\ln\frac{T_1}{T_2}</math> = '''-23.1 J/K'''		:<math>S_{ab}=\Delta S=n\hat c_V\ln\frac{T_1}{T_2}=\frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\ln\frac{T_1}{T_2}</math> = '''-23.1 J/K'''

			==Lösung zu Aufgabe 5==
			Diese Aufgabe kann im [[Flüssigkeitsbild]] Schritt für Schritt nachvollzogen werden. In der ersten Phase wird der Satellit auf ein Frequenz von 0.5 Hz hoch gefahren, was einer [[Winkelgeschwindigkeit]] von 3.14 s<sup>-1</sup> entspricht. In dieser Zeit geht die Winkelgeschwindigkeit des Schwungrades auf -47.12 s<sup>-1</sup> zurück. In der zweiten Phase behält der Satellit seine Winkelgeschwindigkeit bei, vergrössert aber sein [[Massenträgheitsmoment]]. Die Winkelgeschwindigkeit des Schwungrades nimmt auf -62.83 s<sup>-1</sup> ab. Weil der totale [[Drehimpuls]] mangels Zu- und Abflüssen konstant gleich Null sein muss, ist das Massenträgheitsmoment des Satelliten um das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeit von Schwungrad zu Satellit grösser als das des Rades: ''J<sub>1</sub>'' = 750 kgms<sup>2</sup> und ''J<sub>2</sub>'' = 1000 kgms<sup>2</sup>

			1.) Die aufzuwendende [[Energie]] ist gleich gepumpter Drehimpuls mal mittlere Differenz der beiden Winkelgeschwindigkeiten

			:<math>W=\Delta L \Delta \overline{\omega}</math> = 2356.2 Nms*25.13 s<sup>-1</sup> = 59.2 kJ

			2.) Die Überlegung bleibt sich gleich, nur verändert der Satellit seine Winkelgeschwindigkeit nicht

			:<math>W=\Delta L \Delta \overline{\omega}</math> = 785.4 Nms*58.12 s<sup>-1</sup> = 45.65 kJ

			3.) Diesmal wird die Energie frei gesetzt

			:<math>W=\Delta L \Delta \overline{\omega}</math> = 3141.6 Nms*33.99 s<sup>-1</sup> = 103.6 kJ

			4.) Der Antrieb hat '''1.23 kJ''' mehr Energie aufgewendet, als beim Bremsen wieder frei gesetzt worden ist. Der Unterschied ist beim Ausfahren der Solarpanel aus dem mechanischen System Satellit und Schwungrad "abgeflossen". Die Solarpanel müssen nämlich beim Ausfahren richtiggehend gebremst werden.

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 4 */

2008-06-18T12:09:56Z

Lösung zu Aufgabe 4

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	*[[isobar]]e als flache Exponentialfunktion		*[[isobar]]e als flache Exponentialfunktion
	*[[isochor]]e als steile Exponentialfunktion		*[[isochor]]e als steile Exponentialfunktion
	Im ''p-V-''Diagramm erscheint dieser Kreisprozess als Abfolge einer Potenzfunktion (-''κ'' als Exponent), einer horizontalen und einer vertikalen Linie).		Im ''p-V-''Diagramm erscheint dieser Kreisprozess als Abfolge einer Potenzfunktion (-''κ'' als Exponent), einer horizontalen und einer vertikalen Linie.

	2.) Die Temperatur nach dem isentropen Prozess ist gleich		2.) Die Temperatur nach dem isentropen Prozess ist gleich

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 4 */

2008-06-18T12:04:25Z

Lösung zu Aufgabe 4

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2008, 12:04 Uhr
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	3.) Die mechanisch zugeführte Energie ist gleich der Änderung der inneren Energie		3.) Die mechanisch zugeführte Energie ist gleich der Änderung der inneren Energie

	:<math>W_{mech}=\Delta W=n\hat c_V\Delta T = \frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\Delta T</math> = ~~'''~~'''2430 J~~'''~~''' mit <math>n=\frac{p_1V_1}{RT_1}</math> = 0.8019 mol und <math>\hat c_V =\frac 52 R</math>		:<math>W_{mech}=\Delta W=n\hat c_V\Delta T = \frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\Delta T</math> = '''2430 J''' mit <math>n=\frac{p_1V_1}{RT_1}</math> = 0.8019 mol und <math>\hat c_V =\frac 52 R</math>

	4.) Die isochor abgeführte Entropie ist gleich der isobar zugeführten		4.) Die isochor abgeführte Entropie ist gleich der isobar zugeführten

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 3 */

2008-06-18T12:02:57Z

Lösung zu Aufgabe 3

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2008, 12:02 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:

	:<math>W=\Delta H-\Delta ST_{Umg}</math> =83.8 MJ - 268.1 kJ/K*293 K = '''5.25 MJ'''		:<math>W=\Delta H-\Delta ST_{Umg}</math> =83.8 MJ - 268.1 kJ/K*293 K = '''5.25 MJ'''

			==Lösung zu Aufgabe 4==
			1.) Im ''T-S-''Diagramm setzt sich der [[Kreisprozess]] aus folgenden Linien zusammen
			*[[isentrop]]e als vertikale Linie
			*[[isobar]]e als flache Exponentialfunktion
			*[[isochor]]e als steile Exponentialfunktion
			Im ''p-V-''Diagramm erscheint dieser Kreisprozess als Abfolge einer Potenzfunktion (-''κ'' als Exponent), einer horizontalen und einer vertikalen Linie).

			2.) Die Temperatur nach dem isentropen Prozess ist gleich

			:<math>T_2=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}</math> = '''445.8 K''' (172.8°C)

			Nach dem isobaren Heizen ist die Temperatur viermal grösser als die Anfangstemperatur, also '''1200 K''' (927°C), weil der Druck bei gleichem Volumen auf das Vierfache gestiegen ist.

			3.) Die mechanisch zugeführte Energie ist gleich der Änderung der inneren Energie

			:<math>W_{mech}=\Delta W=n\hat c_V\Delta T = \frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\Delta T</math> = ''''''2430 J'''''' mit <math>n=\frac{p_1V_1}{RT_1}</math> = 0.8019 mol und <math>\hat c_V =\frac 52 R</math>

			4.) Die isochor abgeführte Entropie ist gleich der isobar zugeführten

			:<math>S_{ab}=\Delta S=n\hat c_V\ln\frac{T_1}{T_2}=\frac 52 \frac{p_1V_1}{T_1}\ln\frac{T_1}{T_2}</math> = '''-23.1 J/K'''

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 3 */

2008-06-18T10:44:09Z

Lösung zu Aufgabe 3

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2008, 10:44 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	:<math>S_{Pump}=\frac{\Delta H}{343 K}</math> = 244.3 KJ/K		:<math>S_{Pump}=\frac{\Delta H}{343 K}</math> = 244.3 KJ/K

	:<math>W_{Pump}=S_{Pump}\~~cdot70K~~</math> = '''14.66 kJ'''		:<math>W_{Pump}=S_{Pump}\cdot 60K</math> = '''14.66 kJ'''

	4.) Die Pumpenergie ist gleich der Enthalpieänderung minus die von der Umwelt bezogene thermische Energie. Weil der ganze Prozess reversibel geführt wird, entspricht die von der Umwelt bezogene Entropie der Entropieänderung des Wassers		4.) Die Pumpenergie ist gleich der Enthalpieänderung minus die von der Umwelt bezogene thermische Energie. Weil der ganze Prozess reversibel geführt wird, entspricht die von der Umwelt bezogene Entropie der Entropieänderung des Wassers

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 2 */

2008-06-18T10:22:18Z

Lösung zu Aufgabe 2

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2008, 10:22 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:

	:<math>P=\Delta TI_S</math> = '''3.5 kW'''		:<math>P=\Delta TI_S</math> = '''3.5 kW'''

			==Lösung zu Aufgabe 3==
			Die zum Aufheizen von Wasser benötigte [[Entropie]] wird heute meist vor Ort produziert. Die Aufgabe vergleicht diese "Energie verschwendende Art" mit dem heute Machbaren sowie dem theoretischen Grenzfall.

			1.) Die Heizenergie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]]

			:<math>W_{el}=\Delta H = mc\Delta T</math> = '''83.8 kJ'''

			2.) Die Entropieproduktion entspricht der Entropieänderung des Wassers

			:<math>S_{Prod}=\Delta S = mc\ln\frac{T_2}{T_1}</math> = '''268.1 kJ/K'''

			3.) Die Entropie muss auf 343 K hoch gepumpt werden und die von der Wärmepumpe abgegebene Energie ist gleich der Enthalpieänderung des Wassers

			:<math>S_{Pump}=\frac{\Delta H}{343 K}</math> = 244.3 KJ/K

			:<math>W_{Pump}=S_{Pump}\cdot70K</math> = '''14.66 kJ'''

			4.) Die Pumpenergie ist gleich der Enthalpieänderung minus die von der Umwelt bezogene thermische Energie. Weil der ganze Prozess reversibel geführt wird, entspricht die von der Umwelt bezogene Entropie der Entropieänderung des Wassers

			:<math>W=\Delta H-\Delta ST_{Umg}</math> =83.8 MJ - 268.1 kJ/K*293 K = '''5.25 MJ'''

Admin: /* Lösung zu Aufgabe 1 */

2008-06-18T09:16:24Z

Lösung zu Aufgabe 1

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2008, 09:16 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	:<math>P(F)=Fv_1</math> = '''10 MW		:<math>P(F)=Fv_1</math> = '''10 MW
	'''		'''
			==Lösung zu Aufgabe 2==
			Eine [[Wärmepumpe]] fördert [[Entropie]] aus einem kalten Gebiet in ein wärmeres. Dabei wird in der Regel zusätzlich Entropie erzeugt.

			1.) Im stationären Betrieb ist der abgegebene thermische Energiestrom gleich dem aufgenommenen plus die Prozessleistung. Aus diesem [[Knotensatz]] bezüglich der Energieströme folgt

			:<math>I_{W1}=I_{W2}-P</math> = 20 kW - 5.5 kW = '''14.5 kW'''

			2.) Die thermischen [[zugeordneter Energiestrom\|Energieströme]] werden von den Entropieströmen über die Systemgrenze [[Energieträger\|getragen]]. Aus dieser Trägerrelation (<math>I_W=TI_S</math>) folgen die Werte für die Stärken der beiden Entropieströme:

			:'''58.3 W/K''' und '''51.2 W/K'''.

			3.) Multipliziert man die Entropieproduktionsrate, die gleich der Differenz der beiden Entropieströme ist, mit der Zahl der Sekunden eines Tages, erhält man die gesamte Produktion von '''611 kJ/K'''.

			4.) Eine ideale Wärmepumpe muss den erforderlichen [[Entropiestrom]] von 58.3 W/K über eine "Temperaturhürde" von 60 K pumpen. Dazu benötigt sie folgende [[Prozessleistung]

			:<math>P=\Delta TI_S</math> = '''3.5 kW'''

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2008-06-18T08:53:50Z

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Für jede Aufgabe werden maximal vier Punkte vergeben. Fehlende Einheiten, falsch gesetzte Kommas und einfache Rechenfehler führen zu einem Abzug von 0.25 Punkten. Formeln, die nach dem Zufallsprinzip hingeschrieben werden und nicht zur Lösung führen, werden nicht mit dem geringsten Bruchteil eines Punktes bewertet.

==Lösung zu Aufgabe 1==
1.) Das Triebwerk lädt [[Impuls]] von der Luft auf das Flugzeug um. Die [[Impulsbilanz]] bezüglich des stationär laufenden Triebwerks lautet (Flugrichtung positiv)

:<math>-F_S+v_1I_{m1}+v_2I_{m2}=\dot p=0</math>

Setzt man die beiden Massenströme gleich und nimmt die Beträge der Geschwindigkeiten, erhält man die einfache Formel

:<math>F_S=(v_2-v_1)I_m</math>

Diese Formel liefert eine Ausströmgeschwindigkeit von '''300 m/s'''.

2.) Die Schubkraft ergibt sich aus der Impulsänderung zweier Teilströme

:<math>F=(v_{2K}-v_1)\frac{I_m}{5}+(v_{2M}-v_1)\frac{4I_m}{5}</math>

Löst man diese Beziehung nach der Geschwindigkeit des Mantelstromes auf, erhält man einen Wert von '''287.5 m/s'''.

3.) Die vom Triebwerk an die beiden Teilströme abgegebene Leistung ist gleich

:<math>P=P_1+P_2=\frac 12 (v_{2K}^2-v_1^2)\frac{I_m}{5}+\frac 12 (v_{2M}^2-v_1^2)\frac{4I_m}{5}</math> = '''11.25 MW'''

Würde der gesamte Gassstrom mit 300 m/s austreten, betrüge die Leistung nur 11 MW.

4.) Die [[Leistung einer Kraft]] ist gleich dem Skalarprodukt aus Kraft und Geschwindigkeit. Dies ergibt sich aus der grundlegenden Zusammenhang zwischen leitungsartigem [[Impulsstrom]] und [[zugeordneter Energiestrom|zugeordnetem Energiestrom]]. Weil hier Kraft und Geschwindigkeit kollinear sind, ist die Leistung einfach zu berechnen

:<math>P(F)=Fv_1</math> = '''10 MW
'''