Lösung zu Fadenspule - Versionsgeschichte

Thomas Rüegg am 14. Mai 2010 um 12:06 Uhr

2010-05-14T12:06:02Z

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	Um den kritischen Wert zu erhalten, setzt man F<sub>R</sub> = 10 N und erhält F<sub>krit</sub> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.5 N. Diese Kraft wird nach 13.5 N / (20 N / 4 s) = 2.7 Sekunden erreicht.		Um den kritischen Wert zu erhalten, setzt man F<sub>R</sub> = 10 N und erhält F<sub>krit</sub> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.5 N. Diese Kraft wird nach 13.5 N / (20 N / 4 s) = 2.7 Sekunden erreicht.

	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase sind die Haft- und die Fadenkraft zueinander proportional (vgl. die obere Gleichung für F) und ~~habe~~ ein festes Verhältnis von 10 N : 13.5 N zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 0.5 * 2.7 s * 13.5 N + 1.3 s * (13.5 N + 20 N) /2 = 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 0.5 * 2.7 s * 10 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 40 Ns - 26.5 Ns = 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 13.5 Ns / 4 kg = 3.38 m/s ergibt.		5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase sind die Haft- und die Fadenkraft zueinander proportional (vgl. die obere Gleichung für F) und haben ein festes Verhältnis von 10 N : 13.5 N zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 0.5 * 2.7 s * 13.5 N + 1.3 s * (13.5 N + 20 N) /2 = 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 0.5 * 2.7 s * 10 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 40 Ns - 26.5 Ns = 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 13.5 Ns / 4 kg = 3.38 m/s ergibt.

	'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''		'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg am 14. Mai 2010 um 12:04 Uhr

2010-05-14T12:04:19Z

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	:Rollbedingung: <math>v = \omega R </math> oder <math> \dot v = \dot \omega R </math>		:Rollbedingung: <math>v = \omega R </math> oder <math> \dot v = \dot \omega R </math>

	Löst man dieses ~~Gleichungssystem~~ mit den 3 Unbekannten F<sub>~~krit~~</sub>, <math>\dot v</math> und <math>\dot\omega</math> nach der Seilkraft auf, erhält man ~~für den kritischen Wert~~		Löst man dieses System von 3 Gleichungen mit den 4 Unbekannten F, F<sub>R</sub>, <math>\dot v</math> und <math>\dot\omega</math> nach der Seilkraft F auf, erhält man

			:<math>F = F_R \frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J} </math>
⚫	:<~~math~~>~~F_{krit}~~ = ~~F_R~~ ~~\frac{1+~~ ~~mR^2/J}{1+mRr/J}~~ </~~math~~> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 13.53 N / (20 N / 4 s) = 2.7 Sekunden erreicht.

		⚫	Um den kritischen Wert zu erhalten, setzt man F<sub>R</sub> = 10 N und erhält F<sub>krit</sub> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.5 N. Diese Kraft wird nach 13.5 N / (20 N / 4 s) = 2.7 Sekunden erreicht.
⚫	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase ~~haben~~ die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

		⚫	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase sind die Haft- und die Fadenkraft zueinander proportional (vgl. die obere Gleichung für F) und habe ein festes Verhältnis von 10 N : 13.5 N zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 0.5 * 2.7 s * 13.5 N + 1.3 s * (13.5 N + 20 N) /2 = 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 0.5 * 2.7 s * 10 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 40 Ns - 26.5 Ns = 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 13.5 Ns / 4 kg = 3.38 m/s ergibt.

	'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''		'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''

Thomas Rüegg am 14. Mai 2010 um 11:43 Uhr

2010-05-14T11:43:54Z

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	Löst man dieses Gleichungssystem mit den 3 Unbekannten F<sub>krit</sub>, <math>\dot v</math> und <math>\dot\omega</math> nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert		Löst man dieses Gleichungssystem mit den 3 Unbekannten F<sub>krit</sub>, <math>\dot v</math> und <math>\dot\omega</math> nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert

	:<math>F_{krit} = F_R \frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J} </math> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.		:<math>F_{krit} = F_R \frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J} </math> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 13.53 N / (20 N / 4 s) = 2.7 Sekunden erreicht.

	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.		5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

Thomas Rüegg am 14. Mai 2010 um 11:37 Uhr

2010-05-14T11:37:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2010, 11:37 Uhr
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	:''z''-Drehimpuls: <math>F_RR-Fr=\dot L_z=J\dot\omega_y</math>		:''z''-Drehimpuls: <math>F_RR-Fr=\dot L_z=J\dot\omega_y</math>
			:::::r = Wickelradius, R = Abrollradius

	3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung <math>v_x=\omega R</math>, in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz <math>F_R=\mu F_N</math>. Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben.		3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung <math>v_x=\omega R</math>, in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz <math>F_R=\mu F_N</math>. Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben.
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	4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden		4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden

	:''x''-Impuls: <math>F-F_R=m\dot v</math>		:''x''-Impuls: <math> F_{krit} - F_R = m \dot v </math>

	:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R-F r=J\dot\omega</math>		:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R - F_{krit} r = J \dot\omega </math>

	:Rollbedingung: <math>v=\omega R</math> oder <math>\dot v=\dot\omega R</math>		:Rollbedingung: <math>v = \omega R </math> oder <math> \dot v = \dot \omega R </math>

	Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert		Löst man dieses Gleichungssystem mit den 3 Unbekannten F<sub>krit</sub>, <math>\dot v</math> und <math>\dot\omega</math> nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert

	:<math>F=F_R\frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math> = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.		:<math>F_{krit} = F_R \frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J} </math> = 10 N * (1 + 4 kg * (0.3 m)<sup>2</sup> / 0.1 kgm<sup>2</sup>) / (1 + 4 kg * 0.3 m * 0.2 m / 0.1 kgm<sup>2</sup>) = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.

	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.		5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

Admin am 22. August 2009 um 06:22 Uhr

2009-08-22T06:22:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2009, 06:22 Uhr
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	Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert		Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert

	:<math>F=F_R\frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math>=13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.		:<math>F=F_R\frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math> = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.

	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.		5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

Admin am 20. August 2009 um 14:04 Uhr

2009-08-20T14:04:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. August 2009, 14:04 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	2. Ein Teil des mit dem Faden zugeführten ''x''-Impuls bleibt in der Spule, der Rest geht an die Unterlage (Reibung) weg. Der vom Graviationsfeld zufliessende ''y''-Impuls (Gewichtskraft) geht unmittelbar an die Unterlage (Normalkraft) weg. Der ''x''-Impuls, der in der Fadenspule in ''y''-Richtung fliessen muss, erzeugt Quellen und Senken des ''z''-Drehimpulses (der in der Fadenspule verbleibende ''x''-Impuls wird im räumlichen Mittel im [[Massenmittelpunkt]] gespeichert). Diese Überlegungen bilden den Kern der Impuls- und Drehimpulsbilanzen		2. Ein Teil des mit dem Faden zugeführten ''x''-Impuls bleibt in der Spule, der Rest geht an die Unterlage (Reibung) weg. Der vom Graviationsfeld zufliessende ''y''-Impuls (Gewichtskraft) geht unmittelbar an die Unterlage (Normalkraft) weg. Der ''x''-Impuls, der in der Fadenspule in ''y''-Richtung fliessen muss, erzeugt Quellen und Senken des ''z''-Drehimpulses (der in der Fadenspule verbleibende ''x''-Impuls wird im räumlichen Mittel im [[Massenmittelpunkt]] gespeichert). Diese Überlegungen bilden den Kern der Impuls- und Drehimpulsbilanzen

	:''x''-Impuls: <math>F - F_R = \dot p_x = m \dot v_x</math>		:''x''-Impuls: <math>F-F_R=\dot p_x = m\dot v_x</math>

	:''y''-Impuls: <math>F_G - F_N = \dot p_y = 0</math>		:''y''-Impuls: <math>F_G-F_N=\dot p_y=0</math>

	:''z''-Drehimpuls: <math>~~F_R R~~ - ~~F r~~ = \dot L_z = J \dot \omega_y</math>		:''z''-Drehimpuls: <math>F_RR-Fr=\dot L_z=J\dot\omega_y</math>

	3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung <math>v_x = \omega R</math>, in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz <math>F_R = \mu F_N</math>. Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben.		3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung <math>v_x=\omega R</math>, in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz <math>F_R=\mu F_N</math>. Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben.

	4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden		4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden

	:''x''-Impuls: <math>F - F_R = m \dot v</math>		:''x''-Impuls: <math>F-F_R=m\dot v</math>

	:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R - F r = J \dot \omega</math>		:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R-F r=J\dot\omega</math>

	:Rollbedingung: <math>v = \omega R</math> oder <math>\dot v = \dot \omega R</math>		:Rollbedingung: <math>v=\omega R</math> oder <math>\dot v=\dot\omega R</math>

	Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert		Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert

	:<math>F = F_R \frac {1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math> = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.		:<math>F=F_R\frac{1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math>=13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.

	5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.		5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

Admin am 18. Juni 2007 um 04:49 Uhr

2007-06-18T04:49:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2007, 04:49 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	:<math>F = F_R \frac {1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math> = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.		:<math>F = F_R \frac {1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math> = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.

	5. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu. An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.		5. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich aus der [[Impulsbilanz]]: der über den Faden zugeflossene minus den an die Unterlage abgegebenen Impuls ergibt den Impulsinhalt. Dividiert man den Impulsinhalt durch die Masse, erhält man die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt]]es. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu (Fläche unter dem Kraft-Zeit-Diagramm). An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

	'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''		'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''

Admin am 8. Mai 2007 um 06:18 Uhr

2007-05-08T06:18:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Mai 2007, 06:18 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert		Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert

	:<math>F = F_R \frac {1+ ~~mRr~~/J}{1+~~mr^2~~/J}</math> = 13 N. Diese Kraft wird nach 2.6 Sekunden erreicht.		:<math>F = F_R \frac {1+ mR^2/J}{1+mRr/J}</math> = 13.53 N. Diese Kraft wird nach 2.7 Sekunden erreicht.

	5. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu. An den Boden gehen 2.6 s * 5 N + 1.4 s * 10 N = 27 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.3 m/s ergibt.		5. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13.5 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu. An den Boden gehen 2.7 s * 5 N + 1.3 s * 10 N = 26.5 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13.5 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.38 m/s ergibt.

	'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''		'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''

Admin am 28. April 2007 um 07:47 Uhr

2007-04-28T07:47:02Z

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	:<math>F = F_R \frac {1+ mRr/J}{1+mr^2/J}</math> = 13 N. Diese Kraft wird nach 2.6 Sekunden erreicht.		:<math>F = F_R \frac {1+ mRr/J}{1+mr^2/J}</math> = 13 N. Diese Kraft wird nach 2.6 Sekunden erreicht.

	4. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu. An den Boden gehen 2.6 s * 5 N + 1.4 s * 10 N = 27 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.3 m/s ergibt.		5. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu. An den Boden gehen 2.6 s * 5 N + 1.4 s * 10 N = 27 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.3 m/s ergibt.

	'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''		'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''

Admin am 28. April 2007 um 07:46 Uhr

2007-04-28T07:46:36Z

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	1. [[Bild:Fadenspule_Kraefte.png\|thumb\|Schnittbild der Fadenspule]] Auf die Fadenspule wirkt neben dem Faden nur noch das [[Gravitationsfeld]] (Gewichtskraft) und die Unterlage ([[Normalkraft]] und [[Gleitreibung\|Reibungskraft]]) ein.		1. [[Bild:Fadenspule_Kraefte.png\|thumb\|Schnittbild der Fadenspule]] Auf die Fadenspule wirkt neben dem Faden nur noch das [[Gravitationsfeld]] (Gewichtskraft) und die Unterlage ([[Normalkraft]] und [[Gleitreibung\|Reibungskraft]]) ein.

	2. Ein Teil des mit dem Faden zugeführten ''x''-Impuls bleibt in der Spule, der Rest geht an die Unterlage (~~Haftreibung~~) weg. Der vom Graviationsfeld zufliessende ''y''-Impuls (Gewichtskraft) geht unmittelbar an die Unterlage (Normalkraft) weg. Der ''x''-Impuls, der in der Fadenspule in ''y''-Richtung fliessen muss, erzeugt Quellen und Senken des ''z''-Drehimpulses (der in der Fadenspule verbleibende ''x''-Impuls wird im räumlichen Mittel im [[Massenmittelpunkt]] gespeichert. Diese Überlegungen bilden den Kern der Impuls- und Drehimpulsbilanzen		2. Ein Teil des mit dem Faden zugeführten ''x''-Impuls bleibt in der Spule, der Rest geht an die Unterlage (Reibung) weg. Der vom Graviationsfeld zufliessende ''y''-Impuls (Gewichtskraft) geht unmittelbar an die Unterlage (Normalkraft) weg. Der ''x''-Impuls, der in der Fadenspule in ''y''-Richtung fliessen muss, erzeugt Quellen und Senken des ''z''-Drehimpulses (der in der Fadenspule verbleibende ''x''-Impuls wird im räumlichen Mittel im [[Massenmittelpunkt]] gespeichert). Diese Überlegungen bilden den Kern der Impuls- und Drehimpulsbilanzen

	:''x''-Impuls: <math>F - F_R = \dot p_x = m \dot v_x</math>		:''x''-Impuls: <math>F - F_R = \dot p_x = m \dot v_x</math>
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	:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R - F r = \dot L_z = J \dot \omega_y</math>		:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R - F r = \dot L_z = J \dot \omega_y</math>

	3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung <math>v_x = \omega R</math>, in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz <math>F_R = \mu F_N</math>		3. In der Rollphase gillt die Rollbedingung <math>v_x = \omega R</math>, in der Gleitphase das Gleitreibungsgesetz <math>F_R = \mu F_N</math>. Statt des Gleitreibungsgesetzes ist hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben.

	4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische ~~Seilkraft~~ berechnen		4. Die Rolle beginnt zu rutschen, sobald die Haftreibungskraft die Haftreibungsgrenze (maximale Haftreibungskraft) erreicht hat. Die maximale Haftreibungskraft ist in der Regel etwas grösser als die Gleitreibungskraft, was hier vernachlässigt wird. Beim Übergang von der Roll- in die Rutschphase gelten sowohl die Rollbedingung als auch das Gleitreibungsgesetz. Aus diesen insgesamt fünf Gleichungen lässt sich die kritische Fadenkraft berechnen. Weil hier direkt die maximal mögliche Haftreibungskraft bzw. die Gleitreibungskraft gegeben sind, müssen lediglich drei Gleichungen gelöst werden

	:''x''-Impuls: <math>F - F_R = m \dot v</math>		:''x''-Impuls: <math>F - F_R = m \dot v</math>

	:''y''-Impuls: <math>F_G - F_N = 0</math>

	:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R - F r = J \dot \omega</math>		:''z''-Drehimpuls: <math>F_R R - F r = J \dot \omega</math>
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	:Rollbedingung: <math>v = \omega R</math> oder <math>\dot v = \dot \omega R</math>		:Rollbedingung: <math>v = \omega R</math> oder <math>\dot v = \dot \omega R</math>

			Löst man dieses Gleichungssystem nach der Seilkraft auf, erhält man für den kritischen Wert
	:Gleitreibungsgesetz: <math>F_R = \mu F_N</math>

			:<math>F = F_R \frac {1+ mRr/J}{1+mr^2/J}</math> = 13 N. Diese Kraft wird nach 2.6 Sekunden erreicht.

			4. In der Rollphase haben die Haft- und die Fadenkraft ein festes Verhältnis von 10 : 13 zueinander. Danach bleibt die Gleitreibungskraft konstant und die Fadenkraft nimmt weiter zu. Über das Seil fliessen insgesamt 40 Ns ''x''-Impuls zu. An den Boden gehen 2.6 s * 5 N + 1.4 s * 10 N = 27 Ns weg. Damit verbleiben in der Fadenspule noch 13 Ns, was eine Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes von 3.3 m/s ergibt.

			'''[[Fadenspule\|Aufgabe]]'''