Lösung zu Rakete im Gravitationsfeld - Versionsgeschichte

KP14: Lösung 4 einfacher beschrieben

2014-12-16T09:38:47Z

Lösung 4 einfacher beschrieben

← Nächstältere Version		Version vom 16. Dezember 2014, 09:38 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:

	===Lösung zu Frage 4===		===Lösung zu Frage 4===
			Aus <math>\dot p = \dot m v + m \dot v</math> erhält man den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Impulsänderungsrate
	Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

	:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {-I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>		:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {-I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>

Admin: /* Lösung zu Frage 2 */

2014-03-04T19:04:11Z

Lösung zu Frage 2

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 19:04 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	===Lösung zu Frage 2===		===Lösung zu Frage 2===

	Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c'') relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an p-Bezugsachse vertikal nach oben)		Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c'') relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an ''p''-Bezugsachse vertikal nach oben)

	:<math> - m g + I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>		:<math> - m g + I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

Admin: /* Lösung zu Frage 1 */

2014-03-04T18:32:03Z

Lösung zu Frage 1

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 18:32 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	:<math> \sum_i I_{mi} = \dot m</math>		:<math> \sum_i I_{mi} = \dot m</math>

	~~Wir~~ ~~wählen~~ ~~für~~ ~~die Richtung des Massenstroms die natürliche Richtung. Er führt also von~~ der Rakete ~~heraus in~~ die Umgebung, ~~sodass~~ ~~seine~~ ~~Stromstärke~~ ~~positiv~~ ~~ist~~. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:		Die Masse geht aus der Rakete an die Umgebung weg, also ist die Massenstromstärke negativ. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:

	:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>		:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

Admin: /* Lösung zu Frage 4 */

2014-03-04T18:27:12Z

Lösung zu Frage 4

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 18:27 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen		Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

	:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>		:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {-I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>

	Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.		Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

Admin: /* Lösung zu Frage 3 */

2014-03-04T18:25:06Z

Lösung zu Frage 3

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 18:25 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	Setzt man die Massenbilanz		Setzt man die Massenbilanz

	:<math> - I_m = \dot m</math>		:<math> I_m = \dot m</math>

	in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term <math> v \cdot I_m</math> streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert		in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term <math> v \cdot I_m</math> streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert

	:<math> - m g + c I_m = m \dot v</math>		:<math> - m g - c I_m = m \dot v</math>

	Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln		Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

	:<math>\dot v = - g + c \frac {I_m}{m}</math> = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s<sup>2</sup>		:<math>\dot v = - g + c \frac {-I_m}{m}</math> = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s<sup>2</sup>

	Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.		Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.

Admin: /* Lösung zu Frage 1 */

2014-03-04T18:21:28Z

Lösung zu Frage 1

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 18:21 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>		:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

	:<math> I_{m} = \dot m</math> mit <math> I_{m}<0</math>		:<math> I_{m} = \dot m</math> mit <math> I_{m}= -200 kg/s<0</math>

	===Lösung zu Frage 2===		===Lösung zu Frage 2===

Admin: /* Lösung zu Frage 2 */

2014-03-04T18:20:18Z

Lösung zu Frage 2

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 18:20 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c'') relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an p-Bezugsachse vertikal nach oben)		Im vorliegenden Beispiel mit der [[Rakete]] gibt es keine Oberflächenkräfte (leitungsartige Impulsströme) und nur einen einzigen Massenstrom. Die Geschwindigkeit des ausströmenden Gases im Bezugssystem Erde (Beobachter) ist gleich der Geschwindigkeit der Rakete (''v'') minus der Geschwindigkeit des ausströmenden Gases (''c'') relativ zur Rakete. Diese Ausströmgeschwindigkeit c ist durch den thermodynamischen Verbrennungsprozess bestimmt. Die Impulsbilanz nimmt deshalb eine einfachere Form (an p-Bezugsachse vertikal nach oben)

	:<math> - m g - I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>		:<math> - m g + I_m (v - c) = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

	Setzt man für die Gravitationsfeldstärke 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von		Setzt man für die Gravitationsfeldstärke 9 N/kg ein, erhält man eine Impulsänderungsrate von

Admin: /* Lösung zu Frage 1 */

2014-03-04T18:19:06Z

Lösung zu Frage 1

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2014, 18:19 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	Wir wählen für die Richtung des Massenstroms die natürliche Richtung. Er führt also von der Rakete heraus in die Umgebung, sodass seine Stromstärke positiv ist. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:		Wir wählen für die Richtung des Massenstroms die natürliche Richtung. Er führt also von der Rakete heraus in die Umgebung, sodass seine Stromstärke positiv ist. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:

	:<math> - v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>		:<math> v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

	:<math> - I_{m} = \dot m</math>		:<math> I_{m} = \dot m</math> mit <math> I_{m}<0</math>

	===Lösung zu Frage 2===		===Lösung zu Frage 2===

Thomas Rüegg: /* Lösung zu Frage 1 */

2012-03-07T09:20:32Z

Lösung zu Frage 1

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2012, 09:20 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	:<math> \sum_i I_{mi} = \dot m</math>		:<math> \sum_i I_{mi} = \dot m</math>

			Wir wählen für die Richtung des Massenstroms die natürliche Richtung. Er führt also von der Rakete heraus in die Umgebung, sodass seine Stromstärke positiv ist. Die vertikale Bezugsachse soll nach oben zeigen. Die beiden Bilanzen auf die Rakete angewandt sehen dann so aus:

			:<math> - v_{Gas} I_{m} - m g = \dot p = \dot m v + m \dot v</math>

			:<math> - I_{m} = \dot m</math>

	===Lösung zu Frage 2===		===Lösung zu Frage 2===

Thomas Rüegg am 4. März 2010 um 17:45 Uhr

2010-03-04T17:45:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. März 2010, 17:45 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term <math> v \cdot I_m</math> streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert		in die Impulsbilanz ein, kann man auf beiden Seiten dieser Gleichung den Term <math> v \cdot I_m</math> streichen und man erhält eine sehr kompakte Formel, die an das [[Grundgesetz der Mechanik]] erinnert

	:<math> m g - c I_m = m \dot v</math>		:<math> - m g + c I_m = m \dot v</math>

	Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln		Daraus lässt sich die Beschleunigung ermitteln

	:<math>\dot v = g - c \frac {I_m}{m}</math> = -9 N/kg - 3700 m/s * (-200 kg/s) / 25'000 kg = 20.6 m/s<sup>2</sup>		:<math>\dot v = - g + c \frac {I_m}{m}</math> = - 9 N/kg + 3700 m/s * 200 kg/s / 25'000 kg = 20.6 m/s<sup>2</sup>

	Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.		Die Beschleunigung der Rakete ist trotz negativer Impulsänderungsrate positiv, weil die Rakete Masse abgibt, die mit wenig Impuls beladen ist.
Zeile 44:		Zeile 44:
	Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen		Mathematisch hängt die Beschleunigung wie folgt mit der Impulsänderungsrate zusammen

	:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} - \frac {I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} - \frac {-200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>		:<math>\dot v = \frac {\dot p - \dot m v}{m} = \frac {\dot p}{m} + \frac {I_m}{m} v = \frac {-485 kN}{25'000 kg} + \frac {200 kg/s}{25'000 kg} \cdot 5000 m/s = </math> - 19.4 m/s<sup>2</sup> + 40 m/s<sup>2</sup>

	Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das ~~Produkt~~ aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.		Die Beschleunigung wird kleiner als Null, sobald die (negative) Impulsänderunsrate kleiner als das Negative des Produktes aus Massenstromstärke und Geschwindigkeit der Rakete wird.

	'''[[Rakete im Gravitationsfeld\|Aufgabe]]'''		'''[[Rakete im Gravitationsfeld\|Aufgabe]]'''