Lorentz-Transformation - Versionsgeschichte

Admin: /* raum-zeitliche "Drehung" */

2009-01-02T20:39:11Z

raum-zeitliche "Drehung"

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2009, 20:39 Uhr
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	:<math>L=\begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi\end{pmatrix}</math>		:<math>L=\begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi\end{pmatrix}</math>

	Der Tangens Hyperbolicus ~~des~~ ~~Winkels~~ entspricht einer dimensionslosen Geschwindigkeit ''V''		Den "Winkel" ''ψ'', dessen Werte von -∞ bis ∞ reichen, nennt man auch [[Rapidität]]. Der Tangens Hyperbolicus der Rapidität ''ψ'' entspricht einer dimensionslosen Geschwindigkeit ''V''

	:<math>\tanh\psi=\frac{\Delta x}{\Delta T}=V=\frac vc</math>		:<math>\tanh\psi=\frac{\Delta x}{\Delta T}=V=\frac vc</math>

Admin: /* Lorentz-Kontraktion */

2008-09-23T02:48:12Z

Lorentz-Kontraktion

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:48 Uhr
Zeile 98:		Zeile 98:
	Die Länge eines fahrenden Zuges ist mit Hilfe von zwei Beobachtern zu ermitteln, die ihre Uhren synchronisiert haben. Zur Längenmessung müssen sie gleichzeitig die Position des vordersten und hintersten Puffertellers relativ zu einem Messband festhalten, das parallel zu den Schienen ausgerichtet ist. In unserem Alltag liefert dieses Verfahren den gleichen Wert, wie wenn man das Messband längs eines ruhenden Zuges ausrichtet und dann in aller Ruhe den vorderen und hinteren Wert abliest.		Die Länge eines fahrenden Zuges ist mit Hilfe von zwei Beobachtern zu ermitteln, die ihre Uhren synchronisiert haben. Zur Längenmessung müssen sie gleichzeitig die Position des vordersten und hintersten Puffertellers relativ zu einem Messband festhalten, das parallel zu den Schienen ausgerichtet ist. In unserem Alltag liefert dieses Verfahren den gleichen Wert, wie wenn man das Messband längs eines ruhenden Zuges ausrichtet und dann in aller Ruhe den vorderen und hinteren Wert abliest.

	Würde sich das Licht aber nur mit 108 km/h oder 30 m/s bewegen (Einstein-Welt), ergäbe die Messung am fahrenden Zug einen kleineren Wert als am ruhenden. Dieses Phänomen nennt man '''Lorentz-Kontraktion'''. Um die Länge eines bewegten Objekts zu messen, muss die Zeitspanne im Ruhesystem gleich Null sein, weil man den Ort des hintersten und des vordersten Punktes des bewegten Körpers gleichzeitig bestimmen muss. Nun liefert die Lorentz-Transformation für <math>\Delta t=0</math> folgende Beziehung		Würde sich das Licht aber nur mit 108 km/h oder 30 m/s bewegen ([[Einstein-Welt]]), ergäbe die Messung am fahrenden Zug einen kleineren Wert als am ruhenden. Dieses Phänomen nennt man '''Lorentz-Kontraktion'''. Um die Länge eines bewegten Objekts zu messen, muss die Zeitspanne im Ruhesystem gleich Null sein, weil man den Ort des hintersten und des vordersten Punktes des bewegten Körpers gleichzeitig bestimmen muss. Nun liefert die Lorentz-Transformation für <math>\Delta t=0</math> folgende Beziehung

	:<math>\Delta x'=\gamma\Delta x</math>		:<math>\Delta x'=\gamma\Delta x</math>

Admin: /* Lorentz-Transformation */

2008-09-23T02:44:21Z

Lorentz-Transformation

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:44 Uhr
Zeile 80:		Zeile 80:
	:<math>\Delta x'=\gamma\left(\Delta x-v\Delta t\right)</math>		:<math>\Delta x'=\gamma\left(\Delta x-v\Delta t\right)</math>

	Die Symmetrie zwischen Länge und Zeitabschnitt ist in den uns vertrauten Einheiten etwas gestört. Deshalb muss bei der Transformation die Geschwindigkeit in einem Fall durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit dividiert werden. Oft nennt man das ursprüngliche System ruhend und das transformierte bewegt.		Die Symmetrie zwischen Länge und Zeitabschnitt ist in den uns vertrauten Einheiten etwas gestört. Deshalb muss bei der Transformation die Geschwindigkeit in einem Fall durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit dividiert werden. Oft nennt man das ursprüngliche System '''ruhend''' und das transformierte '''bewegt'''.

	==Gallilei-Transformation==		==Gallilei-Transformation==

Admin: /* raum-zeitliche "Drehung" */

2008-09-23T02:43:03Z

raum-zeitliche "Drehung"

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:43 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:
	:<math>(\Delta T)^2-(\Delta x)^2=(\Delta T')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2</math>		:<math>(\Delta T)^2-(\Delta x)^2=(\Delta T')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2</math>

	Die Definition der Eigenzeit weicht nur im Vorzeichen von Berechnung der Länge einer Strecke ab. Um eine Transformation zu formulieren, welche die Eigenzeit invariant lässt, sind die trigonometrischen Funktionen durch ~~hyperbolsiche~~ zu ersetzen. Zudem entfällt das Minuszeichen		Die Definition der Eigenzeit weicht nur im Vorzeichen von Berechnung der Länge einer Strecke ab. Um eine Transformation zu formulieren, welche die Eigenzeit invariant lässt, sind die trigonometrischen Funktionen durch hyperbolische zu ersetzen. Zudem entfällt das Minuszeichen

	:<math>L=\begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi\end{pmatrix}</math>		:<math>L=\begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi\end{pmatrix}</math>

Admin: /* Eigenzeit */

2008-09-23T02:41:29Z

Eigenzeit

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:41 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	:<math>(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2</math>		:<math>(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2</math>

	Die Grösse ''τ'' beschreibt die ~~Zeitpanne~~, die ein Beobachter ~~misst~~, in dessen Bezugssystem beide Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Deshalb nennt man diese Grösse auch '''Eigenzeit'''.		Die Grösse ''τ'' beschreibt die Zeitspanne, die ein Beobachter, in dessen Bezugssystem beide Ereignisse am gleichen Ort stattfinden, misst. Deshalb nennt man diese Grösse auch '''Eigenzeit'''.

	==raum-zeitliche "Drehung"==		==raum-zeitliche "Drehung"==

Admin: /* Eigenzeit */

2008-09-23T02:40:38Z

Eigenzeit

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:40 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	:<math>(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=0</math>		:<math>(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=0</math>

	Dieser Ausdruck ist gleich Null, ~~falls~~ beide ~~Ereignisse~~ auf dem gleichen Lichtstrahl liegen. Nun verallgemeinern wir auf zwei beliebige Ereignisse		Dieser Ausdruck ist gleich Null, weil beide [[Ereignis]]se auf dem gleichen Lichtstrahl liegen. Nun verallgemeinern wir auf zwei beliebige Ereignisse

	:<math>(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2</math>		:<math>(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2=(c\Delta t')^2-(\Delta x')^2=c^2\tau^2</math>

Admin: /* Drehung */

2008-09-23T02:39:37Z

Drehung

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:39 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	==Drehung==		==Drehung==
	Dreht man das Koordinatensystem um die ''z''-Achse, ändern sich die ''x''- und die ''y''-Koordinaten. Die Distanz zwischen zwei Punkten bleibt dagegen erhalten; die Drehung des Koordinatensystems verändert die Länge einer Strecke nicht		Dreht man das Koordinatensystem um die ''z''-Achse, ändern sich die ''x''- und die ''y''-Koordinaten. Die Distanz zwischen zwei Punkten bleibt dagegen erhalten; die Drehung des Koordinatensystems verändert die Länge einer Strecke ''s'' nicht

	:<math>s^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=(\Delta x')^2+(\Delta y')^2</math>		:<math>s^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=(\Delta x')^2+(\Delta y')^2</math>
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	:<math>R=\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}</math>		:<math>R=\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}</math>

	Nun kann der Winkel ~~z.B.~~ aus den beiden Komponenten einer ursprünglich parallel zur ''x''-Achse ausgerichteten Strecke berechnet werden (die ~~Stiche~~ zur Kennzeichnung der neuen Koordinaten lassen wir hier ~~kurz~~ weg)		Nun kann der Winkel aus den beiden Komponenten einer ursprünglich parallel zur ''x''-Achse ausgerichteten Strecke berechnet werden (die Striche zur Kennzeichnung der neuen Koordinaten lassen wir hier weg)

	:<math>\tan\varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>		:<math>\tan\varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>

Admin: /* Raum-Zeit */

2008-09-23T02:36:50Z

Raum-Zeit

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:36 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:

	==Raum-Zeit==		==Raum-Zeit==
	''Isaac Newton'' hat Raum und Zeit zu den grundlegendsten Grössen der Natur erklärt, über deren Wesen nicht weiter zu spekulieren ist. In der Vorstellung von Newton bildet der Raum einen dreidimensionalen Kasten, in dem sich die Objekte mit der Zeit bewegen. Diese Vorstellung wird mit dem Relativitätsprinzip hinfällig. Raum und Zeit verschmelzen nun zu einem vierdimensionalen Kontinuum, das je nach Beobachter ([[Bezugssystem]]) in einen Raum- und einen Zeitanteil zerlegt werden kann. Die Begriffe '''gleichzeitig''' und räumliche '''Distanz''' verlieren damit ihre Gültigkeit. Zwei [[~~Ereignisse~~]] (Raum-Zeit-Punkte), die der eine Beobachter als gleichzeitig einstuft, können für einen zweiten nacheinander passiert sein. Die [[Kausalität]] muss aber unter allen Umständen gewahrt bleiben.		''Isaac Newton'' hat Raum und Zeit zu den grundlegendsten Grössen der Natur erklärt, über deren Wesen nicht weiter zu spekulieren ist. In der Vorstellung von Newton bildet der Raum einen dreidimensionalen Kasten, in dem sich die Objekte mit der Zeit bewegen. Diese Vorstellung wird mit dem Relativitätsprinzip hinfällig. Raum und Zeit verschmelzen nun zu einem vierdimensionalen Kontinuum, das je nach Beobachter ([[Bezugssystem]]) in einen Raum- und einen Zeitanteil zerlegt werden kann. Die Begriffe '''gleichzeitig''' und räumliche '''Distanz''' verlieren damit ihre Gültigkeit. Zwei [[Ereignis]]se (Raum-Zeit-Punkte), die der eine Beobachter als gleichzeitig einstuft, können für einen zweiten nacheinander passiert sein. Die [[Kausalität]] muss aber unter allen Umständen gewahrt bleiben.

	Sobald Raum und Zeit als Einheit gesehen werden, sollte man zeitliche Intervalle und räumliche Distanzen mit der gleichen Einheit ausdrücken. Entweder misst man die Zeit in Metern oder die Länge in Sekunden (in der theoretischen Physik lässt man beide Einheiten ganz weg und setzt die Geschwindigkeit des Lichts gleich eins). Um einen Zeitabschnitt in Metern zu messen, multiplizieren wir ihn mit der Lichtgeschwindigkeit		Sobald Raum und Zeit als Einheit gesehen werden, sollte man zeitliche Intervalle und räumliche Distanzen mit der gleichen Einheit ausdrücken. Entweder misst man die Zeit in Metern oder die Länge in Sekunden (in der theoretischen Physik lässt man beide Einheiten ganz weg und setzt die Geschwindigkeit des Lichts gleich eins). Um einen Zeitabschnitt in Metern zu messen, multiplizieren wir ihn mit der Lichtgeschwindigkeit

Admin: /* Raum-Zeit */

2008-09-23T02:36:23Z

Raum-Zeit

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2008, 02:36 Uhr
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	==Raum-Zeit==		==Raum-Zeit==
	''Isaac Newton'' hat Raum und Zeit zu den grundlegendsten Grössen der Natur erklärt, über deren Wesen nicht weiter zu spekulieren ist. In der Vorstellung von Newton bildet der Raum einen dreidimensionalen Kasten, in dem sich die Objekte mit der Zeit bewegen. Diese Vorstellung wird mit dem Relativitätsprinzip hinfällig. Raum und Zeit verschmelzen nun zu einem vierdimensionalen Kontinuum, das je nach Beobachter ([[Bezugssystem]]) in einen Raum- und einen Zeitanteil zerlegt werden kann. Die Begriffe '''gleichzeitig''' und räumliche '''Distanz''' verlieren damit ihre Gültigkeit. Zwei [Ereignisse] (Raum-Zeit-Punkte), die der eine Beobachter als gleichzeitig einstuft, können für einen zweiten nacheinander passiert sein. Die [[Kausalität]] muss aber unter allen Umständen gewahrt bleiben.		''Isaac Newton'' hat Raum und Zeit zu den grundlegendsten Grössen der Natur erklärt, über deren Wesen nicht weiter zu spekulieren ist. In der Vorstellung von Newton bildet der Raum einen dreidimensionalen Kasten, in dem sich die Objekte mit der Zeit bewegen. Diese Vorstellung wird mit dem Relativitätsprinzip hinfällig. Raum und Zeit verschmelzen nun zu einem vierdimensionalen Kontinuum, das je nach Beobachter ([[Bezugssystem]]) in einen Raum- und einen Zeitanteil zerlegt werden kann. Die Begriffe '''gleichzeitig''' und räumliche '''Distanz''' verlieren damit ihre Gültigkeit. Zwei [[Ereignisse]] (Raum-Zeit-Punkte), die der eine Beobachter als gleichzeitig einstuft, können für einen zweiten nacheinander passiert sein. Die [[Kausalität]] muss aber unter allen Umständen gewahrt bleiben.

	Sobald Raum und Zeit als Einheit gesehen werden, ~~müssen~~ zeitliche Intervalle und räumliche Distanzen mit der gleichen Einheit ~~gemessen werden~~. Entweder misst man die Zeit in Metern oder die Länge in Sekunden (in der theoretischen Physik lässt man beide Einheiten ganz weg und setzt die Geschwindigkeit des Lichts gleich eins). Um einen Zeitabschnitt in Metern zu messen, multiplizieren wir ihn mit der Lichtgeschwindigkeit		Sobald Raum und Zeit als Einheit gesehen werden, sollte man zeitliche Intervalle und räumliche Distanzen mit der gleichen Einheit ausdrücken. Entweder misst man die Zeit in Metern oder die Länge in Sekunden (in der theoretischen Physik lässt man beide Einheiten ganz weg und setzt die Geschwindigkeit des Lichts gleich eins). Um einen Zeitabschnitt in Metern zu messen, multiplizieren wir ihn mit der Lichtgeschwindigkeit

	:<math>\Delta T=c\Delta t</math>		:<math>\Delta T=c\Delta t</math>

	Eine Zeit von einem Meter Länge entspricht damit der Zeitspanne, die das Licht im Vakuum benötigt, um einen Meter zurück zu legen. Unser räumliches Auflösungsvermögen ist demnach viel feiner als das zeitliche, können wir doch mit Hilfe einer Schieblehre eine Länge problemlos auf einen Zehntel Millimeter genau messen, wogegen wir bei ~~etwa~~ 10 ~~Bilder~~ ~~pro~~ ~~Sekunde~~ ~~diese kaum~~ mehr ~~einzeln~~ erkennen ~~können~~. Die Bilder eines Films folgen sich in einem zeitlichen Abstand von 16'667 Kilometer.		Eine Zeit von einem Meter Länge entspricht damit der Zeitspanne, die das Licht im Vakuum benötigt, um einen Meter zurück zu legen. Unser räumliches Auflösungsvermögen ist demnach viel feiner als das zeitliche, können wir doch mit Hilfe einer Schieblehre eine Länge problemlos auf einen Zehntel Millimeter genau messen, wogegen wir bei einem Film die einzelnen Bilder nicht mehr erkennen. Die Bilder eines Films folgen sich in einem zeitlichen Abstand von 16'667 Kilometer.

	==Drehung==		==Drehung==

Admin: /* Lorentz-Kontraktion */

2008-09-21T19:11:36Z

Lorentz-Kontraktion

← Nächstältere Version		Version vom 21. September 2008, 19:11 Uhr
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	==Lorentz-Kontraktion==		==Lorentz-Kontraktion==
	Die Länge eines fahrenden Zuges ist mit Hilfe von zwei Beobachtern zu ermitteln, die ihre Uhren synchronisiert haben ~~und~~ ~~die~~ gleichzeitig die Position des vordersten und hintersten Puffertellers ~~bezüglich~~ ~~eines~~ parallel zu den Schienen ~~ausgerichteten~~ ~~Messbandes festhalten~~. In unserem Alltag liefert dieses Verfahren den gleichen Wert, wie wenn man das Messband längs eines ruhenden Zuges ausrichtet und dann in aller Ruhe den vorderen und hinteren Wert abliest.		Die Länge eines fahrenden Zuges ist mit Hilfe von zwei Beobachtern zu ermitteln, die ihre Uhren synchronisiert haben. Zur Längenmessung müssen sie gleichzeitig die Position des vordersten und hintersten Puffertellers relativ zu einem Messband festhalten, das parallel zu den Schienen ausgerichtet ist. In unserem Alltag liefert dieses Verfahren den gleichen Wert, wie wenn man das Messband längs eines ruhenden Zuges ausrichtet und dann in aller Ruhe den vorderen und hinteren Wert abliest.

	Würde sich das Licht aber nur mit 108 km/h oder 30 m/s bewegen (Einstein-Welt), ergäbe die Messung am fahrenden Zug einen kleineren Wert als am ruhenden. Dieses Phänomen nennt man '''Lorentz-Kontraktion'''. Um die Länge eines bewegten Objekts zu messen, muss die Zeitspanne im Ruhesystem gleich Null sein, weil man den Ort des hintersten und des vordersten Punktes des bewegten Körpers gleichzeitig bestimmen muss. Nun liefert die Lorentz-Transformation für <math>\Delta t=0</math> folgende Beziehung		Würde sich das Licht aber nur mit 108 km/h oder 30 m/s bewegen (Einstein-Welt), ergäbe die Messung am fahrenden Zug einen kleineren Wert als am ruhenden. Dieses Phänomen nennt man '''Lorentz-Kontraktion'''. Um die Länge eines bewegten Objekts zu messen, muss die Zeitspanne im Ruhesystem gleich Null sein, weil man den Ort des hintersten und des vordersten Punktes des bewegten Körpers gleichzeitig bestimmen muss. Nun liefert die Lorentz-Transformation für <math>\Delta t=0</math> folgende Beziehung