Lotka-Volterra-Gleichung - Versionsgeschichte

Admin: /* Diskussion */

2008-10-05T08:42:55Z

Diskussion

← Nächstältere Version		Version vom 5. Oktober 2008, 08:42 Uhr
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	==Diskussion==		==Diskussion==
			Sowohl die Beute- als auch die Räuberpopulation oszillieren ungedämpft um einen stationären Punkt. Die stationäre Zahl der Hasen ist gleich dem Quotienten aus Sterberate und Geburtenrate der Füchse. Die entsprechende Zahl der Füchse entspricht dem Verhältnis der Geburtenrate zu Sterberate der Hasen.

			Bildet man aus den Gleichungen eine zeitunabhängige "Potenzialfunktion" ''P'' und linearisiert diese um den stationären Punkt, erhält man eine zur [[Hamilton-Mechanik\|Hamilton-Funktion]] des [[harmonischer Oszillator\|harmonischen Oszillators]] analoge Darstellung. Entsprechend sind die zugehörigen Differentialgleichungen linear

			:<math>P,_x=k_2x=\dot y</math>

			:<math>P,_y=k_1y=-\dot x</math>

			Hier ist die partielle Ableitung wie in der [[Physik der dynamischen Systeme\|Systemphysik]] üblich, mit Hilfe der [[Einstein-Notation]] formuliert worden.

			Die Lösung dieser Gleichungen liefert eine Periode von

			:<math>T=\frac{2\pi}{\sqrt{k_1 k_2}}</math>

			Die Frequenz der Populationsschwankungen ist folglich proportional zum geometrischen Mittel aus Geburtenrate der Hasen und Sterberate der Füchse.

	[[Kategorie:Modelle]]		[[Kategorie:Modelle]]

Admin: /* Potenzial */

2008-10-04T06:13:26Z

Potenzial

← Nächstältere Version		Version vom 4. Oktober 2008, 06:13 Uhr
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	Die Zahl der Hasen und Füchse entwickelt sich ähnlich wie die beiden Koordinaten Ort und [[Impuls]] eines eindimensionalen mechanischen Systems. Zudem läuft der Zustandsvektor mit den beiden Komponenten Hase und Fuchs wie bei einem Hamilton-System um einen "Potenzialberg" herum.		Die Zahl der Hasen und Füchse entwickelt sich ähnlich wie die beiden Koordinaten Ort und [[Impuls]] eines eindimensionalen mechanischen Systems. Zudem läuft der Zustandsvektor mit den beiden Komponenten Hase und Fuchs wie bei einem Hamilton-System um einen "Potenzialberg" herum.

	Um ~~die~~ Funktion ~~des~~ ~~Potenzialbergs~~ zu finden, vermindern wir zuerst die Zahl der Parameter durch Division der Zahl der Hasen und Füchse mit den beiden stationären ~~Werte~~. So erhalten wir ein dimensionsloses Gleichungssystem mit dem stationären Punkt bei [1,1]		Um eine Funktion für den Potenzialberg zu finden, vermindern wir zuerst die Zahl der frei wählbaren Parameter durch Division der Zahl der Hasen und Füchse mit den beiden stationären Werten. So erhalten wir ein dimensionsloses Gleichungssystem mit dem stationären Punkt bei [1,1]

	:<math>\dot h=k_1h(1-f)</math>		:<math>\dot h=k_1h(1-f)</math>
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	:<math>k_2 (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+...)+k_1 (\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+...)=k-2\approx \frac{k_2x^2}{2}+\frac{k_1y^2}{2}</math>		:<math>k_2 (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+...)+k_1 (\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+...)=k-2\approx \frac{k_2x^2}{2}+\frac{k_1y^2}{2}</math>

			==Diskussion==

			[[Kategorie:Modelle]]

Admin: /* Potenzial */

2008-10-03T05:37:12Z

Potenzial

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2008, 05:37 Uhr
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	Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann		Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann

	:<math>k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{h}{h_0}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0</math> oder <math>k_2(h-\ln h)+k_1(f-ln f)=k_2(h_0-\ln h_0)+k_1(f_0-ln f_0)</math> = konstant		:<math>k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{h}{h_0}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0</math> oder <math>k_2(h-\ln h)+k_1(f-ln f)=k_2(h_0-\ln h_0)+k_1(f_0-ln f_0)</math> = konstant = ''k''

	Nun kann man zwei neue Variablen einführen, welche den Abstand zum stationären Punkt (Koordinaten [1,1]) messen		Nun kann man zwei neue Variablen einführen, welche den Abstand zum stationären Punkt (Koordinaten [1,1]) messen
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	und die beiden Logarithmusfunktionen bis zum quadratischen Glied entwickeln. Das Resultat erinnert an die [[Hamilton-Mechanik\|Hamilton-Funktion]] des [[harmonischer Oszillator\|harmonischen Oszillators]].		und die beiden Logarithmusfunktionen bis zum quadratischen Glied entwickeln. Das Resultat erinnert an die [[Hamilton-Mechanik\|Hamilton-Funktion]] des [[harmonischer Oszillator\|harmonischen Oszillators]].

			:<math>k_2 (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+...)+k_1 (\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}+...)=k-2\approx \frac{k_2x^2}{2}+\frac{k_1y^2}{2}</math>

Admin am 2. Oktober 2008 um 06:16 Uhr

2008-10-02T06:16:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2008, 06:16 Uhr
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	Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben ~~ein~~ ~~einfaches~~ [[Räuber-Beute-Modell]]		Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben das einfache [[Räuber-Beute-Modell]] ohne Futterbegrenzung und ohne weitere Einflüsse.

	==Motivation==		==Motivation==
	~~Bei der~~ Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer Beutepopulation (nachfolgend Hasen genannt) und einer Räuberpopulation (nachfolgend Füchse genannt) aus. Die Geburtenrate der Hasen soll proportional ~~zur~~ momentanen ~~Zahl~~ ''H'' sein. Entsprechendes gilt für die Sterberate der Füchse. Die Sterberate der Hasen ist gleich der Beuterate, die wiederum proportional zum Produkt aus der Zahl der Hasen und der Füchse sein soll. ~~Dies~~ ergibt sich aus der Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Hasenopfers proportional ~~zur~~ Zahl der Hasen und der Füchse ~~anwächst~~. ~~Die~~ ~~Geburtenrate~~ der Füchse ~~soll~~ ~~ebenfalls~~ ~~proportional~~ ~~zur~~ ~~Beuterate sein~~, ~~weil sich~~ die ~~Ernährungslage~~ der Füchse ~~mit~~ ~~jedem~~ ~~erbeuteten~~ ~~Hasen verbessert~~. Fasst man die Überlegungen zusammen, erhält man das Lotka-Volterra-Gleichungssystem.		Zur Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer Beutepopulation (nachfolgend Hasen genannt) und einer Räuberpopulation (nachfolgend Füchse genannt) aus. Die Geburtenrate der Hasen soll proportional zu ihrem momentanen Bestand ''H'' sein. Entsprechendes gilt für die Sterberate der Füchse. Die Sterberate der Hasen ist gleich der Beuterate der Füchse, die wiederum proportional zum Produkt aus der Zahl der Hasen und der Füchse sein soll. Diese Beziehung ergibt sich aus der Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Hasenopfers proportional mit der Zahl der Hasen und der Füchse zunimmt. Weil sich die Ernährungslage der Füchse mit jedem erbeuteten Hasen verbessert, sei die Geburtenrate der Füchse ebenfalls proportional zur Beuterate. Fasst man die Überlegungen zusammen, erhält man das Lotka-Volterra-Gleichungssystem.

	:<math>\dot H=k_1H-k_{12}HF=H(k_1-k_{12}F)</math>		:<math>\dot H=k_1H-k_{12}HF=H(k_1-k_{12}F)</math>
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	:<math>H_s=\frac{k_2}{k_{21}}</math> und <math>F_s=\frac{k_1}{k_{12}}</math>		:<math>H_s=\frac{k_2}{k_{21}}</math> und <math>F_s=\frac{k_1}{k_{12}}</math>

			==Potenzial==
	Dividiert man in den Lotka-Volterra-Gleichungen die Hasen und Füchse durch die stationären Grössen, erhält man ein dimensionsloses Gleichungssystem
			Die Zahl der Hasen und Füchse entwickelt sich ähnlich wie die beiden Koordinaten Ort und [[Impuls]] eines eindimensionalen mechanischen Systems. Zudem läuft der Zustandsvektor mit den beiden Komponenten Hase und Fuchs wie bei einem Hamilton-System um einen "Potenzialberg" herum.

			Um die Funktion des Potenzialbergs zu finden, vermindern wir zuerst die Zahl der Parameter durch Division der Zahl der Hasen und Füchse mit den beiden stationären Werte. So erhalten wir ein dimensionsloses Gleichungssystem mit dem stationären Punkt bei [1,1]

	:<math>\dot h=k_1h(1-f)</math>		:<math>\dot h=k_1h(1-f)</math>
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	Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann		Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann

	:<math>k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{f}{~~f_0~~}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0</math>		:<math>k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{h}{h_0}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0</math> oder <math>k_2(h-\ln h)+k_1(f-ln f)=k_2(h_0-\ln h_0)+k_1(f_0-ln f_0)</math> = konstant

			Nun kann man zwei neue Variablen einführen, welche den Abstand zum stationären Punkt (Koordinaten [1,1]) messen

			:''x = h - 1'' sowie ''y = f - 1''

			und die beiden Logarithmusfunktionen bis zum quadratischen Glied entwickeln. Das Resultat erinnert an die [[Hamilton-Mechanik\|Hamilton-Funktion]] des [[harmonischer Oszillator\|harmonischen Oszillators]].

Admin: /* Motivation */

2008-10-01T15:57:33Z

Motivation

← Nächstältere Version		Version vom 1. Oktober 2008, 15:57 Uhr
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	Aus der [[Systemdynamik\|systemdynamischen]] Modellierung des [[Räuber-Beute-Modell]]s und der nachfolgenden Darstellung der Simulation im Phasendiagramm (Hasen gegen Füchse) ersieht man, dass das System einen stationären Punkt aufweist, der von allen andern Systemzuständen umrundet wird.		Aus der [[Systemdynamik\|systemdynamischen]] Modellierung des [[Räuber-Beute-Modell]]s und der nachfolgenden Darstellung der Simulation im Phasendiagramm (Hasen gegen Füchse) ersieht man, dass das System einen stationären Punkt aufweist, der von allen andern Systemzuständen umrundet wird.

			Das System bleibt stabil, falls beide Änderungsraten gleich Null sind. Aus dieser Gleichung folgt für die stabile Zahl von Hasen und Füchsen

			:<math>H_s=\frac{k_2}{k_{21}}</math> und <math>F_s=\frac{k_1}{k_{12}}</math>

			Dividiert man in den Lotka-Volterra-Gleichungen die Hasen und Füchse durch die stationären Grössen, erhält man ein dimensionsloses Gleichungssystem

			:<math>\dot h=k_1h(1-f)</math>

			:<math>\dot f=k_2f(h-1)</math>

			Dividiert man die Hasengleichung durch die Fuchsgleichung, folgt eine zeitfreie Darstellung, die sich gut separieren lässt. Ein beidseitig Integration liefert dann

			:<math>k_2(h-h_0)+k_1(f-f_0)-k_2\ln\frac{f}{f_0}-k_1\ln\frac{f}{f_0}=0</math>

Admin: Die Seite wurde neu angelegt: Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben ein einfaches Räuber-Beute-Modell ==Motivation== Bei der Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer B...

2008-10-01T13:50:09Z

Die Seite wurde neu angelegt: Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben ein einfaches Räuber-Beute-Modell ==Motivation== Bei der Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer B...

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Die Lotka-Volterra Gleichungen beschreiben ein einfaches [[Räuber-Beute-Modell]]

==Motivation==
Bei der Modellierung des Räuber-Beute-Verhaltens geht man von einer Beutepopulation (nachfolgend Hasen genannt) und einer Räuberpopulation (nachfolgend Füchse genannt) aus. Die Geburtenrate der Hasen soll proportional zur momentanen Zahl ''H'' sein. Entsprechendes gilt für die Sterberate der Füchse. Die Sterberate der Hasen ist gleich der Beuterate, die wiederum proportional zum Produkt aus der Zahl der Hasen und der Füchse sein soll. Dies ergibt sich aus der Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeit eines Hasenopfers proportional zur Zahl der Hasen und der Füchse anwächst. Die Geburtenrate der Füchse soll ebenfalls proportional zur Beuterate sein, weil sich die Ernährungslage der Füchse mit jedem erbeuteten Hasen verbessert. Fasst man die Überlegungen zusammen, erhält man das Lotka-Volterra-Gleichungssystem.

:<math>\dot H=k_1H-k_{12}HF=H(k_1-k_{12}F)</math>

:<math>\dot F=k_{21}HF-k_2F=F(k_{21}H-k_2)</math>

Aus der [[Systemdynamik|systemdynamischen]] Modellierung des [[Räuber-Beute-Modell]]s und der nachfolgenden Darstellung der Simulation im Phasendiagramm (Hasen gegen Füchse) ersieht man, dass das System einen stationären Punkt aufweist, der von allen andern Systemzuständen umrundet wird.