Massenträgheitsmoment - Versionsgeschichte

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2007-07-05T03:47:16Z

Bedeutung

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	== ~~Bedeutung~~ ==		==Phänomene==
			Das Massenträgheitsmoment beschreibt das [[kapazitives Gesetz\|kapazitive Verhalten]] eines rotierenden Körpers. Dreht sich dieser um eine [[Hauptachse]], nimmt der [[Drehimpuls]] linear mit der [[Winkelgeschwindigkeit]] zu
	Anschaulich ist ein Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung:
	*Werden ein Fahrrad und ein Eisenbahnwagen auf dieselbe Geschwindigkeit beschleunigt, so ist intuitiv klar, dass für dieselbe [[Beschleunigung]] der Eisenbahnwagen kräftiger angeschoben werden muss als das Fahrrad. Die erforderliche Kraft hängt von der zu beschleunigenden trägen [[Masse]] ab.
	*Bei Rotationsbewegungen liegt die Sache anders. Werden zwei Kugeln gleicher Masse aber unterschiedlichen Durchmessers – etwa aus Holz und aus Blei – zum Rotieren gebracht, wird ihre Massenverteilung um die [[Drehachse]] relevant. Je weiter die Massen von der Drehachse entfernt sind, desto größer ist das benötigte [[Drehmoment]] um beide Kugeln in eine gleichschnelle Drehung zu versetzen. Für die größere Holzkugel ist so das größere Drehmoment nötig. Der Widerstand, den die Kugeln der Winkelgeschwindigkeitsänderung entgegensetzen, wird durch das Trägheitsmoment beschrieben.

			:<math>L = J\omega</math>
	Mit einem einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments bei gleich bleibendem [[Drehimpuls]] veranschaulichen. Man versetzt sich auf einen Schreibtischstuhl in Drehung, Arme und Beine ausgestreckt. Durch Anziehen von Armen und Beinen nimmt das Trägheitsmoment ab – mit der Folge, dass die Drehbewegung schneller wird, weil der Drehimpuls erhalten werden muss (s. [[Drehimpulserhaltung]]). Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung wieder. Um den Effekt zu verstärken, kann man schwere Gegenstände, etwa Hanteln, in jede Hand nehmen. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird dies.

			Das Verhältnis zwischen Drehimpulszuwachs und Winkelgeschwindigkeitsänderung entspricht direkt dem Massenträgheitsmoment. Lässt man nun über eine bestimmte Zeit ein [[Drehmoment]] auf verschiedene zylinderförmige Schwungräder einwirken, führt man also den Schwungrädern eine wohl definierte Menge [[Drehimpuls]] zu, stellt man fest, dass die Winkelgeschwindigkeit um so weniger ansteigt, je schwerer das Schwungrad und je grösser der Durchmesser ist. Durch die Zufuhr einer bestimmten Menge Drehimpuls steigt die Winkelgeschwindigkeit umgekehrt proportional zur Masse und umgekehrt proportional zum Quadrat des Radius der Schwungräder.
	Ein weiteres Beispiel ist der [[Pirouetteneffekt]] aus dem [[Eiskunstlaufen]]. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse aus der Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an, dreht er sich schneller – ein erneutes Schwung holen ist nicht nötig.

			[[Pirouette]]

	Die geläufigsten [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment sind <math>J</math> und <math>I</math>, zurückgehend auf das [[lateinisch]]e Wort ''iners'', das untätig und träge bedeutet. Da beide Symbole aber auch in der Elektrotechnik verwendung finden, ist weiterhin ein <math>\Theta</math> (großes [[Theta]]) gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend <math>J</math> verwendet.

	Die [[SI-Einheit]] des Trägheitsmoments ist <math>[J]=</math>kg m<sup>2</sup>.

	== Berechnung von Trägheitsmomenten aus der Massenverteilung ==		== Berechnung von Trägheitsmomenten aus der Massenverteilung ==

Admin am 5. Juli 2007 um 02:52 Uhr

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	Das '''Massenträgheitsmoment''', engl. ''Momentum of Inertia'' (MOI), auch nur''Trägheitsmoment'' oder ''Inertialmoment'' genannt, ~~ist~~ die [[kapazitives ~~Gesezt~~\|Kapazität]] bezüglich der bilanzierbaren [[Primärgrösse\|Menge]] [[Drehimpuls]]. Das Trägheitsmoment entspricht der trägen [[Masse]] in der [[Translationsmechanik]] und wird deswegen in der älteren Literatur auch '''Drehmasse''' genannt. Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und bei einem [[Rotator]] zusätzlich noch von der Drehachse ab. Weil ~~sich sowohl~~ der [[Drehimpuls]] ~~als auch~~ die [[Winkelgeschwindigkeit]] ~~wie ein~~ [[~~Vektor~~]] ~~transformieren~~, reicht zur vollständigen Beschreibung ~~des~~ ~~Trägheitsverhaltens~~ ~~eines [[starrer Körper\|starren Körpers]]~~ eine einzelne Zahl nicht aus. ~~Das~~ ~~Fassungsvermögen~~ an Drehimpuls wird durch den [[Trägheitstensor]] beschrieben. Als [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment verwenden wir <math>J</math>. ~~Die~~ [[SI-Einheit]] ~~des Trägheitsmoments~~ ist kg m<sup>2</sup>.		Das '''Massenträgheitsmoment''', engl. ''Momentum of Inertia'' (MOI), auch nur''Trägheitsmoment'' oder ''Inertialmoment'' genannt, beschreibt die [[kapazitives Gesetz\|Kapazität]] eines [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezüglich der bilanzierbaren [[Primärgrösse\|Menge]] [[Drehimpuls]]. Das Trägheitsmoment entspricht der trägen [[Masse]] der [[Translationsmechanik]] und wird deswegen in der älteren Literatur auch '''Drehmasse''' genannt. Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und bei einem [[Rotator]] zusätzlich noch von der Lage der Drehachse ab. Weil der [[Drehimpuls]] und die [[Winkelgeschwindigkeit]] eines [[starrer Körper\|starren Körpers]] nicht gleich gerichtet sein müssen, reicht zur vollständigen Beschreibung von dessen Trägheitsverhalten eine einzelne Zahl nicht aus: der Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit wird durch den [[Trägheitstensor]] beschrieben. Als [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment verwenden wir <math>J</math>, die [[SI-Einheit]] ist kg m<sup>2</sup>.

Admin am 4. Juli 2007 um 05:54 Uhr

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	Das '''Massenträgheitsmoment''', engl. ''Momentum of Inertia'' (MOI), auch nur''Trägheitsmoment'' oder ''Inertialmoment'' genannt ist die [[kapazitives Gesezt\|Kapazität bezüglich der [[Primärgrösse\|~~bilanzierbaren~~ Menge]] [[Drehimpuls]]. Das Trägheitsmoment entspricht der [[Masse]] in der [[Translationsmechanik]] und wird deswegen in der älteren Literatur auch '''Drehmasse''' genannt. Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und zusätzlich noch von der Drehachse ab. ~~Zur~~ vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers ~~reicht deshalb~~ eine einzelne Zahl nicht aus; ~~man~~ ~~verwendet~~ ~~dafür~~ den [[Trägheitstensor]]. Als [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment verwenden wir <math>J</math> Die [[SI-Einheit]] des Trägheitsmoments ist kg m<sup>2</sup>.		Das '''Massenträgheitsmoment''', engl. ''Momentum of Inertia'' (MOI), auch nur''Trägheitsmoment'' oder ''Inertialmoment'' genannt, ist die [[kapazitives Gesezt\|Kapazität]] bezüglich der bilanzierbaren [[Primärgrösse\|Menge]] [[Drehimpuls]]. Das Trägheitsmoment entspricht der trägen [[Masse]] in der [[Translationsmechanik]] und wird deswegen in der älteren Literatur auch '''Drehmasse''' genannt. Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und bei einem [[Rotator]] zusätzlich noch von der Drehachse ab. Weil sich sowohl der [[Drehimpuls]] als auch die [[Winkelgeschwindigkeit]] wie ein [[Vektor]] transformieren, reicht zur vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines [[starrer Körper\|starren Körpers]] eine einzelne Zahl nicht aus. Das Fassungsvermögen an Drehimpuls wird durch den [[Trägheitstensor]] beschrieben. Als [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment verwenden wir <math>J</math>. Die [[SI-Einheit]] des Trägheitsmoments ist kg m<sup>2</sup>.

Admin am 4. Juli 2007 um 05:46 Uhr

2007-07-04T05:46:56Z

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Das '''Massenträgheitsmoment''', engl. ''Momentum of Inertia'' (MOI), auch nur''Trägheitsmoment'' oder ''Inertialmoment'' genannt ist die [[kapazitives Gesezt|Kapazität bezüglich der [[Primärgrösse|bilanzierbaren Menge]] [[Drehimpuls]]. Das Trägheitsmoment entspricht der [[Masse]] in der [[Translationsmechanik]] und wird deswegen in der älteren Literatur auch '''Drehmasse''' genannt. Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und zusätzlich noch von der Drehachse ab. Zur vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus; man verwendet dafür den [[Trägheitstensor]]. Als [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment verwenden wir <math>J</math> Die [[SI-Einheit]] des Trägheitsmoments ist kg m2.

== Bedeutung ==
Anschaulich ist ein Vergleich zwischen einer geradlinigen Translationsbewegung (also der Bewegung entlang einer Geraden) und einer Drehbewegung:
*Werden ein Fahrrad und ein Eisenbahnwagen auf dieselbe Geschwindigkeit beschleunigt, so ist intuitiv klar, dass für dieselbe [[Beschleunigung]] der Eisenbahnwagen kräftiger angeschoben werden muss als das Fahrrad. Die erforderliche Kraft hängt von der zu beschleunigenden trägen [[Masse]] ab.
*Bei Rotationsbewegungen liegt die Sache anders. Werden zwei Kugeln gleicher Masse aber unterschiedlichen Durchmessers – etwa aus Holz und aus Blei – zum Rotieren gebracht, wird ihre Massenverteilung um die [[Drehachse]] relevant. Je weiter die Massen von der Drehachse entfernt sind, desto größer ist das benötigte [[Drehmoment]] um beide Kugeln in eine gleichschnelle Drehung zu versetzen. Für die größere Holzkugel ist so das größere Drehmoment nötig. Der Widerstand, den die Kugeln der Winkelgeschwindigkeitsänderung entgegensetzen, wird durch das Trägheitsmoment beschrieben.

Mit einem einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments bei gleich bleibendem [[Drehimpuls]] veranschaulichen. Man versetzt sich auf einen Schreibtischstuhl in Drehung, Arme und Beine ausgestreckt. Durch Anziehen von Armen und Beinen nimmt das Trägheitsmoment ab – mit der Folge, dass die Drehbewegung schneller wird, weil der Drehimpuls erhalten werden muss (s. [[Drehimpulserhaltung]]). Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung wieder. Um den Effekt zu verstärken, kann man schwere Gegenstände, etwa Hanteln, in jede Hand nehmen. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird dies.

Ein weiteres Beispiel ist der [[Pirouetteneffekt]] aus dem [[Eiskunstlaufen]]. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse aus der Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an, dreht er sich schneller – ein erneutes Schwung holen ist nicht nötig.

Die geläufigsten [[Formelzeichen]] für das Trägheitsmoment sind <math>J</math> und <math>I</math>, zurückgehend auf das [[lateinisch]]e Wort ''iners'', das untätig und träge bedeutet. Da beide Symbole aber auch in der Elektrotechnik verwendung finden, ist weiterhin ein <math>\Theta</math> (großes [[Theta]]) gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend <math>J</math> verwendet.

Die [[SI-Einheit]] des Trägheitsmoments ist <math>[J]=</math>kg m2.

== Berechnung von Trägheitsmomenten aus der Massenverteilung ==

Für einzelne [[Massenpunkt]]e berechnet sich das Trägheitsmoment mit der Summe:
: <math>J = \sum_i m_i r_i^2</math>
mit <math>m_i</math> für die Masse und <math>r_i</math> für den senkrechten Abstand des <math>i</math>-ten Teilchens von der Drehachse. Ist die Drehachse die <math>x</math>-Achse, so lautet das zugehörige Trägheitsmoment
: <math>J_x = \sum_i m_i (y_i^2 + z_i^2)</math>

und nach dem Übergang zum [[Integralrechnung|Integral]] mit dem Volumen <math>V</math> des aus den Massenpunkten zusammengesetzten Körpers:
: <math>J = \int_V r^2\rho(\vec r)\mathrm{d}V</math>
<math>\rho(\vec r)</math> ist die vom Ortsvektor abhängige [[Dichte_(Physik)|Dichte]].

Bei einer homogenen Masseverteilung ist die Dichte konstant und die Rechnung vereinfacht sich zu : <math>J=\rho \int_{V} r^2 \, \mathrm{d}V</math>
Weiter unten ist eine Beispielrechnung angegeben.

Das Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper, die um ihre Symmetrieachse (z-Achse) rotieren, kann einfach mit Hilfe von [[Zylinderkoordinaten#Räumliche_Polarkoordinaten:_Zylinderkoordinaten_und_Kugelkoordinaten|Zylinderkoordinaten]] berechnet werden. Dazu muss entweder die Höhe als Funktion des Radius (<math>h=h(r)</math>) oder der Radius als Funktion der z-Koordinate (<math>r=r(z)</math>) bekannt sein. Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ergibt sich zu <math>\mathrm{d}V=r \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}z</math>. Die Integrationen über <math>\varphi</math> und <math>z</math> bzw. über <math>\varphi</math> und <math>r</math> sind leicht auszuführen und man erhält:
:<math>J = 2\pi \rho \int r^3 \, h(r) \, \mathrm{d}r</math>    bzw.   <math>J = \frac{1}{2} \pi \rho \int r(z)^4 \, \mathrm{d}z</math>

== Trägheitsmoment bezüglich zueinander parallelen Achsen ==
[[Bild:Steiner Regel.svg|thumb|Illustration der Steiner-Regel. Drehachse 1 geht durch den Schwerpunkt des Körpers der Masse ''m''. Drehachse 2 ist um den Abstand ''d'' verschoben.]]
Ist das Trägheitsmoment <math>J_\mathrm{S}</math> für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so kann mit Hilfe des [[Satz von Steiner]] das Trägheitsmoment <math>J_\mathrm{P}</math> für eine beliebige parallel verschobene Drehachse berechnet werden. Die Formel lautet:
:<math>\left.J_\mathrm{P}=J_\mathrm{S}+md^2\right.</math>
Dabei gibt <math>d</math> den Abstand der Achse durch den Schwerpunkt zur parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann die Steiner-Regel für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss die Steiner-Regel zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.
:<math>J_\mathrm{neu} = J_\mathrm{alt} + m \left(d_\mathrm{neu}^2 - d_\mathrm{alt}^2\right)</math>

== Trägheitstensor ==
Der [[Trägheitstensor]] <math>I_{xy}</math> eines Körpers ist eine Verallgemeinerung des Trägheitsmomentes. In einem kartesischen Koordinatensystem lässt sich der Trägheitstensor als Matrix darstellen, die sich aus den Trägheitsmomenten bezüglich der drei Koordinatenachsen und den [[Deviationsmoment|Deviationsmomenten]] zusammengesetzt. Die drei Trägheitsmomente bilden die Diagonale der Matrix, die Deviationsmomente sind die die Nebendiagonalelemente. Mit Hilfe des Trägheitstensor lässt sich z.B. das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen, durch den Schwerpunkt gehenden Achse berechnen. Wenn ein starrer Körper um eine solche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit <math>\vec \omega</math> rotiert, so ergibt sich das Trägheitsmoment zu
:<math>J=\frac{1}{\omega^2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 I_{ij} \; \omega_i \; \omega_j</math>
oder in Matrixschreibweise
:<math>J=\frac{1}{\omega^2}\,\vec\omega^T\cdot I \cdot\vec\omega</math>

=== Drehung des Koordinatensystems ===
[[Bild:KOS.png|right|framed]]

Eine Achse in beliebiger Raumrichtung wird beschrieben durch den Einheitsvektor <math>\vec e </math>. Man kann diesen z.B. dadurch erhalten, dass man den Einheitsvektor in z-Richtung mittels einer Drehmatrix ''R'' dreht:  
<math>\vec e = R \cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right)</math>

Mit    <math> R = \left(\begin{matrix}
\cos\varphi \cdot \cos\vartheta & -\sin\varphi & \cos\varphi \cdot \sin\vartheta \\
\sin\varphi \cdot \cos\vartheta & \cos\varphi & \sin\varphi \cdot \sin\vartheta \\
-\sin\vartheta & 0 & \cos\vartheta\ \end{matrix}\right)</math>
   erhält man   
<math>\vec e = \left(\begin{matrix}\cos\varphi \cdot \sin\vartheta\\ \sin\varphi \cdot \sin\vartheta\\ \cos\vartheta\end{matrix}\right)</math>

Mit Hilfe dieser Drehmatrix kann nun der Trägheitstensor in ein Koordinatensystem transformiert werden, in dem die z-Achse in Richtung der Rotationsachse zeigt:

<math>I' = R^T \cdot I \cdot R</math>

Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist jetzt einfach das 3. Diagonalelement des Tensors in der neuen Darstellung. Nach Ausführung der Matrizenmultiplikation und trigonometrischen Umformungen ergibt sich
 
<math>
J = (I_{xx} \cos^2\varphi + I_{yy}\sin^2\varphi + I_{xy}\sin2\varphi)\sin^2\vartheta + I_{zz}\cos^2\vartheta + (I_{yz}\sin\varphi + I_{zx}\cos\varphi)\sin2\vartheta
</math>
 

=== Rotationssymmetrischer Körper ===
Wir betrachten als Beispiel dazu den Trägheitstensor eines rotationssymmetrischen Körpers. Wenn eine der Koordinatenachsen (hier die z-Achse) mit der Symmetrieachse zusammenfällt, dann ist dieser Tensor diagonal. Die Trägheitsmomente für Rotation um die x-Achse und die y-Achse sind gleich (<math>I_{xx}=I_{yy}=J_1</math>). Für die z-Achse kann das Trägheitsmoment verschieden sein (<math>I_{zz}=J_2</math>). Der Trägheitstensor hat damit folgende Gestalt:

<math> I = \left(\begin{matrix}
J_1 & 0 & 0 \\
0 & J_1 & 0 \\
0 & 0 & J_2 \end{matrix}\right)</math>

Transformiert man diesen Tensor wie oben beschrieben in ein Koordinatensystem, das um den Winkel <math>\vartheta</math> um die y-Achse gedreht ist, so erhält man:

<math> I' = \left(\begin{matrix}
J_1 \cos^2 \vartheta + J_2 \sin^2 \vartheta & 0 & \left( J_1 - J_2 \right) \sin \vartheta \cos \vartheta \\
0 & J_1 & 0 \\
\left( J_1 - J_2 \right) \sin \vartheta \cos \vartheta & 0 & J_1 \sin^2 \vartheta + J_2 \cos^2 \vartheta \end{matrix}\right)</math>

Daraus ergibt sich:
# Für <math> J_1 \ne J_2 </math> sind die Trägheitsmomente für die x- und z-Achse von <math>\vartheta</math> abhängig.
# Für <math> J_1 \ne J_2 </math> ist der Trägheitstensor nicht mehr diagonal, es treten [[Deviationsmoment|Deviationsmomente]] auf.
# Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist: <math> J = J_1 \sin^2 \vartheta + J_2 \cos^2 \vartheta </math>
# Für <math> J_1 = J_2 </math> hängt wegen <math>\sin^2 \vartheta + \cos^2 \vartheta = 1</math> das Trägheitsmoment nicht von der Richtung der Drehachse ab

==Besondere Rotationsachsen==
===Hauptträgheitsachsen===
Betrachtet man einen unregelmäßig geformten Körper, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt rotiert, so variiert dessen Trägheitsmoment je nach Lage der Drehachse. Dabei gibt es zwei Achsen, bezüglich derer das Trägheitsmoment des Körpers maximal bzw. minimal ist. Diese Achsen stehen immer senkrecht zueinander und bilden zusammen mit einer dritten, wiederum senkrecht auf beiden stehenden Achse die ''[[Hauptträgheitsachse]]n'' des Körpers. In einem von den Hauptträgheitsachsen aufgespannten Koordinatensystem ist der Trägheitstensor diagonal. Die zu den Hauptträgheitsachsen gehörenden Trägheitsmomente sind also die [[Eigenwert|Eigenwerte]] des Trägheitstensor, sie heißen '''Hauptträgheitsmomente'''.

Die Hauptträgheitsachsen fallen mit eventuell vorhandenen [[Symmetrieachse]]n des Körpers zusammen. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß, so sind alle Drehachsen in der Ebene, die von den zugehörigen Hauptträgheitsachsen aufgespannt wird, ebenfalls Hauptträgheitsachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment. Das ist bei zylindersymmetrischen Körpern unmittelbar klar, gilt aber z. B. ebenso für einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche. Für den Fall, dass alle Hauptträgheitsmomente identisch sind, ist wie oben gezeigt wurde jede Drehachse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. Für alle regelmäßigen Körper wie [[Kugel]], [[Tetraeder]], [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], usw. ist demnach das Trägheitsmoment für jede Achse durch den Schwerpunkt gleich groß.

''Siehe auch: [[Trägheitsellipsoid]]''

===Eingespannte Achsen===
Wenn ein starrer Körper um eine fest eingespannte Achse mit der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec{\omega}</math> rotiert (die Richtung des Vektors <math>\vec{\omega}</math> ist die Richtung der Drehachse), so lässt sich der [[Drehimpuls]] <math>\vec{L}</math> aus <math>\vec{L} = I \vec{\omega}</math> berechnen. Dabei ist <math>I</math> der [[Trägheitstensor]]. Im Allgemeinen hat der Drehimpuls <math>\vec{L}</math> jetzt nicht die Richtung der Drehachse <math>\vec{\omega}</math> und ist zeitlich nicht konstant, so dass die Lager ständig Drehmomente aufbringen müssen
([[Unwucht#Dynamische_Unwucht|Dynamische Unwucht]]). Nur bei Rotation um eine der [[Hauptträgheitsachse|Hauptträgheitsachsen]] ist <math> \vec{L} \parallel \vec{\omega} </math>.

Für die Drehimpuls'''komponente''' <math>L</math> entlang der Drehachse gilt <math>L = J \omega</math>, dabei ist <math>\omega</math> die Winkelgeschwindigkeit und <math>J</math> das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse <math>\vec{\omega}</math> . Die [[kinetische Energie]] der Rotation, auch kurz als ''Rotationsenergie'' bezeichnet, kann durch
:<math> T_\mathrm{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2 = \frac{L^2}{2J}</math>
ausgedrückt werden. Diese Formeln zeigen die Analogie zu den entsprechenden Formeln für [[Impuls (Physik)|Impuls]] und kinetische Energie der Translationsbewegung.

== Beispiele ==
=== Trägheitsmomente von Himmelskörpern ===

Fast alle größeren Körper im Weltall ([[Stern]]e, [[Planet]]en) sind angenähert kugelförmig und [[Rotation (Physik)|rotieren]] mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die [[Rotationsachse]] ist immer das größte des [[Himmelskörper]]s.

Die Differenz dieses „polaren“ und des [[äquatorial]]en Trägheitmoments hängt mit der [[Abplattung]] des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die [[Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft|Fliehkraft]] der Rotation. Bei der [[Erde]] liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der [[Erdabplattung]] von 1:298,24. Beim rasch rotierenden [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] sind diese Relativwerte rund 20mal größer.

Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen ''r''² im obigen Integral auf die innere [[Konzentration]] seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist viel kleiner, als wenn sie [[homogen]] aufgebaut wäre. Daraus kann man errechnen, dass der [[Erdkern]] aus [[Eisen]] (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.

=== Hauptträgheitsmomente einfacher [[Geometrie|geometrischer]] Körper ===
Wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, liegt der Schwerpunkt auf der Drehachse auf die sich das Trägheitsmoment bezieht. Das Trägheitsmoment für Drehungen um andere Achsen kann man dann mit Hilfe des [[Satz von Steiner]] berechnen.
{| class="prettytable"
! class="hintergrundfarbe6" | Abbildung
! class="hintergrundfarbe6" | Beschreibung
! class="hintergrundfarbe6" | Trägheitsmoment
|-
| [[Bild:Traegheit a punktmasse.png]]
| Eine Punktmasse im Abstand <math>r</math> um eine Drehachse.
| <math>J = m \cdot r^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit b zylindermantel.png]]
| Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert.
| <math>J = m \cdot r^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit c vollzylinder.png]]
| Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.
| <math>J = {1 \over 2} m \cdot r^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit d hohlzylinder2.png]]
| Ein Hohlzylinder, der um seine Körperachse rotiert. Das „+“ sieht zunächst verblüffend aus, doch die Masse ist nicht wie beim Vollzylinder homogen verteilt, sondern liegt ausschließlich im Außenbereich. Ein Hohlzylinder hat also, bei gleicher Masse, im Vergleich zum Vollzylinder ein größeres Trägheitsmoment.
| <math>J = {1 \over 2} m \cdot (r_2^2+r_1^2)</math>
|-
| [[Bild:Traegheit e vollzylinder_2.png]]
| Ein Vollzylinder, der um eine Achse rotiert, die senkrecht zur Symmetrieachse steht, und durch seinen Schwerpunkt geht.
| <math>J = {1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit f zylindermantel_2.png]]
| Ein Zylindermantel der senkrecht zu seiner Körperachse rotiert.
| <math>J = {1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit g stab1.png]]
| Ein dünner Stab, der senkrecht zur Symmetrieachse rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit <math>r\ll l</math>.
| <math>J = {1 \over 12} m \cdot l^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit h stab2.png]]
| Dünner Stab, der senkrecht zu seiner Körperachse um ein Ende rotiert. Diese Formel ist die Anwendung der [[Satz von Steiner|Steiner-Regel]] auf den dünnen Stab.
| <math>J = {1 \over 3} m \cdot l^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit i kugel1.png]]
| Eine Kugelschale, die um den Mittelpunkt rotiert, für eine Wandstärke <math>d \ll r</math>.
| <math>J = {2 \over 3} m \cdot r^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit j kugel1.png]]
| Eine massive Kugel, die um den Mittelpunkt rotiert.
| <math>J = {2 \over 5} m \cdot r^2</math>
|-
| [[Bild:Traegheit k quader.png]]
| Ein Quader, der um eine Achse rotiert, die parallel zu einer seiner Kanten liegt.
| <math>J = {1 \over 12} m \cdot (a^2 + b^2)</math>
|-
| [[Bild:Cone_(geometry).svg|100px]]
| Ein massiver Kegel, der um seine Achse rotiert.
| <math>J = {3 \over 10} m \cdot r^2</math>
|-
| [[Bild:Skizze_Pyramide.PNG|170px]]
| Eine vierseitige, regelmäßige Pyramide, die um ihre Symmetrieachse rotiert.
| <math>J = {1 \over 5} m \cdot r^2</math>
|}

[[Kategorie:Rot]]