Mechanik des starren Körpers - Versionsgeschichte

Admin: /* Kontrollfragen */

2016-03-07T16:37:31Z

Kontrollfragen

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 16:37 Uhr
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	==Kontrollfragen==		==Kontrollfragen==
	#Formulieren Sie die [[Impulsbilanz]] bezüglich eines Körpers in Ihren eigenen ~~Worte~~.		#Formulieren Sie die [[Impulsbilanz]] bezüglich eines Körpers in Ihren eigenen Worten.
	#Formulieren Sie die [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich eines Körpers in Ihren eigenen ~~Worte~~.		#Formulieren Sie die [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich eines Körpers in Ihren eigenen Worten.
	#Kräften lassen sich in Oberflächenkräfte (Impulsstromstärken) und Gewichtskraft (Impulsquelle) aufteilen. Kann man bei den Drehmomenten eine analoge Aufteilung vornehmen? Wie unterscheiden sich die beiden Arten?		#Kräften lassen sich in Oberflächenkräfte (Impulsstromstärken) und Gewichtskraft (Impulsquelle) aufteilen. Kann man bei den Drehmomenten eine analoge Aufteilung vornehmen? Wie unterscheiden sich die beiden Arten?
	#[[Winkelgeschwindigkeit]] und [[Drehimpuls]] transformieren sich im Raum wie Vektoren (ohne Spiegelung). Kann die Drehung im Raum auch mit Hilfe eines Vektors beschrieben werden?		#[[Winkelgeschwindigkeit]] und [[Drehimpuls]] transformieren sich im Raum wie Vektoren (ohne Spiegelung). Kann die Drehung im Raum auch mit Hilfe eines Vektors beschrieben werden?

Admin: /* systemdynamisches Modell: Magnus-Rolle */

2016-03-07T16:35:59Z

systemdynamisches Modell: Magnus-Rolle

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 16:35 Uhr
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	Ein durch die Luft wirbelnder, glatter Körper erfährt infolge der asymmetrischen Anströmung eine Kraft, die normal zur Geschwindigkeit steht. Diese Kraft, welche die kinetische Energie des Körpers nicht verändern kann, weil ihre Leistung gleich Null ist, heisst nach ihrem Entdecker [[Magnus-Effekt\|Magnuskraft]]. Im [[Fussball]] nennt man die Wirkung dieser Kraft Effet.		Ein durch die Luft wirbelnder, glatter Körper erfährt infolge der asymmetrischen Anströmung eine Kraft, die normal zur Geschwindigkeit steht. Diese Kraft, welche die kinetische Energie des Körpers nicht verändern kann, weil ihre Leistung gleich Null ist, heisst nach ihrem Entdecker [[Magnus-Effekt\|Magnuskraft]]. Im [[Fussball]] nennt man die Wirkung dieser Kraft Effet.

	Zieht man nun eine Kartonrolle mittels eines Seidenbandes, das um die Rolle gewickelt worden ist, von der Oberfläche eines Tisches schief nach oben weg, fliegt die rotierende Rolle unter einem bestimmten Winkel nach oben ~~weg~~. Doch statt längs einer gewöhnlichen Wurfbahn auf den Boden zu fallen, kann die Kartonrolle im Extremfall sogar einen Looping ausführen. Diese Bewegung lässt sich mit einem [[System Dynamics\|systemdynamischen Modell]] gut simulieren.		Zieht man nun eine Kartonrolle mittels eines Seidenbandes, das um die Rolle gewickelt worden ist, von der Oberfläche eines Tisches schief nach oben weg, fliegt die rotierende Rolle unter einem bestimmten Winkel nach oben fort. Doch statt längs einer gewöhnlichen Wurfbahn auf den Boden zu fallen, kann die Kartonrolle im Extremfall sogar einen Looping ausführen. Diese Bewegung lässt sich mit einem [[System Dynamics\|systemdynamischen Modell]] gut simulieren.

	Als Objekt dient eine Kartonrolle (Masse 56 g, Durchmesser 35 mm, Länge 380 mm), die beidseitig mit je einer überkragenden Kartonscheibe verschlossen ist. Diese Scheiben stabilisieren die Rolle im Flug. Das systemdynamische Modell weisst fünf Töpfe ([[Zustandsgrösse]]n) auf, zwei für die Impulsbilanz, eine für die Drehimpulsbilanz und zwei weitere als reine Integratoren, die aus der Geschwindigkeit die Position ermitteln. Während des Fluges wirken die Gewichtskraft, der [[Luftwiderstand]] und die Magnuskraft auf die Rolle ein. Zudem bremst die Luft die Rolle in ihrer Rotation. Mangels genauer Kenntnisse der zugehörigen Dynamik wird das zugehörige Drehmoment als Konstante mal Quadrat der Winkelgeschwindigkeit modelliert. Die Bilder zeigen das Systemdiagramm (flowchart), die Gleichungen, die Flugbahn und den zeitlichen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit für drei verschiedene Konstanten.		Als Objekt dient eine Kartonrolle (Masse 56 g, Durchmesser 35 mm, Länge 380 mm), die beidseitig mit je einer überkragenden Kartonscheibe verschlossen ist. Diese Scheiben stabilisieren die Rolle im Flug. Das systemdynamische Modell weisst fünf Töpfe ([[Zustandsgrösse]]n) auf, zwei für die Impulsbilanz, eine für die Drehimpulsbilanz und zwei weitere als reine Integratoren, die aus der Geschwindigkeit die Position ermitteln. Während des Fluges wirken die Gewichtskraft, der [[Luftwiderstand]] und die Magnuskraft auf die Rolle ein. Zudem bremst die Luft die Rolle in ihrer Rotation. Mangels genauer Kenntnisse der zugehörigen Dynamik wird das zugehörige Drehmoment als Konstante mal Quadrat der Winkelgeschwindigkeit modelliert. Die Bilder zeigen das Systemdiagramm (flowchart), die Gleichungen, die Flugbahn und den zeitlichen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit für drei verschiedene Konstanten.

Admin: /* Hula-Hoop */

2016-03-07T16:32:31Z

Hula-Hoop

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 16:32 Uhr
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	===Hula-Hoop===		===Hula-Hoop===
	Ein Reifen aus Holz oder ~~Kunsstoff~~ soll so fort geworfen werden, dass er danach wieder an den Ausgangspunkt zurück rollt. Dazu versetzt man den Reifen bei fast horizontalem Abwurf in eine gegenläufige Rotation. Auf den Reifen wirken das Gravitationsfeld mit der Gewichtskraft und der Boden mit Normal- und Reibkraft ein. Während des Aufschlags ist die Normalkraft grösser als die Gewichtskraft. Kurzer Zeit danach herrscht in vertikaler Richtung Gleichgewicht. Die Gleitreibungskraft wirkt, solange der Reifen noch nicht rollt. Am Schluss bewege sich der Reifen mit positiver Drehzahl in positive Richtung. Weil die Grösse der Gleitreibungskraft unbekannt und die Rutschphase recht kurz ist, arbeiten wir mit der ~~aufintegrierten~~ Form der Impuls- und Drehimpulsbilanz. Nun können zwei Bedingungen formuliert werden		Ein Reifen aus Holz oder Kunststoff soll so fort geworfen werden, dass er danach wieder an den Ausgangspunkt zurück rollt. Dazu versetzt man den Reifen bei fast horizontalem Abwurf in eine gegenläufige Rotation. Auf den Reifen wirken das Gravitationsfeld mit der Gewichtskraft und der Boden mit Normal- und Reibkraft ein. Während des Aufschlags ist die Normalkraft grösser als die Gewichtskraft. Kurzer Zeit danach herrscht in vertikaler Richtung Gleichgewicht. Die Gleitreibungskraft wirkt solange, wie der Reifen noch nicht rollt. Am Schluss bewege sich der Reifen mit positiver Drehzahl in positive Richtung. Weil die Grösse der Gleitreibungskraft unbekannt und die Rutschphase recht kurz ist, arbeiten wir mit der über die Zeit integrierten Form der Impuls- und Drehimpulsbilanz. Nun können zwei Bedingungen formuliert werden
	#im Endzustand (Rollen) gilt die Rollbedingung: <math>v_e=\omega_e r</math>		#im Endzustand (Rollen) gilt die Rollbedingung: <math>v_e=\omega_e r</math>
	#der Austausch von ~~Dreimpuls~~ und Impuls sind miteinander verknüpft: <math>\Delta L=-r\Delta p</math>		#der Austausch von Drehimpuls und Impuls sind miteinander verknüpft: <math>\Delta L=-r\Delta p</math>
	[[Bild:Hula Hoop FB.png\|thumb\|Flüssigkeitsbilder]]Die zweite Bedingung folgt aus dem [[Hebelgesetz]]. Die nach vorne gerichtete Gleitreibungskraft ist von einem (negativen) Drehmoment begleitet, weil der Horizontalimpuls im Mittel vom Boden bis zum Reifenzentrum fliessen muss. Der Reifen gibt Drehimpuls an die Erde ab und nimmt dabei von der Erde Impuls auf. Die Lösung kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden		[[Bild:Hula Hoop FB.png\|thumb\|Flüssigkeitsbilder]]Die zweite Bedingung folgt aus dem [[Hebelgesetz]]. Die nach vorne gerichtete Gleitreibungskraft ist von einem (negativen) Drehmoment begleitet, weil der Horizontalimpuls im Mittel vom Boden bis zum Reifenzentrum fliessen muss. Der Reifen gibt Drehimpuls an die Erde ab und nimmt dabei von der Erde Impuls auf. Die Lösung kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden

Admin: /* Yo-Yo */

2016-03-07T16:23:49Z

Yo-Yo

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 16:23 Uhr
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	[[Bild:YoYo..png\|thumb\|Schnittbild]]Ein Yo-Yo, im Deutschen auch Jo-Jo genannt, ist eine Fadenspule, die über den Faden auf und ab rollt. Der Faden sei vertikal ausgerichtet und die Fadenkraft sei gleich gross wie die auf das Yo-Yo (Masse 200 g, Massenträgheitsmoment 8 10<sup>-5</sup> kgm<sup>2</sup>, Wickelradius 1 cm) einwirkende Gewichtskraft. Wie gross sind dann die Beschleunigung des vertikalen Fadenstücks und die Winkelbeschleunigung des Yo-Yo?		[[Bild:YoYo..png\|thumb\|Schnittbild]]Ein Yo-Yo, im Deutschen auch Jo-Jo genannt, ist eine Fadenspule, die über den Faden auf und ab rollt. Der Faden sei vertikal ausgerichtet und die Fadenkraft sei gleich gross wie die auf das Yo-Yo (Masse 200 g, Massenträgheitsmoment 8 10<sup>-5</sup> kgm<sup>2</sup>, Wickelradius 1 cm) einwirkende Gewichtskraft. Wie gross sind dann die Beschleunigung des vertikalen Fadenstücks und die Winkelbeschleunigung des Yo-Yo?

	Im Schnittbild sind nur die beiden entgegen gesetzt gleich grossen Kräfte zu zeichnen. Weil die Summe über alle Kräfte gleich Null ist, ändert das Yo-Yo seinen Impulsinhalt nicht. Folglich ~~bleibt~~ die Achse des Yo-Yo ~~unbeschleunigt~~. Die Fadenkraft erzeugt ein Drehmoment auf das Yo-Yo und vergrössert so seine Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelbeschleunigung beträgt		Im Schnittbild sind nur die beiden entgegen gesetzt gleich grossen Kräfte zu zeichnen. Weil die Summe über alle Kräfte gleich Null ist, ändert das Yo-Yo seinen Impulsinhalt nicht. Folglich wird die Achse des Yo-Yo nicht beschleunigt. Die Fadenkraft erzeugt ein Drehmoment auf das Yo-Yo und vergrössert so seine Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelbeschleunigung beträgt

	:<math>\alpha=\frac{F}{J}=\frac{mgr}{J}</math> = 2.45 10<sup>2</sup> s<sup>-2</sup>		:<math>\alpha=\frac{F}{J}=\frac{mgr}{J}</math> = 2.45 10<sup>2</sup> s<sup>-2</sup>
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	:<math>v_{Faden}=v_{Achse}+r\omega</math>		:<math>v_{Faden}=v_{Achse}+r\omega</math>

	legen sie ~~aber~~ die momentane Winkelgeschwindigkeit fest. Zudem bestimmen sie zusammen mit den Kräften, wie stark die Energieströme im Faden und zwischen Gravitationsfeld und Körper sind. Die kinematische Verknüpfung kann auch auf die Beschleunigung übertragen werden, falls das Yo-Yo nicht im Gleichgewicht ist und dessen Achse ebenfalls beschleunigt wird.		legen sie gemeinsam die momentane Winkelgeschwindigkeit fest. Zudem bestimmen sie zusammen mit den Kräften, wie stark die Energieströme im Faden und zwischen Gravitationsfeld und Körper sind. Die kinematische Verknüpfung kann auch auf die Beschleunigung übertragen werden, falls das Yo-Yo nicht im Gleichgewicht ist und dessen Achse ebenfalls beschleunigt wird.

	===Hula-Hoop===		===Hula-Hoop===

Admin: /* Fadenspule */

2016-03-07T16:19:44Z

Fadenspule

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 16:19 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	#Wählt man die Achsen des Koordinatensystems horizontal und vertikal, zeigen alle Kräfte entweder in ''x''- oder in ''y''-Richtung. Eine Zerlegung in Komponenten ist deshalb nicht notwendig. Die Haftreibungskraft erzeugt eine positives und die Seilkraft ein negatives Drehmoment.		#Wählt man die Achsen des Koordinatensystems horizontal und vertikal, zeigen alle Kräfte entweder in ''x''- oder in ''y''-Richtung. Eine Zerlegung in Komponenten ist deshalb nicht notwendig. Die Haftreibungskraft erzeugt eine positives und die Seilkraft ein negatives Drehmoment.
	#Nur zwei der drei Bilanzgleichungen werden zur Lösung des Problems gebraucht. Trotzdem sind nachfolgend alle Gleichungen aufgeführt.		#Nur zwei der drei Bilanzgleichungen werden zur Lösung des Problems gebraucht. Trotzdem sind nachfolgend alle Gleichungen aufgeführt.
	#Als vierte Gleichung kommt die Rollbedingung (kinematische ~~Verknüptung~~) dazu. Gemäss dieser Bedingung ist die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt\|MMP]] gleich Abrollradius mal Winkelgeschwindigkeit. Diese Forderung überträgt sich auf Beschleunigung und Winkelbeschleunigung.		#Als vierte Gleichung kommt die Rollbedingung (kinematische Verknüpfung) dazu. Gemäss dieser Bedingung ist die Geschwindigkeit des [[Massenmittelpunkt\|MMP]] gleich Abrollradius mal Winkelgeschwindigkeit. Diese Forderung überträgt sich auf Beschleunigung und Winkelbeschleunigung.
	[[Bild:Fadenspule_Kraefte.png\|thumb\|SChnittbild]]		[[Bild:Fadenspule_Kraefte.png\|thumb\|SChnittbild]]

Admin: /* Rezept */

2016-03-07T11:37:53Z

Rezept

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 11:37 Uhr
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	#Gleichungssystem durch '''zusätzliche Bedingungen''' vervollständigen. Dazu gehören		#Gleichungssystem durch '''zusätzliche Bedingungen''' vervollständigen. Dazu gehören
	##zusätzliche Kraftgesetze wie Federgesetz oder Reibungsgesetze		##zusätzliche Kraftgesetze wie Federgesetz oder Reibungsgesetze
	##kinematische ~~Verknüptungen~~ wie Rollbedingung oder Wirkung von Lagern		##kinematische Verknüpfungen wie Rollbedingung oder Wirkung von Lagern
	Besteht das System aus mehreren Körpern, muss diese Analyse für jedes Teilsystem durchgeführt werden. Entsprechend kompliziert können dabei die kinematischen Bedingungen ausfallen.		Besteht das System aus mehreren Körpern, muss diese Analyse für jedes Teilsystem durchgeführt werden. Entsprechend kompliziert können dabei die kinematischen Bedingungen ausfallen.

Admin: /* Bilanzgleichungen */

2016-03-07T11:30:33Z

Bilanzgleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 11:30 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	Hier sind nur die Stärken der Impulsströme als Kräfte bezeichnet worden. Die gravitative Impulsquelle wird als (schwere) [[Masse]] mal Gravitationsfeldstärke geschrieben.		Hier sind nur die Stärken der Impulsströme als Kräfte bezeichnet worden. Die gravitative Impulsquelle wird als (schwere) [[Masse]] mal Gravitationsfeldstärke geschrieben.

	[[Bild:Drehmoment einer Kraft.png\|thumb\|Drehmoment einer Kraft]] Bei der Drehimpulsbilanz unterscheidet man zwischen reinen Drehmomenten und Drehmomenten, die eine Kraft begleiten. Reine Drehmomente werden von verdrehten Wellen oder vom elektromagnetischen Feld erzeugt. Zusätzliche ~~Drehmoment~~ treten als Begleiterscheinung von Kräften auf. Ein der Kraft '''zugeordnetes Drehmoment''' ist gleich Kraft mal Abstand der [[Wirklinie]] der Kraft vom Massenmittelpunkt. Die Drehimpulsbilanz nimmt damit die folgende Gestalt an		[[Bild:Drehmoment einer Kraft.png\|thumb\|Drehmoment einer Kraft]] Bei der Drehimpulsbilanz unterscheidet man zwischen reinen Drehmomenten und Drehmomenten, die eine Kraft begleiten. Reine Drehmomente werden von verdrehten Wellen oder vom elektromagnetischen Feld erzeugt. Zusätzliche Drehmomente treten als Begleiterscheinung von Kräften auf. Ein der Kraft '''zugeordnetes Drehmoment''' ist gleich Kraft mal Abstand der [[Wirklinie]] der Kraft vom Massenmittelpunkt. Die Drehimpulsbilanz nimmt damit die folgende Gestalt an

	:<math> \sum_i\vec M_i+\sum_j(\vec r_j\times\vec F_j)=\dot{\vec L}</math>		:<math> \sum_i\vec M_i+\sum_j(\vec r_j\times\vec F_j)=\dot{\vec L}</math>

Admin: /* Lernziele */

2016-03-07T11:26:26Z

Lernziele

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 11:26 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	*wie die [[Impulsbilanz]] und [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich des starren Körpers formuliert wird		*wie die [[Impulsbilanz]] und [[Drehimpulsbilanz]] bezüglich des starren Körpers formuliert wird
	*wie man einer Kraft ein Drehmoment zuordnet		*wie man einer Kraft ein Drehmoment zuordnet
	*dass jeder starre Körper mindestens drei normal zueinander stehende Hauptachsen besitzt
	*wie man die Gesetze, denen die Bewegung eines Körpers in der Ebene unterworfen ist, formuliert		*wie man die Gesetze, denen die Bewegung eines Körpers in der Ebene unterworfen ist, formuliert
	*wie man Aufgaben zur ebenen Mechanik systematisch löst (Rezept)		*wie man Aufgaben zur ebenen Mechanik systematisch löst (Rezept)

Admin: /* Materialien */

2014-10-06T04:14:57Z

Materialien

← Nächstältere Version		Version vom 6. Oktober 2014, 04:14 Uhr
Zeile 173:		Zeile 173:
	*[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung auf Youtube]		*[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung auf Youtube]

	'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik~~\|Zurück~~ ~~zum Inhalt~~]]'''		'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]'''

			'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik]]'''

	[[Kategorie:VorAV]]		[[Kategorie:VorAV]]

Admin: /* Materialien */

2012-05-01T12:41:15Z

Materialien

← Nächstältere Version		Version vom 1. Mai 2012, 12:41 Uhr
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	==Materialien==		==Materialien==
	*[https://cast.switch.ch/vod/clips/2nzqiv1x3y/link_box Videoaufzeichnung]		*[https://cast.switch.ch/vod/clips/2nzqiv1x3y/link_box Videoaufzeichnung]
			*[http://www.youtube.com/watch?v=iqsdlbfjhyE Kurzfassung auf Youtube]

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