Peltonturbine - Versionsgeschichte

Admin: /* Modell der Turbine */

2011-03-29T19:33:32Z

Modell der Turbine

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2011, 19:33 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen, damit die Energie voll ausgenutzt wird. Aus der [[Energiebilanz]] gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die [[Impulsbilanz]] liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.		Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen, damit die Energie voll ausgenutzt wird. Aus der [[Energiebilanz]] gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die [[Impulsbilanz]] liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.
	Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Turbinen-Modell gelieferten Wert.		Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Turbinen-Modell gelieferten Wert.

			==Links==
			*[http://www.youtube.com/watch?v=cu6eKikHchM Peltonturbine] auf Youtube

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:OffSys]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:OffSys]]

Admin: /* Modell der Turbine */

2009-08-22T05:48:56Z

Modell der Turbine

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2009, 05:48 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:

	Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen, damit die Energie voll ausgenutzt wird. Aus der [[Energiebilanz]] gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die [[Impulsbilanz]] liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.		Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen, damit die Energie voll ausgenutzt wird. Aus der [[Energiebilanz]] gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die [[Impulsbilanz]] liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.
	Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Modell gelieferten Wert.		Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Turbinen-Modell gelieferten Wert.

	[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:OffSys]]		[[Kategorie:Trans]][[Kategorie:Rot]][[Kategorie:OffSys]]

Admin: /* bezüglich einer Schaufel */

2009-08-22T05:44:46Z

bezüglich einer Schaufel

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2009, 05:44 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	:<math>P(F)=\frac{8}{27}\varrho Av^3</math>		:<math>P(F)=\frac{8}{27}\varrho Av^3</math>

	~~Für~~ ~~die~~ ~~kinetische~~ ~~Energie~~ ~~gilt~~ wieder ~~die~~ ~~allgemeine~~ Formel für konvektive Transporte (~~Energiedichte~~		Die Stärke des (kinetischen) Energiestromes berechnen wir wieder mit der allgemeinen Formel für konvektive Transporte (Dichte
	mal Volumenstromstärke)		einer Menge mal Volumenstromstärke)

	:<math>I_{W,kin}=\varrho_{W,kin}I_V=\frac 12\varrho Av^3</math>		:<math>I_{W,kin}=\varrho_{W,kin}I_V=\frac 12\varrho Av^3</math>

	Der Vergleich zeigt, dass die Schaufelleistung 59% der angelieferten Energiestromstärke nicht übersteigen kann. Weil aber das Wasser langsamer auf die Schaufel trifft, als es durch die Düse strömt, erhöht sich die Kontaktzeit. Berechnet man ~~die~~ nun noch Schaufelleistung bei der Geschwindigkeit ''v''/2, erhält man genau die Hälfte der angelieferten Energiestromstärke. Da die Kontaktzeit für ein gegebenes Stück Wasserstrahl aber doppelt so gross ist wie die Austrittszeit aus der Düse, kann das Wasser dennoch seine ganze kinetische Energie an die Schaufel übertragen.		Der Vergleich zeigt, dass die Schaufelleistung 59% der angelieferten Energiestromstärke nicht übersteigen kann. Weil aber das Wasser langsamer auf die Schaufel trifft, als es durch die Düse strömt, erhöht sich die Kontaktzeit. Berechnet man nun noch die Schaufelleistung bei der Geschwindigkeit ''v''/2, erhält man genau die Hälfte der angelieferten Energiestromstärke. Da die Kontaktzeit für ein gegebenes Stück Wasserstrahl aber doppelt so gross ist wie die Austrittszeit aus der Düse, kann das Wasser dennoch seine ganze kinetische Energie an die Schaufel übertragen.

	Zusammenfassen kann gesagt werden, dass die Peltonturbine die Energie des Wassers dann optimal ausnutzt, wenn sich ihre Schaufeln halb so schnell bewegen wie das Wasser ausströmt. Die Leistung der Schaufelkraft ist bei dieser Drehzahl aber nicht maximal. Weil infolge der gedehnten Kontaktzeit gleichzeitig mehr als eine Schaufel angetrieben wird, muss die Leistung der ganzen Turbine und nicht der einzelnen Schaufel optimiert werden.		Zusammenfassen kann gesagt werden, dass die Peltonturbine die Energie des Wassers dann optimal ausnutzt, wenn sich ihre Schaufeln halb so schnell bewegen wie das Wasser ausströmt. Die Leistung der Schaufelkraft ist bei dieser Drehzahl aber nicht maximal. Weil infolge der gedehnten Kontaktzeit gleichzeitig mehr als eine Schaufel angetrieben wird, muss die Leistung der ganzen Turbine und nicht der einzelnen Schaufel optimiert werden.

Admin: /* Impulsbilanz */

2009-08-22T05:39:46Z

Impulsbilanz

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2009, 05:39 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:

	:<math>F=2\varrho A(v-c)^2</math>		:<math>F=2\varrho A(v-c)^2</math>

			Diese Kraft ist am grössten, wenn die Schaufel still steht und das Wasser mit voller [[Wucht]] in die Gegenrichtung spritzt.

	==Ruhendes Bezugssystem==		==Ruhendes Bezugssystem==

Admin am 22. August 2009 um 05:34 Uhr

2009-08-22T05:34:36Z

Admin: /* Impulsbilanz */

2009-08-21T20:37:33Z

Impulsbilanz

← Nächstältere Version		Version vom 21. August 2009, 20:37 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	:<math>I_{p,conv}=\varrho_p I_V=vI_m=\varrho Av^2</math>		:<math>I_{p,conv}=\varrho_p I_V=vI_m=\varrho Av^2</math>

	Gemäss dieser Formel wird die konvektive Impulsstromstärke nie negativ. Impuls kann deshalb von der bewegten Materie nur vorwärts transportiert werden. Bezüglich eines Systems lassen sich konvektive Impulsstromstärken auch als Kraftpfeile darstellen. Der [[Kraftpfeil]] zeigt beim Eintritt (''I<~~sup~~>m</~~sup~~>'' positiv) in Strömungsrichtung und beim Austritt (''I<~~sup~~>m</~~sup~~>'' negativ) gegen den Geschwindigkeitspfeil.		Gemäss dieser Formel wird die konvektive Impulsstromstärke nie negativ. Impuls kann deshalb von der bewegten Materie nur vorwärts transportiert werden. Bezüglich eines Systems lassen sich konvektive Impulsstromstärken auch als Kraftpfeile darstellen. Der [[Kraftpfeil]] zeigt beim Eintritt (''I<sub>m</sub>'' positiv) in Strömungsrichtung und beim Austritt (''I<sub>m</sub>'' negativ) gegen den Geschwindigkeitspfeil.

	Um den Impuls einfach zu bilanzieren, gehen wir ins mitbewegte [[Bezugssystem\|System]]. Wir denken uns also einen Kasten, der die Schaufel dauernd umhüllt. Bezüglich dieses Kastens wird sowohl vom einströmenden als auch von den beiden weg strömenden Teilstrahlen Impuls zugeführt. Dieser Impuls wird unverzüglich leitungsartig über die Schaufel abgeleitet. Den leitungsartigen Impulsstrom nennt man Schaufelkraft ''F''. Weil wir die [[Bilanz]] im mitbewegten System aufstellen,		Um den Impuls einfach zu bilanzieren, gehen wir ins mitbewegte [[Bezugssystem\|System]]. Wir denken uns also einen Kasten, der die Schaufel dauernd umhüllt. Bezüglich dieses Kastens wird sowohl vom einströmenden als auch von den beiden weg strömenden Teilstrahlen Impuls zugeführt. Dieser Impuls wird unverzüglich leitungsartig über die Schaufel abgeleitet. Den leitungsartigen Impulsstrom nennt man Schaufelkraft ''F''. Weil wir die [[Bilanz]] im mitbewegten System aufstellen,

Admin am 21. August 2009 um 20:37 Uhr

2009-08-21T20:37:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. August 2009, 20:37 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die '''Peltonturbine'' ist eine so Freistrahlturbine für Wasserkraftwerke. Sie wurde im Jahr 1879 von dem amerikanischen Ingenieur Lester Pelton konstruiert (Patent 1880). Peltons Turbine modifizierte eine von Samuel Knight (entwickelte Turbine und erzielte damit einen höheren Wirkungsgrad. Die Pelton-Turbine wird bei grossen Fallhöhen eingesetzt. Bei einer Fallhöhe von 1000 m ~~strömt~~ das Wasser gemäss dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]] mit 140 m/s aus der Düse.		Die '''Peltonturbine'' ist eine Freistrahlturbine für Wasserkraftwerke. Sie wurde im Jahr 1879 von dem amerikanischen Ingenieur Lester Pelton konstruiert (Patent 1880). Peltons Turbine modifizierte eine von Samuel Knight entwickelte Turbine und erzielte damit einen höheren Wirkungsgrad. Die Pelton-Turbine wird bei grossen Fallhöhen eingesetzt. Bei einer Fallhöhe von 1000 m fliesst das Wasser gemäss dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]] mit 140 m/s aus der Düse.

	Bei der Pelton-Turbine strömt das Wasser in einem Strahl ~~mit sehr hoher Geschwindigkeit~~ aus einer oder mehreren Düsen auf die Schaufeln des Laufrades. Jedes der bis zu 40 Schaufelblätter ist in zwei Halbschaufeln, so genannte Becher, geteilt. In der Mitte ~~dieser~~ ~~Halbschaufeln~~ trifft der Wasserstrahl ~~aus~~ ~~den~~ ~~Düsen~~ ~~auf~~ die ~~Mittelschneide~~. Die Becher haben die Funktion, das Wasser in die entgegengesetzte Richtung umzuleiten, damit die kinetische Energie besser ausgenutzt werden kann.		Bei der Pelton-Turbine strömt das Wasser in einem Strahl aus einer oder mehreren Düsen auf die Schaufeln des Laufrades. Jedes der bis zu 40 Schaufelblätter ist in zwei Halbschaufeln, so genannte Becher, geteilt. In der Mitte der Schaufeln trifft der Wasserstrahl auf die Mittelschneide und wird danach in die beiden Becher geleitet. Die Becher haben die Funktion, das Wasser in die entgegengesetzte Richtung umzuleiten, damit die kinetische Energie besser ausgenutzt werden kann.

	==Impulsbilanz==		==Impulsbilanz==

Admin: /* Modell der Turbine */

2009-08-21T20:33:30Z

Modell der Turbine

← Nächstältere Version		Version vom 21. August 2009, 20:33 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:

	==Modell der Turbine==		==Modell der Turbine==
	Aus der [[Energiebilanz]] oder Leistungsbilanz lässt sich direkt das dynamische Verhalten der Turbine ableiten		Aus der [[Energiebilanz]] oder Leistungsbilanz lässt sich direkt das dynamische Verhalten der Turbine in einem vereinfachten Modell ableiten

	:<math>2(vc-c^2)I_m+P(M)=\dot W_{rot}</math>		:<math>2(vc-c^2)I_m+P(M)=\dot W_{rot}</math>
Zeile 73:		Zeile 73:
	folgt mit <math>c=\omega r</math>, <math>I_m=\varrho A v</math>, <math>P(M)=\omega M</math> und <math>\dot W_{rot}=J\omega\dot\omega </math>		folgt mit <math>c=\omega r</math>, <math>I_m=\varrho A v</math>, <math>P(M)=\omega M</math> und <math>\dot W_{rot}=J\omega\dot\omega </math>

	:<math>\dot\omega=\frac MJ+2\frac{I_mr^2}{J}\omega+2\frac{I_m^2r}{J\varrho A}\omega</math>		:<math>\dot\omega=\frac MJ+2\frac{I_mr^2}{J}\omega^2+2\frac{I_m^2r}{J\varrho A}\omega</math>

	Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen. Aus der Energiebilanz gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die Impulsbilanz liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.		Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen. Aus der Energiebilanz gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die Impulsbilanz liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.

Admin: /* bezüglich der Turbine */

2009-08-21T20:30:50Z

bezüglich der Turbine

← Nächstältere Version		Version vom 21. August 2009, 20:30 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	Im Stationärbetrieb ändert sich die kinetische Energie nicht und die Leistung des über die Achse einwirkenden Drehmomentes ''M'' ist eine quadratische Funktion der Winkelgeschwindigkeit ''ω		Im Stationärbetrieb ändert sich die kinetische Energie nicht und die Leistung des über die Achse einwirkenden Drehmomentes ''M'' ist eine quadratische Funktion der Winkelgeschwindigkeit ''ω

	:<math>P(M)_{~~stationär~~}=2(c^2-vc)I_m=2r^2I_m\omega^2-2\frac{rI_m^2}{\varrho A}\omega</math>		:<math>P(M)_{stationaer}=2(c^2-vc)I_m=2r^2I_m\omega^2-2\frac{rI_m^2}{\varrho A}\omega</math>

	Die Leistung ''P(M)'' ist im Arbeitsbereich der Turbine negativ, da die Energie über die Achse weg transportiert wird.		Die Leistung ''P(M)'' ist im Arbeitsbereich der Turbine negativ, da die Energie über die Achse weg transportiert wird.

	==Modell der Turbine==		==Modell der Turbine==

Admin: /* Ruhendes Bezugssystem */

2009-08-21T20:25:45Z

Ruhendes Bezugssystem

← Nächstältere Version		Version vom 21. August 2009, 20:25 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	Zur Kontrolle stellen wir noch die Impulsbilanz bezüglich eines ruhenden Systems auf. Weil sich die Schaufel nun von der linken Bilanzfläche entfernt, nimmt die eingeschlossene Wassermenge zu. Damit ändert sich auch der Impulsinhalt des Bilanzgebietes. Die Änderungsrate des Impulsinhaltes lässt sich als Impulsdichte mal Änderungsrate des Volumens schreiben, wobei letztere wiederum durch das Produkt aus Strahlquerschnitt mal Schaufelgeschwindigkeit ersetzt werden kann		Zur Kontrolle stellen wir noch die Impulsbilanz bezüglich eines ruhenden Systems auf. Weil sich die Schaufel nun von der linken Bilanzfläche entfernt, nimmt die eingeschlossene Wassermenge zu. Damit ändert sich auch der Impulsinhalt des Bilanzgebietes. Die Änderungsrate des Impulsinhaltes lässt sich als Impulsdichte mal Änderungsrate des Volumens schreiben, wobei letztere wiederum durch das Produkt aus Strahlquerschnitt mal Schaufelgeschwindigkeit ersetzt werden kann

	:<math>\dot P=\varrho_p\dot V=\varrho ~~vAc~~</math>		:<math>\dot p=\varrho_p\dot V=\varrho v_{Wasser}Ac</math>

	Unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten im ein- und austretenden Strahl erhält man für die Impulsbilanz bezüglich eines ruhenden Kontrollvolumens den folgenden Ausdruck		Unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten im ein- und austretenden Strahl erhält man für die Impulsbilanz bezüglich eines ruhenden Kontrollvolumens den folgenden Ausdruck

← Nächstältere Version		Version vom 22. August 2009, 05:34 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die '''Peltonturbine'' ist eine Freistrahlturbine für Wasserkraftwerke. Sie wurde im Jahr 1879 von dem amerikanischen Ingenieur Lester Pelton konstruiert (Patent 1880). ~~Peltons Turbine~~ modifizierte eine von Samuel Knight entwickelte Turbine und erzielte damit einen höheren Wirkungsgrad. Die Pelton-Turbine wird bei grossen Fallhöhen eingesetzt. Bei ~~einer Fallhöhe von~~ 1000 m fliesst das Wasser gemäss dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]] mit 140 m/s aus der Düse.		Die '''Peltonturbine'' ist eine Freistrahlturbine für Wasserkraftwerke. Sie wurde im Jahr 1879 von dem amerikanischen Ingenieur Lester Pelton konstruiert (Patent 1880). Pelton modifizierte eine von Samuel Knight entwickelte Turbine und erzielte damit einen höheren Wirkungsgrad. Die Pelton-Turbine wird bei grossen Fallhöhen eingesetzt. Bei 1000 m Höhe fliesst das Wasser gemäss dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]] mit 140 m/s aus der Düse.

	Bei der Pelton-Turbine ~~strömt~~ ~~das Wasser in einem~~ Strahl aus einer oder mehreren Düsen auf die Schaufeln des Laufrades. Jedes der bis zu 40 Schaufelblätter ist in zwei Halbschaufeln, so genannte Becher, geteilt. In der Mitte der Schaufeln trifft der Wasserstrahl auf die Mittelschneide und wird danach in die beiden Becher geleitet. Die Becher haben die Funktion, das Wasser in die entgegengesetzte Richtung umzuleiten, damit die kinetische Energie besser ausgenutzt werden kann.		Bei der Pelton-Turbine trifft der Strahl aus einer oder mehreren Düsen auf die Schaufeln des Laufrades. Jedes der bis zu 40 Schaufelblätter ist in zwei Halbschaufeln, so genannte Becher, geteilt. In der Mitte der Schaufeln trifft der Wasserstrahl auf die Mittelschneide und wird danach in die beiden Becher geleitet. Die Becher haben die Funktion, das Wasser in die entgegengesetzte Richtung umzuleiten, damit die kinetische Energie besser ausgenutzt werden kann.

	==Impulsbilanz==		==Impulsbilanz==
Zeile 11:		Zeile 11:
	:<math>I_{p,conv}=\varrho_p I_V=vI_m=\varrho Av^2</math>		:<math>I_{p,conv}=\varrho_p I_V=vI_m=\varrho Av^2</math>

	Gemäss dieser Formel wird die konvektive Impulsstromstärke nie negativ. Impuls kann deshalb von der bewegten Materie nur vorwärts transportiert werden. Bezüglich eines Systems lassen sich konvektive Impulsstromstärken auch als Kraftpfeile darstellen. Der [[Kraftpfeil]] zeigt beim Eintritt (''I<sub>m</sub>'' positiv) ~~in Strömungsrichtung~~ und beim Austritt (''I<sub>m</sub>'' negativ) ~~gegen den Geschwindigkeitspfeil~~.		Gemäss dieser Formel wird die konvektive Impulsstromstärke nie negativ. Impuls kann deshalb von der bewegten Materie nur vorwärts transportiert werden. Bezüglich eines Systems lassen sich konvektive Impulsstromstärken auch als Kraftpfeile darstellen. Der [[Kraftpfeil]] zeigt beim Eintritt in Strömungsrichtung (''I<sub>m</sub>'' positiv) und beim Austritt gegen den Geschwindigkeitspfeil (''I<sub>m</sub>'' negativ).

	Um den Impuls einfach zu bilanzieren, gehen wir ins mitbewegte [[Bezugssystem\|System]]. Wir denken uns also einen Kasten, der die Schaufel dauernd umhüllt. Bezüglich dieses Kastens wird sowohl vom einströmenden als auch von den beiden weg strömenden Teilstrahlen Impuls zugeführt. Dieser Impuls wird unverzüglich leitungsartig über die Schaufel abgeleitet. Den leitungsartigen Impulsstrom nennt man Schaufelkraft ''F''. Weil wir die [[Bilanz]] im mitbewegten System aufstellen,		Um den Impuls einfach zu bilanzieren, gehen wir ins mitbewegte [[Bezugssystem\|System]]. Wir denken uns also einen Kasten, der die Schaufel dauernd umhüllt. Bezüglich dieses Kastens wird sowohl vom einströmenden als auch von den beiden weg strömenden Teilstrahlen Impuls zugeführt. Dieser Impuls wird unverzüglich leitungsartig über die Schaufel abgeleitet. Den leitungsartigen Impulsstrom nennt man Schaufelkraft ''F''. Weil wir die [[Bilanz]] im mitbewegten System aufstellen,
	ist die Strömungsgeschwindigkeit um die Geschwindigkeit der Schaufel reduziert. Zudem muss die Summe über alle Impulsströme gleich Null sein, da sich der Impulsinhalt des Bilanzgebietes nicht ändert		ist die Strömungsgeschwindigkeit um die Geschwindigkeit der Schaufel reduziert. Zudem muss die Summe über alle Impulsströme gleich Null sein, da sich der Impulsinhalt des Bilanzgebietes nicht ändert

	:<math>\varrho A(v-c)^2+2\cdot\frac ~~12 A~~(c-v)^2-F=0</math>		:<math>\varrho A(v-c)^2+2\cdot\varrho\frac A2(c-v)^2-F=0</math>

	Die Schaufelkraft ist demnach gleich		Der erste Term beschreibt den Impulsstrom des auftreffenden, der zweite den der beiden zurückgeworfenen Wasserstrahlen. Die Schaufelkraft ist demnach gleich

	:<math>F=2\varrho A(v-c)^2</math>		:<math>F=2\varrho A(v-c)^2</math>
Zeile 31:		Zeile 31:
	:<math>\varrho v^2A+\varrho (2c-v)^2A-F=\varrho vAc+\varrho (2c-v)Ac</math>		:<math>\varrho v^2A+\varrho (2c-v)^2A-F=\varrho vAc+\varrho (2c-v)Ac</math>

	Links stehen die Impulsströme bezüglich des Bilanzgebietes und rechts die zugehörigen Impulsänderungsraten. Man vergewissere sich, dass aus dieser Formel für die Schaufelkraft der gleiche Ausdruck folgt wie aus der weiter oben durchgeführten Herleitung bezüglich eines schaufelfesten Bezugssystems.		Links stehen die Impulsströme bezüglich des Bilanzgebietes und rechts die zugehörigen Impulsänderungsraten. Der Impulsinhalt des Bilanzgebietes wird grösser, weil die von diesem Gebiet eingeschlossene, bewegte Wassermasse zunimmt. Man vergewissere sich, dass aus dieser Formel für die Schaufelkraft der gleiche Ausdruck folgt wie aus der weiter oben durchgeführten Herleitung bezüglich eines schaufelfesten Bezugssystems.

	==Energiebilanz==		==Energiebilanz==
Zeile 49:		Zeile 49:
	mal Volumenstromstärke)		mal Volumenstromstärke)

	:<math>I_{W,kin}=\varrho_{W,kin}=\frac 12 Av^3</math>		:<math>I_{W,kin}=\varrho_{W,kin}I_V=\frac 12\varrho Av^3</math>

	Der Vergleich zeigt, dass die Schaufelleistung 59% der angelieferten Energiestromstärke nicht übersteigen kann. Weil aber das Wasser langsamer auf die Schaufel trifft, als es durch die Düse strömt, erhöht sich die Kontaktzeit. Berechnet man die Schaufelleistung bei der Geschwindigkeit ''v''/2, erhält man genau die Hälfte der angelieferten Energiestromstärke. Da die Kontaktzeit für ein gegebenes Stück Wasserstrahl aber doppelt so gross ist wie die Austrittszeit aus der Düse, kann das Wasser dennoch seine ganze kinetische Energie an die Schaufel übertragen.		Der Vergleich zeigt, dass die Schaufelleistung 59% der angelieferten Energiestromstärke nicht übersteigen kann. Weil aber das Wasser langsamer auf die Schaufel trifft, als es durch die Düse strömt, erhöht sich die Kontaktzeit. Berechnet man die nun noch Schaufelleistung bei der Geschwindigkeit ''v''/2, erhält man genau die Hälfte der angelieferten Energiestromstärke. Da die Kontaktzeit für ein gegebenes Stück Wasserstrahl aber doppelt so gross ist wie die Austrittszeit aus der Düse, kann das Wasser dennoch seine ganze kinetische Energie an die Schaufel übertragen.

	Zusammenfassen kann gesagt werden, dass die Peltonturbine die Energie des Wassers dann optimal ausnutzt, wenn sich ihre Schaufeln halb so schnell bewegen wie das Wasser ausströmt. Die Leistung der Schaufelkraft ist bei dieser Drehzahl aber nicht maximal. Weil infolge der gedehnten Kontaktzeit gleichzeitig mehr als eine Schaufel angetrieben wird, muss die Leistung der ganzen Turbine und nicht der einzelnen Schaufel optimiert werden.		Zusammenfassen kann gesagt werden, dass die Peltonturbine die Energie des Wassers dann optimal ausnutzt, wenn sich ihre Schaufeln halb so schnell bewegen wie das Wasser ausströmt. Die Leistung der Schaufelkraft ist bei dieser Drehzahl aber nicht maximal. Weil infolge der gedehnten Kontaktzeit gleichzeitig mehr als eine Schaufel angetrieben wird, muss die Leistung der ganzen Turbine und nicht der einzelnen Schaufel optimiert werden.

	===bezüglich der Turbine===		===bezüglich der Turbine===
	Interessiert man sich nur für die Leistung der Turbine, ~~ersetzt man~~ die Impulsbilanz am ~~besten~~ durch eine reine Energiebilanz. Das Bilanzgebiet umfasst die Turbine mit Zu- und Abfluss. Die Summer über alle Energieströme (konvektive und ~~Leistungen~~ von [[Drehmoment]]en und Kräften) muss gleich der Änderungsrate der [[Rotationsenergie]] sein		Interessiert man sich nur für die Leistung der Turbine, ist die Impulsbilanz mit Vorteil durch eine reine [[Energiebilanz]] bzw. [[Leistungsbilanz]] zu ersetzen. Das Bilanzgebiet umfasst die Turbine mit Zu- und Abfluss. Die Summer über alle Energieströme (konvektive Ströme und [[Leistung]]en von [[Drehmoment]]en und Kräften) muss gleich der Änderungsrate der [[Rotationsenergie]] sein

	:<math>\frac{v^2}{2}I_m-\frac{(v-c)^2}{2}I_m+P(M)=\dot W_{rot}</math>		:<math>\frac{v^2}{2}I_m-\frac{(v-c)^2}{2}I_m+P(M)=\dot W_{rot}</math>

	Im Stationärbetrieb ändert sich die ~~kinetische Energie~~ nicht und die Leistung des über die Achse einwirkenden Drehmomentes ''M'' ist eine quadratische Funktion der Winkelgeschwindigkeit ''ω		Im Stationärbetrieb ändert sich die Rotationsenergie nicht und die Leistung des über die Achse einwirkenden Drehmomentes ''M'' ist eine quadratische Funktion der Winkelgeschwindigkeit ''ω

	:<math>P(M)_{stationaer}=2(c^2-vc)I_m=2r^2I_m\omega^2-2\frac{rI_m^2}{\varrho A}\omega</math>		:<math>P(M)_{stationaer}=2(c^2-vc)I_m=2r^2I_m\omega^2-2\frac{rI_m^2}{\varrho A}\omega</math>

	Die Leistung ''P(M)'' ist ~~im Arbeitsbereich der Turbine~~ negativ, da die Energie über die Achse weg transportiert wird.		Die Leistung ''P(M)'' ist negativ, da die Energie über die Achse weg transportiert wird.

	==Modell der Turbine==		==Modell der Turbine==
	Aus der [[Energiebilanz]] ~~oder~~ Leistungsbilanz lässt sich direkt das dynamische Verhalten der Turbine in einem vereinfachten Modell ableiten		Aus der [[Energiebilanz]], in der momentanen Form auch [[Leistungsbilanz]] genannt, lässt sich direkt das dynamische Verhalten der Turbine in einem vereinfachten Modell ableiten. Aus

	:<math>2(vc-c^2)I_m+P(M)=\dot W_{rot}</math>		:<math>2(vc-c^2)I_m+P(M)=\dot W_{rot}</math>
Zeile 75:		Zeile 75:
	:<math>\dot\omega=\frac MJ+2\frac{I_mr^2}{J}\omega^2+2\frac{I_m^2r}{J\varrho A}\omega</math>		:<math>\dot\omega=\frac MJ+2\frac{I_mr^2}{J}\omega^2+2\frac{I_m^2r}{J\varrho A}\omega</math>

	Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen. Aus der Energiebilanz gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die Impulsbilanz liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.		Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen, damit die Energie voll ausgenutzt wird. Aus der [[Energiebilanz]] gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die [[Impulsbilanz]] liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit ''c''=''v''/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%.
	Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Modell gelieferten Wert.		Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Modell gelieferten Wert.