Pendel - Versionsgeschichte

Admin: /* Simulation */

2011-03-07T05:48:26Z

Simulation

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	==Simulation==		==Simulation==

			==Links==
			*[http://www.youtube.com/watch?v=e_oi324c6mA Pendel] auf Youtube

	[[Kategorie:Rot]] [[Kategorie:Modelle]] [[Kategorie:RotMod]]		[[Kategorie:Rot]] [[Kategorie:Modelle]] [[Kategorie:RotMod]]

Admin am 29. Juli 2007 um 14:51 Uhr

2007-07-29T14:51:16Z

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	[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[~~starr er~~ Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es infolge der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.		[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[starrer Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es infolge der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.

	Das Pendel kann als [[Rotator]] modelliert werden. In dieser hybriden Formulierung der Mechanik des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] in einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden [[Impulsstrom\|Impulsströme]], die Zwangs- oder Führungskräfte, müssen so nicht berücksichtigt werden. Oft heisst das Modell eines realen Pendels auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Punktmechanik\|Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.		Das Pendel kann als [[Rotator]] modelliert werden. In dieser hybriden Formulierung der Mechanik des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] in einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden [[Impulsstrom\|Impulsströme]], die Zwangs- oder Führungskräfte, müssen so nicht berücksichtigt werden. Oft heisst das Modell eines realen Pendels auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Punktmechanik\|Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.

Admin: /* Simulation */

2007-07-02T13:56:48Z

Simulation

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	==Simulation==		==Simulation==

	[[Kategorie:Rot]]		[[Kategorie:Rot]] [[Kategorie:Modelle]] [[Kategorie:RotMod]]

Admin: /* Modell */

2007-07-02T13:55:38Z

Modell

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	:<math>P(M_R) = M \omega = -M_{R0} sgn(\omega) \omega</math>		:<math>P(M_R) = M \omega = -M_{R0} sgn(\omega) \omega</math>

	Achtet man bei der Modellierung darauf, dass die Energieströme gleich gerichtet sind wie die Drehimpulsströme, berechnet sich jeder Energiestrom bezüglich eines Speichers als Drehimpulsstrom mal Winkelgeschwindigkeit. Die Rotationsenergie ergibt sich ~~damit~~ direkt aus der Drehimpulsbilanz		Achtet man bei der Modellierung darauf, dass die Energieströme gleich gerichtet sind wie die Drehimpulsströme, berechnet sich jeder Energiestrom bezüglich eines Speichers als Drehimpulsstrom mal Winkelgeschwindigkeit des Speichers. Die Rotationsenergie ergibt sich so direkt aus der mit der Winkelgeschwindigkeit multiplizierten Drehimpulsbilanz

	:<math>M_G \omega + M_R \omega = \dot W_{rot}</math>		:<math>M_G \omega + M_R \omega = \dot W_{rot}</math>

Admin: /* Modell */

2007-07-02T13:50:45Z

Modell

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 13:50 Uhr
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	==Modell==		==Modell==
			[[Bild:Pendel_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm und Gleichungen des Pendels]] Das eigentliche Modell des Pendels umfasst die [[Drehimpulsbilanz]] und einen Integrator, der aus der Winkelgeschwindigkeit den Winkel berechnet. In der Drehimpulsbilanz wird das von der Gravitation verursachte Drehmoment sowie eine Lagerreibung berücksichtigt. Diese beiden Drehmomente erzeugen die Änderungsrate des Drehimpulses
	[[Bild:Pendel_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm und Gleichungen des Pendels]]

			:<math>M_G + M_R = \dot L</math>

			Das gravitative Drehmoment gehorcht dem [[Hebelgesetz]]

			:<math>M_G = -mgs\sin(\varphi)</math>

			Die Lagerreibung hängt nur von der Richtung der [[Winkelgeschwindigkeit]] ab

			:<math>M_R = -M_{R0} sgn(\omega) = -M_{R0} \tanh(k \omega)</math>

			Der Tangenshyperbolicus erzeugt eine Funktion, deren Werte im negativen Bereich des Arguments grösser als -1 und im positiven Bereich kleiner als +1 ist. Der Faktor ''k'', der viel grösser als 1 sein soll, sorgt dafür, dass die beiden Grenzwerte +1 und -1 möglichst schnell angenommen werden.

			Die [[Winkelgeschwindigkeit]] ergibt sich aus dem Drehimpuls durch Division mit dem totalen Massenträgheitsmoment

			:<math>\dot \varphi = \frac {L}{J + ms^2}</math>

			Die [[Energiebilanz]] kann als zweite Beschreibungsebene ins Modell eingebaut werden. Die Leistung des von der Gravitation verursachten Drehmoments entspricht der Stärke des zwischen Gravitations- und Rotationsenergie hin und her fliessenden Energiestromes

			:<math>P(M_G) = M_G \omega = -mgs\sin(\varphi) \omega = -\dot W_G</math>

			Die Leistung des Reibdrehmoments beschreibt den Energiestrom, der vom Körper an die Umwelt abfliesst

			:<math>P(M_R) = M \omega = -M_{R0} sgn(\omega) \omega</math>

			Achtet man bei der Modellierung darauf, dass die Energieströme gleich gerichtet sind wie die Drehimpulsströme, berechnet sich jeder Energiestrom bezüglich eines Speichers als Drehimpulsstrom mal Winkelgeschwindigkeit. Die Rotationsenergie ergibt sich damit direkt aus der Drehimpulsbilanz

			:<math>M_G \omega + M_R \omega = \dot W_{rot}</math>

			Damit die Gravitationsenergie am tiefsten Punkt des Pendels gleich Null ist, setzt man als Startwert

			:<math>W_{G0} = m g s (1 - cos(\varphi))</math>

			Der Anfangswert der Rotationsenergie hängt vom Startwert des Drehimpulses ab

			:<math>W_{rot0} =L_0 \frac {\omega}{2} = \frac{1}{2} J \omega^2 = \frac{L_0^2}{2J}</math>

	==Simulation==		==Simulation==

Admin: /* minimale Schwingungsdauer */

2007-07-02T13:13:56Z

minimale Schwingungsdauer

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 13:13 Uhr
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	===minimale Schwingungsdauer===		===minimale Schwingungsdauer===
	Lässt man den Schwerpunkt des Pendels gegen die Drehachse wandern (''s'' = 0), geht die Schwingungsdauer gegen unendlich. Liegt der Schwerpunkt weit von der Drehachse weg (''s'' sehr gross), nimmt die Schwingungsdauer mit ''s'' ~~ebenfalls~~ zu. Also muss es einen Abstand geben, bei dem die Schwingungsdauer minimal wird. Um diesen Abstand zu findet, leitet man die Formel für die Schwingungsdauer nach ''s'' ab und setzt den Wert gleich Null. Daraus folgt, dass die Schwinungsdauer minimal wird, wenn ''s'' gleich der Wurzel aus dem Quotienten von [[Massenträgheitsmoment]] und [[Masse]] ist		Lässt man den Schwerpunkt des Pendels gegen die Drehachse wandern (''s'' = 0), geht die Schwingungsdauer gegen unendlich. Liegt der Schwerpunkt weit von der Drehachse weg (''s'' sehr gross), nimmt die Schwingungsdauer wieder mit ''s'' zu. Also muss es einen Abstand geben, bei dem die Schwingungsdauer minimal wird. Um diesen Abstand zu findet, leitet man die Formel für die Schwingungsdauer nach ''s'' ab und setzt den Wert gleich Null. Daraus folgt, dass die Schwinungsdauer minimal wird, wenn ''s'' gleich der Wurzel aus dem Quotienten von [[Massenträgheitsmoment]] und [[Masse]] ist

	:<math>s = \sqrt{\frac {J}{m}}</math>		:<math>s = \sqrt{\frac {J}{m}}</math>

Admin am 2. Juli 2007 um 13:10 Uhr

2007-07-02T13:10:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 13:10 Uhr
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	[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[starr er Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es infolge der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.		[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[starr er Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es infolge der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.

	Das Pendel als [[Rotator]] modelliert werden. In dieser hybriden Formulierung der Mechanik des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] in einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden [[Impulsstrom\|Impulsströme]], die Zwangs- oder Führungskräfte, müssen nicht berücksichtigt werden. Oft heisst das Modell eines realen Pendels auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.		Das Pendel kann als [[Rotator]] modelliert werden. In dieser hybriden Formulierung der Mechanik des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] in einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden [[Impulsstrom\|Impulsströme]], die Zwangs- oder Führungskräfte, müssen so nicht berücksichtigt werden. Oft heisst das Modell eines realen Pendels auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Punktmechanik\|Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.

	==Theorie==		==Theorie==

Admin am 2. Juli 2007 um 13:08 Uhr

2007-07-02T13:08:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 13:08 Uhr
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	[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[starr er Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es ~~dann~~ los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es ~~unter der Wirkung~~ der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.		[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[starr er Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es infolge der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.

	Das Pendel ~~kann mit Hilfe der~~ [[Rotator]]~~mechanik~~ ~~beschrieben~~ werden. In dieser hybriden ~~Modellierung~~ des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] zu einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden ~~Ströme~~ ~~des~~ ~~Horizontal~~- ~~und~~ ~~Vertikalimpulses~~ müssen so nicht ~~ins~~ ~~Modell~~ ~~mit~~ ~~einbezogen~~ ~~werden. Das~~ Modell eines realen Pendels ~~heisst oft~~ auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.		Das Pendel als [[Rotator]] modelliert werden. In dieser hybriden Formulierung der Mechanik des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] in einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden [[Impulsstrom\|Impulsströme]], die Zwangs- oder Führungskräfte, müssen nicht berücksichtigt werden. Oft heisst das Modell eines realen Pendels auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.

	==Theorie==		==Theorie==

Admin am 2. Juli 2007 um 13:04 Uhr

2007-07-02T13:04:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 13:04 Uhr
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	Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[~~starrer~~ Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es dann los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es unter der Wirkung der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.		[[Bild:Pendel.png\|thumb\|Physisches Pendel]]Ein '''Pendel''' (lat: ''pendere'' = hängen) besteht aus einem [[starr er Körper\|starren Körper]], der um eine horizontal ausgerichtete Achse frei drehen kann. Lenkt man ein Pendel aus seiner Ruhelage aus und lässt es dann los, schwingt es unter dem Einfluss der [[Gravitationsfeld\|Schwerkraft]] zurück. Danach pendelt es um die Gleichgewichtslage hin und her, bis es unter der Wirkung der [[Reibung]] wieder zum Stillstand kommt.

	Das Pendel kann mit Hilfe der [[Rotator]]mechanik beschrieben werden. In dieser hybriden Modellierung des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] zu einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden Ströme des Horizontal- und Vertikalimpulses müssen so nicht ins Modell mit einbezogen werden. Das Modell eines realen Pendels heisst oft auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.		Das Pendel kann mit Hilfe der [[Rotator]]mechanik beschrieben werden. In dieser hybriden Modellierung des [[starrer Körper\|starren Körpers]] bezieht man das die [[Kraft\|Kräfte]] begleitende [[Drehmoment]] auf die fixe Achse und fasst den Eigen- und Bahn[[drehimpuls]] zu einem einzigen Speicher zusammen. Die unkontrolliert über die Achse fliessenden Ströme des Horizontal- und Vertikalimpulses müssen so nicht ins Modell mit einbezogen werden. Das Modell eines realen Pendels heisst oft auch physisches (körperliches) Pendel im Gegensatz zum [[mathematisches Pendel\|mathematischen Pendel]], bei dem ein [[Massenpunkt]] an einem masselosen Faden hin und her schwingt.

Admin: /* minimale Schwingungsdauer */

2007-07-02T04:49:36Z

minimale Schwingungsdauer

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 04:49 Uhr
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	:<math>s = \sqrt{\frac {J}{m}}</math>		:<math>s = \sqrt{\frac {J}{m}}</math>

			==Modell==
			[[Bild:Pendel_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm und Gleichungen des Pendels]]

			==Simulation==

	[[Kategorie:Rot]]		[[Kategorie:Rot]]