Phasenraum - Versionsgeschichte

Admin: /* Dynamik */

2007-01-05T09:58:45Z

Dynamik

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	In der Mechanik kann der Zustandsraum hochdimensional werden, wenn etwa die Bewegung vieler Teilchen zugleich erfasst werden soll. Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Anfangspunkt aus die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, heißt [[Trajektorie]]. Trajektorien im Phasenraum sind kreuzungsfreie Kurven. Interessant ist die Frage der [[Ergodizität]] (bzw. Quasiergodizität). (Quasi)Ergodizität bedeutet, dass die Trajektorie den gesamten Phasenraum ausfüllt, bzw. jedem Punkt (quasi) beliebig nahe kommt.		In der Mechanik kann der Zustandsraum hochdimensional werden, wenn etwa die Bewegung vieler Teilchen zugleich erfasst werden soll. Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Anfangspunkt aus die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, heißt [[Trajektorie]]. Trajektorien im Phasenraum sind kreuzungsfreie Kurven. Interessant ist die Frage der [[Ergodizität]] (bzw. Quasiergodizität). (Quasi)Ergodizität bedeutet, dass die Trajektorie den gesamten Phasenraum ausfüllt, bzw. jedem Punkt (quasi) beliebig nahe kommt.

	Phasenraumtrajektorien verlaufen stets in einer bestimmten Richtung. Nimmt der Abstand zwischen annähernd parallel verlaufenden Trajektorien in einem Bündel ab, sinkt das Phasenraumvolumen. Das System nennt man dann dissipativ. Dissipative Systeme verlieren Energie durch [[Entropie]]produktion. Systeme mit konstantem Phasenraumvolumen heißen (Energie-) konservative Systeme. Mathematisch wird dieser Sachverhalt durch den [[Satz von Liouville]] ausgedrückt. Die Lösungstrajektorien vieler dynamischer Systeme liegen unterschiedlich dicht im Raum. Diese Eigenschaft wird mit der [[Phasenraumdichte]], die auch in der [[Statistische Mechanik\|statistischen Mechanik]] von zentraler Bedeutung ist, beschrieben.		Phasenraumtrajektorien verlaufen stets in einer bestimmten Richtung. Nimmt der Abstand zwischen annähernd parallel verlaufenden Trajektorien in einem Bündel ab, sinkt das Phasenraumvolumen. Das System nennt man dann [[Dissipation\|dissipativ]]. Dissipative Systeme verlieren Energie durch [[Entropie]]produktion. Systeme mit konstantem Phasenraumvolumen heißen (Energie-) konservative Systeme. Mathematisch wird dieser Sachverhalt durch den [[Satz von Liouville]] ausgedrückt. Die Lösungstrajektorien vieler dynamischer Systeme liegen unterschiedlich dicht im Raum. Diese Eigenschaft wird mit der [[Phasenraumdichte]], die auch in der [[Statistische Mechanik\|statistischen Mechanik]] von zentraler Bedeutung ist, beschrieben.

	Der Phasenraum gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Diese Darstellung heißt Phasenportrait oder Phasenraumportrait. Einige charakteristische Strukturen des Phasenraums können so auch ohne explizite Berechnung der Lösungsfunktionen erfasst werden, z. B. kritische Punkte, an denen sich das System zeitlich nicht ändert. Durch eine lineare Stabilitätsanalyse kann auch bestimmt werden, ob Trajektorien in der Nähe dieser Punkte angezogen oder abgestoßen werden. So lässt sich bereits das qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung abschätzen.		Der Phasenraum gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Diese Darstellung heißt Phasenportrait oder Phasenraumportrait. Einige charakteristische Strukturen des Phasenraums können so auch ohne explizite Berechnung der Lösungsfunktionen erfasst werden, z. B. kritische Punkte, an denen sich das System zeitlich nicht ändert. Durch eine lineare Stabilitätsanalyse kann auch bestimmt werden, ob Trajektorien in der Nähe dieser Punkte angezogen oder abgestoßen werden. So lässt sich bereits das qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung abschätzen.

Admin: /* Begriff */

2007-01-05T09:56:42Z

Begriff

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	Der '''Phasenraum''' (auch: [[Zustandsraum]]) wird von den [[Zustandsgrösse\|Zustandsgrössen]] eines [[Dynamisches System\|dynamischen Systems]] aufgespannt. Die Zustandsgrössen erscheinen in einem [[System Dynamics\|systemdynamischen Modell]] als Töpfe (stocks).		Der '''Phasenraum''' (auch: [[Zustandsraum]]) wird von den [[Zustandsgrösse\|Zustandsgrössen]] eines [[Dynamisches System\|dynamischen Systems]] aufgespannt. Die Zustandsgrössen erscheinen in einem [[System Dynamics\|systemdynamischen Modell]] als Töpfe (stocks).

	In der Mechanik bilden [[Ort]] und den [[Impuls]] bzw. [[Winkel]] und [[Drehimpuls]] und in der Thermodynamik [[Entropie]] und [[~~Volumen~~]] die eigentlichen Zustandsgrössen, die natürlichen Variablen des Zustandsraumes. In der Biologie wird der Zustandsraum zum Beispiel durch die Populationsbestände konkurrierender Spezies aufgespannt.		In der Mechanik bilden [[Ort]] und den [[Impuls]] bzw. [[Winkel]] und [[Drehimpuls]] und in der Thermodynamik [[Entropie]], [[Volumen]] und [[Stoffmenge]] die eigentlichen Zustandsgrössen, die natürlichen Variablen des Zustandsraumes. In der Biologie wird der Zustandsraum zum Beispiel durch die Populationsbestände konkurrierender Spezies aufgespannt.

	==Dynamik==		==Dynamik==

Admin am 5. Januar 2007 um 09:55 Uhr

2007-01-05T09:55:36Z

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==Begriff==
Der '''Phasenraum''' (auch: [[Zustandsraum]]) wird von den [[Zustandsgrösse|Zustandsgrössen]] eines [[Dynamisches System|dynamischen Systems]] aufgespannt. Die Zustandsgrössen erscheinen in einem [[System Dynamics|systemdynamischen Modell]] als Töpfe (stocks).

In der Mechanik bilden [[Ort]] und den [[Impuls]] bzw. [[Winkel]] und [[Drehimpuls]] und in der Thermodynamik [[Entropie]] und [[Volumen]] die eigentlichen Zustandsgrössen, die natürlichen Variablen des Zustandsraumes. In der Biologie wird der Zustandsraum zum Beispiel durch die Populationsbestände konkurrierender Spezies aufgespannt.

==Dynamik==
In der Mechanik kann der Zustandsraum hochdimensional werden, wenn etwa die Bewegung vieler Teilchen zugleich erfasst werden soll. Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Anfangspunkt aus die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, heißt [[Trajektorie]]. Trajektorien im Phasenraum sind kreuzungsfreie Kurven. Interessant ist die Frage der [[Ergodizität]] (bzw. Quasiergodizität). (Quasi)Ergodizität bedeutet, dass die Trajektorie den gesamten Phasenraum ausfüllt, bzw. jedem Punkt (quasi) beliebig nahe kommt.

Phasenraumtrajektorien verlaufen stets in einer bestimmten Richtung. Nimmt der Abstand zwischen annähernd parallel verlaufenden Trajektorien in einem Bündel ab, sinkt das Phasenraumvolumen. Das System nennt man dann dissipativ. Dissipative Systeme verlieren Energie durch [[Entropie]]produktion. Systeme mit konstantem Phasenraumvolumen heißen (Energie-) konservative Systeme. Mathematisch wird dieser Sachverhalt durch den [[Satz von Liouville]] ausgedrückt. Die Lösungstrajektorien vieler dynamischer Systeme liegen unterschiedlich dicht im Raum. Diese Eigenschaft wird mit der [[Phasenraumdichte]], die auch in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] von zentraler Bedeutung ist, beschrieben.

Der Phasenraum gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Diese Darstellung heißt Phasenportrait oder Phasenraumportrait. Einige charakteristische Strukturen des Phasenraums können so auch ohne explizite Berechnung der Lösungsfunktionen erfasst werden, z. B. kritische Punkte, an denen sich das System zeitlich nicht ändert. Durch eine lineare Stabilitätsanalyse kann auch bestimmt werden, ob Trajektorien in der Nähe dieser Punkte angezogen oder abgestoßen werden. So lässt sich bereits das qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung abschätzen.

==Anwendungsgebiete==
Das Konzept des Phasenraums wird in vielen verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen benutzt und zum Teil unterschiedlich spezifiziert:

* In der [[Hamilton-Mechanik|hamiltonschen Mechanik]] ist der Phasenraum der Raum der Orte und Impulse. Bei einer Teilchenzahl ''N'' ist dieser Raum also ''6N''-dimensional. Das zugehörige Differentialgleichungssystem wird aus den hamiltonschen Bewegungsgleichungen gebildet.
* Die [[Lagrange-Mechanik]] benutzt in ähnlicher Weise den sogenannten Konfigurationsraum, der allerdings nur von den Orten der betrachteten Teilchen aufgespannt wird. Bei ''N'' Teilchen ist der Konfigurationsraum demnach ''3N''-dimensional.
* In der [[Thermodynamik]] werden statt der bilanzierfähigen [[Primärgrösse|Primärgrössen]] ([[Volumen]], [[Entropie]] und [[Stoffmenge]]) die [[Potenzial|Potenzialgrössen]] ([[Druck]], [[Temperatur]] und [[chemisches Potenzial]]) gegeneinander aufgetragen.
* Der Zustandsraum in der [[Quantenphysik]] bezeichnet eine Menge positiver, linearer und normierter [[Funktional|Funktionale]] auf einer [[Algebra]] von Observablen.
* In der [[Automatisierungstechnik]] wird der Phasenraum als Regelungsstruktur im [[Zeitbereich]] benutzt.

[[Kategorie:Basis]]