Polarkoordinaten - Versionsgeschichte

Admin: /* Beschleunigung */

2008-01-12T20:22:50Z

Beschleunigung

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	Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung		Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung

	:<math>\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}=(\ddot r-r\dot \varphi^2) \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}(2\dot r\dot\varphi+r\~~dot~~\varphi^2)\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}=(\ddot r-r\dot \varphi^2) \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}(2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math>

	Die Beschleunigung in radialer Richtung ist demnach gleich <math>(\ddot r-r\dot \varphi^2)</math> unt in tangentialer gleich <math>(2\dot r\dot\varphi+r\~~dot~~\varphi^2)</math>		Die Beschleunigung in radialer Richtung ist demnach gleich <math>(\ddot r-r\dot \varphi^2)</math> unt in tangentialer gleich <math>(2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)</math>

			[[Kategorie:Mathe]]

Admin: /* Beschleunigung */

2008-01-12T20:15:18Z

Beschleunigung

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Zeile 19:		Zeile 19:
	Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung		Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung

	:<math>\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}=(\ddot r-r\dot \varphi^2) \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}(2\dot r\dot\varphi+r\dot\varphi^2)\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math>

			Die Beschleunigung in radialer Richtung ist demnach gleich <math>(\ddot r-r\dot \varphi^2)</math> unt in tangentialer gleich <math>(2\dot r\dot\varphi+r\dot\varphi^2)</math>

Admin am 12. Januar 2008 um 19:50 Uhr

2008-01-12T19:50:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Januar 2008, 19:50 Uhr
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	Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum ''r'' und den Winkel ''φ'' ~~gegen eine Bezugsrichtung~~. ~~Nimmt man~~ die ''x''-Achse eines kartesischen Koordinatensystems ~~als~~ Bezugsrichtung, gilt der folgende Zusammenhang		Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum (Radius ''r'') und den Winkel gegen eine Bezugsrichtung (''φ''). Ist die ''x''-Achse eines kartesischen Koordinatensystems die Bezugsrichtung, gilt der folgende Zusammenhang

	:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}</math>
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	oder umgekehrt		oder umgekehrt

	:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> und <math>\varphi=\arctan{\frac{y}{x}}</math>		:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> und <math>\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math>

	wobei beim Winkel die Periodizität der Tangensfunktion berücksichtigt werden muss.		wobei beim Winkel die Periodizität der Tangensfunktion berücksichtigt werden muss.
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	Die Geschwindigkeit eines Punktes kann nun ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Dazu leitet man den Ort nach der Zeit ab		Die Geschwindigkeit eines Punktes kann nun ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Dazu leitet man den Ort nach der Zeit ab

	:<math>\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi) \dot\varphi \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi)\dot\varphi \end{pmatrix}</math>

	Nun zeigt der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> in Richtung des Radius und der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math> steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist <math>\dot r</math> die radiale und <math>r\dot\varphi</math> die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit.		Nun zeigt der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> in Richtung des Radius und der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ +\cos(\varphi) \end{pmatrix}</math> steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist <math>\dot r</math> die radiale und <math>r\dot\varphi</math> die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit.

			==Beschleunigung==
			Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung

			:<math>\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}</math>

Admin: Die Seite wurde neu angelegt: Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoo...

2008-01-12T19:30:02Z

Die Seite wurde neu angelegt: Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoo...

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Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum ''r'' und den Winkel ''φ'' gegen eine Bezugsrichtung. Nimmt man die ''x''-Achse eines kartesischen Koordinatensystems als Bezugsrichtung, gilt der folgende Zusammenhang

:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}</math>

oder umgekehrt

:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> und <math>\varphi=\arctan{\frac{y}{x}}</math>

wobei beim Winkel die Periodizität der Tangensfunktion berücksichtigt werden muss.

==Geschwindigkeit==
Die Geschwindigkeit eines Punktes kann nun ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Dazu leitet man den Ort nach der Zeit ab

:<math>\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi) \dot\varphi \end{pmatrix}</math>

Nun zeigt der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> in Richtung des Radius und der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math> steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist <math>\dot r</math> die radiale und <math>r\dot\varphi</math> die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit.