Raumzeit - Versionsgeschichte

Admin am 29. Juli 2007 um 06:47 Uhr

2007-07-29T06:47:00Z

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	In der [[Relativitätstheorie]] werden [[Raum]] und [[Zeit]] zur vierdimensionalen '''Raumzeit''' vereinigt. Einen Raum-Zeit-Punkt nennt man dann [[Ereignis]]. Das [[Skalarprodukt]] der Euklidschen Geometrie muss auf die Zeit ausgedehnt werden, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt. Die Drehung im Raum wird auf die spezielle [[Lorentz-Transformation]] erweitert. Im Gegensatz zum [[~~absoluter Raum~~\|absoluten Raum]] der [[Newtonsche Axiome\|Newtonschen Mechanik]] ist die Raumzeit nicht mehr a priori gegeben: die Verteilung von [[Energie]] ([[Masse]]) und [[Impuls]] beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, da der [[Energie-Impuls-Tensor]] direkt die Krümmung der Raumzeit bestimmt.		In der [[Relativitätstheorie]] werden [[Raum]] und [[Zeit]] zur vierdimensionalen '''Raumzeit''' vereinigt. Einen Raum-Zeit-Punkt nennt man dann [[Ereignis]]. Das [[Skalarprodukt]] der Euklidschen Geometrie muss auf die Zeit ausgedehnt werden, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt. Die Drehung im Raum wird auf die spezielle [[Lorentz-Transformation]] erweitert. Im Gegensatz zum [[Bezugssystem\|absoluten Raum]] der [[Newtonsche Axiome\|Newtonschen Mechanik]] ist die Raumzeit nicht mehr a priori gegeben: die Verteilung von [[Energie]] ([[Masse]]) und [[Impuls]] beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, da der [[Energie-Impuls-Tensor]] direkt die Krümmung der Raumzeit bestimmt.

	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==

Admin: /* Koordinaten */

2007-07-29T06:43:45Z

Koordinaten

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	von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich gross ist. Ist ''S''<sup>2</sup> kleiner Null, nennt man die Distanz '''raumartig''', ist ''S''<sup>2</sup> grösser Null, heisst die Distanz '''zeitartig'''. Zu jeder raumartigen Distanz findet man ein Inertialsystem, in dem der Zeitunterschied verschwindet. ''S'' entspricht dann der geometrischen Strecke im Raum. Zu jeder zeitartigen Distanz gehört ein Inertialsystem, bezüglich dessen die räumliche Länge verschwindet. ''S/c'' = ''τ'' ist dann der zugehörige Zeitabschnitt. ''τ'' heisst auch Eigenzeit.		von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich gross ist. Ist ''S''<sup>2</sup> kleiner Null, nennt man die Distanz '''raumartig''', ist ''S''<sup>2</sup> grösser Null, heisst die Distanz '''zeitartig'''. Zu jeder raumartigen Distanz findet man ein Inertialsystem, in dem der Zeitunterschied verschwindet. ''S'' entspricht dann der geometrischen Strecke im Raum. Zu jeder zeitartigen Distanz gehört ein Inertialsystem, bezüglich dessen die räumliche Länge verschwindet. ''S/c'' = ''τ'' ist dann der zugehörige Zeitabschnitt. ''τ'' heisst auch Eigenzeit.

	=== ~~Koordinaten~~ ===		=== Skalarprodukt ===
	Nimmt man die Zeit als nullte Komponente des Raumes, sollte sie auch die gleiche Einheit wie eine Länge aufweisen. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. Vergleicht man die zeitliche Länge mit der räumlichen, wird auch klar, wieso wir mit der Raumzeit unsere liebe Mühe haben. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. Somit liegt beim Menschen das Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen bei etwa eins zu hundert Milliarden.		Nimmt man die Zeit als nullte Komponente des Raumes, sollte sie auch die gleiche Einheit wie eine Länge aufweisen. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. Vergleicht man die zeitliche Länge mit der räumlichen, wird auch klar, wieso wir mit der Raumzeit unsere liebe Mühe haben. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. Somit liegt beim Menschen das Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen bei etwa eins zu hundert Milliarden.

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	:<math>S^2 = \Delta T^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>		:<math>S^2 = \Delta T^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>

	Daraus folgt, dass in der Raumzeit ~~des~~ ~~Skalarproduktes~~ zwischen den beiden Vektoren '''''a''''' und '''''b''''' wie folgt gebildet wird		Daraus folgt, dass in der Raumzeit das "Skalarprodukt" zwischen den beiden Vektoren '''''a''''' und '''''b''''' wie folgt gebildet wird

	:<math>\vec a \cdot \vec b = a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3</math>		:<math>\vec a \cdot \vec b = a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3</math>

			Führt man nun den speziellen metrischen [[Tensor]] ''η<sub>ij</sub>'' ein, der wie folgt definiert ist

			:<math>\eta^{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}</math>

			lässt sich das "Skalarprodukt" mit Hilfe der [[Einsteinnotation]] kompakt schreiben

			:<math>\vec a \cdot \vec b = \eta^{ij} a_i b_j</math>

			Die Distanz zwischen zwei Ereignissen ist dann gleich

			:<math>S = \sqrt{\eta^{ij} \Delta x_i \Delta x_j}</math>

			wobei der Distanzvektor ''Δ'''x''''' die Komponenten (''Δ T = Δ ct, Δ x, Δ y, Δ z'') aufweist.

	=== Weltlinie ===		=== Weltlinie ===

Admin: /* Koordinaten */

2007-07-29T06:17:24Z

Koordinaten

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2007, 06:17 Uhr
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	=== Koordinaten ===		=== Koordinaten ===
	Nimmt man die Zeit als nullte Komponente des Raumes, sollte sie auch wie eine Länge ~~gemessen werden~~. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. Vergleicht man die zeitliche Länge mit der räumlichen, wird auch klar, wieso wir mit der Raumzeit unsere liebe Mühe haben. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. ~~Das~~ Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen ~~liegt beim Menschen~~ etwa ~~bei~~ eins zu hundert Milliarden.		Nimmt man die Zeit als nullte Komponente des Raumes, sollte sie auch die gleiche Einheit wie eine Länge aufweisen. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. Vergleicht man die zeitliche Länge mit der räumlichen, wird auch klar, wieso wir mit der Raumzeit unsere liebe Mühe haben. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. Somit liegt beim Menschen das Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen bei etwa eins zu hundert Milliarden.

	In ~~der Raumzeit gilt nun in Erweiterung des Skalarproduktes des Euklidschen Geometrie die folgende Vorschrift zur Berechnung einer Länge~~ zwischen den Ereignissen (''T<sub>1</sub>'', ''x<sub>1</sub>'', ''y<sub>1</sub>'', ''z<sub>1</sub>'') und ''T<sub>2</sub>'', ''x<sub>2</sub>'', ''y<sub>2</sub>'', ''z<sub>2</sub>'')		Die Distanz zwischen den Ereignissen (''T<sub>1</sub>'', ''x<sub>1</sub>'', ''y<sub>1</sub>'', ''z<sub>1</sub>'') und (''T<sub>2</sub>'', ''x<sub>2</sub>'', ''y<sub>2</sub>'', ''z<sub>2</sub>'') ist dann gleich

	:<math>S^2 = \Delta T^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>		:<math>S^2 = \Delta T^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>

			Daraus folgt, dass in der Raumzeit des Skalarproduktes zwischen den beiden Vektoren '''''a''''' und '''''b''''' wie folgt gebildet wird

			:<math>\vec a \cdot \vec b = a_0 b_0 - a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3</math>

	=== Weltlinie ===		=== Weltlinie ===

Admin: /* Motivation */

2007-07-29T06:04:49Z

Motivation

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	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==
	=== Motivation ===		=== Motivation ===
	Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil im Grundgesetz der [[Translationsmechanik]], das den Bezug zwischen den [[Kraft\|Kräften]] (Stärken der [[Impulsstrom\|Impulsströme]] oder [[Impulsquelle]]n) und der Beschleunigung des Körpers herstellt, die [[Geschwindigkeit]] nicht in Erscheinung tritt. In den [[Maxwell-Gleichungen]], welche den Zusammenhang zwischen [[elektrische Ladung\|elektrischer Ladung]] (Dichte und Stromdichte) und dem [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feld]] beschreibt, taucht nun aber eine Geschwindigkeit, die des Lichtes, ''c'' genannt, als Naturkonstante auf. Somit gelten die Gesetze der [[Elektrodynamik]] nur dann in allen Intertialsystemen, wenn die Lichtgeschwindigkeit für jeden beliebigen [[Beobachter]] in einem dieser Systeme gleich ''c'' ist: die Lichtgeschwindigkeit muss in jedem Inertialsystem gleich gross, damit die Gesetze der Elektrodynamik in all diesen Systemen gültig sind.		Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en. Dies, weil im Grundgesetz der [[Translationsmechanik]], das den Bezug zwischen den [[Kraft\|Kräften]] (Stärken der [[Impulsstrom\|Impulsströme]] oder [[Impulsquelle]]n) und der Beschleunigung des Körpers herstellt, die [[Geschwindigkeit]] nicht in Erscheinung tritt. In den [[Maxwell-Gleichungen]], welche den Zusammenhang zwischen [[elektrische Ladung\|elektrischer Ladung]] (Dichte und Stromdichte) und dem [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feld]] beschreibt, taucht nun aber eine spezielle Geschwindigkeit, die des Lichtes, ''c'' genannt, als Naturkonstante auf. Somit gelten die Gesetze der [[Elektrodynamik]] nur dann in allen Intertialsystemen, wenn die Lichtgeschwindigkeit für jeden beliebigen [[Beobachter]] in einem dieser Systeme gleich ''c'' ist: die Lichtgeschwindigkeit muss in jedem Inertialsystem gleich gross sein, damit die Gesetze der Elektrodynamik in all diesen Systemen gültig sind.

	Die Forderung nach der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter ~~bestimmt~~ die Geometrie der Raumzeit. Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie für die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbei flitzt, der folgende Zusammenhang		Die Forderung nach der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter legt die Geometrie der Raumzeit fest. Bewegt sich z.B. ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie für die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbei flitzt, der folgende Zusammenhang

	:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>		:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>
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	:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>		:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>

	~~Damit~~ die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit für jeden Beobachter gleich schnell ist, ~~muss demnach~~ folgende Bedingung gelten		Demnach muss, damit die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit für jeden Beobachter gleich schnell ist, folgende Bedingung gelten

	:<math>cdt - dx = 0</math>		:<math>cdt - dx = 0</math>
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	:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>		:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>

	Aus dieser Bedingung folgt, dass das Quadrat jeder "Strecke" ''S''		Aus dieser Bedingung folgt, dass das Quadrat jeder raumzeitlichen Strecke oder Distanz zwischen zwei Ereignissen ''S''

	:<math>S^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>		:<math>S^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>

	von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich gross ist. Ist ''S''<sup>2</sup> kleiner Null, nennt man die ~~"Strecke"~~ '''raumartig''', ist ''S''<sup>2</sup> grösser Null, heisst die ~~"Strecke"~~ '''zeitartig'''. Zu jeder raumartigen ~~"Strecke"~~ findet man ein Inertialsystem, in dem der ~~Zeitabschnitt~~ verschwindet. ''S'' entspricht dann der geometrischen Strecke. Zu jeder zeitartigen ~~"Strecke"~~ gehört ein Inertialsystem, bezüglich dessen die räumliche Länge ~~verschwindit~~. ''S/c'' = ''τ'' ist dann der zugehörige Zeitabschnitt. ''τ heisst ~~deshalb~~ auch Eigenzeit.		von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich gross ist. Ist ''S''<sup>2</sup> kleiner Null, nennt man die Distanz '''raumartig''', ist ''S''<sup>2</sup> grösser Null, heisst die Distanz '''zeitartig'''. Zu jeder raumartigen Distanz findet man ein Inertialsystem, in dem der Zeitunterschied verschwindet. ''S'' entspricht dann der geometrischen Strecke im Raum. Zu jeder zeitartigen Distanz gehört ein Inertialsystem, bezüglich dessen die räumliche Länge verschwindet. ''S/c'' = ''τ'' ist dann der zugehörige Zeitabschnitt. ''τ'' heisst auch Eigenzeit.

	=== Koordinaten ===		=== Koordinaten ===

Admin am 29. Juli 2007 um 05:52 Uhr

2007-07-29T05:52:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2007, 05:52 Uhr
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	In der [[Relativitätstheorie]] werden [[Raum]] und [[Zeit]] zur vierdimensionalen '''Raumzeit''' vereinigt. ~~Ein~~ Raum-Zeit-Punkt nennt man [[Ereignis]]. Das [[Skalarprodukt]] der Euklidschen Geometrie ~~wird~~ auf die Zeit ~~erweitert~~, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt, ~~und die~~ Drehung im Raum wird ~~zur~~ [[Lorentz-Transformation]]. Im Gegensatz zum [[absoluter Raum\|absoluten Raum]] der [[Newtonsche Axiome\|Newtonschen Mechanik]] ist die Raumzeit nicht mehr ~~unabhängig~~ ~~von~~ ~~der~~ ~~Materie. Die~~ Verteilung von [[Energie]] ([[Masse]]) und [[Impuls]] beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, da der [[Energie-Impuls-Tensor]] direkt die Krümmung der Raumzeit bestimmt.		In der [[Relativitätstheorie]] werden [[Raum]] und [[Zeit]] zur vierdimensionalen '''Raumzeit''' vereinigt. Einen Raum-Zeit-Punkt nennt man dann [[Ereignis]]. Das [[Skalarprodukt]] der Euklidschen Geometrie muss auf die Zeit ausgedehnt werden, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt. Die Drehung im Raum wird auf die spezielle [[Lorentz-Transformation]] erweitert. Im Gegensatz zum [[absoluter Raum\|absoluten Raum]] der [[Newtonsche Axiome\|Newtonschen Mechanik]] ist die Raumzeit nicht mehr a priori gegeben: die Verteilung von [[Energie]] ([[Masse]]) und [[Impuls]] beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, da der [[Energie-Impuls-Tensor]] direkt die Krümmung der Raumzeit bestimmt.

	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==

Admin am 28. Juli 2007 um 15:01 Uhr

2007-07-28T15:01:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2007, 15:01 Uhr
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	In der [[Relativitätstheorie]] werden [[Raum]] und [[Zeit]] zur vierdimensionalen '''Raumzeit''' vereinigt. Ein Raum-Zeit-Punkt ~~heisst~~ ~~dann~~ [[Ereignis]]. Das [[Skalarprodukt]] wird auf die Zeit ~~ausgedehnt~~, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt. ~~Die~~ ~~räumliche~~ Drehung ~~wird~~ ~~auf~~ zur [[Lorentz-Transformation]] ~~erweitert~~. Die Verteilung ~~der~~ [[Energie]] ([[Masse]]) und ~~des~~ [[Impuls]]es beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, ~~d.h.~~ der [[Energie-Impuls-Tensor]] ~~bestimmt~~ die Krümmung der Raumzeit.		In der [[Relativitätstheorie]] werden [[Raum]] und [[Zeit]] zur vierdimensionalen '''Raumzeit''' vereinigt. Ein Raum-Zeit-Punkt nennt man [[Ereignis]]. Das [[Skalarprodukt]] der Euklidschen Geometrie wird auf die Zeit erweitert, womit der Abstandsbegriff eine neue Bedeutung bekommt, und die Drehung im Raum wird zur [[Lorentz-Transformation]]. Im Gegensatz zum [[absoluter Raum\|absoluten Raum]] der [[Newtonsche Axiome\|Newtonschen Mechanik]] ist die Raumzeit nicht mehr unabhängig von der Materie. Die Verteilung von [[Energie]] ([[Masse]]) und [[Impuls]] beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, da der [[Energie-Impuls-Tensor]] direkt die Krümmung der Raumzeit bestimmt.

	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==
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	Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil im Grundgesetz der [[Translationsmechanik]], das den Bezug zwischen den [[Kraft\|Kräften]] (Stärken der [[Impulsstrom\|Impulsströme]] oder [[Impulsquelle]]n) und der Beschleunigung des Körpers herstellt, die [[Geschwindigkeit]] nicht in Erscheinung tritt. In den [[Maxwell-Gleichungen]], welche den Zusammenhang zwischen [[elektrische Ladung\|elektrischer Ladung]] (Dichte und Stromdichte) und dem [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feld]] beschreibt, taucht nun aber eine Geschwindigkeit, die des Lichtes, ''c'' genannt, als Naturkonstante auf. Somit gelten die Gesetze der [[Elektrodynamik]] nur dann in allen Intertialsystemen, wenn die Lichtgeschwindigkeit für jeden beliebigen [[Beobachter]] in einem dieser Systeme gleich ''c'' ist: die Lichtgeschwindigkeit muss in jedem Inertialsystem gleich gross, damit die Gesetze der Elektrodynamik in all diesen Systemen gültig sind.		Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil im Grundgesetz der [[Translationsmechanik]], das den Bezug zwischen den [[Kraft\|Kräften]] (Stärken der [[Impulsstrom\|Impulsströme]] oder [[Impulsquelle]]n) und der Beschleunigung des Körpers herstellt, die [[Geschwindigkeit]] nicht in Erscheinung tritt. In den [[Maxwell-Gleichungen]], welche den Zusammenhang zwischen [[elektrische Ladung\|elektrischer Ladung]] (Dichte und Stromdichte) und dem [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feld]] beschreibt, taucht nun aber eine Geschwindigkeit, die des Lichtes, ''c'' genannt, als Naturkonstante auf. Somit gelten die Gesetze der [[Elektrodynamik]] nur dann in allen Intertialsystemen, wenn die Lichtgeschwindigkeit für jeden beliebigen [[Beobachter]] in einem dieser Systeme gleich ''c'' ist: die Lichtgeschwindigkeit muss in jedem Inertialsystem gleich gross, damit die Gesetze der Elektrodynamik in all diesen Systemen gültig sind.

	Die Forderung nach der ~~Beobachterunabhängigkeit~~ der Lichtgeschwindigkeit bestimmt die Geometrie der Raumzeit. Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie für die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbei flitzt, der folgende Zusammenhang		Die Forderung nach der Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter bestimmt die Geometrie der Raumzeit. Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie für die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbei flitzt, der folgende Zusammenhang

	:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>		:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>
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	:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>		:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>

	Damit die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit für jeden Beobachter gleich schnell ist, muss ~~somit~~ folgende Bedingung gelten		Damit die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit für jeden Beobachter gleich schnell ist, muss demnach folgende Bedingung gelten

	:<math>cdt - dx = 0</math>		:<math>cdt - dx = 0</math>
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	:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>		:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>

	~~Diese~~ Bedingung ~~legt fest~~, dass ~~die~~ ~~Grösse~~		Aus dieser Bedingung folgt, dass das Quadrat jeder "Strecke" ''S''

	::<math>~~c^2d\tau~~^2 = c^~~2dt~~^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2</math>		:<math>S^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>

			von jedem Inertialsystem aus gesehen gleich gross ist. Ist ''S''<sup>2</sup> kleiner Null, nennt man die "Strecke" '''raumartig''', ist ''S''<sup>2</sup> grösser Null, heisst die "Strecke" '''zeitartig'''. Zu jeder raumartigen "Strecke" findet man ein Inertialsystem, in dem der Zeitabschnitt verschwindet. ''S'' entspricht dann der geometrischen Strecke. Zu jeder zeitartigen "Strecke" gehört ein Inertialsystem, bezüglich dessen die räumliche Länge verschwindit. ''S/c'' = ''τ'' ist dann der zugehörige Zeitabschnitt. ''τ heisst deshalb auch Eigenzeit.
	von jedem Inertialsystem aus gleich gross ist.

	=== ~~Metrik~~ ===		=== Koordinaten ===
	Nimmt man die Zeit als nullte ~~oder vierte~~ Komponente des Raumes, sollte ~~man~~ sie auch ~~als~~ Länge ~~messen~~. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. ~~Damit~~ wird auch klar, wieso ~~man~~ mit der Raumzeit ~~seine~~ liebe Mühe ~~hat~~. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt ~~aber~~ bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. ~~Damit liegt das~~ Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen beim Menschen etwa bei eins zu hundert Milliarden.		Nimmt man die Zeit als nullte Komponente des Raumes, sollte sie auch wie eine Länge gemessen werden. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. Vergleicht man die zeitliche Länge mit der räumlichen, wird auch klar, wieso wir mit der Raumzeit unsere liebe Mühe haben. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. Das Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen liegt beim Menschen etwa bei eins zu hundert Milliarden.

	In der Raumzeit gilt nun in Erweiterung des Skalarproduktes des Euklidschen Geometrie die folgende Vorschrift zur Berechnung einer Länge zwischen den Ereignissen (''T<sub>1</sub>'', ''x<sub>1</sub>'', ''y<sub>1</sub>'', ''z<sub>1</sub>'')		In der Raumzeit gilt nun in Erweiterung des Skalarproduktes des Euklidschen Geometrie die folgende Vorschrift zur Berechnung einer Länge zwischen den Ereignissen (''T<sub>1</sub>'', ''x<sub>1</sub>'', ''y<sub>1</sub>'', ''z<sub>1</sub>'') und ''T<sub>2</sub>'', ''x<sub>2</sub>'', ''y<sub>2</sub>'', ''z<sub>2</sub>'')

			:<math>S^2 = \Delta T^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2</math>
	=== Minkowski-Diagramm ===

			=== Weltlinie ===

	Im [[Minkowski-Diagramm]] können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

	== Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie ==

	=== Nichteuklidische Geometrien ===		=== Nichteuklidische Geometrien ===

	Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit ''(ct,x,y,z)'' in der [[allgemeine Relativitätstheorie\|allgemeinen Relativitätstheorie]] ist die [[Riemannsche Geometrie]]. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das [[Parallelenaxiom]], müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise kein [[Gerade]]nteilstück mehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht die [[Geodäte]] in der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfäche sind die Geodäten die [[Großkreis]]e. Die Winkelsumme im - aus Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.		Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit ''(ct,x,y,z)'' in der [[allgemeine Relativitätstheorie\|allgemeinen Relativitätstheorie]] ist die [[Riemannsche Geometrie]]. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das [[Parallelenaxiom]], müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise kein [[Gerade]]nteilstück mehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht die [[Geodäte]] in der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfäche sind die Geodäten die [[Großkreis]]e. Die Winkelsumme im - aus Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

	=== Raumzeit-Krümmung ===		=== Raumzeit-Krümmung ===

	Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch Masse, Strahlung und Druck verursacht; diese Größen bilden zusammen den [[Energie-Impuls-Tensor]] und gehen in die [[Einsteinsche Feldgleichungen\|Einsteingleichungen]] als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang der Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben; in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der [[Spezielle Relativitätstheorie\|speziellen Relativitätstheorie]]. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor ''g/c<sup>2</sup>'' beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.		Die Krümmung von Raum und Zeit wird durch Masse, Strahlung und Druck verursacht; diese Größen bilden zusammen den [[Energie-Impuls-Tensor]] und gehen in die [[Einsteinsche Feldgleichungen\|Einsteingleichungen]] als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang der Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben; in diesem Modell existiert so etwas wie eine Gravitationskraft nicht mehr. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) besitzt das erzeugte Gravitationsfeld stets die flache Metrik der [[Spezielle Relativitätstheorie\|speziellen Relativitätstheorie]]. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor ''g/c<sup>2</sup>'' beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.

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	== Symmetrien ==		== Symmetrien ==

	Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von [[Symmetrie (Physik)\|Symmetrien]], die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes ([[Translation (Mathematik)\|Translation]], [[Rotationsbewegung\|Rotation]]) auch die Symmetrien unter [[Lorentztransformation]]en (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das [[Relativitätsprinzip]] sicher.		Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von [[Symmetrie (Physik)\|Symmetrien]], die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes ([[Translation (Mathematik)\|Translation]], [[Rotationsbewegung\|Rotation]]) auch die Symmetrien unter [[Lorentztransformation]]en (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das [[Relativitätsprinzip]] sicher.

	== Weblinks ==
	*[[Albert Einstein]]: ''Space-Time'', der klassische Lexikonartikel der Encyclopædia Britannica [http://preview.britannica.co.kr/spotlights/classic/eins1.html 1926]

Admin: /* Motivation */

2007-07-28T13:58:34Z

Motivation

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2007, 13:58 Uhr
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	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==
	=== Motivation ===		=== Motivation ===
	Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil ~~das~~ Grundgesetz der [[Translationsmechanik]] ~~nur~~ ~~einen~~ Bezug zwischen den [[~~Impulsstrom~~]]~~stärken~~ ~~oder~~ [[~~Impulsquelle~~]]~~nstärken,~~ ~~den~~ [[~~Kraft\|Kräften~~]], und der Beschleunigung des Körpers herstellt. In ~~der~~ ~~Beschreibung~~ ~~des~~ [[~~elektromagnetisches~~ ~~Feld~~\|~~elektromagnetischen~~ ~~Feldes~~]], ~~den~~ [[~~Maxwell-Gleichungen~~]], taucht nun aber die ~~Lichtgeschwindigkeit~~ ''c'' als Naturkonstante auf. ~~Sollen~~ die Gesetze der [[Elektrodynamik]] in allen Intertialsystemen ~~gültig sein~~, ~~muss~~ ~~sich~~ ~~das Licht~~ für ~~alle~~ [[Beobachter]] in ~~den~~ ~~verschiedenen~~ ~~Inertialsystemen~~ gleich ~~schnell~~ ~~fortpflanzen~~.		Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil im Grundgesetz der [[Translationsmechanik]], das den Bezug zwischen den [[Kraft\|Kräften]] (Stärken der [[Impulsstrom\|Impulsströme]] oder [[Impulsquelle]]n) und der Beschleunigung des Körpers herstellt, die [[Geschwindigkeit]] nicht in Erscheinung tritt. In den [[Maxwell-Gleichungen]], welche den Zusammenhang zwischen [[elektrische Ladung\|elektrischer Ladung]] (Dichte und Stromdichte) und dem [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feld]] beschreibt, taucht nun aber eine Geschwindigkeit, die des Lichtes, ''c'' genannt, als Naturkonstante auf. Somit gelten die Gesetze der [[Elektrodynamik]] nur dann in allen Intertialsystemen, wenn die Lichtgeschwindigkeit für jeden beliebigen [[Beobachter]] in einem dieser Systeme gleich ''c'' ist: die Lichtgeschwindigkeit muss in jedem Inertialsystem gleich gross, damit die Gesetze der Elektrodynamik in all diesen Systemen gültig sind.

	Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort ~~vorbeiflizt~~, der folgende Zusammenhang		Die Forderung nach der Beobachterunabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit bestimmt die Geometrie der Raumzeit. Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie für die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbei flitzt, der folgende Zusammenhang

	:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>		:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>
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	:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>		:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>

	Damit die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit ~~von~~ ~~jedem~~ Beobachter gleich schnell ist, muss somit folgende Bedingung gelten		Damit die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit für jeden Beobachter gleich schnell ist, muss somit folgende Bedingung gelten

	:<math>cdt - dx = 0</math>		:<math>cdt - dx = 0</math>

	Diese Bedingung ist bezüglich des Vorzeichens nicht eindeutig und lässt sich so nicht auf alle drei Dimensionen des Raumes ausdehnen. ~~Folglich darf~~ man ~~nur~~ ~~verlangen~~, dass das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit für ~~alle~~ Beobachter auf ~~den~~ ~~verschiedenen~~ Inertialsystemen gleich gross ist, ~~was~~ zu folgender Bedingung ~~führt~~		Diese Bedingung ist bezüglich des Vorzeichens nicht eindeutig und lässt sich so auch nicht auf alle drei Dimensionen des Raumes ausdehnen. Verlangt man etwas weniger einschränkend, dass das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter auf einem beliebigen Inertialsystemen gleich gross ist, erhält man die folgender Bedingung

	:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>		:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>

			Diese Bedingung legt fest, dass die Grösse

			::<math>c^2d\tau^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2</math>

			von jedem Inertialsystem aus gleich gross ist.

	=== Metrik ===		=== Metrik ===

Admin: /* Minkowski-Metrik */

2007-07-28T11:35:00Z

Minkowski-Metrik

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	:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>		:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>

	=== ~~Minkowski-~~Metrik ===		=== Metrik ===
			Nimmt man die Zeit als nullte oder vierte Komponente des Raumes, sollte man sie auch als Länge messen. Wir führen deshalb eine neue Zeitkoordinate ''T = ct'' ein, welche in Metern gemessen wird. Damit wird auch klar, wieso man mit der Raumzeit seine liebe Mühe hat. Im Raum können wir eine Distanz von 0.3 Millimeter (0.0003 m) problemlos erkennen. Unser zeitliches Auflösungsvermögen liegt aber bei etwa 0.1 s, was einer zeitlichen Distanz von 30'000'000 m entspricht. Damit liegt das Verhältnis von räumlichem zum zeitlichen Auflösungsvermögen beim Menschen etwa bei eins zu hundert Milliarden.

			In der Raumzeit gilt nun in Erweiterung des Skalarproduktes des Euklidschen Geometrie die folgende Vorschrift zur Berechnung einer Länge zwischen den Ereignissen (''T<sub>1</sub>'', ''x<sub>1</sub>'', ''y<sub>1</sub>'', ''z<sub>1</sub>'')

	=== Minkowski-Diagramm ===		=== Minkowski-Diagramm ===

Admin: /* Motivation */

2007-07-28T11:11:17Z

Motivation

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	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==
	=== Motivation ===		=== Motivation ===
	Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil das Grundgesetz der [[Translationsmechanik]] nur einen Bezug zwischen den [[Impulsstrom]]stärken oder [[~~Impulsquellen~~]]~~stärken~~, den [[Kraft\|Kräften]], und der Beschleunigung des Körpers herstellt. In der Beschreibung des [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feldes]], den [[Maxwell-Gleichungen]], taucht nun aber die Lichtgeschwindigkeit ''c'' als Naturkonstante auf. Sollen die Gesetze der [[Elektrodynamik]] in allen Intertialsystemen gültig sein, muss sich das Licht für alle [[Beobachter]] in den verschiedenen Inertialsystemen gleich schnell fortpflanzen.		Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil das Grundgesetz der [[Translationsmechanik]] nur einen Bezug zwischen den [[Impulsstrom]]stärken oder [[Impulsquelle]]nstärken, den [[Kraft\|Kräften]], und der Beschleunigung des Körpers herstellt. In der Beschreibung des [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feldes]], den [[Maxwell-Gleichungen]], taucht nun aber die Lichtgeschwindigkeit ''c'' als Naturkonstante auf. Sollen die Gesetze der [[Elektrodynamik]] in allen Intertialsystemen gültig sein, muss sich das Licht für alle [[Beobachter]] in den verschiedenen Inertialsystemen gleich schnell fortpflanzen.

	Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbeiflizt, der folgende Zusammenhang		Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbeiflizt, der folgende Zusammenhang
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	:<math>cdt - dx = 0</math>		:<math>cdt - dx = 0</math>

	Diese Bedingung ist nicht eindeutig und lässt sich so nicht auf alle drei Dimensionen des Raumes ausdehnen. Folglich ~~muss~~ man verlangen, dass das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter auf den verschiedenen Inertialsystemen gleich gross ist, was zu folgender Bedingung führt		Diese Bedingung ist bezüglich des Vorzeichens nicht eindeutig und lässt sich so nicht auf alle drei Dimensionen des Raumes ausdehnen. Folglich darf man nur verlangen, dass das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter auf den verschiedenen Inertialsystemen gleich gross ist, was zu folgender Bedingung führt

	:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>		:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>

Admin: /* Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie */

2007-07-28T11:05:21Z

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie

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	== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==		== Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie ==
	=== Motivation ===		=== Motivation ===
			Die Gesetze der Newtonschen [[Punktmechanik]] gelten in allen [[Inertialsystem]]en, weil das Grundgesetz der [[Translationsmechanik]] nur einen Bezug zwischen den [[Impulsstrom]]stärken oder [[Impulsquellen]]stärken, den [[Kraft\|Kräften]], und der Beschleunigung des Körpers herstellt. In der Beschreibung des [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetischen Feldes]], den [[Maxwell-Gleichungen]], taucht nun aber die Lichtgeschwindigkeit ''c'' als Naturkonstante auf. Sollen die Gesetze der [[Elektrodynamik]] in allen Intertialsystemen gültig sein, muss sich das Licht für alle [[Beobachter]] in den verschiedenen Inertialsystemen gleich schnell fortpflanzen.

			Bewegt sich ein Lichtpuls in Richtung der ''x''-Koordinate, gilt für die Strecke zwischen zwei Punkten sowie die Zeitpunkte, zu denen der Lichtblitz dort vorbeiflizt, der folgende Zusammenhang
⚫	=== ~~Motivation~~-Metrik ===

			:<math>c = \frac {x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac {\Delta x}{\Delta t}</math>

			oder für unmittelbar benachbarte Punkte

			:<math>c = \frac {dx}{dt}</math>

			Damit die Lichtgeschwindigkeit in der Raumzeit von jedem Beobachter gleich schnell ist, muss somit folgende Bedingung gelten

			:<math>cdt - dx = 0</math>

			Diese Bedingung ist nicht eindeutig und lässt sich so nicht auf alle drei Dimensionen des Raumes ausdehnen. Folglich muss man verlangen, dass das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter auf den verschiedenen Inertialsystemen gleich gross ist, was zu folgender Bedingung führt

			:<math>c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt^2 - ds^2 = 0</math>

		⚫	=== Minkowski-Metrik ===