Spannungsteiler mit Induktivität - Versionsgeschichte

Admin: /* Energiebetrachtung */

2006-12-21T11:50:35Z

Energiebetrachtung

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	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_W.png\|thumb\|Energie-Zeit-Funktion]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_W.png\|thumb\|Energie-Zeit-Funktion]]

	[[Kategorie:Elektro]] [[Kategorie:ElektroMod]]		[[Kategorie:Elektro]] [[Kategorie:Modelle]] [[Kategorie:ElektroMod]]

Admin: /* Energiebetrachtung */

2006-12-17T12:17:10Z

Energiebetrachtung

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	<math>\dot W_{Magnetfeld} = P = U_L I_L</math>		<math>\dot W_{Magnetfeld} = P = U_L I_L</math>

	Integriert man die Prozessleistung über die Zeit erhält man bei den beiden Widerständen die disspierte Energie und bei einer Induktivität die Änderung der im Magnetfeld gespeicherten Energie. Das Bild zeigt das Energie-Zeit-Diagramm für die drei Elemente.		Integriert man die Prozessleistung über die Zeit, erhält man bei den beiden Widerständen die disspierte Energie und bei einer Induktivität die Änderung der im Magnetfeld gespeicherten Energie. Das Bild zeigt das Energie-Zeit-Diagramm für die drei Elemente.

	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_W.png\|thumb\|Energie-Zeit-Funktion]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_W.png\|thumb\|Energie-Zeit-Funktion]]

Admin: /* Simulation */

2006-12-17T12:16:19Z

Simulation

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 12:16 Uhr
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	==Simulation==		==Simulation==
	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_I.png\|thumb\|Strom-Zeit-Verlaub]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_I.png\|thumb\|Strom-Zeit-Verlaub]]
	Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Verlauf der Strom-Zeit-Funktionen nach dem Einschalten. Nach 5 ms wird die Verbindung zur Spannungsquelle wieder unterbrochen. Die Induktivität treibt dann den ~~der~~ Strom durch den Widerstand 2 (''R<sub>2</sub>'') im Kreis herum, bis die magnetische Energie der Spule [[Dissipation\|dissipiert]] ist. Die Induktivität widersetzt sich jeder Veränderung der Stromstärke durch eine Art Trägheit. Diese Trägheit widerspiegelt das Energiespeicher-Vermögen des magnetischen Feldes: solange die Stromstärke betragsmässig wächst, verhält sich die Induktivität wie ein Verbraucher; soll der Betrag der Stromstärke vermindert werden, wirk die Induktivität wie eine Quelle.		Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Verlauf der Strom-Zeit-Funktionen nach dem Einschalten. Nach 5 ms wird die Verbindung zur Spannungsquelle wieder unterbrochen. Die Induktivität treibt dann den Strom durch den Widerstand 2 (''R<sub>2</sub>'') im Kreis herum, bis die magnetische Energie der Spule [[Dissipation\|dissipiert]] ist. Die Induktivität widersetzt sich jeder Veränderung der Stromstärke durch eine Art Trägheit. Diese Trägheit widerspiegelt das Energiespeicher-Vermögen des magnetischen Feldes: solange die Stromstärke betragsmässig wächst, verhält sich die Induktivität wie ein Verbraucher; soll der Betrag der Stromstärke vermindert werden, wirk die Induktivität wie eine Quelle.

	Das Abschalten der externen Spannungsquelle modelliert man bei ''U<sub>L</sub>'':		Das Abschalten der externen Spannungsquelle modelliert man bei ''U<sub>L</sub>'':

Admin: /* Systemmodell */

2006-12-17T12:14:31Z

Systemmodell

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	==Systemmodell==		==Systemmodell==
	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]
	Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Ladungsspeicher vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität~~(''L'')~~ ([[Lineare passive Zweipole]]):		Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Ladungsspeicher vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität (sihe auch [[Lineare passive Zweipole]]):
	*Die Spannung über dem Widerstand (''U<sub>2</sub>'') ist gleichzeitig der Antrieb (''U<sub>L</sub>'') für die Änderungsrate der Stromstärke bei der Induktivität (''U<sub>L</sub> = L dI<sub>L</sub>/dt'')		*Die Spannung über dem Widerstand (''U<sub>2</sub>'') ist gleichzeitig der Antrieb (''U<sub>L</sub>'') für die Änderungsrate der Stromstärke bei der Induktivität (''U<sub>L</sub> = L dI<sub>L</sub>/dt'')
	*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'' = ''U<sub>L</sub>'' ) ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')		*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'' = ''U<sub>L</sub>'' ) ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')

Admin: /* Energiebetrachtung */

2006-12-17T11:00:42Z

Energiebetrachtung

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 11:00 Uhr
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	==Energiebetrachtung==		==Energiebetrachtung==
	[[Bild:~~Spannungsteiler_mit_Kapazitaet_SD_W~~.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit Energiebetrachtung]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD_W.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit Energiebetrachtung]]
	Die Prozessleistung ist gleich Spannung mal Stromstärke. Handelt es sich um einen Widerstand, wird die ganze Leistung [[Dissipation\|dissipiert]]. ~~Die~~ ~~Leistung~~ ~~kann~~ ~~dann~~ ~~auch~~ ~~als~~ ~~Widerstand~~ ~~mal~~ ~~Stromstärke im Quadrat geschrieben werden.~~		Die Prozessleistung ist gleich Spannung mal Stromstärke. Handelt es sich um einen Widerstand, wird die ganze Leistung [[Dissipation\|dissipiert]]. Bei der Induktivität wird die Prozessleistung vom Magnetfeld aufgenommen

			<math>\dot W_{Magnetfeld} = P = U_L I_L</math>
⚫	Integriert man die Prozessleistung über die Zeit erhält man bei Widerständen die disspierte Energie und bei ~~einem~~ ~~Kondensator~~ die Änderung der gespeicherten Energie.

		⚫	Integriert man die Prozessleistung über die Zeit erhält man bei den beiden Widerständen die disspierte Energie und bei einer Induktivität die Änderung der im Magnetfeld gespeicherten Energie. Das Bild zeigt das Energie-Zeit-Diagramm für die drei Elemente.
⚫	[[Bild:~~Spannungsteiler_mit_Kapazitaet_W~~.png\|thumb\|Energie-Zeit-Funktion]]
	[[Kategorie:Elektro]] [[Kategorie:ElektroMod]]
	. Nach längerer Zeit fliesst der Strom nur noch durch das Potentiometer, das die angelegte Spannung im Verhältnis der beiden Widerstände teilt.

		⚫	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_W.png\|thumb\|Energie-Zeit-Funktion]]
	Entfernt man die Spannungsquelle, entlädt sich der Kondensator über dem zweiten Teil des Potentiometers (''R<sub>2</sub>''). Stromstärke und Spannung nehmen entsprechend eines [[Kondensator entladen\|Entladevorganges]] eines Kondensators ab.

	[[Kategorie:Elektro]] [[Kategorie:ElektroMod]]		[[Kategorie:Elektro]] [[Kategorie:ElektroMod]]

Admin: /* Simulation */

2006-12-17T10:50:13Z

Simulation

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 10:50 Uhr
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	Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Verlauf der Strom-Zeit-Funktionen nach dem Einschalten. Nach 5 ms wird die Verbindung zur Spannungsquelle wieder unterbrochen. Die Induktivität treibt dann den der Strom durch den Widerstand 2 (''R<sub>2</sub>'') im Kreis herum, bis die magnetische Energie der Spule [[Dissipation\|dissipiert]] ist. Die Induktivität widersetzt sich jeder Veränderung der Stromstärke durch eine Art Trägheit. Diese Trägheit widerspiegelt das Energiespeicher-Vermögen des magnetischen Feldes: solange die Stromstärke betragsmässig wächst, verhält sich die Induktivität wie ein Verbraucher; soll der Betrag der Stromstärke vermindert werden, wirk die Induktivität wie eine Quelle.		Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Verlauf der Strom-Zeit-Funktionen nach dem Einschalten. Nach 5 ms wird die Verbindung zur Spannungsquelle wieder unterbrochen. Die Induktivität treibt dann den der Strom durch den Widerstand 2 (''R<sub>2</sub>'') im Kreis herum, bis die magnetische Energie der Spule [[Dissipation\|dissipiert]] ist. Die Induktivität widersetzt sich jeder Veränderung der Stromstärke durch eine Art Trägheit. Diese Trägheit widerspiegelt das Energiespeicher-Vermögen des magnetischen Feldes: solange die Stromstärke betragsmässig wächst, verhält sich die Induktivität wie ein Verbraucher; soll der Betrag der Stromstärke vermindert werden, wirk die Induktivität wie eine Quelle.

	Das Abschalten der externen Spannungsquelle modelliert man bei ''U<sub>2</sub>'':		Das Abschalten der externen Spannungsquelle modelliert man bei ''U<sub>L</sub>'':

	if time < 0.005 then (U0-R1IL)/(1+R1/R2) else -R2 IL		if time < 0.005 then (U0-R1IL)/(1+R1/R2) else -R2 IL

Admin: /* Simulation */

2006-12-17T10:32:57Z

Simulation

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 10:32 Uhr
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	==Simulation==		==Simulation==
	[[Bild:~~Spannungsteiler_mit_Kapazitaet_I~~.png\|thumb\|Strom-Zeit-Verlaub]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_I.png\|thumb\|Strom-Zeit-Verlaub]]
	Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Verlauf der Strom-Zeit-~~Funktion~~ nach dem Einschalten. Nach ~~200~~ s wird die Verbindung zur Spannungsquelle wieder unterbrochen. ~~Anfänglich~~ ~~fliesst~~ der Strom durch den Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'') ~~und~~ ~~den~~ ~~Kondensator~~, ~~wobei~~ ~~dessen~~ ~~Stärke~~ ~~nur~~ ~~durch~~ ~~den~~ ~~Widerstand~~ ~~1 begrenzt wird~~. Je ~~mehr~~ ~~Strom~~ ~~bezüglich~~ ~~des~~ ~~Kondensators~~ ~~(''I<sub>C</sub>'')~~ ~~geflossen~~ ~~ist,~~ ~~umso~~ ~~mehr~~ ~~steigt~~ ~~die~~ ~~Spannung~~ ~~über~~ ~~dem~~ ~~Kondensator~~ ~~und~~ ~~damit~~ ~~auch~~ ~~über dem Widerstand 2. Folglich fällt~~ die Stromstärke ~~durch~~ ~~Widerstand~~ 1 ~~(''I<sub>1</sub>'') ab und~~ die ~~durch~~ ~~Widerstand~~ 2 ~~(''I<sub>2</sub>'')~~ ~~steigt.~~ ~~Weil~~ ~~immer~~ ~~mehr~~ ~~Strom~~ ~~durch~~ ~~Widerstand 2 fliesst~~, ~~geht~~ ~~weniger~~ ~~durch~~ ~~den~~ ~~Kondensatorzweig~~ ~~(''I<sub>C</sub>'')~~.		Das nebenstehend abgebildete Diagramm zeigt den Verlauf der Strom-Zeit-Funktionen nach dem Einschalten. Nach 5 ms wird die Verbindung zur Spannungsquelle wieder unterbrochen. Die Induktivität treibt dann den der Strom durch den Widerstand 2 (''R<sub>2</sub>'') im Kreis herum, bis die magnetische Energie der Spule [[Dissipation\|dissipiert]] ist. Die Induktivität widersetzt sich jeder Veränderung der Stromstärke durch eine Art Trägheit. Diese Trägheit widerspiegelt das Energiespeicher-Vermögen des magnetischen Feldes: solange die Stromstärke betragsmässig wächst, verhält sich die Induktivität wie ein Verbraucher; soll der Betrag der Stromstärke vermindert werden, wirk die Induktivität wie eine Quelle.

			Das Abschalten der externen Spannungsquelle modelliert man bei ''U<sub>2</sub>'':
	Nachdem die Verbindung zur Spannungsquelle unterbrochen wird, [[Kondensator entladen\|entlädt]] sich der Kondensator über den Widerstand 2. Die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist sofort gleich Null, die durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') geht exponentiell gegen Null. Die Stromstärke im Kondensatorzweig (''I<sub>C</sub>'') kehrt das Vorzeichen um und hat danach immer den gleichen Betrag wie die Stromstärke durch Widerstand 2.

			if time < 0.005 then (U0-R1IL)/(1+R1/R2) else -R2 IL

			Solch plötzliche Veränderungen in der mathematischen Struktur eines Modells (strukturvariables System) können zu numerischen Problemen führen, wenn sie zu viele solche Änderungen zu oft auftreten.

	==Energiebetrachtung==		==Energiebetrachtung==

Admin: /* Systemmodell */

2006-12-17T10:14:50Z

Systemmodell

Admin: /* Systemmodell */

2006-12-17T10:04:44Z

Systemmodell

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 10:04 Uhr
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	==Systemmodell==		==Systemmodell==
	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]
	Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein ~~Widerstand~~ vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität(''L'')([[Lineare passive Zweipole]]): *Die Spannung über dem Widerstand ''U<sub>2</sub>'' ist gleichzeitig der Antrieb für die Änderungsrate der Stromstärke durch die Induktivität(''U<sub>2</sub> = L dI/dt'')		Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Ladungsspeicher vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität(''L'')([[Lineare passive Zweipole]]):
	*~~die~~ Spannung über ~~der Induktivität und~~ dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') ist ~~gleich~~ ~~Stromstärke~~ ''I<sub>2</sub>'' ~~mal~~ ~~zugehöriger~~ ~~Widerstand~~ (''R<sub>2</sub>'')		*Die Spannung über dem Widerstand (''U<sub>2</sub>'') ist gleichzeitig der Antrieb (''U<sub>L</sub>'') für die Änderungsrate der Stromstärke durch die Induktivität(''U<sub>2</sub> = L dI/dt'')
			*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'' = ''U<sub>L</sub>'' ) ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')
	*die Stromstärke durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') minus die Stärke des durch die Spule fliessenden Stromes (''I<sub>L</sub>'').		*die Stromstärke durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') minus die Stärke des durch die Spule fliessenden Stromes (''I<sub>L</sub>'').
	*die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist gleich der Differenz der angelegten Spannung (''U<sub>0</sub>'') und der Spannung über dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') dividiert durch den Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'').		*die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist gleich der Differenz der angelegten Spannung (''U<sub>0</sub>'') und der Spannung über dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') dividiert durch den Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'').

	Bei der Modellierung der Beziehung ''U<sub>1</sub>'' = ''U<sub>0</sub>'' - ''U<sub>2</sub>'' meldet das Modellierungswerkzeug BerkeleyMadonna ''Arc connection''. Eine Kreisverbindung mit reinen Wirkpfeilen (Arcs) ist nicht zulässig, weil eine solche algebraische Schleife (algebraic loop) keine Wirkkette mehr darstellt, entlang derer das Programm die Aufgabe lösen kann. Mathematisch betrachtet bildet eine algebraische Schleife ein Gleichungssystem, das hier von Hand gelöst werden muss		Bei der Modellierung der Beziehung ''U<sub>1</sub>'' = ''U<sub>0</sub>'' - ''U<sub>L</sub>'' meldet das Modellierungswerkzeug BerkeleyMadonna ''Arc connection''. Eine Kreisverbindung mit reinen Wirkpfeilen (Arcs) ist nicht zulässig, weil eine solche algebraische Schleife (algebraic loop) keine Wirkkette mehr darstellt, entlang derer das Programm die Aufgabe lösen kann. Mathematisch betrachtet bildet eine algebraische Schleife ein Gleichungssystem, das hier von Hand gelöst werden muss
	*Knotensatz (Bilanz): <math>I_1 = I_2 + I_L</math>		*Knotensatz (Bilanz): <math>I_1 = I_2 + I_L</math>
	*Addition der Spannungen: <math>U_0 = U_1 + U_2</math>		*Addition der Spannungen: <math>U_0 = U_1 + U_2</math>
	*Ohmsches Gesetz 1: <math>U_1 = R_1 I_1</math>		*Ohmsches Gesetz 1: <math>U_1 = R_1 I_1</math>
	*Ohmsches Gesetz 2: <math>U_2 = R_2 I_2</math>		*Ohmsches Gesetz 2: <math>U_2 = R_2 I_2</math>

	Löst man dieses Gleichungssystem nach der gesuchten Grösse ''U<sub>2</sub>'' mit den Eingangsgrössen ''U<sub>0</sub>'' und ''I<sub>L</sub>''auf, erhält man ~~<math>U_2 = \frac {U_0 - R_1I_L}{1 + \frac {R_1}{R_2}}</math>~~		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD2.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit gelöster Schleife]] Löst man dieses Gleichungssystem nach der gesuchten Grösse ''U<sub>2</sub>'' mit den Eingangsgrössen ''U<sub>0</sub>'' und ''I<sub>L</sub>''auf, erhält man

			<math>U_L = U_2 = \frac {U_0 - R_1I_L}{1 + \frac {R_1}{R_2}}</math>

			Diese Gleichung liefert die Verbindung zwischen der Stromstärke durch die Spule und der Spannung über der Spule. Die andern Grössen sind dann "rückwärts" zu berechnen.

			Die Simulatoren zur höheren Programmmiersprache [[Modelica]] sollten in der Lage sein, algebraische Schleifen automatisch zu lösen.

	==Simulation==		==Simulation==

Admin: /* Systemmodell */

2006-12-17T09:47:49Z

Systemmodell

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 09:47 Uhr
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	==Systemmodell==		==Systemmodell==
	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]
	Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Widerstand ~~Ladungsspeicher~~ vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität(''L''). Die Spannung über dem Widerstand ''U<sub>2</sub>'' ist gleichzeitig der Antrieb für die Änderungsrate der Stromstärke durch die Induktivität(''U<sub>2</sub> = L dI/dt'')		Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Widerstand vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität(''L'')([[Lineare passive Zweipole]]): *Die Spannung über dem Widerstand ''U<sub>2</sub>'' ist gleichzeitig der Antrieb für die Änderungsrate der Stromstärke durch die Induktivität(''U<sub>2</sub> = L dI/dt'')
	*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')		*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')
	*die Stromstärke durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') minus die Stärke des durch die Spule fliessenden Stromes (''I<sub>L</sub>'').		*die Stromstärke durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') minus die Stärke des durch die Spule fliessenden Stromes (''I<sub>L</sub>'').
	*die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist gleich ~~angelegte~~ Spannung (''U<sub>0</sub>'') ~~minus~~ Spannung über dem Widerstand 2 ~~oder der Induktivität~~ (''U<sub>2</sub>'') durch Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'').		*die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist gleich der Differenz der angelegten Spannung (''U<sub>0</sub>'') und der Spannung über dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') dividiert durch den Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'').

			Bei der Modellierung der Beziehung ''U<sub>1</sub>'' = ''U<sub>0</sub>'' - ''U<sub>2</sub>'' meldet das Modellierungswerkzeug BerkeleyMadonna ''Arc connection''. Eine Kreisverbindung mit reinen Wirkpfeilen (Arcs) ist nicht zulässig, weil eine solche algebraische Schleife (algebraic loop) keine Wirkkette mehr darstellt, entlang derer das Programm die Aufgabe lösen kann. Mathematisch betrachtet bildet eine algebraische Schleife ein Gleichungssystem, das hier von Hand gelöst werden muss
			*Knotensatz (Bilanz): <math>I_1 = I_2 + I_L</math>
			*Addition der Spannungen: <math>U_0 = U_1 + U_2</math>
			*Ohmsches Gesetz 1: <math>U_1 = R_1 I_1</math>
			*Ohmsches Gesetz 2: <math>U_2 = R_2 I_2</math>
			Löst man dieses Gleichungssystem nach der gesuchten Grösse ''U<sub>2</sub>'' mit den Eingangsgrössen ''U<sub>0</sub>'' und ''I<sub>L</sub>''auf, erhält man <math>U_2 = \frac {U_0 - R_1I_L}{1 + \frac {R_1}{R_2}}</math>

	==Simulation==		==Simulation==

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2006, 10:14 Uhr
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	==Systemmodell==		==Systemmodell==
	[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]		[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit algebraischer Schleife]]
	Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Ladungsspeicher vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität(''L'')([[Lineare passive Zweipole]]):		Die [[Systemdiagramm\|systemdynamische Modellierung]] geht von der Bilanz einer [[Primärgrösse\|mengenartigen Grösse]] aus. Weil in diesem System nur Ströme fliessen und kein Ladungsspeicher vorhanden ist, modellieren wir zuerst die Induktivität(''L'') ([[Lineare passive Zweipole]]):
	*Die Spannung über dem Widerstand (''U<sub>2</sub>'') ist gleichzeitig der Antrieb (''U<sub>L</sub>'') für die Änderungsrate der Stromstärke ~~durch~~ ~~die~~ Induktivität(''U<sub>2</sub> = L dI/dt'')		*Die Spannung über dem Widerstand (''U<sub>2</sub>'') ist gleichzeitig der Antrieb (''U<sub>L</sub>'') für die Änderungsrate der Stromstärke bei der Induktivität (''U<sub>L</sub> = L dI<sub>L</sub>/dt'')
	*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'' = ''U<sub>L</sub>'' ) ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')		*die Spannung über der Induktivität und dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'' = ''U<sub>L</sub>'' ) ist gleich Stromstärke ''I<sub>2</sub>'' mal zugehöriger Widerstand (''R<sub>2</sub>'')
	*die Stromstärke durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') minus die Stärke des durch die Spule fliessenden Stromes (''I<sub>L</sub>'').		*die Stromstärke durch Widerstand 2 (''I<sub>2</sub>'') ist gleich Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') minus die Stärke des durch die Spule fliessenden Stromes (''I<sub>L</sub>'').
	*die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist gleich der Differenz der angelegten Spannung (''U<sub>0</sub>'') und der Spannung über dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') dividiert durch den Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'').		*die Stromstärke durch Widerstand 1 (''I<sub>1</sub>'') ist gleich der Differenz der angelegten Spannung (''U<sub>0</sub>'') und der Spannung über dem Widerstand 2 (''U<sub>2</sub>'') dividiert durch den Widerstand 1 (''R<sub>1</sub>'').

	Bei der Modellierung der Beziehung ''U<sub>1</sub>'' = ''U<sub>0</sub>'' - ''U<sub>L</sub>'' meldet das Modellierungswerkzeug BerkeleyMadonna ''Arc connection''. Eine Kreisverbindung mit reinen Wirkpfeilen (Arcs) ist nicht zulässig, weil eine solche algebraische Schleife (algebraic loop) keine Wirkkette mehr darstellt, entlang derer das Programm ~~die~~ ~~Aufgabe~~ ~~lösen~~ kann. Mathematisch betrachtet bildet eine algebraische Schleife ein Gleichungssystem, das hier von Hand ~~gelöst~~ ~~werden~~ ~~muss~~		Bei der Modellierung der Beziehung ''U<sub>1</sub>'' = ''U<sub>0</sub>'' - ''U<sub>L</sub>'' meldet das Modellierungswerkzeug BerkeleyMadonna ''Arc connection''. Eine Kreisverbindung mit reinen Wirkpfeilen (Arcs) ist nicht zulässig, weil eine solche algebraische Schleife (algebraic loop) keine Wirkkette mehr darstellt, entlang derer das Programm das Modell integrieren kann. Mathematisch betrachtet bildet eine algebraische Schleife ein Gleichungssystem, das hier von Hand zu lösen ist
			[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD2.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit gelöster Schleife]]
	*Knotensatz (Bilanz): <math>I_1 = I_2 + I_L</math>		*Knotensatz (Bilanz): <math>I_1 = I_2 + I_L</math>
	*Addition der Spannungen: <math>U_0 = U_1 + U_2</math>		*Addition der Spannungen: <math>U_0 = U_1 + U_2</math>
Zeile 16:		Zeile 17:
	*Ohmsches Gesetz 2: <math>U_2 = R_2 I_2</math>		*Ohmsches Gesetz 2: <math>U_2 = R_2 I_2</math>

	~~[[Bild:Spannungsteiler_mit_Induktivitaet_SD2.jpg\|thumb\|Systemdiagramm mit gelöster Schleife]]~~ Löst man dieses Gleichungssystem nach der gesuchten Grösse ''U<sub>2</sub>'' mit den Eingangsgrössen ''U<sub>0</sub>'' und ''I<sub>L</sub>''auf, erhält man		Löst man dieses Gleichungssystem nach der gesuchten Grösse ''U<sub>2</sub>'' mit den Eingangsgrössen ''U<sub>0</sub>'' und ''I<sub>L</sub>'' auf, erhält man

	<math>U_L = U_2 = \frac {U_0 - R_1I_L}{1 + \frac {R_1}{R_2}}</math>		<math>U_L = U_2 = \frac {U_0 - R_1I_L}{1 + \frac {R_1}{R_2}}</math>
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	Diese Gleichung liefert die Verbindung zwischen der Stromstärke durch die Spule und der Spannung über der Spule. Die andern Grössen sind dann "rückwärts" zu berechnen.		Diese Gleichung liefert die Verbindung zwischen der Stromstärke durch die Spule und der Spannung über der Spule. Die andern Grössen sind dann "rückwärts" zu berechnen.

	Die Simulatoren ~~zur~~ höheren Programmmiersprache [[Modelica]] ~~sollten~~ in der Lage ~~sein~~, algebraische Schleifen automatisch zu lösen.		Die Simulatoren der höheren Programmmiersprache [[Modelica]] sind in der Lage, algebraische Schleifen automatisch zu lösen.

	==Simulation==		==Simulation==