Starrer Körper - Versionsgeschichte

Admin: /* Geometrie */

2008-01-02T16:47:22Z

Geometrie

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2008, 16:47 Uhr
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	Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen		Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen

	<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi+ \begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix}\sin\varphi</math>		:<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi+ \begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix}\sin\varphi</math>

	Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.		Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.

Admin: /* Energie */

2008-01-02T16:46:01Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2008, 16:46 Uhr
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	==Energie==		==Energie==
	Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse\|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen [[Potenzial]]en. So erhält man aus der Impulsbilanz		Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse\|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen [[Potenzial]]en. So erhält man aus der Impulsbilanz die folgende Beziehung

	:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \vec F_G \cdot \vec v = \dot {\vec p} \cdot \vec v</math>		:<math>\sum_{i}\vec F_i\cdot\vec v+\vec F_G\cdot\vec v=\dot{\vec p}\cdot\vec v</math>

	und aus der Drehimpulsbilanz		und aus der Drehimpulsbilanz den Ausdruck

	:<math>\sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \dot {\vec L}\cdot \vec \omega</math>		:<math>\sum_{j}\vec M_j\cdot\vec\omega+\sum_{i}(\vec r_i\times\vec F_i)\cdot\vec\omega=\dot{\vec L}\cdot\vec\omega</math>

	Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers		Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die [[Energiebilanz]] bezüglich des starren Körpers

	:<math>\sum_{i} (\vec F_i \cdot \vec v_i) + \sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega = \dot {\vec p} \cdot \vec v + \dot {\vec L}\cdot \vec \omega - \vec F_G \cdot \vec v </math>		:<math>\sum_{i}(\vec F_i\cdot\vec v_i)+\sum_{j}\vec M_j\cdot\vec\omega=\dot{\vec p}\cdot\vec v+\dot{\vec L}\cdot\vec \omega-\vec F_G\cdot\vec v </math>

	Man beachte, dass im ersten Term zwei Ausdrücke über eine [[Winkelgeschwindigkeit\|geometrische Beziehung]] zusammengefasst worden sind		Man beachte, dass im ersten Term zwei Ausdrücke über eine [[Winkelgeschwindigkeit\|geometrische Beziehung]] zusammengefasst worden sind

	:<math>\vec F_i \cdot \vec v + (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \vec F_i \cdot \vec v_i</math>		:<math>\vec F_i\cdot\vec v+(\vec r_i\times\vec F_i)\cdot\vec\omega=\vec F_i\cdot\vec v_i</math>

	Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente ([[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energieströme]]), rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der [[Gravitationsfeld\|Gravitationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie (potentielle Energie) bezeichnet. Einer [[Drehimpulsquelle]]n darf somit kein Energiestrom zugeordnet werden, weil dieser Beitrag im zugeordneten Energie des Impulsstromes steckt (der im Körper querfliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle und überträgt den entsprechenden Anteil seiner Energie auf den Drehimpulsstrom).		Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente ([[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energieströme]]), rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der [[Gravitationsfeld\|Gravitationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie (potentielle Energie) bezeichnet. Einer [[Drehimpulsquelle]]n darf somit kein Energiestrom zugeordnet werden, weil dieser Beitrag im zugeordneten Energie des Impulsstromes steckt (der im Körper querfliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle und überträgt den entsprechenden Anteil seiner Energie auf den Drehimpulsstrom).
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	Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) bezüglich des starren Körpers nimmt damit folgende Gestalt an		Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) bezüglich des starren Körpers nimmt damit folgende Gestalt an

	:<math>\sum_i P(\vec F_i) + \sum_j P(\vec M_j) = \dot W_{kin} + \dot W_{rot} + \dot W_G</math>		:<math>\sum_i P(\vec F_i)+\sum_j P(\vec M_j)=\dot W_{kin}+\dot W_{rot}+\dot W_G</math>

	Integriert man die Leistungsbilanz über die Zeit auf, erhält man die Gleichung, die häufig auch als Energiebilanz bezeichnet wird		Integriert man die Leistungsbilanz über die Zeit auf, erhält man die Gleichung, die häufig auch als Energiebilanz bezeichnet wird

	:<math>\sum_i W(\vec F_i) + \sum_j W(\vec M_j) = \Delta W_{kin} + \Delta W_{rot} + \Delta W_G</math>		:<math>\sum_i W(\vec F_i)+\sum_j W(\vec M_j)=\Delta W_{kin}+\Delta W_{rot}+\Delta W_G</math>

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

Admin: /* Geometrie */

2008-01-02T16:40:07Z

Geometrie

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2008, 16:40 Uhr
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	==Geometrie==		==Geometrie==
	Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat ~~der~~ ~~Mechanik~~. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse\|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz\|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.		Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat eines mechanischen Modells. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse\|Zustandsgrössen]] [[Impuls]] und [[Drehimpuls]] ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz\|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.

	Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes wird der momentane Ort ~~desselben~~ durch eine Integration über die Zeit ermittelt ~~werden~~ (drei skalare Integrationen):		Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes wird der momentane [[Ort]] durch eine Integration über die Zeit ermittelt(drei skalare Integrationen):

	:<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>		:<math>\vec r_{MMP}=\vec r_{MMP0}+\int{\vec v_{MMP}dt}</math>

	Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''R<sub>ij</sub>'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden. Dazu definiert man aus der [[Winkelgeschwindigkeit]] einen Einheitsvektor '''''a''''' in Richtung der Drehachse		Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''R<sub>ij</sub>'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden. Dazu definiert man aus der [[Winkelgeschwindigkeit]] einen Einheitsvektor '''''a''''' in Richtung der Drehachse

	:<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>		:<math>\vec a=\frac{\vec \omega}{\omega}</math>

	und berechnet aus dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t''		und berechnet aus dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t''

	:<math>\varphi = \omega \Delta t</math>		:<math>\varphi=\omega\Delta t</math>

	Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen		Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen

	<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +		<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi+ \begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix}\sin\varphi</math>
	\begin{pmatrix} 1 - a_x^2 \ & -a_x a_y \ & -a_x a_z \\ -a_y a_x \ & 1 - a_y^2 \ & -a_y a_z \\ -a_z a_x \ & -a_z a_y \ & 1 - a_z^2 \end{pmatrix}\cos \varphi +
	\begin{pmatrix} 0 \ & -a_z \ & a_y \\ a_z \ & 0 \ & -a_x \\ -a_y \ & a_x \ & 0 \end{pmatrix} \sin \varphi</math>

	Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.		Die totale Drehung ist dann gleich dem Produkt aus allen Teildrehungen. Diese Berechnungsmethode ist aufwändig und numerisch nicht sehr stabil.

Admin: /* Kapazitivgesetze */

2008-01-02T16:33:44Z

Kapazitivgesetze

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2008, 16:33 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	Die träge Masse wirkt als Impulskapazität		Die träge Masse wirkt als Impulskapazität

	:<math>\begin{pmatrix} p_x \\ P_y \\ p_z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} p_x \\ P_y \\ p_z \end{pmatrix}=m\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}</math>

	Die Kapazität bezüglich des Drehimpulses wird durch das [[Massenträgheitsmoment]] beschrieben		Die Kapazität bezüglich des Drehimpulses wird durch das [[Massenträgheitsmoment]] beschrieben

	:<math>\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\ J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\ J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}</math>		:<math>\begin{pmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} J_{xx} & J_{xy} & J_{xz} \\ J_{yx} & J_{yy} & J_{yz} \\ J_{zx} & J_{zy} & J_{zz} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}</math>

	Weil das [[Massenträgheitsmoment]] ein (symmetrischer) [[Tensor]] ist, hängt jede Drehimpulskomponente von jeder der drei Winkelgeschwindigkeiten ab. Die hier gegeben Darstellung des Massenträgheitsmomentes in Komponenten bezüglich des Weltsystems verändert sich mit der Bewegung des Körpers.		Weil das [[Massenträgheitsmoment]] ein (symmetrischer) [[Tensor]] ist, hängt jede Drehimpulskomponente von jeder der drei Winkelgeschwindigkeiten ab. Die hier gegeben Darstellung des Massenträgheitsmomentes in Komponenten bezüglich des Weltsystems verändert sich mit der Bewegung des Körpers.

Admin: /* Bilanzgleichungen */

2008-01-02T16:32:32Z

Bilanzgleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2008, 16:32 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	==Bilanzgleichungen==		==Bilanzgleichungen==
	Der ~~quellenartige~~ oder volumenmässige ~~Impuls-~~ ~~und~~ ~~Drehimpulsaustausch mit dem~~ [[Gravitationsfeld]] kann mittels der Schwer- oder Gewichtskraft, die im Schwerpunkt "angreift", beschrieben werden. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen. Die durch die Oberfläche des starren Körpes tretenden Impulsströme nennt man ebenfalls [[Kraft\|Kräfte]]. Damit nimmt die [[Impulsbilanz]] bezüglich des Systems ''starrer Körper'' die folgende Form an		Der [[quellenartig]]e oder volumenmässige Impulsaustausch über das [[Gravitationsfeld]] kann mittels der Schwer- oder Gewichtskraft, die im Schwerpunkt "angreift", beschrieben werden. Im homogenen Gravitationsfeld fällt der Schwerpunkt mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen. Die durch die Oberfläche des starren Körpes tretenden Impulsströme nennt man ebenfalls [[Kraft\|Kräfte]]. Damit nimmt die [[Impulsbilanz]] bezüglich des Systems ''starrer Körper'' die folgende Form an

	:<math>\sum_{i} \vec F_i + m \vec g = \dot {\vec p}</math>		:<math>\sum_{i}\vec F_i+m\vec g=\dot{\vec p}</math>

	Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.		Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.
Zeile 21:		Zeile 21:
	Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmomente zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen		Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmomente zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen

	:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>		:<math>\sum_{j}\vec M_j+\sum_{i}(\vec r_i\times\vec F_i)=\dot{\vec L}</math>

	Die Vektoren '''''r'''<sub>i</sub>'' zeigen vom Massenmittelpunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. Wie bei der Impulsbilanz ergibt die Summe über die Stärke aller Drehimpulsströme plus die durch querfliessende Impulsströme erzeugten Quellenstärken die Änderungsrate des Drehimpulses.		Die Vektoren '''''r'''<sub>i</sub>'' zeigen vom Massenmittelpunkt zur Mitte der Kraftangriffsfläche. Wie bei der Impulsbilanz ergibt die Summe über die Stärke aller Drehimpulsströme plus die durch querfliessende Impulsströme erzeugten Quellenstärken die Änderungsrate des Drehimpulses.

Markus Steiner: /* Bilanzgleichungen */

2007-07-02T12:51:25Z

Bilanzgleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 12:51 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.		Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.

	Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten ~~Drehmonente~~ zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen		Die [[Drehimpulsbilanz]] fasst nun die reinen und die über das [[Hebelgesetz]] den Kräften zugeordneten Drehmomente zur Änderungsrate des Drehimpulses zusammen

	:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>		:<math>\sum_{j} \vec M_j + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i) = \dot {\vec L}</math>

Markus Steiner: /* Bilanzgleichungen */

2007-07-02T12:47:19Z

Bilanzgleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 12:47 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.		Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.

	Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und ~~Köprer~~ - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht\|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).		Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Körper - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht\|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).

	Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.		Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.

Markus Steiner: /* Bilanzgleichungen */

2007-07-02T12:46:30Z

Bilanzgleichungen

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2007, 12:46 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.		Die Summe über die Stärke aller Impulsströme plus die gravititative Quellenstärke ist gleich der Änderungsrate des Impulses.

	Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls ~~über~~ über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Köprer - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht\|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).		Der starre Körper kann den [[Drehimpuls]] ebenfalls über Ströme oder Quellen austauschen. Das homogene Gravitationsfeld erzeugt im starren Körper netto keine [[Drehimpulsquelle]]n. Deshalb darf der ganze Impuls- und Drehimpulsaustausch zwischen Gravitationsfeld und Köprer - wie oben erwähnt - durch die Wirkung einer einziger [[Gewicht\|Gewichts]]- oder Schwerkraft (einer punktförmigen Impulsquelle im Schwerpunkt) ersetzt werden. Weist der starre Körper zusätzlich noch die Eigenschaften elektrisches oder magnetisches [[Dipolmoment]] auf, bildet sich bezüglich des elektromagnetischen Feldes eine Drehimpulsquelle (vergl. [[Larmorpräzession]]).

	Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.		Die Stärken von Drehimpulsströmen, die über einzelne Bauteile zugeführt werden, und die Stärken von Drehimpulsquellen, die durch das [[elektromagnetisches Feld\|elektromagnetische Feld]] bedingt sind, nennt man auch '''reine''' Drehmomente '''''M'''''. Reine Drehmomente werden oft als [[Kräftepaar]] (Impulsein- und austritt) dargestellt. Die durch quer fliessende Impulsströme erzeugten Drehimpulsquellen werden den Impulsströmen zugeordnet und heissen deshalb [[Drehmoment]] einer [[Kraft]]. Als Bezugspunkt für die Zuordnung des Drehmomentes zu einer Kraft muss in jedem Fall der Massenmittelpunkt des starren Körpers genommen werden. Jede Kraft muss demnach ein Drehmoment zugeordnet werden, das gemäss [[Hebelgesetz]] gleich Kraft mal Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es von der [[Wirklinie]] der Kraft ist.

Admin: /* Energie */

2007-05-26T10:07:56Z

Energie

← Nächstältere Version		Version vom 26. Mai 2007, 10:07 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	==Energie==		==Energie==
	Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse\|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen ~~Potenzialen~~. So erhält man ~~für~~ ~~die~~ Impulsbilanz		Die Energiebilanz gewinnt man aus den Bilanzgleichungen der [[Primärgrösse\|Bewegungsmengen]] durch Multiplikation mit den zugehörigen [[Potenzial]]en. So erhält man aus der Impulsbilanz

	:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \vec F_G \cdot \vec v = \dot {\vec p} \cdot \vec v</math>		:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \vec F_G \cdot \vec v = \dot {\vec p} \cdot \vec v</math>

	und ~~für~~ ~~die~~ Drehimpulsbilanz		und aus der Drehimpulsbilanz

	:<math>\sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \dot {\vec L}\cdot \vec \omega</math>		:<math>\sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega + \sum_{i} (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \dot {\vec L}\cdot \vec \omega</math>

⚫	~~Die~~ ~~ganz~~ ~~links~~ ~~stehenden~~ ~~Terme~~ ~~beschreiben~~ ~~die~~ [[zugeordneter Energiestrom\|~~zugeordneten~~ Energieströme]], ~~die Terme~~ rechts ~~vom Gleichheitszeichen stehen für~~ die ~~Änderungsrate~~ der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]] ~~resp.~~ der [[Rotationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie ~~gesehen~~. ~~Den~~ [[Drehimpulsquelle]]n darf kein Energiestrom zugeordnet werden, weil ~~diese~~ ~~Beiträge~~ ~~schon~~ ~~bei~~ ~~den~~ ~~Kräften~~ in der ~~Impulsbilanz~~ ~~berücksichtigt~~ ~~worden~~ ~~sind~~.

	Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers		Fasst man die beiden Energiebilanzen zusammen und subtrahiert die Leistung der Gewichtskraft auf die rechte Seite, erhält man die Energiebilanz bezüglich des starren Körpers

	:<math>\sum_{i} \vec F_i \cdot \vec v + \sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega = \dot {\vec p} \cdot \vec v + \dot {\vec L}\cdot \vec \omega - \vec F_G \cdot \vec v </math>		:<math>\sum_{i} (\vec F_i \cdot \vec v_i) + \sum_{j} \vec M_j \cdot \vec \omega = \dot {\vec p} \cdot \vec v + \dot {\vec L}\cdot \vec \omega - \vec F_G \cdot \vec v </math>

			Man beachte, dass im ersten Term zwei Ausdrücke über eine [[Winkelgeschwindigkeit\|geometrische Beziehung]] zusammengefasst worden sind
	Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente, rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der Gravitationsenergie

			:<math>\vec F_i \cdot \vec v + (\vec r_i \times \vec F_i)\cdot \vec \omega = \vec F_i \cdot \vec v_i</math>

		⚫	Links stehen nun die Leistungen aller Oberflächenkräfte und aller reinen Drehmomente ([[zugeordneter Energiestrom\|zugeordnete Energieströme]]), rechts die Änderungsraten der [[kinetische Energie\|kinetischen Energie]], der [[Rotationsenergie]] und der [[Gravitationsfeld\|Gravitationsenergie]]. Die Energiestromstärke der [[Impulsquelle]] (Gewichtskraft) wird als (negative) Änderungsrate der Gravitationsenergie (potentielle Energie) bezeichnet. Einer [[Drehimpulsquelle]]n darf somit kein Energiestrom zugeordnet werden, weil dieser Beitrag im zugeordneten Energie des Impulsstromes steckt (der im Körper querfliessende Impulsstrom erzeugt eine Drehimpulsquelle und überträgt den entsprechenden Anteil seiner Energie auf den Drehimpulsstrom).

			Die Energiebilanz (Leistungsbilanz) bezüglich des starren Körpers nimmt damit folgende Gestalt an

	:<math>\sum_i P(\vec F_i) + \sum_j P(\vec M_j) = \dot W_{kin} + \dot W_{rot} + \dot W_G</math>		:<math>\sum_i P(\vec F_i) + \sum_j P(\vec M_j) = \dot W_{kin} + \dot W_{rot} + \dot W_G</math>

			Integriert man die Leistungsbilanz über die Zeit auf, erhält man die Gleichung, die häufig auch als Energiebilanz bezeichnet wird

			:<math>\sum_i W(\vec F_i) + \sum_j W(\vec M_j) = \Delta W_{kin} + \Delta W_{rot} + \Delta W_G</math>

	[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]		[[Kategorie:Trans]] [[Kategorie:Rot]]

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2007-05-26T09:44:39Z

Geometrie

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	Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat der Mechanik. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse\|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz\|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.		Impuls- und Drehimpulsbilanz bilden das Rückgrat der Mechanik. Sind die dynamischen [[Zustandsgrösse\|Zustandsgrössen]] Impuls und Drehimpuls ermittelt, können mit Hilfe des [[kapazitives Gesetz\|Kapazitivgesetzes]] die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit berechnet werden.

	Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes ~~kann~~ der momentane Ort desselben durch eine Integration über die Zeit (drei skalare Integrationen) ~~ermittelt werden~~:		Aus der Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes wird der momentane Ort desselben durch eine Integration über die Zeit ermittelt werden (drei skalare Integrationen):

	:<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>		:<math>\vec r_{MMP} = \vec r_{MMP0} + \int {\vec v_{MMP} dt}</math>

	Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''R<sub>ij</sub>'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden, ~~indem~~ ~~man~~ ~~die~~ aus der ~~Drehimpulsbilanz ermittelte~~ Winkelgeschwindigkeit einen Einheitsvektor '''''a'''' in Richtung der Drehachse ~~bildet,~~		Die [[Drehung]] des starren Körpers wird mit Hilfe der Drehmatrix ''R<sub>ij</sub>'' beschrieben. Diese Drehmatrix kann fortlaufend aus der Winkelgeschwindigkeit gebildet werden. Dazu definiert man aus der [[Winkelgeschwindigkeit]] einen Einheitsvektor '''''a''''' in Richtung der Drehachse

	:<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>		:<math>\vec a = \frac {\vec \omega}{\omega}</math>

	den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t'' ~~berechnet~~		und berechnet aus dem Betrag der Winkelgeschwindigkeit den Drehwinkel ''φ'' durch Multiplikation mit dem Zeitschritt ''Δ t''

	:<math>\varphi = \omega \Delta t</math>		:<math>\varphi = \omega \Delta t</math>

	~~und mit~~ diesen beiden Grössen die ~~Drehung~~ im Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift ~~bestimmt~~		Aus diesen beiden Grössen lässt sich die Drehmatrize für den Zeitschritt ''Δ t'' gemäss folgender Vorschrift bestimmen

	<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +		<math>\begin{pmatrix} a_x^2 \ & a_x a_y \ & a_x a_z \\ a_y a_x \ & a_y^2 \ & a_y a_z \\ a_z a_x \ & a_z a_y \ & a_z^2 \end{pmatrix} +