Wasseruhr - Versionsgeschichte

Thomas Rüegg am 23. Februar 2012 um 14:48 Uhr

2012-02-23T14:48:11Z

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	#Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)?		#Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)?
	#Wie viel Wasser muss für einen vollen Tag eingefüllt werden?		#Wie viel Wasser muss für einen vollen Tag eingefüllt werden?

			'''[[Resultate zu Wasseruhr\|Resultate]]'''

	'''[[Lösung zu Wasseruhr\|Lösung]]'''		'''[[Lösung zu Wasseruhr\|Lösung]]'''

Thomas Rüegg am 18. Februar 2010 um 14:48 Uhr

2010-02-18T14:48:16Z

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	Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit ''c'', so gilt die [[Kontinuitätsgleichung]] für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius ''r'') und Ausflussloch (Radisu ''r<sub>0</sub>'')		Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit ''c'', so gilt die [[Kontinuitätsgleichung]] für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius ''r'') und Ausflussloch (Radisu ''r<sub>0</sub>'')

	:<math>\pi r^2 c=\pi r_0^2 v</math>		:<math>\pi r^2 c=\pi r_0^2 v, \quad v = c \cdot (r/r_0)^2</math>

	Die Geschwindigkeit ''v'' berechnet sich nach dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]]		Die Geschwindigkeit ''v'' berechnet sich nach dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]]

Thomas Rüegg am 18. Februar 2010 um 14:07 Uhr

2010-02-18T14:07:37Z

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	:<math>v=\sqrt{c^2+2gh}</math>		:<math>v=\sqrt{c^2+2gh}</math>

	Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach ''h'' aufgelöst ergibt		Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach ''h'' aufgelöst ergibt das

	:<math> h(r) = \frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>		:<math> h(r) = \frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>

Thomas Rüegg am 18. Februar 2010 um 14:06 Uhr

2010-02-18T14:06:46Z

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	Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach ''h'' aufgelöst ergibt		Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach ''h'' aufgelöst ergibt

	:<math>h=\frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>		:<math> h(r) = \frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>


	Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math> k = \frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der einfachen Formel von Torricelli.		Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math> k = \frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der einfachen Formel von Torricelli.

Thomas Rüegg am 18. Februar 2010 um 13:58 Uhr

2010-02-18T13:58:39Z

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	Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. '''Wasseruhren''' sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr. (Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra" (Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer ~~Öffnungen~~ dicht über dem Boden. Die Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen.		Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. '''Wasseruhren''' sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr. (Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra" (Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer Öffnung dicht über dem Boden. Die Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen.

	[[Bild:Wasseruhr.jpg\|thumb\|Wasseruhr des Amenophis III]] Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis III. aus der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende ihrer Laufzeit erheblich nach.		[[Bild:Wasseruhr.jpg\|thumb\|Wasseruhr des Amenophis III]] Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis III. aus der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende ihrer Laufzeit erheblich nach.
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	:<math>v=\sqrt{2gh}</math>		:<math>v=\sqrt{2gh}</math>

	Löst man nun die ~~Kontinuitätsgleichung~~ nach der Höhe auf, erhält man		Löst man nun die Torricelligleichung nach der Höhe auf, erhält man

	:<math>h=\frac {c^2}{2g}\left(\frac{r}{r_0}\right)^4</math>		:<math>h = \frac {v^2}{2g} = \frac {c^2}{2g}\left(\frac{r}{r_0}\right)^4</math>

	Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, d.h. also ein Gefäss, dessen Wände nicht konisch sondern nach dieser Formel gekrümmt sind, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem [[Gesetz von Bernoulli]] bei		Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, d.h. also ein Gefäss, dessen Wände nicht konisch sondern nach dieser Formel gekrümmt sind, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem [[Gesetz von Bernoulli]] bei
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	:<math>h=\frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>		:<math>h=\frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>

	Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math>k=\frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der ~~vereinfachten~~ Formel von Torricelli.		Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math> k = \frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der einfachen Formel von Torricelli.

	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==

Thomas Rüegg am 3. März 2009 um 09:35 Uhr

2009-03-03T09:35:08Z

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	:<math>h=\frac {c^2}{2g}\left(\frac{r}{r_0}\right)^4</math>		:<math>h=\frac {c^2}{2g}\left(\frac{r}{r_0}\right)^4</math>

	Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem [[Gesetz von Bernoulli]] bei		Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, d.h. also ein Gefäss, dessen Wände nicht konisch sondern nach dieser Formel gekrümmt sind, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem [[Gesetz von Bernoulli]] bei

	:Wasserspiegel: <math>p_1+\rho gh_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=p_L+\rho gh+\frac{\rho}{2} c^2</math>		:Wasserspiegel: <math>p_1+\rho gh_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=p_L+\rho gh+\frac{\rho}{2} c^2</math>

Admin am 1. März 2008 um 06:34 Uhr

2008-03-01T06:34:46Z

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	:<math>h=\frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>		:<math>h=\frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>

	Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math>k = \frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der vereinfachten Formel von Torricelli.		Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math>k=\frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der vereinfachten Formel von Torricelli.

	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==

Admin am 22. Februar 2008 um 10:35 Uhr

2008-02-22T10:35:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Februar 2008, 10:35 Uhr
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	Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit ''c'', so gilt die [[Kontinuitätsgleichung]] für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius ''r'') und Ausflussloch (Radisu ''r<sub>0</sub>'')		Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit ''c'', so gilt die [[Kontinuitätsgleichung]] für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius ''r'') und Ausflussloch (Radisu ''r<sub>0</sub>'')

	:<math>\pi r^2 c = \pi r_0^2 v</math>		:<math>\pi r^2 c=\pi r_0^2 v</math>

	Die Geschwindigkeit ''v'' berechnet sich nach dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]]		Die Geschwindigkeit ''v'' berechnet sich nach dem [[Ausflussgesetz von Torricelli]]

	:<math>v = \sqrt{2gh}</math>		:<math>v=\sqrt{2gh}</math>

	Löst man nun die Kontinuitätsgleichung nach der Höhe auf, erhält man		Löst man nun die Kontinuitätsgleichung nach der Höhe auf, erhält man

	:<math>h = \frac {c^2}{2g} \left( \frac {r}{r_0}\right)^4 </math>		:<math>h=\frac {c^2}{2g}\left(\frac{r}{r_0}\right)^4</math>

	Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem [[Gesetz von Bernoulli]] bei		Baut man eine Wasseruhr nach dieser Formel, geht sie im letzten Bereich etwas vor. Der Grund dafür liegt bei der Formulierung des Ausflussgesetzes, denn die Formel von Torricelli vernachlässigt die Geschwindigkeit des Wasserspiegels. Um diesen Fehler zu beheben, ziehen wir die vollständige Energiebilanz nach dem [[Gesetz von Bernoulli]] bei

	:Wasserspiegel: <math>p_1 + \rho ~~g h_1~~ + \frac {\rho}{2} v_1^2 = p_L + \rho ~~g h~~ + \frac {\rho}{2} c^2</math>		:Wasserspiegel: <math>p_1+\rho gh_1+\frac{\rho}{2}v_1^2=p_L+\rho gh+\frac{\rho}{2} c^2</math>

	:Ausfluss: <math>p_2 + \rho ~~g h_2~~ + \frac {\rho}{2} v_2^2 = p_L + \frac {\rho}{2} v^2</math>		:Ausfluss: <math>p_2+\rho gh_2+\frac{\rho}{2}v_2^2=p_L+\frac{\rho}{2} v^2</math>

	Setzt man die beiden Bernoulli-Terme gleich und löst nach v auf, erhält man eine gegenüber Torricelli erweiterte Formel für den Ausfluss		Setzt man die beiden Bernoulli-Terme gleich und löst nach v auf, erhält man eine gegenüber Torricelli erweiterte Formel für den Ausfluss

	:<math>v = \sqrt{c^2 + 2gh}</math>		:<math>v=\sqrt{c^2+2gh}</math>

	Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach ''h'' aufgelöst ergibt		Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung und nach ''h'' aufgelöst ergibt

	:<math>h = \frac {c^2}{2g} \left[ \left(\frac {r}{r_0}\right)^4 - 1\right]</math>		:<math>h=\frac{c^2}{2g}\left[\left(\frac{r}{r_0}\right)^4-1\right]</math>

	Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math>k = \frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der vereinfachten Formel von Torricelli.		Die etwas genauere Lösung liefert wie die erste eine Parabel 4. Ordnung. Nur liegt der Scheitel der Parabel um die Systemkonstante <math>k = \frac {c^2}{2g}</math> tiefer als bei der Lösung mit der vereinfachten Formel von Torricelli.

Admin am 14. März 2007 um 19:28 Uhr

2007-03-14T19:28:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 19:28 Uhr
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	Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. '''Wasseruhren''' sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr. (Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra" (Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer Öffnungen dicht über dem Boden. Die Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen.		Das Bedürfnis, die Zeit auch bei bedecktem Himmel oder nachts zu erfahren, war die eigentliche Triebkraft zur Erfindung künstlicher Uhren. '''Wasseruhren''' sind uns aus dem Jahr 3000 v.Chr. (Ägypten) sowie 600 v.Chr. (Babylon) bekannt. Die Wasseruhr, von den Griechen "Klepsydra" (Wasserdieb) genannt, gab es nicht nur als Auslaufuhr, sondern auch als Einlaufuhr. Die älteste uns erhaltene Wasseruhr stammt aus dem 15. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung. Die Uhr bestand aus einem konischen Gefäß mit Marken an der Innenseite und einer Öffnungen dicht über dem Boden. Die Auslaufuhr wurde mit Wasser gefüllt; die Markierungen erlaubten am Absinken des Wasserspiegels die seit dem Einfüllen verstrichene Zeit festzustellen.

	Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis ~~111~~. aus der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende ihrer Laufzeit erheblich nach.		[[Bild:Wasseruhr.jpg\|thumb\|Wasseruhr des Amenophis III]] Eine Auslaufwasseruhr des ägyptischen Königs Amenophis III. aus der Zeit um 1400 v.Chr hat die Form eines stumpfen Kegels, wobei der obere Durchmesser des Gefäßes doppelt so groß war wie der untere. Diese Form soll bewirken, dass der Wasserspiegel gleichmässig absinkt. Die im Inneren an der Gefäßwand angebrachten Stundenmarken haben daher gleichen Abstand. Ein gleichmäßiges Absinken des Wasserspiegels konnte mit dieser Uhr nur unvollkommen erreicht werden, die Uhr geht am Ende ihrer Laufzeit erheblich nach.

	Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit ''c'', so gilt die [[Kontinuitätsgleichung]] für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius ''r'') und Ausflussloch (Radisu ''r<sub>0</sub>'')		Um eine ideale Wasseruhr zu bauen, muss man den Radius des Wasserbehälters mit der Höhe so erweitern, dass die Höhenänderungsrate oder Absinkgeschwindigkeit des Wasserspiegels konstant bleibt. Bezeichnet man die gegebene Absinkgeschwindigkeit mit ''c'', so gilt die [[Kontinuitätsgleichung]] für das Gebiet zwischen Wasserspiegel (aktueller Radius ''r'') und Ausflussloch (Radisu ''r<sub>0</sub>'')

Admin: /* Aufgabenstellung */

2007-03-14T19:20:29Z

Aufgabenstellung

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2007, 19:20 Uhr
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	==Aufgabenstellung==		==Aufgabenstellung==
	Eine Wasseruhr soll 24 Stunden laufen, bis sie leer ist. Die Ausflussöffnung, die sich auf der Symmetrieachse des Gefässes befindet, hat einen Durchmesser von 5 mm (~~Radisu~~ 2.5 mm). Anfänglich liegt der Wasserspiegel 864 mm über der Abflussöffnung.		Eine Wasseruhr soll 24 Stunden laufen, bis sie leer ist. Die Ausflussöffnung, die sich auf der Symmetrieachse des Gefässes befindet, hat einen Durchmesser von 5 mm (Radius 2.5 mm). Anfänglich liegt der Wasserspiegel 864 mm über der Abflussöffnung.
	#Welchen Durchmesser weist der Wasserspiegel zu Beginn der Zeitmessung auf?		#Welchen Durchmesser weist der Wasserspiegel zu Beginn der Zeitmessung auf?
	#Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)?		#Wie gross ist der Durchmesser bei einem Füllstand von 432 mm (12 Uhr)?
	#Wie viel Wasser muss für einen ~~Tag~~ ~~Messzeit~~ eingefüllt werden?		#Wie viel Wasser muss für einen vollen Tag eingefüllt werden?

	'''[[Lösung zu Wasseruhr\|Lösung]]'''		'''[[Lösung zu Wasseruhr\|Lösung]]'''