Lösung zu Badewanne: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 29. März 2011, 12:51 Uhr

Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der Enthalpie des Wassers [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
Weil W₃ = W₄ = ΔH ist, ist die von der Wärmepumpe bei 50°C abgegebene Entropie S₃ gleich [math]S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}[/math] = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S₁ = S₂ = S₃ um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W_WP im Umfang von [math]W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1[/math] = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh.
Die Entropie des Badewassers nimmt um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S₂, welche diese Entropiezunahme ΔS bewirkte, ist gleich S₁. Diese trägt eine Wärmeenergie von [math]W_1 = T_1 S_1[/math] = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W₂ aufbringen. Deshalb wird W_WP = W₂ - W₁ = ΔH - W₁ = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh).
Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um [math]\Delta H = m c \Delta T[/math] = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um [math]\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}[/math] = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S₁ ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt [math]W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S[/math]) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz W_KM = W₁ - W₂ = - ΔH - W₂ = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).

Aufgabe

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 #Die zuzuführende Wärmeenergie ist gleich der Änderung der [[Enthalpie]] des Wassers <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * 25 K = 18.86 MJ. Das sind 5.2 kWh elektrische Energie, 0.46 Liter Heizöl oder 0.0028 Ster Holz.
-#Die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abegebene Entropie ist gleich <math>S = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 58.4 kJ/K. Um diese Entropie um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe Energie im Umfang von <math>W = \Delta T S</math> = 2.9 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne.png]]
+#Weil W<sub>3</sub> = W<sub>4</sub> = &Delta;H ist, ist die von der [[Wärmepumpe]] bei 50°C abgegebene Entropie S<sub>3</sub> gleich <math>S_3 = \frac {W_3}{T_2} = \frac {\Delta H}{T_2}</math> = 18.86 MJ / 323 K = 58.4 kJ/K. Um die Entropie S<sub>1</sub> = S<sub>2</sub> = S<sub>3</sub> um 50 K hinauf zu pumpen, benötigt die Wärmepumpe die Energie W<sub>WP</sub> im Umfang von <math>W_{WP} = (T_2 - T_1) \cdot S_1</math> = 50 K * 58.4 kJ/K = 2.92 MJ oder 0.81 kWh. [[Bild:Badewanne2.png]]
-#Die [[Entropie]] des Wassers nimmt um <math>S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = 62.8 kJ/K zu. Diese Entropie trägt eine Wärmeenergie von <math>Q = T_U S</math> = 17.8 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zur Enthalpieänderung, also ''W'' = ''&Delta; H - Q'' = 1.09 MJ (0.3 kWh) aufbringen.
+#Die [[Entropie]] des Badewassers nimmt um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{2e}}{T_{2a}}}</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * ln(313 K / 288 K) = 62.8 kJ/K zu. Die ausgetauschte Entropiemenge S<sub>2</sub>, welche diese Entropiezunahme &Delta;S bewirkte, ist gleich S<sub>1</sub>. Diese trägt eine Wärmeenergie von <math>W_1 = T_1 S_1</math> = 17.77 MJ aus dem Grundwasser in die Wärmepumpe hinein. Die Pumpe muss dann noch die Differenz zu W<sub>2</sub> aufbringen. Deshalb wird W<sub>WP</sub> = W<sub>2</sub> - W<sub>1</sub> = &Delta;H - W<sub>1</sub> = 18.86 MJ - 17.77 MJ = 1.09 MJ (0.3 kWh). [[Bild:Badewanne3.png]]
-#Die Enthalpie des Wassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_e}{T_a}}</math> = -515 kJ/K. Diese Entropie nimmt <math>Q = T_U S</math> = 14.6 MJ Energie in Form von Wärme an die Umwelt mit. Die Differenz zwischen der Abnahme der Enthalpie und der Abwärme ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 51 kJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm).
+#Die Enthalpie des Badewassers ändert sich um <math>\Delta H = m c \Delta T</math> = 180 kg * 4.19kJ/(kgK) * (- 20 K) = -15.1 MJ und die Entropie um <math>\Delta S = m c \ln{\frac{T_{1e}}{T_{1a}}}</math> = 180 kg * 4.19kJ/kg/K * ln(283 K / 303 K) = - 51.5 kJ/K. Die ausgetauschte Entropie S<sub>1</sub> ist gleich dieser Entropieänderung. Weil reversibel, ist S1 = S2. S2 trägt <math>W2 = T_2 \cdot S_2 = T_2 \cdot (- \Delta S</math>) = 283 K * 51.5 kJ/K = 14.6 MJ als thermische Energie in das Grundwasser. Die Differenz W<sub>KM</sub> = W<sub>1</sub> - W<sub>2</sub> = - &Delta;H - W<sub>2</sub> = 15.1 MJ - 14.6 MJ = 0.5 MJ ist nutzbar. Eine Wärmekraftmaschine könnte also höchstens 0.5 MJ oder 0.14 kWh Energie zurückgewinnen. Also darf man den Stöpsel beruhigt herausziehen (bei 30°C ist das Baden auch nicht mehr so angenehm). [[Bild:Badewanne4.png]]
 '''[[Badewanne|Aufgabe]]'''