Kapazitives Gesetz: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 4. August 2006, 05:00 Uhr

Begriff

Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):

φ_M = f(M) oder M = f^-1(φ_M)

Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:

Δφ_M = ΔM / C_M oder ΔM = C_M Δφ_M

Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:

dφ_M = dM / C_M(φ_M) oder dM = C_M(φ_M) dφ_M

Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände Füllzustände):

M = ∫ dM = ∫ C_M(φ_M) dφ

Beispiele

Gebiet	Element	Kapazität	Einheit	Bemerkung
Hydrodynamik	zylindrisches Gefäss	A/(ρg)	m³/Pa = m⁴s²/kg	A(h) für beliebige Gefässe
Hydrodynamik	Federspeicher	A²/D	m³/Pa = m⁴s²/kg	D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
Elektrodynamik	Plattenkondensator	ε₀A/d	Farad (F)	d Plattenabstand
Translationsmechanik	starrer Körper	träge Masse m	Kilogramm (kg)	alle drei Komponenten
Rotationsmechanik	starrer Körper	Massenträgheit J	kg m²	symmetrischer Tensor
Thermodynamik	homogener Stoff	mc_S	J/K²	c_S=c_W/T

Energie

Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom und die Mengenbilanz:

dW/dt = ∑ I_W = ∑ (φ_M I_M)= φ_M ∑ I_M = φ_M dM/dt = C_M(φ_M) φ_M dφ_M/dt

ΔW = ∫ dW = ∫ φ_M dM = ∫ C_M φ_M dφ_M

Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral ausgewertet werden:

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 ''&phi;<sub>M</sub> = f(M)'' oder ''M = f<sup>-1</sup>(&phi;<sub>M</sub>)''
-Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige [[Kapazität]] ist dann eine Konstante:
+Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige '''Kapazität''' ist dann eine Konstante:
 ''&Delta;&phi;<sub>M</sub> = &Delta;M / C<sub>M</sub> '' oder ''&Delta;M = C<sub>M</sub> &Delta;&phi;<sub>M</sub> ''
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 ''d&phi;<sub>M</sub> = dM / C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>)'' oder ''dM = C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) d&phi;<sub>M</sub> ''
-Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration über alle Zwischenzustände {Füllzustände}):
+Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände Füllzustände):
-''M = <big>&int;</big> C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) dM ''
+''M = <big>&int;</big> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>) d&phi; ''
 ==Beispiele==
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den [[zugeordneten Energiestrom]] und die Mengenbilanz:
-''dW/dt = &sum; I<sub>W</sub> = &sum; (&phi; <sub>M</sub>I<sub>M</sub>)= &phi;<sub>M</sub> &sum; sub>I<sub>M</sub> = &phi; dM/dt''
+''dW/dt = &sum; I<sub>W</sub> = &sum; (&phi;<sub>M</sub> I<sub>M</sub>)= &phi;<sub>M</sub> &sum; I<sub>M</sub> = &phi;<sub>M</sub> dM/dt = C<sub>M</sub>(&phi;<sub>M</sub>)  &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub>/dt ''
+''&Delta;W = <big>&int;</big> dW = <big>&int;</big> &phi;<sub>M</sub> dM = <big>&int;</big> C<sub>M</sub> &phi;<sub>M</sub> d&phi;<sub>M</sub>''
+Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral ausgewertet werden: