Kapazitives Gesetz

Begriff

Das kapazitive Gesetz verknüpft die gespeicherte Menge oder Primärgrösse mit dem zugehörigen Potenzial (das Potenzial ist eine Funktion der Menge, die Menge eine Funktion des Potenzials):

φ_M = f(M) oder M = f^-1(φ_M)

Im einfachsten Fall nimmt das Potenzial proportional mit der Menge zu (Füllstand wächst proportional mit dem Inhalt). Die zugehörige Kapazität ist dann eine Konstante:

Δφ_M = ΔM / C_M oder ΔM = C_M Δφ_M

Der Begriff Kapazität kann auch verwendet werden, wenn das Potenzial nicht proportional mit der gespeicherten Menge wächst:

dφ_M = dM / C_M(φ_M) oder dM = C_M(φ_M) dφ_M

Die Menge berechnet sich dann durch Summation (Integration) über alle Zwischenzustände (Füllzustände):

M = ∫ dM = ∫ C_M(φ_M) dφ

Beispiele

Gebiet	Element	Kapazität	Einheit	Bemerkung
Hydrodynamik	zylindrisches Gefäss	A/(ρg)	m3/Pa = m4s2/kg	A(h) für beliebige Gefässe
Hydrodynamik	Federspeicher	A2/D	m3/Pa = m4s2/kg	D Richtgrösse oder Gesamtfederkonstante
Elektrodynamik	Plattenkondensator	ε0A/d	Farad (F)	d Plattenabstand
Translationsmechanik	starrer Körper	träge Masse m	Kilogramm (kg)	alle drei Komponenten
Rotationsmechanik	starrer Körper	Massenträgheit J	kg m2	symmetrischer Tensor
Thermodynamik	homogener Stoff	mcS	J/K2	cS=cW/T

Energie

Die Energie eines homogenen Speichers berechnet sich über die Energiebilanz, den zugeordneten Energiestrom, die Mengenbilanz und das Kapazitivgesetz:

dW/dt = ∑_i I_Wi = ∑_i (φ_M I_Mi)= φ_M ∑_i I_Mi = φ_M dM/dt = C_M(φ_M) φ_M dφ_M/dt

Multipliziert man die Änderungsraten mit dem Zeitschritt dt und summiert (integriert) über alle Zwischenzustände, folgt:

ΔW = ∫ dW = ∫ φ_M dM = ∫ C_M(φ_M) φ_M dφ_M

Hängt die Kapazität nicht vom Inhalt ab, kann das Integral einfach ausgewertet werden:

ΔW = ∫ φ_M dM = ∫ C_M φ_M dφ_M = 1/2 C_M [(φ_{M nachher})² - (φ_{M vorher})²]

Ist der Speicher zu Beginn leer, gilt:

W = 1/2 C_M (φ_M)²