Lösung zu Wärmepumpe mit zwei Wärmetauschern: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 15. Juni 2007, 14:32 Uhr

Dieses Modell einer Wärmepumpe besteht aus drei Teilen. In den beiden Wärmetauschern fliesst die Wärme von selbst von hoher zu tiefer Temperatur. Weil die Energie längs des Transportweges erhalten bleibt und die Entropie maximal zunimmt (total irreversibler Prozess), modelliert man die Wärmeleitung mit Hilfe der Energie. Der einfachste Ansatz (lineares Gesetz) ist hier hinreichend genau

[math]I_W = G_W \Delta T[/math]

Im mittleren Teil, der eigentlichen Wärmepumpe, wird die Entropie thermisch hinauf gepumpt. In einer idealen Wärmepumpe bleibt die Entropie erhalten. Die von der Wärmepumpe zu erbringende Prozessleistung ist gleich

[math]P = \Delta T I_S[/math]

Das Bild zeigt die drei Prozesse:

erster Wärmetauscher: Energie bleibt erhalten, Entropie nimmt maximal zu
ideale Pumpe: Entropie bleibt erhalten, Energie muss zugeführt werden
zweiter Wärmetauscher: Energie bleibt erhalten, Entropie nimmt maximal zu

Der durch den ersten Wärmetauscher fliessende Energiestrom legt die untere Temperatur bei der Wärmepumpe fest

[math]I_{W1} = G_{W1} (T_0 - T_1)[/math] oder [math]T_1 = T_0 -\frac {I_{W1}}{G_{W1}}[/math] = 264.5 K

Der bei der idealen Wärmepumpe ankommende Entropiestrom hat demnach eine Stärke von (zugeordneter Energiestrom durch Potenzial gleich Stärke des Trägerstromes)

[math]I_S = \frac {I_{W1}} {T_1}[/math] = 56.7 W/K

Am Ausgang der Wärmepumpe nimmt dieser Entropiestrom einen Energiestrom mit, der gleich Entropiestromstärke mal die dort herrschende, absolute Temperatur (T₂) ist. Kombiniert man diese Aussage mit dem Wärmeleitungsgesetz für den zweiten Wärmetauscher, erhält man die folgende Gleichung

[math]I_{W2} = I_S T_2 = G_{W2} (T_2 - T_U)[/math]

Diese Gleichung liefert bei einer Umgebungstemperatur (T_U) von 327 K eine Ausgangstemperatur bei der idealen Wärmepumpe von 346.7 K. Multipliziert man diesen Wert mit der Stromstärke der gepumpten Entropie, erhält man einen zugeordneten Energiestom von 19.66 kW. Dieser Energiestrom geht ungehindert als Heizleistung an die 54°C warme Umgebung weg.

Die Entropieproduktionsrate des ganzen Systems ergibt sich aus der Differenz der beiden Entropiestromstärken

[math]\Pi_S = \frac{I_{W2}}{T_U} - \frac{I_{W1}}{T_0}[/math] = 5.97 W/K

Aufgabe

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-Dieses einfache Modell einer [[Wärmepumpe]] besteht aus drei Teilen. In beiden Wärmetauschern fliesst die [[Wärme]] von selbst von hoher zu tiefer Temperatur. Die Wärmeleitung ist ein total irreversibler Prozess. Weil die [[Energie]] längs des Transportweges erhalten bleibt und die [[Entropie]] maximal zunimmt, modelliert man die Wärmeleitung mit Hilfe der Energie. Der einfachst mögliche Ansatz ist hier hinreichend genau
+[[Bild:WP_mit_zwei_WT.png|thumb|Schema der WP mit zwei Wärmetauschern]]Dieses Modell einer [[Wärmepumpe]] besteht aus drei Teilen. In den beiden Wärmetauschern fliesst die [[Wärme]] von selbst von hoher zu tiefer Temperatur. Weil die [[Energie]] längs des Transportweges erhalten bleibt und die [[Entropie]] maximal zunimmt (total irreversibler Prozess), modelliert man die Wärmeleitung mit Hilfe der Energie. Der einfachste Ansatz (lineares Gesetz) ist hier hinreichend genau
 :<math>I_W = G_W \Delta T</math>
-Im mittleren Teil, der eigentlichen Wärmepumpe, wird die Entropie thermisch hinauf gepumpt. Weil eine ideale Wärmepumpe vorausgesetzt wird, bleibt die Entropie erhalten. Weil die gleiche Entropie bei höherer Temperatur mehr Energie trägt, muss die Wärmepumpe eine Prozessleistung erbringen
+Im mittleren Teil, der eigentlichen Wärmepumpe, wird die Entropie thermisch hinauf gepumpt. In einer idealen Wärmepumpe bleibt die Entropie erhalten. Die von der Wärmepumpe zu erbringende Prozessleistung ist gleich
 :<math>P = \Delta T I_S</math>
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 *zweiter Wärmetauscher: Energie bleibt erhalten, Entropie nimmt maximal zu
-Der maximale thermische Energiestrom durch den ersten Wärmetauscher legt die untere Temperatur für die Wärmepumpe fest
+Der durch den ersten Wärmetauscher fliessende Energiestrom legt die untere Temperatur bei der Wärmepumpe fest
-:<math>I_{W1} = G_{W1} (\theta_0 - \theta_1)</math> also <math>\theta_1 = \theta_0 -\frac {I_{W1}}{G_{W1}}</math> = -8.5°C, was einer absoluten Temperatur (thermisches Potenzial) von 264.5 K entspricht.
+:<math>I_{W1} = G_{W1} (T_0 - T_1)</math> oder <math>T_1 = T_0 -\frac {I_{W1}}{G_{W1}}</math> = 264.5 K
-Der bei der idealen Wärmepumpe ankommende Entropiestrom hat demnach eine Stärke von ([[zugeordnete Energiestrom|zugeordneter Energiestrom]] durch Potenzial gleich Stärke des Trägerstromes)
+Der bei der idealen Wärmepumpe ankommende Entropiestrom hat demnach eine Stärke von ([[zugeordneter Energiestrom]] durch [[Potenzial]] gleich Stärke des [[Energieträger|Trägerstromes]])
 :<math>I_S = \frac {I_{W1}} {T_1}</math> = 56.7 W/K