Rollbedingung

Ein Körper, der ohne zu rutschen abrollt, erfüllt die Rollbedingung. Diese rein rein kinematische Forderung verknüpft die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes eines starren Körpers mit dessen Winkelgeschwindigkeit

[math]\displaystyle{ \vec v_{MMP} = \vec \omega \times \vec r }[/math]

wobei der Distanzvektor r vom Berührpunkt (Kugel) oder von einem Punkt auf der Berührlinie (Zylinder) zum Massenmittelpunkt zeigt.

Bei einer ebenen Bewegung kann der Zusammenhang skalar formuliert werden und der Distanzvektor entspricht dem Rollradius

[math]\displaystyle{ v_{MMP} = \omega r }[/math] oder [math]\displaystyle{ a_{MMP} = \alpha r }[/math]

Bewegt sich der Massenmittelpunkt auf einer Geraden, gilt der analoge Zusammenhang auch für die entsprechenden Beschleunigungen

[math]\displaystyle{ \dot v_{MMP} = \dot \omega r }[/math] oder [math]\displaystyle{ a_{MMP} = \alpha r }[/math]

Im Falle einer gekrümmten Bahn, bestimmt die Winkelbeschleunigung nur die Tangentialbeschleunigung des Massenmittelpunktes. Die Normalbeschleunigung hängt nur von der Winkelgeschwindigkeit und vom Abrollradius ab

[math]\displaystyle{ a_t = \omega^2 r = \frac {v_{MMP}^2} {r} }[/math]