Fall mit Luftreibung
Der Fall eines Körpers in Luft bildet ein analytisch lösbares Problem, falls der Luftwiderstand quadratisch mit der Geeschwindigkeit zunimmt. Die Impulsbilanz bezogen auf den Körper lautet dann (Bezugsrichtung nach unten):
- [math]\displaystyle{ -F_W+F_G=\dot p }[/math]
Ersetzt man den Luftwiderstand (Impulsstrom) durch die quadratische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
- [math]\displaystyle{ F_W=kv^2 }[/math],
die Gewichtskraft (Impulsquelle) durch Masse mal Stärke des Gravitationsfeldes
- [math]\displaystyle{ F_G=mg }[/math]
und den Impulsinhalt durch Masse mal Geschwindigkeit (Grundfläche mal Höhe im Flüssigkeitsbild)
- [math]\displaystyle{ p=mv }[/math],
folgt die zu integrierende Differentialgleichung (DGL)
- [math]\displaystyle{ m\dot v+kv^2=mg }[/math]
Lässt man den Körper aus der Ruhe heraus fallen, ist seine anfängliche Beschleunigung gleich der Gravitationsfeldstärke g (daher auch der etwas irreführende Name Erdbeschleunigung). Nach längerer Zeit erreicht der Körper (asymptotisch) seine Engeschwindigkeit
- [math]\displaystyle{ v_{\infty}=\sqrt{\frac{mg}{k}} }[/math]
Die Lösung dieser Gleichung bei anfänglich ruhendem Körper lässt sich mittels einer Formel angeben
- [math]\displaystyle{ v(t)=v_{\infty}\tanh\left(\frac{k}{m}v_{\infty}t\right) }[/math]
Die Systemdynamik erlaubt uns, solche und auch komplexere Probleme zu lösen, ohne eine DGL von Hand integrieren zu müssen.
Beispiele: