Lösung zu Auskühlender Kessel

1. Der Wärmedurchgangskoeffizient entspricht dem Wärmeleitwert pro Fläche. Multipliziert man den gegebenen Wärmedurchgangskoeffizienten mit der Mantelfläche des Kessels von 2 * π * 4 m * 8 m = 201 m², ergibt sich ein Wärmeleitwert von 45 W/m²/K * 201 m² = 9.05 kW/K. Folglich fliesst bei einer Temperaturdifferenz von 75°C - 30°C = 45 K ein thermischer Energiestrom der Stärke 9.05 kW/K * 45 K = 407 kW aus dem Kessel.
2. Der zugeordnete Energiestrom bleibt längs des Transportweges erhalten. Deshalb nimmt die Stärke des Entropiestomes zu. Die Entropie-Produktionsrate ist gleich der Differenz der beiden Entropieströme, die bei verschiedenen Temperaturen den gleichen Energiestrom transportieren [math]\Pi_S = I_{S2} - I_{S1} = I_W \left(\frac {1}{T_2} - \frac {1}{T_1}\right) = \frac {I_W (T_1 - T_2)}{T_1 T_2}[/math] = 407 kW * (348 K - 303 K) / (348 K * 303 K) = 174 W/K.
3. Die Masse des abkühlenden Wassers beträgt 1000 kg/m³ * π * (4 m)² * 8 m = 402 t. Die Zeitkonstante ist gleich [math]\tau = RC = \frac {mc}{G_W}[/math] = 402 t * 4.19 kJ/kg/K / 9.05 kW/K = 1.86 10⁵ s. Löst man die Funktion für den Entladevorgang des RC-Gliedes [math]\Delta T = \Delta T_a e^{-t/\tau}[/math] nach der gesuchten Zeit auf, erhält man [math]t = - \tau \ln \frac {\Delta T}{\Delta T_a}[/math] = - 1.86 10⁵ s * ln(20 K / 45 K) = 1.51 10⁵ s = 41.9 h.
4. Der Nettostrahlung beträgt [math]I_W = \sigma A \left(T^4 - T_U^4\right)[/math] = 5.67 10^-8 W/(m²K⁴) * 201 m² * ((348 K)⁴ - (303 K)⁴) = 71.1 kW. Befände sich der Kessel in einem evakuierten Raum, würde er die Wärme mindestens sechs Mal langsamer abgeben.

Aufgabe