Magnetfeld und Induktivität
Elektrische Ladungen erzeugen das elektrische Feld (Feldstärke E gemessen in V/m oder N/C), Ströme das Magnetfeld (Feldstärke B gemessen in Tesla). Wird eine Kondensator geladen, fliesst Ladung von der einen Seite zu und verdrängt ebenso viel Ladung über den andern Anschluss. Das dadurch erzeugte elektrische Feld speichert die Energie des Kondensators. Diese wächst quadratisch mit der Spannung und somit auch quadratisch mit der an einem beliebigen Punkt im Innern des Kondensators gemessenen Feldstärke.
Wickelt man einen Draht zu einer Spule, erzeugt der Strom im Innern der Spule ein starkes Magnetfeld, das durch einen Eisenkern zusätzlich verstärkt werden kann. Die Stärke des Magnetfeldes wächst linear mit der Stärke des Stromes, die in diesem Feld gespeicherte Energie nimmt quadratisch mit der Stromstärke zu.
Lernziele
Energiebilanz
Die Energie tritt in jedem Gebiet der Physik als Zweitgrösse auf, d.h. die Energie rapportiert als Buchhaltungsgrösse die Vorgänge auf einer zweiten Ebene. Schauen wir uns diese Buchhaltung einmal etwas genauer an.
Die Energiebilanz bezüglich eines idealen Kondensators lautet
- [math]UI=P=\dot W=CU\dot U[/math]
Die letzte Umformung folgt aus der Ableitung der im elektrischen Feld gespeicherten Energie
- [math]\dot W=\left(\frac{C}{2}U^2\right)^\circ=CU\dot U[/math]
Die Einheit der Kapazität, Farad, kann demnach auch als J / V2 geschrieben werden.
Ladungen bauen das elektrische Feld, Ströme das Magnetfeld auf. Weil die von einem Kondensator gespeicherte Energie quadratisch mit der Ladung zunimmt, postulieren wir, dass die vom Magnetfeld einer Spule gespeicherte Energie quadratisch mit der Stärke des durchfliessenden Stromes anwächst.
- [math]W=\frac{L}{2}I^2[/math]
L steht für Induktivität.Die Induktivität wird in Henry (H) gemessen (1 H = 1 J/A2). Die Division durch zwei übernehmen wir von der Kapazität.
Leitet man diese Energie-Strom-Beziehung nach der Zeit ab, folgt
- [math]\dot W=\left(\frac{L}{2}I^2\right)^\circ=LI\dot I[/math]
Die Änderungsrate der Energie muss gleich der vom elektrischen Strom in der Spule freigesetzte Leistung (Spannung mal Stromstärke) sein
- [math]LI\dot I=\dot W=P=UI[/math]
Vergleicht man den Term ganz links mit dem Ausdruck ganz rechts, erhält man das konstitutive Gesetz der Induktivität: die Spannung über der Spule ist gleich Induktivität mal Änderungsrate der Stromstärke
- [math]U=L\dot I[/math]
Eine induktive Spannung tritt demnach nur auf, wenn der Strom seine Stärke ändert. Nimmt man eine idealen Spule, deren Drähte dem Strom keinen Widerstand entgegen setzen, entspricht die gemessene Spannung direkt der Änderungsrate des Stromes. Nimmt der Strom zu, sind Strom und Spannung gleich gerichtet. Bildlich gesprochen fliesst der Strom den Berg hinunter und setzt dabei die Energie frei, die zum Aufbau des Magnetfeldes notwendig ist. Nimmt der Betrag des Stromes ab, sind Strom und Spannung wie bei einer Batterie gegeneinander gerichtet. Der Strom muss dann die Energie übernehmen, die das schwächer werdende Magnetfeld abgibt.
drei Elemente
Unser Baukasten enthält nun drei lineare Elemente. Das eine, der Widerstand, dissipiert Energie, die beiden andern, die Kapazität und die Induktivität wirken als Energiespeicher.
| Widerstand | Kapazität | Induktivität | |
|---|---|---|---|
| konstitutives Gesetz | [math]U=RI[/math] | [math]\dot U=\frac{1}{C}I[/math] | [math]U=L\dot I[/math] |
| Einheit | [R] = Ohm (Ω) | [C] = Farad (F) | [L] = Henry (H) |
| Serieschaltung | direkte Addition | reziproke Addition | direkte Addition |
| Parallelschaltung | reziproke Addition | direkte Addition | reziproke Addition |
| Energie | [math]P_{diss}=RI^2=\frac{U^2}{R}[/math] | [math]W=\frac{C}{2}U^2[/math] | [math]W=\frac{L}{2}I^2[/math] |
hydroelektrische Analogie
Nun, da die drei Elemente Widerstand, Kapazität und Induktivität auch in der Elektrodynamik bekannt sind, kann die Analogie mit der Hydrodynamik nochmals rekapituliert werden
| Element | Hydro | Einheit | Elektro | Einheit |
|---|---|---|---|---|
| Menge | Volumen | m3 | elektrische Ladung | Coulomb (C) |
| Strom | Volumenstrom IV | m3/s | elektrischer Strom I | Ampère (A) |
| Potenzial | Druck p | Pascal (Pa) | elektrisches Potenzial φ | Volt (1 V = 1 J/C = 1 W/A) |
| Energiestrom | [math]I_W=pI_V[/math] | 1 Watt = 1 Pa m3/s | [math]I_W=\varphi I[/math] | 1 Watt = 1 V A |
| Prozessleistung | [math]P=\Delta p I_V[/math] | 1 Watt = 1 Pa m3/s | [math]P=U I[/math] | 1 Watt = 1 V A |
| Widerstand | [math]R_V=\frac{\Delta p}{I_V}[/math] | Pas / m3 | [math]R=\frac{U}{I}[/math] | 1 Ohm = 1 V / A (Ω) |
| Kapazität | [math]C_V=\frac{\Delta V}{\Delta p}[/math] | m3/Pa | [math]C=\frac{Q}{U}[/math] | 1 Farad = 1 C / V (F) |
| Induktivität | [math]L_V=\frac{\Delta p}{\dot I_V}[/math] | Pas / m3 | [math]L=\frac{U}{\dot I}[/math] | 1 Henry = 1 Vs / A (H) |
Aus dieser Analogie folgt die Formel für die dissipierte Leistung
- [math]P=R_V I_V^2 = RI^2[/math]
die kapazitive Energie
- [math]W_C=\frac{C_V}{2}(\Delta p)^2=\frac{C}{2}U^2[/math]
sowie der induktiven Energie
- [math]W_L=\frac{L_V}{2}I_V^2=\frac{L}{2}I^2[/math]
Trotz der schönen Symmetrie sollte man die Unterschiede nicht vergessen
- der Volumenstrom hat mit der Bewegung eines Stoffes zu tun, bei einem elektrischen Strom ist keine Bewegung nachweisbar
- Volumenströme koppeln über die Massenströme ans Gravitationsfeld
- Volumenströme können turbulent werden
- an engen Stellen tritt ein zusätzlicher Druckabfall auf
- elektrische Ströme fliessen nur in Kreisen, Volumen kann dagegen gespeichert werden