Polarkoordinaten: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum ''r'' und den Winkel ''φ'' |
+ | Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum (Radius ''r'') und den Winkel gegen eine Bezugsrichtung (''φ''). Ist die ''x''-Achse eines kartesischen Koordinatensystems die Bezugsrichtung, gilt der folgende Zusammenhang |
:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> |
:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> |
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wobei beim Winkel die Periodizität der Tangensfunktion berücksichtigt werden muss. |
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Die Geschwindigkeit eines Punktes kann nun ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Dazu leitet man den Ort nach der Zeit ab |
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| − | :<math>\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi) |
+ | :<math>\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi)\dot\varphi \end{pmatrix}</math> |
| − | Nun zeigt der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> in Richtung des Radius und der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math> steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist <math>\dot r</math> die radiale und <math>r\dot\varphi</math> die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit. |
+ | Nun zeigt der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}</math> in Richtung des Radius und der Einheitsvektor <math>\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ +\cos(\varphi) \end{pmatrix}</math> steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist <math>\dot r</math> die radiale und <math>r\dot\varphi</math> die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit. |
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| + | ==Beschleunigung== |
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| + | Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung |
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| + | :<math>\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}=(\ddot r-r\dot \varphi^2) \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}(2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}</math> |
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| + | Die Beschleunigung in radialer Richtung ist demnach gleich <math>(\ddot r-r\dot \varphi^2)</math> unt in tangentialer gleich <math>(2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)</math> |
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Aktuelle Version vom 12. Januar 2008, 22:22 Uhr
Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum (Radius r) und den Winkel gegen eine Bezugsrichtung (φ). Ist die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems die Bezugsrichtung, gilt der folgende Zusammenhang
- [math]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}[/math]
oder umgekehrt
- [math]r=\sqrt{x^2+y^2}[/math] und [math]\varphi=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)[/math]
wobei beim Winkel die Periodizität der Tangensfunktion berücksichtigt werden muss.
Geschwindigkeit
Die Geschwindigkeit eines Punktes kann nun ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Dazu leitet man den Ort nach der Zeit ab
- [math]\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi)\dot\varphi \end{pmatrix}[/math]
Nun zeigt der Einheitsvektor [math]\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}[/math] in Richtung des Radius und der Einheitsvektor [math]\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ +\cos(\varphi) \end{pmatrix}[/math] steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist [math]\dot r[/math] die radiale und [math]r\dot\varphi[/math] die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit.
Beschleunigung
Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung
- [math]\begin{pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \ddot r\cos(\varphi)-\dot r\sin(\varphi)\dot{\varphi}-\dot r\sin(\varphi)\dot \varphi-r\cos(\varphi)\dot \varphi^2-r\sin(\varphi)\ddot \varphi\\ \ddot r\sin(\varphi)+\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi +\dot r\cos(\varphi)\dot\varphi -r\sin(\varphi)\dot\varphi^2+r\cos(\varphi)\ddot\varphi\end{pmatrix}=(\ddot r-r\dot \varphi^2) \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}(2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}[/math]
Die Beschleunigung in radialer Richtung ist demnach gleich [math](\ddot r-r\dot \varphi^2)[/math] unt in tangentialer gleich [math](2\dot r\dot\varphi+r\ddot\varphi)[/math]