Polarkoordinaten

Bewegt sich ein Körper in einem Zentralfeld (Kraft auf den Körper wirkt gegen ein Zentrum) drängt sich eine Beschreibung in ebenen Polarkoordinaten auf. Als Polarkoordinaten nimmt man den Abstand vom Zentrum r und den Winkel φ gegen eine Bezugsrichtung. Nimmt man die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems als Bezugsrichtung, gilt der folgende Zusammenhang

[math]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix}[/math]

oder umgekehrt

[math]r=\sqrt{x^2+y^2}[/math] und [math]\varphi=\arctan{\frac{y}{x}}[/math]

wobei beim Winkel die Periodizität der Tangensfunktion berücksichtigt werden muss.

Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit eines Punktes kann nun ebenfalls in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Dazu leitet man den Ort nach der Zeit ab

[math]\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dot r\cos(\varphi)-r\sin(\varphi)\dot \varphi\\ \dot r\sin(\varphi)+r\cos(\varphi) \dot\varphi \end{pmatrix}[/math]

Nun zeigt der Einheitsvektor [math]\begin{pmatrix}\cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}[/math] in Richtung des Radius und der Einheitsvektor [math]\begin{pmatrix}-\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \end{pmatrix}[/math] steht normal dazu und zeigt in Richtung des wachsenden Winkels. Folglich ist [math]\dot r[/math] die radiale und [math]r\dot\varphi[/math] die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit.