Sputnik
Sputnik 1 (russisch Спутник für Begleiter) ist von der Sowjetunion am 4. Oktober 1957 auf eine elliptische Umlaufbahn (Flughöhe zwischen 227 und 946 km über der Erdoberfläche) geschossen worden. Dieser erste künstliche Erdsatellit war zwar von der Sowjetunion für den Verlauf des Internationalen Geophysikalischen Jahres (IGY)(1957-58) angekündigt worden, doch rechnete die westliche Fachwelt erst Mitte 1958 mit der Fertigstellung der sowjetischen Entwicklungen. Der Start von Sputnik 1 machte aller Welt klar, dass die Sowjetunion nun in der Lage war, mit ihren Raketen nicht nur „den Weltraum“ zu erreichen, sondern auch jeden Punkt auf der Erde. Die faktische oder auch nur scheinbare Überlegenheit sowjetischen Interkontinentalraketen gegenüber jenen der USA löste in der westlichen Welt ein Gefühl der Bedrohung aus (Sputnik-Schock).
Im Sommersemester 2007 haben Studierende des Studienganges Aviatik die Hintergründe recherchiert und den Start mit Hilfe eines systemdynamischen Werkzeuges simuliert.
Aufgabenstellung
Die Flugbahn von Sputnik 1 soll mit Hilfe der verfügbaren Daten simuliert werden. Gestartet werde vom Äquator aus und die Umlaufbahn soll in die Äquatorialebene zu liegen kommen (zweidimensionale Bewegung). Das Modell ist auf eines erdfesten System zu beziehen.
Das Modell soll folgende Zusammenhänge möglichst korrekt abbilden:
- Impuls- und Massenbilanz
- Wirkung der Triebwerke
- Einfluss der Atmosphäre (Standardatmosphäre)
- Wirkung der Erde (Gravitations-, Zentrifugal- und Corioliskraft)
technische Daten
Die Trägerrakete besteht aus einem Bündel von 5 Einzelraketen, wobei die mittlere grösser ist, länger brennt und als zweite Stufe dient. Alle Triebwerke (5 x 4 Haupttriebwerke und 12 Steuertriebwerke wurden aus Sicherheitsgründen beim Start gleichzeitig gezündet.
1. Stufe:
| Triebwerk | RD-107-8D74 |
| Schub | 4 x 790 kN |
| Startmasse | 4 x 43'100 kg |
| Leermasse | 4 x 3'500 kg |
| Brennzeit | 120 s |
| spez. Impuls | 2452 m/s (Meereshöhe) |
| spez. Impuls | 3003 m/s (Vakuum) |
2. Stufe:
| Triebwerk | RD-108-8D75 |
| Schub | 1 x 745 kN |
| Startmasse | 1 x 95'300 kg |
| Leermasse | 1 x 7'500 kg |
| Brennzeit | 330 s |
| spez. Impuls | 2364 m/s (Meereshöhe) |
| spez. Impuls | 3021 m/s (Vakuum) |
Haupttriebwerk
| Treibstoff | Kerosin |
| Oxidator | Sauerstoff |
| Mischungsverhältnis | 1 : 2.47 |
| Turbopumpe | 4000 kW |
| Brennkammerdruck | 58.50 bar |
| Düsenmündungsdruck | 0.39 bar |
Modellannahmen
Die Bilanzgleichungen bilden die zentralen Teile des Modells
- x-Impulsbilanz der ganzen Rakete
- y-Impulsbilanz der ganzen Rakete
- Massenbilanz 1. Stufe
- Massenbilanz 2. Stufe
Als weiter Zustandsgrössen (Bestandesgrösse, Stock) kommen noch die x- und die y-Koordinate dazu.
Impulsströme
Die Rakete tauscht auf drei Arten Impuls mit der Umgebung aus
- konvektiv, zusammen mit dem wegströmenden Gas
- leitungsartig mit der Luft (Luftwiderstand)
- quellenartig mit dem Gravitationsfeld
Im rotierenden Bezugssystem darf die Wirkung des (im Sinne von Albert Einstein verallgemeinerten) Gravitationsfeldes in drei Teile zerlegt werden
Gravitations- und Zentrifugalkraft können zu einer verallgemeinerten Gravitationskraft zusammen gefasst werden. Die Corioliskraft steht immer senkrecht zur Geschwindigkeit der Rakete.
Luftwiderstand
In weniger als einer Minute ist die Rakete schneller als der Schall und die für die Kreisbahn notwendige Endgeschwindigkeit von 7900 m/s ist etwa zehn mal schneller als eine Kanonenkugel. Ein Widerstandsmodell, das den Unter- und Überschallbereich gut nachbildet, übersteigt die Möglichkeiten eines einführenden Kurses in die Physik der dynamischen Systeme. Der Fehler, der durch eine einfache Modellierung des Luftwiderstandes entsteht, wird aber infolge der abnehmende Dichte der Atmosphäre klein gehalten.
Der Luftwiderstand ist gleich kinetische Energiedichte der anströmenden Luft mal korrigierte Querschnittfläche
- [math]F_W=\frac{\varrho}{2}v^2c_W A[/math]
wobei die Dichte der Luft (ρ) mit der Höhe abnimmt und der Widerstandsbeiwert (cW) nur geschätzt werden kann.
Orientierung der Rakete
Die entscheidende Grösse ist in diesem Modell ist die Orientierung der Rakete bzw. die Richtung des ausströmenden Gases. Üblicherweise beschreibt man die Lage der Rakete bezüglich eines lokalen Koordinatensystems (Ausrichtung nach Horizont und Zenit) und transformiert dann auf das Erdsystem. Weil in diesem Projekt die Ausrichtung der Rakete nur durch Versuch und Irrtum gefunden werden kann, wird die Richtung der Rakete mit dem Winkel zur x-Achse parametrisiert. Die Studierenden haben diesen Winkel in Funktion so lange variiert, bis ein Orbit erreicht worden ist, welcher dem wirklichen Verlauf der Sputnikbahn möglichst nahe kommt. In unzähligen Simulationsläufen mussten sie erleben, wie sensitiv das ganze Modell ist. Ein bisschen mehr oder weniger Treibstoff, eine leichte Veränderung in der Orientierung der Rakete oder eine andere Nutzlast können den Sputnik abstürzen oder zu hoch fliegen lassen.
