Lösung zu Zwei Gefässe
- Die Pumpe fördert in drei Stunden 43.2 m3 Wasser über eine Höhe von zehn Meter. Falls die Pumpe ohne Energieverlust arbeitet, ist die Pumparbeit gleich der Änderung der potenziellen Energie einer um 10 m gehobenen Wassermasse von 43.2 t:
[math]\Delta W_G = m_{gefoerdert} * g * \Delta h = 43'200 kg * 9.81 N/kg * 10 m [/math] = 4.24 MJ.
- Nach zwei Stunden hat die erste Pumpe 28.8 m3 Wasser ins erste Gefäss hinein und die zweite 7.2 m3 herausgepumpt. Somit beträgt die Zunahme im ersten Gefäss 21.6 m3, was den Spiegel um 5.4 m ansteigen lässt. Im zweiten Reservoir steigt der Spiegel um 3.6 m. Die zweite Pumpe hat demnach bei einer Pumphöhe von 3.6 m + 5 m - 5.4 m = 3.2 m eine Leistung abzugeben, die der des zugehörigen Gravitationsprozesses entspricht:
[math]P = \rho g \Delta h I_V = g \Delta h I_m = 9.81 N/kg * 3.2 m * 2 kg/s = [/math] 62.8 W
- Die zweite Pumpe fördert in der zweiten und dritten Stunde 2 * 3600 s * 2 l/s = 14.4 m3 Wasser. In dieser Zeit steigt der Spiegel im ersten Reservoir von 3600 s * 4 l/s /(4 m2) = 3.6 m um 2 * 3600 s * (4 l/s - 2 l/s) /(4 m2) = 3.6 m auf 7.2 m. Der Wasserspiegel im zweiten Gefäss liegt zu Beginn des Förderprozesses bei 5 m und steigt dann auf 5 m + 14.4 m3 / (2 m2) = 12.2 m (bezogen auf den Boden des ersten). Die Pumphöhe steigt demnach linear von 5 m - 3.6 m = 1.4 m auf 12.2 m - 7.2 m = 5 m, was eine mittlere Förderhöhe von 3.2 m ergibt. Die minimale Pumparbeit entspricht der Änderung der potenziellen Energie
[math]\Delta W_G = m_{gefoerdert} g \Delta h = 14'400 kg * 9.81 N/kg * 3.2 m = [/math] 0.452 MJ
Man kann diese Energie auch über die Leistung rechnen. Beim Einschalten der zweiten Pumpe muss diese eine Leistung von 9.81 N/kg * 1.4 m * 2 kg/s = 27.5 W abgeben. Zwei Stunden später sind es bereits 9.81 N/kg * 5 m * 2 kg/s = 98.1 W. Weil die Pumpleistung linear steigt, darf die mittlere Leistung von 62.8 W mal der Zeitabschnitt von 7200 s gerechnet werden, was 0.452 MJ ergibt, also abgesehen von Rundungsfehlern gleich viel.
Aufgabenstellung