Compton-Effekt

Die Streuung eines Photons an einem Elektron oder einem anderen geladenen Teilchen bezeichnet man als Compton-Effekt. Dabei vergrössert sich - entgegen der klassischen Vorstellung - die Wellenlänge des Photons. Die Compton-Streuung (nach Arthur Compton) ist ein wichtiger Wechselwirkungsprozess von Photonen mit Materie für Photonenenergien zwischen etwa 100 keV bis 10 MeV.

Impuls und Energie

Der Compton-Effekt ist eine direkte Folge von Impuls- und Energieerhaltung

[math]\displaystyle{ \vec p_{ph_1}=\vec p_{ph_2}+\vec p_{e_2} }[/math]

[math]\displaystyle{ W_{ph_1}+W_{e_1}=W_{ph_2}+W_{e_2} }[/math]

wobei die Energie eines Teilchens von der Ruhemasse und dem Impuls abhängt

[math]\displaystyle{ W=\sqrt{W_0^2+p^2c^2}=\sqrt{m_0^2c^4+p^2c^2} }[/math]

Damit lässt sich die Gleichung für die Energieerhaltung umformulieren

[math]\displaystyle{ p_{ph_1}c+m_ec^2=p_{ph_2}c+\sqrt{m_e^2c^4+p_{e_2}^2c^2} }[/math]

Löst man die Gleichung für die Impulserhaltung nach [math]\displaystyle{ \vec p_{e_2} }[/math] auf und setzt dessen Quadrat in die Energierhaltung ein, erhält man

[math]\displaystyle{ m_ec\left(p_{ph_1}-p_{ph_2}\right)=p_{ph_1}p_{ph_2}(1-\cos\varphi) }[/math]

wobei [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] für den Winkel zwischen dem Impuls des Photons vor und nach dem Stoss steht. Dividiert man diesen Ausdruck durch [math]\displaystyle{ m_ecp_{ph_1}p_{ph_2} }[/math], gewinnt man die Gleichung, auf welche die De-Broglie-Beziehung anzuwenden ist

[math]\displaystyle{ \frac{1}{p_{ph_2}}-\frac{1}{p_{ph_1}}=\frac{1}{m_ec}(1-\cos\varphi) }[/math]

Materiewelle

Nach Louis de Broglie darf einem Teilchen eine Welle zugeordnet werden

[math]\displaystyle{ \vec{p} = \hbar \vec{k} }[/math]

Für die Wellenlänge [math]\displaystyle{ \left(\lambda=\frac{2\pi}{k}\right) }[/math] gilt damit

[math]\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p} }[/math]

Setzt man diese Wellen-Impuls-Beschreibung in die weiter oben formulierte Beziehung ein, erhält man eine Formel für die Vergrösserung der Wellenlänge infolge der Wechselwirkung mit dem Elektron

[math]\displaystyle{ \Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\varphi) }[/math]

wobei für die Compton-Wellenlänge gilt

[math]\displaystyle{ \lambda_C=\frac{h}{m_ec} }[/math] = 2.43 10^-12 m