Compton-Effekt
Die Streuung eines Photons an einem Elektron oder einem anderen geladenen Teilchen bezeichnet man als Compton-Effekt (nach Arthur Compton). Dabei vergrössert sich - entgegen der klassischen Vorstellung - die Wellenlänge des Photons. Die Compton-Streuung ist ein wichtiger Wechselwirkungsprozess von Photonen mit Materie für Energien zwischen etwa 100 keV bis 10 MeV.
Impuls und Energie
Der Compton-Effekt kann mit Hilfe der Impuls- und Energieerhaltung erklärt werden
- [math]\displaystyle{ \vec p_{ph_1}=\vec p_{ph_2}+\vec p_{e_2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ W_{ph_1}+W_{e_1}=W_{ph_2}+W_{e_2} }[/math]
wobei die Energie eines Teilchens von der Ruhemasse und vom Impuls abhängt
- [math]\displaystyle{ W=\sqrt{W_0^2+p^2c^2}=\sqrt{m_0^2c^4+p^2c^2} }[/math]
Damit lässt sich die Gleichung für die Energieerhaltung neu formulieren
- [math]\displaystyle{ p_{ph_1}c+m_ec^2=p_{ph_2}c+\sqrt{m_e^2c^4+p_{e_2}^2c^2} }[/math]
Löst man die Gleichung für die Impulserhaltung nach [math]\displaystyle{ \vec p_{e_2} }[/math] auf und setzt dessen Quadrat in die Energierhaltung ein, erhält man
- [math]\displaystyle{ m_ec\left(p_{ph_1}-p_{ph_2}\right)=p_{ph_1}p_{ph_2}(1-\cos\varphi) }[/math]
wobei [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] für den Winkel zwischen dem Impuls des Photons vor und nach dem Stoss steht. Dividiert man diesen Ausdruck durch [math]\displaystyle{ m_ec }[/math], [math]\displaystyle{ p_{ph_1} }[/math] und [math]\displaystyle{ p_{ph_2} }[/math], gewinnt man die Gleichung, auf welche die De-Broglie-Beziehung anzuwenden ist
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{p_{ph_2}}-\frac{1}{p_{ph_1}}=\frac{1}{m_ec}(1-\cos\varphi) }[/math]
Materiewelle
Nach Louis de Broglie darf einem Teilchen eine Welle mit der Wellenzahl k zugeordnet werden
- [math]\displaystyle{ \vec{p} = \hbar \vec{k} }[/math]
Für die Wellenlänge [math]\displaystyle{ \left(\lambda=\frac{2\pi}{k}\right) }[/math] gilt damit
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p} }[/math]
Setzt man diese Wellen-Impuls-Beziehung in die weiter oben formulierte Gleichung ein, erhält man eine Formel für die Vergrösserung der Wellenlänge infolge der Wechselwirkung mit dem Elektron
- [math]\displaystyle{ \Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos\varphi) }[/math]
wobei für die Compton-Wellenlänge gilt
- [math]\displaystyle{ \lambda_C=\frac{h}{m_ec} }[/math] = 2.43 10-12 m
Die Vergrösserung der Wellenlänge des Photons hängt demnach nur vom Winkel und nicht von der Wellenlänge ab.